Álgebras hereditárias do tipo ˜ A n−1

Considere agora um quiverQcujo grafo subjacenteQseja do tipo ˜An−1, e sejakQ a álgebra de caminhos deste quiver. Sabemos que para um quiverQdo tipo ˜An−1, o posto do grupo de Grothendieck da álgebrakQ é igual àn, ou ainda, o número de vértices do quiverQ én.

O objetivo desta seção é mostrar que para um complexo tiltingT^• na categoria derivada de uma álgebra hereditária mansa do tipo ˜An−1, existe uma subcategoria hereditária geradora

H ⊂ D^b(modkQ)tal que

T^•∈ _` i=0

H[i],`≤n−3.

Vimos no teorema 2.6 que ao consideramos uma uma secçãoΣcujasr−1 fontes sejam soman-dos diretos indecomponíveis deT^•, garantimos a existência de uma subcategoria hereditária geradoraH que satisfaz

Logo, se considerarmosr ≥2, teremos que o resultado almejado já estará provado. Logo, o que faremos é considerar o caso em quer =1, isto é, quando a secçãoΣa ser construída tem apenas uma fonte. O próximo lema nos mostra que a fonte de tal secçãoΣatinge todos os módulos na componente pós-projetiva.

e sejaΛ=kQ a álgebra de caminhos associada à Q . Então, para todo módulo indecomponível X na componente pós projetiva deΓ(modkQ), temos que Hom_Λ(P(1),X)6=0, em que P(1)é o módulo projetivo indecomponível associado ao vértice1de Q .

Demonstração: Podemos ver que o módulo simples relacionado ao vértice 1, denotado por S(1), é somando do socle de todos os módulos projetivos indecomponíveis em modkQ. Mais ainda, sabemos queS(1) =P(1), em queP(1)é o módulo projetivo indecomponível associado ao vértice 1 deQ, e queP(1)está apenas uma vez no socle dos módulos projetivos indecom-poníveisP(k),k6=`, e aparece duas vezes no socle deP(`).

Lembre que para todo módulo indecomponívelX na componente pós projetiva do quiver de Auslander-ReitenΓ(modkQ), existemr ∈NeP(k)módulo projetivo indecomponível tais queX =τ^−rP(k). Para mostrarmos então que Hom_Λ(P(1),X)6=0 para todoX na componente pós-projetiva deΓ(modkQ), basta mostrarmos queP(1) está no socle deτ^−rP(k)para todo r ∈Ne para todok∈ {1, 2,· · ·,n−1,n}. Provaremos tal fato utilizando o princípio de indução.

Primeiramente, considere a seguinte sequência de Auslander-Reiten 0−→P(1)−→P(2)⊕P(n)−→τ⁻P(1)−→0.

O número de vezes que um simplesS está no socle de um módulo M qualquer será deno-tado porm_S(M). Como sabemos queP(1)está duas vezes no socle deP(2)⊕P(n), temos que m_P(1)(τ⁻P(1)) =1.

Suponha agora que a afirmação seja válida para todo 2≤k ≤`−3, e então parak =`−2, podemos construir a sequência de Auslander-Reiten

0−→P(k)−→P(k+1)⊕τ⁻P(k−1)−→τ⁻P(k)−→0.

Dessa forma, concluímos quem_P(1)(τ⁻P(k)) = 1. Para`+2≤k ≤n, o raciocínio é análogo.

Vejamos agora queP(1)está no socle deτ⁻¹P(`−1), para isso, considere a seguinte sequência de Auslander-Reiten

0−→P(`−1)−→P(`)⊕τ⁻P(`−2)−→τ<sup>−</sup>P(`−1)−→0.

Como m_P(1)(P(`−1)) = 1, m<sub>P(1)</sub>(P(`)) = 2 e m_P(1)(τ⁻P(`−2)) = 1, podemos concluir que m<sub>P(1)</sub>(τ<sup>−</sup>P(`−1)) = 2. Com o mesmo argumento provamos quem_P(1)(τ⁻P(`+1)) = 2. Nos resta verificar agora queP(1)está no socle deτ<sup>−1</sup>P(`).

De fato, considere a sequência de Auslander-Reiten começando emP(`) 0−→P(`)−→τ⁻P(`−1)⊕τ<sup>−</sup>P(`+1)−→τ⁻P(`)−→0.

A partir dessa sequência podemos provar quem_P(1)(τ⁻P(l)) =2. Logo, concluímos que o mó-dulo projetivo indecomponívelP(1)está no socle de todos os módulos indecomponíveis da formaτ⁻P(k), k ∈ {1, 2,· · ·,n−1,n}. Seguindo a mesma ideia, conclui-se queP(1) está no socle de qualquer módulo indecomponível da formaτ^−rP(k),r ∈N,k ∈ {1, 2,· · ·,n−1,n}.

Sejakum corpo algebricamente fechado. Como visto no teorema 1.29, o quiver de Auslander-ReitenΓ(modΛ)de umak-álgebra hereditária mansaΛestá dividido em três tipos de compo-nentes: uma componente pós-projetiva, denotada porP_Λ, uma componente regular,R_Λ, cons-tituída de umaP1(k)-família de tubos, e por fim, uma componente pré-injetiva, denotada por Q_Λ. Quando construímos o quiver de Auslander-ReitenΓ(D^b(modΛ))da categoria derivada, sabemos que é apenas a colagem dos quivers de Auslander-ReitenΓ(modΛ), em que cada cópia

é um shift da categoria original. Esta colagem é feita mediante triângulos de Auslander-Reiten, que estão descritos em[Hap88]. Para a cópia modΛ[i]deD^b(modΛ), denotaremos a compo-nente pós-projetiva porP_Λ[i], a componente regular porR_Λ[i]e a componente pré-injetiva por Q_Λ[i].

Uma vez que componentes regulares são estáveis sob a ação do funtorτ, podemos facil-mente concluir que

Hom_Db(modΛ)(P_Λ[i],R_Λ[i+1]) =0 e Hom_Db(modΛ)(R_Λ[i],Q_Λ[i+1]) =0. (2.13) Lema 2.24 Sejam k um corpo algebricamente fechado, Q um quiver como no lema 2.23 e kQ a álgebra de caminhos associada à Q . Considere na categoria derivadaD^b(modkQ)um complexo tilting da forma

T^•=P(1)[rj₀]⊕(⊕iTi[ri]),

em que P(1)é o kQ -módulo projetivo associado ao vértice 1 do quiver Q . Então Ti[ri]6∈P_kQ[ri] para r_i6=r_j0.

Demonstração: Suponha queT_i[r_i] ∈ P_kQ[r_i], então sabemos que okQ-móduloT_i está em P_kQ. Segue do lema 2.23 que

Hom_Db(modkQ)(P(1)[r_j0],T_i[r_j0])6=0.

Logo, temos

Hom_Db(modkQ)(P(1)[rj₀],Ti[ri][rj₀−ri])6=0.

ComoP(1)[r_j0]eT_i[r_i]são somandos diretos indecomponíveis do complexo tiltingT^•, segue quer_i−r_j0 =0 e portantor_i=r_j0.

Em[ALMM17], na página 42, os autores apresentam uma descrição detalhada e formal so-bre somandos de um complexo tilting iniciando e terminando em alguma subcategoria, assim podemos falar do "primeiro"somando direto indecomponível de um complexo tilting.

Lema 2.25 Sejam k um corpo algebricamente fechado, Q um quiver como no lema 2.23 eΛ= kQ a álgebra de caminhos associada à Q . Considere na categoria derivadaD^b(modkQ)um complexo tilting da forma

T^•=P(1)[r_j0]⊕(⊕iT_i[r_i]),

em que P(1)é o kQ -módulo projetivo associado ao vértice 1 do quiver Q . Suponha que

• P(1)[r_j0]é o primeiro somando direto indecomponível de T^•em componente transjectiva,

O próximo teorema servirá de base para a prova de outro resultado desta seção, onde tra-taremos sobre o número de cópias em que um complexo tilting na categoria derivada de uma álgebra hereditária do tipo ˜An−1pode estar distribuído.

Teorema 2.26 (ver[AS87], pág. 271.) Sejam k um corpo algebricamente fechado eΛ uma k -álgebra básica e conexa de dimensão finita. Então, as seguintes condições são equivalentes:

• Λé uma álgebra tilted iterada do tipoA˜n−1.

• Λ é isomorfa à algebra de caminhos kQ/J , em que o quiver limitado(Q,J) satisfaz as seguintes condições:

(a)Para cada vértice i de Q , existem no máximo duas flechas distintas chegando ou saindo de i .

(b)Para cada flechaα, existem no máximo uma flechaβ e uma flechaγtais queαβ eγα não pertençam à J .

(c) J é gerado por um conjunto de caminhos de tamanho dois.

(d)Para cada flechaα, existem no máximo uma flechaηe uma flechaδtais queαηeδα pertençam à J .

(e)Q contém um único ciclo C não-orientado.

(f )No ciclo C , o número de relações orientadas no sentido anti-horário é igual ao número de relações orientadas no sentido horário.

(g)Q tem exatamente n vértices.

Uma álgebra de caminhos satisfazendo as condições(a)-(d)é ditaGentle, e tais álgebras já foram muito bem estudadas.

Teorema 2.27 Sejam k um corpo algebricamente fechado, Q um quiver com grafo subjacente Q éA˜n−1, e kQ a álgebra de caminhos associada ao quiver Q . Então, dado um complexo tilting T^•emD^b(modkQ), existe uma subcategoria hereditária geradoraH ⊂ D^b(modkQ)tal que

T^•∈

n−3_

i=0

H[i].

Demonstração:Uma vez que o grafo subjacenteQ é ˜An−1, o quiverQ temn vértices, logo o complexo tiltingT^•pode ser escrito como

T^•= Mn−1

i=0

T_i[r_i],

em que cadaT_i é umkQ-módulo indecomponível.

Utilizando o itema)do lema 2.5, podemos afirmar que existe algum somando direto in-decomponível do complexo tiltingT^• em alguma componente transjectiva. Denotemos por T_j0[r_j0]o primeiro somando indecomponível deT^•em uma componente transjectiva, ou seja, para todo somando direto indecomponívelT_k[rk]deT^•que esteja em uma componente trans-jectiva, temosrj₀ ≤rk. Note que podemos supor que rj₀ <r_n−2, pois caso rj₀ =r_n−2,r_n−1, do lema 2.3 poderíamos considerar o processo dual ao que faremos agora.

Utilizando então o lema 2.3, podemos construir uma secção deD^b(modkQ), denotada por Σ, de tal maneira que todas as suas fontes sejam somandos diretos indecomponíveis deT^•, e mais ainda, tal queT_j0[r_j0]seja uma fonte também. A partir da secçãoΣpodemos definir uma subcategoria hereditária geradoraH ⊂ D^b(modkQ)por

H[r_j0] ={X^•∈ D^b(modkQ)/Hom(Σ,X^•[i]) =0∀i 6=0}.

Note queH[r_j0] =mod(EndΣ). Segue da definição de H[r_j0] queD^b(H) ' D^b(modkQ), e mais ainda, Hom(Σ,H[r_j0+1]) =0. Além disso, como a álgebra EndT^{•o p}é conexa, deve existir algum somando indecomponível deT^• diferente deT_j0[r_j0]emH[r_j0]. Vejamos agora que, a menos de shifts, a subcategoriaH ⊂ D^b(modkQ) é a subcategoria hereditária geradora de D^b(modkQ)que cumpre as condições apresentadas no enunciado da proposição.

Note primeiramente que se a secção Σ tiver duas ou mais fontes, segue dos fatos que Hom(Σ,H[r_j0 +1]) =0 e que a álgebra EndT^{•o p} é conexa, que existe um terceiro somando direto indecomponível deT^•emH[r_j0]. Como o complexo tiltingT^•temn somandos diretos indecomponíveis e concentramos três desses somandos em uma mesma cópia, segue que, a menos de shifts,

T^•∈

n−3_

i=0

H[i],

e então o teorema está provado. Podemos supor então que a secçãoΣtenha apenas uma única fonte, a saberT_j0[r_j0]. Neste caso, isto é, quandoΣtem uma única fonte, o quiver ordinárioQ⁰ da álgebra EndΣadmite um único poço. ComoQ⁰ é tal queQ⁰ =A˜n−1, isto quer dizer que devemos analisar o quiver de Auslander-Reiten de uma álgebra de caminhoskQ⁰em que

•2 temos que não podem existir somandos diretos indecomponíveis do complexo tiltingT^• em componentes pós-projetivas da formaP_H[r_i]parar_i6=r_j0.

Vejamos agora que o complexo tilting só pode estar distribuído em no máximon−2 có-pias da categoriaH. Como já discutimos anteriormente nessa demonstração, deve existir um somando direto indecomponívelT_j⁰

Consideremos agora a possibilidade1), isto é, o caso em queT_j⁰

0[r_j0]∈P_H[r_j0]. Mostraremos

que neste caso deve existir um terceiro somando indecomponível deT^• emH[r_j0]. De fato, diretos indecomponíveis deT^•. Segue então da conexidade da álgebra EndT^{•o p}que deve exis-tir somando direto indecomponívelT_j⁰⁰

0[r_j0]deT^• emP_H[r_j0]∪R_H[r_j0]∪Q_H[r_j0]. Logo, como temos três somandos indecomponíveis do complexo tiltingT^•em uma mesma cópiaH[r_j0], podemos então concluir que, a menos de shifts,

T^•∈

n−3_

i=0

H[i].

Consideremos agora a possibilidade2)apresentada anteriormente, ou seja, o caso em que T_j⁰

0[rj₀]∈R_H[rj₀]∪Q_H[rj₀]. Mostraremos que o complexo tiltingT^•não pode estar espalhado em mais do quen−2 cópias. Para tanto, suponha por absurdo que o complexo tiltingT^•esteja espalhado em mais do quen−2 cópias, isto é, existe algum`≥n−2 tal que

T^•∈ _` i=0

H[i].

ComoT^•tem exatamentensomandos indecomponíveis e a álgebra EndT^{•o p} é conexa, segue que` <n. Podemos considerar então apenas os casos em que`=n−1 ou`=n−2. Utilizando como o primeiro somando direto indecomponível deT^•em uma componente transjectiva de D^b(modkQ).

Uma vez que sabemos como os somandos do complexo tiltingT^•estão dispostos na cate-goria derivadaD^b(H), podemos então extrair algumas informações sobre o quiver ordinário

∆da álgebra de caminhos EndT^{•o p}. Note primeiramente que Hom_Db(H)(T[rj₀−1],T_j⁰

0[rj₀]) =0.

De fato, suponha que Hom_Db(H)(T[r_j0−1],T_j⁰

0[r_j0])6=0. Segue do lema 2.1 que todos os soman-dos diretos indecomponíveis deT^•diferentes deT_j0[r_j0]estão em shifts de um mesmo tuboT_λ.

Além disso, os somandos deT^•\T_j0[r_j0]formam uma sequência excepcional comn−1 elemen-tos em um tuboTλemH. Por outro lado, o posto de um tuboTλ emH assume no máximo o valorr_λ=n−1, ou seja, construímos uma sequência excepcional comn−1 elementos em tubo com postor_λ≤n−1, o que é uma contradição de acordo com o lema 2.2.

Além disso, note que Hom_Db(H)(Tj₀[rj₀],T[rj₀+1]) =0. Para isto, basta apenas relembrarmos que vale Hom_Db(H)(P_H[rj₀],R_H[rj₀+1]∪Q_H[rj₀+1]) =0. Por fim, como H é uma categoria hereditária, temos que Hom_Db(H)(H[r_i],H[r_i+2]) =0, e assim provamos que a concatenação de duas flechas no quiver ordinário∆é sempre nula.

Por outro lado, o teorema 2.26 nos diz exatamente como deve ser o quiver ordinário de uma álgebra tilted iterada do tipo ˜An−1. Do item(e)de 2.26, sabemos que o quiver∆deve conter um único ciclo. Juntando esta informação com o que tínhamos antes, deduzimos que o quiverQ⁰deve ter uma das seguintes configurações:

∆= •hhvv •^oo •^oo · · ·^oo •^oo •;

∆= •^oo •^oo · · ·^oo •hhvv •^oo · · ·^oo •^oo •;

∆= •^oo •^oo · · ·^oo •hhvv •.

Em todos os casos, a álgebra de caminhos é dada pork∆/R², em queRrepresenta o ideal gerado pelas flechas. Porém, do item(d)do teorema 2.26, para cada flechaαem∆, existem no máximo uma flechaβ e uma flechaηtais queηαeαβ pertençam ao idealR², e isto então nos gera um absurdo, que veio do fato de supormos`=n−2. Logo, concluímos que

T^•∈

n−3_

i=0

H[i].

Utilizando a técnica apresentada em[ALMM17], estamos aptos a encontrar um majorante para a dimensão global forte da álgebra EndT^{•o p}.

Corolário 2.28 Sejam k um corpo algebricamente fechado, Q um quiver cujo grafo subjacente Q éA˜n−1, e kQ a álgebra de caminhos associada ao quiver Q . ConsidereΛuma k -álgebra de dimensão finita satisfazendoD^b(modΛ)' D^b(modkQ). Então

s.gl.dim.Λ≤n−1=rkK0(Λ)−1.

Demonstração: ComoD^b(modΛ) ' D^b(modkQ), pelo teorema de Rickard, existe um com-plexo tiltingT^•emD^b(modkQ)tal queΛ'EndT^{•o p}.

Utilizando o lema 1.28 e o teorema 2.27 concluímos então que s.gl.dim.EndT^{•o p} ≤n−3+2= n−1. Finalmente, como EndT^{•o p} 'Λ, concluímos que

s.gl.dim.Λ≤n−1=rkK₀(Λ)−1.