Foram considerados por Eppstein, em [Epp94], grafos n˜ao necessariamente bipartidos e seus chamados subgrafos bipartidos completos maximais, algo similar `a nossa defini¸c˜ao de biclique maximal. Faremos agora mais defini¸c˜oes, a fim de detalhar a linguagem utilizada por Eppstein.
Seja G = (V, E) um grafo. Dizemos que S ⊆ V ´e independente em G se v1v2 ∈ E para/
todo v1, v2 ∈ S. Um subgrafo bipartido completo de G ´e um subgrafo (W, F ) de G tal que
W admite uma biparti¸c˜ao {W1, W2}, com W1 e W2 independentes em (W, F ), e com cada
v´ertice de W1 sendo adjacente, em (W, F ), a cada v´ertice de W2. Um subgrafo bipartido
completo maximal ´e um subgrafo bipartido completo que n˜ao ´e subgrafo pr´oprio de nenhum subgrafo bipartido completo. Um exemplo est´a representado na Figura 7.5. Nesta figura, temos destacado o subgrafo bipartido completo maximal (W, F ), com conjunto de v´ertices W ={v1, v2, v3, v4, v5, v6} = {v1, v2, v3, v4} ∪ {v5, v6} e conjunto de arestas, representado com
7.5. A cota da arboricidade 109
Figura 7.5: Um grafo com um subgrafo bipartido completo maximal destacado. Nossa defini¸c˜ao de biclique ´e aplic´avel apenas para grafos bipartidos, o que n˜ao ocorre com os subgrafos bipartidos completos abordados por Eppstein. Todavia, nossa defini¸c˜ao de biclique apresenta a vantagem de ser pr´oxima `a defini¸c˜ao de conceitos, em Formal Concept Analysis, de maneira que o conte´udo do paralelo realizado na Proposi¸c˜ao 2.2 ´e de f´acil exposi¸c˜ao.
Em [Epp94], Eppstein mostra uma cota superior para o n´umero de subgrafos bipartidos completos maximais de um grafo em fun¸c˜ao da sua arboricidade. A semelhan¸ca formal entre subgrafos bipartidos completos maximais e bicliques maximais torna poss´ıvel uma sutil adapta¸c˜ao deste resultado, de forma a obter-se uma cota superior para o n´umero de bicliques maximais de um grafo bipartido.
Neste trabalho, nosso interesse principal incide em grafos bipartidos e, portanto, n˜ao apresentaremos os resultados de [Epp94] utilizando a linguagem dos subgrafos bipartidos completos maximais. Ao inv´es, continuaremos o emprego da linguagem j´a desenvolvida sobre bicliques maximais. Isso implica a necessidade de adaptarmos e adicionarmos uma hip´otese a dois dos resultados que apresentaremos. Mais especificamente, o Lema7.9 e o Teorema 7.10
s˜ao resultados baseados nos resultados de [Epp94], mas com a hip´otese adicional de biparti¸c˜ao do grafo, a fim de haver conformidade destes resultados com nossas defini¸c˜oes. A princ´ıpio, uma adi¸c˜ao de hip´otese pode levantar indaga¸c˜oes sobre a possibilidade de se provar uma conclus˜ao mais forte. Em resposta a isso, mostraremos na Se¸c˜ao 7.6 que este aumento de hip´oteses n˜ao permite melhores conclus˜oes do que a tese do Teorema7.10, que ´e o resultado sobre a cota superior para |B| em fun¸c˜ao da arboricidade.
Os dois primeiros lemas que mostraremos s˜ao resultados que n˜ao dependem da propri- edade de biparti¸c˜ao do grafo. Antes de mostr´a-los, precisamos de defini¸c˜oes adicionais, principalmente sobre grafos orientados.
Seja G um grafo. Se existir, em G, um caminho com extremos v1 e v2, ent˜ao dizemos
que v1 e v2 se acessam. Se cada um dos v´ertices de um grafo acessa todos os outros, dizemos
que o grafo em quest˜ao ´e conexo. Os subgrafos conexos maximais de um grafo s˜ao chamados de componentes conexas ou, simplesmente, componentes. Cada componente de uma floresta ser´a chamada de ´arvore.
Se houver uma orienta¸c˜ao de G, clara a partir do contexto, e quisermos considerar G sob tal orienta¸c˜ao, utilizaremos o s´ımbolo ~G para denot´a-lo sob tal orienta¸c˜ao. Para um grafo orientado (V, A), cada arco (v1, v2)∈ A ser´a denotado por v1v2. O conjunto de vizinhos de
um v´ertice u ´e denotado e definido da seguinte forma: ~N (u) = {v ∈ V | uv ∈ A}. Al´em disso, o grau de sa´ıda de um v´ertice u∈ V , denotado g+(u), ´e o n´umero de arcos em A da
forma uv, com v ∈ V , isto ´e, | ~N (u)|. O grau de entrada de u, denotado g−(u), ´e definido
analogamente. Uma orienta¸c˜ao d-limitada de G ´e uma orienta¸c˜ao de G na qual cada v´ertice possui grau de sa´ıda no m´aximo d.
Lema 7.7. Se um grafo G possui arboricidade Υ, ent˜ao G possui uma orienta¸c˜ao Υ-limitada. Prova. Considere uma Υ-floresta-decomposi¸c˜ao de G, E(G) =SΥ
i=1E(Fi). Para cada com-
ponente (isto ´e, cada ´arvore) T de cada floresta Fi, considere um v´ertice arbitr´ario r ∈ V (T ),
que ser´a definido como sendo a raiz associada a T . Definimos uma orienta¸c˜ao para T : os arcos de ~T est˜ao orientados em dire¸c˜ao a r. ´E claro que, por termos definido uma orienta¸c˜ao para cada ´arvore de cada floresta da decomposi¸c˜ao, acabamos por definir uma orienta¸c˜ao para todo o grafo G.
Seja v ∈ V (G) um v´ertice qualquer. Para cada floresta Fi na floresta-decomposi¸c˜ao
considerada, temos que v pertence a no m´aximo uma das componentes de Fi, e portanto v
´e um v´ertice de no m´aximo Υ ´arvores. Para cada ~T contendo v como v´ertice, h´a apenas um arco saindo de v pois, caso contr´ario, existiriam dois caminhos orientados de v at´e a raiz de
~
T , o que implicaria um circuito no grafo n˜ao orientado subjacente a ~T , isto ´e, T . Logo, o grau de sa´ıda de v ´e no m´aximo Υ.
Uma orienta¸c˜ao ac´ıclica de um grafo ´e uma orienta¸c˜ao que n˜ao possui circuitos orientados (a defini¸c˜ao de circuito orientado ´e idˆentica `a de circuito, exceto pela presen¸ca de arcos em vez de arestas). O pr´oximo lema mostra que, a partir de uma orienta¸c˜ao limitada, podemos obter uma orienta¸c˜ao ac´ıclica, e ainda manter algum limite para o grau de sa´ıda dos v´ertices. Lema 7.8. Se um grafo G possui uma orienta¸c˜ao d-limitada, ent˜ao G tamb´em possui uma orienta¸c˜ao 2d-limitada ac´ıclica.
Prova. Seja n o n´umero de v´ertices de G. Vamos utilizar indu¸c˜ao em n. Podemos supor que n≥ 3, pois consideramos apenas grafos simples e, assim, o lema vale trivialmente para grafos com at´e 2 v´ertices. Como caso base, consideramos n = 3. Seja, ent˜ao, G um grafo com 3 v´ertices e considere uma orienta¸c˜ao d-limitada de G. Se tal orienta¸c˜ao for ac´ıclica, n˜ao h´a o que provar. Caso contr´ario, claramente temos que G ´e completo e os arcos de ~G formam um circuito orientado de comprimento trˆes. Portanto, esta orienta¸c˜ao ´e 1-limitada. Podemos obter uma orienta¸c˜ao 2-limitada ac´ıclica ao invertermos a dire¸c˜ao de um arco qualquer de
~ G.
Para o passo de indu¸c˜ao, seja n ≥ 4 e suponha que o lema vale para grafos de n − 1 v´ertices. Seja G um grafo com n v´ertices, e considere uma orienta¸c˜ao d-limitada de G. Assim:
|E(G)| = X
v∈V (G)
g+(v)≤ dn.
Por outro lado, ao realizarmos contagem de arestas com G n˜ao orientado: X
v∈V (G)
7.5. A cota da arboricidade 111 A ´ultima inequa¸c˜ao implica que existe algum v´ertice de G que n˜ao sofre mais do que 2d incidˆencias de arestas. Seja v um tal v´ertice, e seja H o subgrafo de G obtido ao remover-se v (e as arestas que incidem em v) de G. A orienta¸c˜ao d-limitada de G, restrita ao subgrafo H, ´e claramente d-limitada e, assim, por hip´otese de indu¸c˜ao, vale que H possui uma orienta¸c˜ao 2d-limitada ac´ıclica. Podemos estender tal orienta¸c˜ao a uma orienta¸c˜ao 2d-limitada ac´ıclica de todo o grafo G, bastando orientar as arestas de G que n˜ao pertencem a H no sentido de sa´ıda de v. A orienta¸c˜ao assim obtida ´e 2d-limitada, j´a que em v incidem no m´aximo 2d arestas. Al´em disso, esta orienta¸c˜ao ´e ac´ıclica, uma vez que em H n˜ao h´a circuitos orientados, e v n˜ao pertence a nenhum circuito orientado, por possuir grau de entrada igual a zero.
O lema a seguir ´e o primeiro resultado nesta se¸c˜ao que relaciona bicliques com orienta¸c˜oes ac´ıclicas. Para tanto, ´e utilizada a no¸c˜ao de ordena¸c˜ao topol´ogica. Considere um grafo orientado G = (V, A). Uma ordena¸c˜ao topol´ogica de G ´e uma ordena¸c˜ao do seu conjunto de v´ertices, V = {v1, . . . , v|V |}, tal que, para todo i ∈ {1, . . . , |V |}, o conjunto ~N (vi) ´e um
subconjunto de {vi+1, . . . , v|V |}.
Lema 7.9. Seja G = (U, W, E) um grafo bipartido que possui uma orienta¸c˜ao ac´ıclica. Ent˜ao, para toda biclique (A, B) de G, existe v ∈ A ∪ B tal que A ou B ´e um subconjunto de ~N (v).
Prova. Considere uma orienta¸c˜ao ac´ıclica de G. Sejam V = U ∪ W e {v1, . . . , v|V |} uma
ordena¸c˜ao topol´ogica de ~G. Sejam, ainda, (A, B) uma biclique de G, e vi o primeiro v´ertice
de A∪ B que ocorre na ordena¸c˜ao topol´ogica.
Suponha que vi ∈ A. Quando consideramos o grafo n˜ao orientado G, temos que vi ´e
adjacente a cada w ∈ B. Desta forma, para cada w ∈ B, existe, em ~G, o arco viw ou o
arco wvi. No entanto, a existˆencia de um arco wvi contrariaria a escolha de vi, pois assim,
w seria um v´ertice de A∪ B que ocorreria antes de vi na ordena¸c˜ao topol´ogica. Logo, para
cada w∈ B, temos que viw∈ A. Portanto, B ´e um subconjunto de ~N (vi).
Suponha que vi ∈ B. Um argumento an´alogo mostra que para todo v´ertice u ∈ A vale
que viu∈ A, e assim, neste caso, A ´e um subconjunto de ~N (vi).
A este ponto estamos aptos a apresentar a cota de Eppstein.
Teorema 7.10 (Cota da arboricidade). Seja G = (U, W, E) um grafo bipartido de n v´ertices e arboricidade Υ. Seja B o seu conjunto de bicliques maximais. Ent˜ao,
|B| ≤ 22Υ· n + 2.
Prova. A utiliza¸c˜ao dos Lemas 7.7 e 7.8 nos provˆe uma orienta¸c˜ao 2Υ-limitada ac´ıclica do grafo G. Consideramos G sob tal orienta¸c˜ao, e definimos
Pv =P( ~N (v)), para v∈ V (G).
Seja {(A1, B1), (A2, B2), . . . , (Ak, Bk)} o conjunto de bicliques maximais com arestas de G.
Vi ⊆ ~N (vi) tal que Ai = Vi ou Bi = Vi. Note que Vi ∈ Pvi, para todo i ∈ {1, 2, . . . , k}. Definimos, ainda: G = [ v∈V (G) Pv, F = {Vi | i = 1, . . . , k}.
Observe que F ⊆ G. Agora, queremos mostrar que |F| = k. Para todo i, j ∈ {1, 2, . . . , k}, claramente temos que Ai 6= Bj, pois Ai e Bj s˜ao subconjuntos n˜ao vazios de U e de W ,
respectivamente. Ademais, como uma biclique maximal fica determinada ap´os ser dada uma de suas coordenadas, vale que Ai 6= Aj e Bi 6= Bj para todo i 6= j com 1 ≤ i, j ≤ k. Logo,
todos os subconjuntos Vi dados pelo Lema 7.9 s˜ao distintos, e portanto |F| = k.
Como a orienta¸c˜ao considerada ´e 2Υ-limitada, temos que|Pv| ≤ 22Υ para todo v ∈ V (G).
Portanto, |G| ≤ n22Υ. Ent˜ao:
F ⊆ G ⇒ k = |F| ≤ |G| ≤ n22Υ.
Logo, o n´umero de bicliques maximais com arestas de G ´e limitado superiormente por n22Υ. Ao considerarmos as duas poss´ıveis bicliques maximais sem arestas, obtemos o resultado.