A DEFESA DE UMA TEORIA INTENSIONAL DO INFINITO

Demonstrac ¸˜ ao, generalidade e negac ¸˜ ao

A DEFESA DE UMA TEORIA INTENSIONAL DO INFINITO

A defesa de uma teoria intensional do infinito é possivelmente o aspecto mais ilustre das considera¸cões de Wittgenstein sobre a matemática nas PhBm. Vale relembrar, desde o

in´ıcio, que o adjetivo “intensional” deixa de caracterizar – como na discussão acerca da teoria das classes – a propriedade de uma extensão ser dada intensionalmente por um conceito, e passa a caracterizar a propriedade de uma lei que não impõe limites para a sua aplica¸cão sucessiva. Essa ausência de limites de uma lei já é, segundo Wittgenstein, razão suficiente para que não possamos falar, neste caso, de uma totalidade:

Contudo, parece agora que o quantificador não tem sentido para números. Quero dizer: n˜ao se pode dizer “(n)ϕn”, precisamente pois “todos os n´umeros naturais” não é um conceito delimitado. Mas, então, tampouco se deveria dizer que de uma asser¸cão sobre a essência dos números se segue uma asser¸cão geral. / Mas, nesse caso, parece-me que não se pode, absolutamente, empregar a generalidade – todos etc. – na matemática. Não há “todos os números”, simplesmente porque existem infinitos.∗

Na ´ultima observa¸cão do cap´ıtulo XI, Wittgenstein alega que o caráter com- pletamente determinado do sentido de uma proposi¸cão matemática está vinculado à exigência de que, se há uma variável na proposi¸cão, todos os valores da variável devem estar completamente determinados†_{. A insistência, no cap´ıtulo XII, de que não há,}

na aritmética, um discurso sobre a totalidade dos n´umeros tem, por consequência, o fato de que, em uma proposi¸cão matemática, não pode ocorrer nenhuma variável que “percorra” tal totalidade. A proposi¸cão é finita; é só deste modo que ela pode ter um

sentido completamente determinado.

A solu¸cão de Wittgenstein para apresentar a generalidade na aritmética é veiculá- la por meio de uma indu¸cão (uma lei): “A generalidade na aritmética é apresentada por meio de uma indu¸cão. A indu¸cão é a expressão para a generalidade aritmética”‡_.

Devido ao fato de que uma indu¸cão não é uma proposi¸cão, ela não assere a verdade ou a falsidade de uma generalidade, mas apenas mostra a possibilidade de se dar um passo a mais. Em uma conversa com o c´ırculo de Viena, Wittgenstein deixa claro o caráter não assertivo (não proposicional) de uma indu¸cão:

Um enunciado sobre todos os n´umeros não é apresentado por meio de uma proposi¸cão, mas por meio da indu¸cão. A indu¸cão, todavia, não pode ser negada, tampouco afirmada, pois ela não assere nada. Portanto: onde um enunciado está presente, ele pode ser negado. E onde uma constru¸cão não pode ser negada, é porque não há a´ı nenhum enunciado. O princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo certamente não vale – e, na verdade, simplesmente porque não se trata aqui de proposi¸cões.§

A possibilidade de dar um passo a mais se apresenta, na matemática, como uma possibilidade da nota¸cão, e sua realiza¸cão está sujeita a todas as limita¸cões

∗_{PhBm, XII−126a-b} _.

†_{Ibid., XI−122g.}

‡_{ibid., XII−129c} _.

materiais a que um cálculo efetivo, digamos, no papel, está sujeito. A infinitude da indu¸cão, no entanto, não se sujeita a estas limita¸cões, pois ela não se contrapõe à finitude. O infinito, afirma Wittgenstein, “não concorre com o finito. Ele é aquilo que essencialmente não exclui nada finito”∗_{. O infinito, diz o autor, é uma flecha e não}

um comprimento†_{. ´}_{E a interpreta¸c˜ao de um infinito como uma grandeza que leva `a}

confusão entre uma impossibilidade lógica e uma impossibilidade emp´ırica: é dito que uma série infinita poderia ser inspecionada completamente por Deus e que apenas não pode ser inspecionada por meio das limita¸cões humanas (Frege‡_{), quando, na verdade,}

uma s´erie infinita, vista como uma totalidade que foi efetivamente inspecionada termo a termo, ´e um contrassenso.

Esta diferen¸ca categorial do “infinito” em rela¸cão ao “finito” fará Wittgenstein tra¸car uma distin¸cão entre dois sentidos da palavra “poss´ıvel”. Quando se diz que “é poss´ıvel que este livro esteja sobre a mesa”, isto significa que faz sentido dizer que o livro realmente está sobre a mesa, mas quando se diz que “infinitas coisas podem se encontrar nesta dire¸cão”, isto não significa que faz sentido dizer que há efetivamente infinitas coisas que estão nesta dire¸cão, mas que faz sentido, para cada número particular, dizer que este número é o número de coisas que estão nesta dire¸cão. Isto é, o “poss´ıvel” no caso finito se refere ao sentido de uma proposi¸cão finita; já o “poss´ıvel” no caso infinito se refere ao sentido de uma série de proposi¸cões finitas, mas não ao sentido de uma proposi¸cão infinita.

O primeiro tipo de possibilidade, como vimos anteriormente, se deixa mostrar por meio de uma efetividade no plano do simbolismo: a situa¸cão poss´ıvel é descrita pela linguagem, e isto mostra a sua possibilidade. Já o segundo tipo de possibilidade não se deixa mostrar de modo análogo, pois isso exigiria a realiza¸cão de infinitos atos simbólicos independentes. Este tipo de possibilidade deve se mostrar como uma possibilidade da nota¸cão:

O que significa dizer que uma mancha no espa¸co visual pode ser dividida em 3 partes? Pode significar certamente apenas que uma proposi¸cão que descreve uma mancha dividida deste modo tem sentido. (...) / Em contrapartida, a divisibilidade infinita – ou melhor ilimitada – não significa que h´a uma proposi¸cão que descreve uma linha dividida em infinitas partes, pois esta proposi¸cão não existe. Esta possibilidade não é, portanto, indicada por meio de uma efetividade do signo, mas por meio de outro tipo de possibilidade do próprio signo.§

∗_{PhBm, XII−138b.} †_{WAi, p. 121.}

‡_{Cf. Frege: Grundgesetze der Arithmetik, V II, p. 129 (§125): “...die Folge braucht, solange}

sie besteht, nie mehr als jene drei Terme zu enthalten und w¨are doch eine unendliche, wenn jene

Möglichkeit genügt. Besteht sie? Für einen allgemächtigen Gott, ja; für einen Menschen, nein”.

E precisamente este tipo de possibilidade infinita, presente no sistema decimal como uma possibilidade de interpola¸c˜ao entre dois sinais, que interessou a Wittgenstein (como vimos no Cap´ıtulo 2 deste estudo) no momento da apresenta¸c˜ao do espa¸co visual.

Aquilo que há de infinito, neste caso, está expresso nas regras para a manipula¸cão da nota¸cão, e nenhum outro tipo de infinito pode ocorrer na matemática. O infinito é, portanto, regrado, obedece às leis do simbolismo e só se apresenta mediante estas leis. Esta teoria do infinito é também chamada de “teoria das prescri¸cões (Vorschriften)”.

Nas PhBm, Wittgenstein combate constantemente uma teoria do infinito que pretende ser mais geral que a teoria das prescri¸cões. Uma teoria que procura descrever a infinitude ao invés de apresentá-la. Uma teoria extensional do infinito concebida ao modo de uma teoria intensional (descritiva) das classes. Esta teoria é chamada de “teoria dos agregados” ou “teoria dos conjuntos”. Para Wittgenstein, esta teoria não se manifestava no trabalho de um ou outro autor, mas era um fenômeno generalizado da prática matemática de sua época: “a matemática está toda infestada de modos de expressão da perniciosa teoria dos conjuntos”∗_{. ´}_{E poss´ıvel encontrar, no entanto,}

algumas referências espec´ıficas a problemas e a autores que estariam vinculados a esta prática, e.g., i) Dirichlet, e sua defini¸cão de fun¸cão†_{; ii) Dedekind, e sua defini¸cão de}

conjunto infinito‡_{; iii) Cantor, e sua an´alise do continuum}§_{; iv) Russell, e sua defini¸c˜ao}

da rela¸c˜ao de ancestralidade¶_.

Um curto excurso histórico nos permitirá compreender melhor algumas das cr´ıticas de Wittgenstein à teoria dos agregados. Procuraremos esclarecer, à luz de certos desenvolvimentos históricos da matemática no século XIX, a oposi¸cão wittgensteiniana entre “apresenta¸cão” (Darstellung) e “descri¸cão” (Beschreibung). Esta oposi¸cão é de fundamental importância para se compreender a cr´ıtica apresentada à teoria dos conjuntos. Com efeito, um dos pilares desta cr´ıtica é a recusa de que a matemática tenha um conte´udo descritivo, de que ela descreva “objetos matemáticos”; ao invés disso, ela deve apresentá-los. O termo “apresenta¸cão” também é importante, pois ele será utilizado como sinônimo do termo “constru¸cão” (Konstruktion)k_{. Como alguns}

intérpretes afirmam que Wittgenstein defende uma espécie de construtivismo em sua filosofia da matemática deste per´ıodo, a oposi¸cão entre estas duas no¸cões é fundamental para compreender o sentido e o alcance deste construtivismo. Por fim, esta oposi¸cão

∗_{PhBm, XV−173g.}

†_{Cf. WWK, p. 102: “Mit dem Dirichletschen Funktionbegriff f¨angt die Mengenlehre an”.}

‡_{Cf. PhBm, XV−171k: “Es ist ja auch die Dedekindsche Definition einer unendlichen Menge eine}

solche die das Unendliche beschreiben will ohne es darzustellen”.

§_{Cf. ibid., XV−171i: “Die Frage w¨are dann eigentlich: L¨aßt sich das Kontinuum beschreiben? Wie}

es Cantor und andere versucht haben”.

¶_{Cf. ibid., XV−170b: “So macht es Russell mit R}∗_{, er wickelt den Begriff ein, so daß seine Form}

verschwindet”.

k_{Como, por exemplo, em WAi, p. 111: “Es ist ja nicht so, daß die Beschreibung eine Zahl von}

também está vinculada ao que o autor chama de “experimento aritmético”∗_{. Segundo}

Wittgenstein, a obten¸cão de um número por meio do resultado de um experimento seria “a descri¸cão, não a apresenta¸cão de um n´umero”†_.

Apresentaç˜_{ao × descriç˜}ao: a cr´ıtica à teoria dos conjuntos

Há poucas evidências textuais, no Tractatus‡_{, da distin¸cão, bastante operante no per´ıodo}

intermediário, entre os conceitos de “apresenta¸cão” e “descri¸cão”. A t´ıtulo de exemplo, a proposi¸cão é caracterizada como sendo a “descri¸cão de um estado de coisas”§ _{e ela}

tamb´em apresenta este estado de coisas¶_{. H´a apenas um aforismo em que ambos os}

termos aparecem em contraste expl´ıcito. Na parte do livro reservada ao esclarecimento das “proposi¸cões da lógica”, Wittgenstein afirma: “As proposi¸cões lógicas descrevem a arma¸cão do mundo, ou melhor, apresentam-na. Não ‘tratam’ de nada”k_{. A ´}_ultima

senten¸ca parece sugerir que a oposi¸cão entre descri¸cão e apresenta¸cão pode ser entendida do seguinte modo: disciplinas como a lógica e a matemática, ao contrário das ciências da natureza, não “tratam” de nada e, por este exato motivo, não podem ser propriamente descritivas, já que não haveria nada para descrever, nada que poderia ser chamado de seu objeto de estudo (é por isso que elas devem cuidar de si próprias). Por outro lado, as ciências da natureza tratam de seus respectivos objetos “de fora” e é por isso que são informativas, quando verdadeiras. A fun¸cão, então, de disciplinas como a lógica e a matemática, segundo o Tractatus, seria a de apresentar a “arma¸cão do mundo”, i.e., as rela¸cões de verdade entre proposi¸cões com sentido e as rela¸cões de substituibilidade mútua entre expressões simbólicas.

Nas PhBm, isto continua sendo verdadeiro: a matemática não trata de nada (ao menos não enquanto uma descri¸cão externa de seus objetos): ela é, como diz o autor, uma atividade, e não uma teoria. Ao contrário do Tractatus, no entanto, n´umeros e, em geral, os elementos do cálculo passam a caracterizar estruturas lógicas, passam a compor, de modo essencial, o sentido da proposi¸cão. Os números naturais, alega Wittgenstein, são “uma forma dada na realidade por meio de coisas”∗∗_{. Enquanto formas,}

eles não podem ser descritos, mas apenas apresentados††_{. Os s´ımbolos matemáticos são}

∗_{Este v´ınculo ser´a exposto com detalhes no pr´oximo Cap´ıtulo deste trabalho.}

†_{PhBm, XVIII−196a (grifo nosso).}

‡_{Embora estejamos utilizando a tradu¸c˜ao de Luis Henrique Lopes dos Santos para as cita¸c˜oes desta}

obra, alteramos, a fim de manter a uniformidade do texto, a tradu¸c˜ao de “darstellen” para “apresentar” (ao inv´es de “representar”).

§_{Tractatus, aforismo 4.023 (grifo nosso).}

¶_{Cf. p. ex., o aforismo 4.031: “Pode-se dizer sem rodeios: esta proposi¸c˜ao apresenta tal e tal}

situa¸cão – ao invés de: esta proposi¸cão tem tal e tal sentido”. Cf. tb. o aforismo 4.1: “A proposi¸cão apresenta a existência e a inexistência dos estados de coisas”.

k_{Tractatus, aforismo 6.124 (grifo nosso).} ∗∗_{PhBm, X−113a.}

certamente reais, efetivos, mas não interessa à matemática descrevê-los, e sim trabalhar com eles, e para isso ela precisa, de acordo com suas regras, constru´ı-los. Na aritmética de números naturais, por exemplo, essa constru¸cão pode ocorrer em diversos sistemas de apresenta¸cão (nota¸cão com tra¸cos, sistema decimal etc.), com a condi¸cão de que todos estes sistemas tenham a mesma multiplicidade, isto é, com a condi¸cão de que eles possam ser traduzidos um no outro, substitu´ıdos um pelo outro. É importante que nenhum destes sistemas se torne o objeto da considera¸cão do saber matemático, já que, deste modo, ele já não seria apenas uma ferramenta para o cálculo, mas um componente essencial de sua apresenta¸cão. Para utilizar uma metáfora wittgensteiniana, ele não seria mais um servo, mas passaria a compor a sociedade∗_.

O perigo de transformar o modo de apresenta¸cão de um sistema no objeto da considera¸cão do saber matemático motivou certos autores do século XIX a descon- siderar por completo o modo de expressão de certa classe de objetos matemáticos para caracterizá-los tão somente por meio de certas propriedades, por meio de uma descri¸cão destes objetos. Estes autores passaram a priorizar, desde modo, a introdu¸cão de “conceitos” fundamentais na matemática, tornando acessório o ato de fornecer um modo de expressão particular para os “objetos” que “satisfaziam” estes conceitos. Havia, por outro lado, autores que discordavam desta abordagem e que procuravam enfatizar a importância de se fornecer um modo de expressão calculatório para estes objetos.

Esta oposi¸cão é bastante n´ıtida quando se considera, por exemplo, a introdu¸cão e o estudo de fun¸cões de n´umeros complexos na Alemanha em meados do século XIX. O estudo deste dom´ınio do saber matemático se dividia segundo duas abordagens: a primeira, centrada na universidade de Göttingen, procurava estudar tais fun¸cões independentemente de expressões anal´ıticas para elas, procurando descrevê-las por meio de propriedades de modo que elas fossem completamente determinadas por elas; a segunda, centrada na universidade de Berlim, priorizava o estudo da Darstellbarkeit destas fun¸cões utilizando séries de fun¸cões mais simples ou outras expressões anal´ıticas para elas. A primeira priorizava o aspecto conceitual da matemática, a segunda, o aspecto computacional. Matemáticos como Riemann e Dedekind representavam a primeira, ao passo que a segunda era representada por Weierstrass e Kummer, em continuidade com o estilo de Euler. A primeira está intimamente associada à cria¸cão da teoria dos conjuntos e à ideia de que conjuntos são primordiais para a fundamenta¸cão da matemática†_{. Caracterizemos, primeiramente, mais de perto esta primeira abordagem.}

∗_{Trataremos deste assunto com mais detalhes no Cap´ıtulo seguinte.}

†_{Cf. Ferreir´}_{os: Labyrinth of Thought, p. xx: “The idea that sets constitute the foundation of}

mathematics emerged very early, and Cantor was by no means the leading exponent of this view. Its strongest proponent as of 1890 was Dedekind, but I shall argue that Riemann was also an important voice advocating this position. Riemann took a significant step in the direction of introducing the language of sets, coupling this with the conception that sets are the basic objects of mathematics. There are good reasons to regard his early contribution as a significant influence on the early set-theoretical

Em sua disserta¸cão inaugural de 1851, Bernhard Riemann procurou fundar uma nova teoria para a análise de fun¸cões de variáveis complexas. A teoria buscava caracterizar estas fun¸cões por meio de propriedades fundamentais, sem que para isso fosse preciso trabalhar com expressões anal´ıticas destas fun¸cões. Segundo Riemann:

Os métodos anteriores para lidar com essas fun¸cões se baseavam sempre em uma ex- pressão da fun¸cão por meio da qual seu valor, para cada valor de seu argumento, é dado. Mostrou-se, através de nossa investiga¸cão, que, em decorrência do caráter geral de uma fun¸cão de uma grandeza variável complexa, em uma defini¸cão deste tipo, uma parte dos dados de determina¸cão (Bestimmungsstücke) é uma consequência dos demais, a

saber, o montante de dados de determina¸cão que foram reduzidos àqueles indispensáveis à determina¸cão [da fun¸cão]. Isto simplifica essencialmente o tratamento destas. Por exemplo, para provar a identidade de duas expressões da mesma fun¸cão, era geralmente necessário transformar uma na outra, isto é, mostrar que ambas coincidem para cada valor da grandeza variável; agora, basta estabelecer a coincidência de tais fun¸cões para um montante muito menor de dados.

Uma teoria destas fun¸cões, baseada nos fundamentos aqui estabelecidos, determinaria a configura¸cão da fun¸cão (i.e., seu valor para cada valor de seus argumentos) independentemente de um modo de determina¸cão através de opera¸cões de grandezas, de modo que, para o conceito geral de uma fun¸cão de uma grandeza variável complexa, são adicionadas apenas as caracter´ısticas necessárias para determinar a fun¸cão, e somente então migra-se para as diversas expressões pelas quais a fun¸cão pode ser fornecida.∗

Um importante pano de fundo para este passo inovador de Riemann é a evolu¸cão do conceito de fun¸cão na matemática. De um modo bastante conciso†_{, esta evolu¸cão}

ocorreu do seguinte modo: até o in´ıcio do século XVIII, uma fun¸cão matemática era uma expressão anal´ıtica que determinava, para cada valor de seus argumentos, um único valor. Euler, no entanto, já admitia fun¸cões determinadas “por partes”, as quais ele chamou de descont´ınuas. A fun¸cão, então, era cont´ınua quando ela era dada por uma única lei ou expressão anal´ıtica. Cauchy, em seu famoso Cours d’Analyse de 1821, definiu o termo “continuidade” de modo que esta caracter´ıstica aparecesse como uma propriedade da própria fun¸cão, independente de expressões anal´ıticas para ela. Matemáticos como Fourier e Dirichlet propuseram que uma fun¸cão deveria ser entendida simplesmente como uma correla¸cão arbitrária entre dois conjuntos de valores, independentemente desta correla¸cão seguir ou não uma lei comum. Ora, se fun¸cões deveriam ser entendidas como correla¸cões arbitrárias independentemente de fun¸cões anal´ıticas para expressá-las, elas deveriam ser determinadas pelas suas singularidades, pelas suas propriedades locais e globais que as diferenciassem – exceto talvez por uma constante – de outras fun¸cões,

attempts of both Dedekind and Cantor”.

∗_{Bernhard Riemann: Gesammelte mathematische Werke und wissenschafilicher Nachlass, ed. por}

M. Noether/W. Wirtinger, New York: Dover, 1953, pp. 38-9 .

†_{Voltaremos a tratar, adiante, de mais alguns pontos importantes desta evolu¸c˜ao do conceito de}

j´a que nem se sabia se havia ou poderia haver uma express˜ao anal´ıtica para elas∗_{. ´}_E

esse conjunto m´ınimo de caracter´ısticas da fun¸cão, independentemente da apresenta¸cão da fun¸cão por meio de uma lei, que Riemann procurou prover.

A influˆencia de Riemann pode ser facilmente notada no seu colega mais jovem, Richard Dedekind, que via no trabalho de Riemann um modelo metodol´ogico a ser seguido. Em uma carta a R. Lipschitz, datada de 6 de outubro de 1876, Dedekind afirma:

Meus esfor¸cos na teoria dos números são direcionados a basear a investiga¸cão não em formas acidentais de apresenta¸cão ou expressões, mas em conceitos fundamentais simples e, através disto, – embora esta compara¸cão talvez soe pretensiosa – alcan¸car neste dom´ınio algo similar ao que Riemann alcan¸cou no dom´ınio da teoria das fun¸cões e, nesse

No documento ATICA DAS PHILOSOPHISCHE BEMERKUNGEN : WITTGENSTEIN NO CONTEXTO DA GRUNDLAGENKRISE (páginas 128-140)

A DEFESA DE UMA TEORIA INTENSIONAL DO INFINITO

Demonstrac ¸˜ ao, generalidade e negac ¸˜ ao

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Apresentação × descrição: a cr´ıtica à teoria dos conjuntos

Apresentaç˜_{ao × descriç˜}ao: a cr´ıtica à teoria dos conjuntos