33.2 Variedades Diferenci´ aveis
33.2.4 Aplica¸c˜ oes Entre Variedades Diferenci´ aveis
33.2.4.1 A Diferencial de Uma Aplica¸c˜ ao Entre Variedades. “Pullback” e “Pushforward”
∂xb e ´e elementar constatar da defini¸c˜ao (33.39) que WTb
a = Wab . Com as defini¸c˜oes acima ´e trivial provar os seguintes fatos:
VTT
= V , WTT
= W , Tr VT
= Tr(V) e Tr WT
= Tr(W) (33.41)
para quaisquer aplica¸c˜oes lineares V :TpM →TpM eW :T∗pM →T∗pM.
E. 33.11 Exerc´ıcio. Veriifique! 6
E. 33.12 Exerc´ıcio. Mostre, usando as defini¸c˜oes (33.39) e (33.40) que valem V1V2
T
= V2TV1T e W1W2
T
= W2TW1T (33.42)
para quaisquer aplica¸c˜oes linearesVk:TpM →TpM,k= 1, 2, eWk:T∗pM →T∗pM,k= 1, 2,. 6 Note-se que as opera¸c˜oes de transposi¸c˜ao definidas acima mapeiam elementos de TpM ⊗T∗pM em elementos de T∗pM ⊗TpM e vice-versa, a saber, da seguinte forma (aqui usamos novamente a conven¸c˜ao de Einstein):
Vba ∂
∂xb ⊗dxa T
= Vbadxa⊗ ∂
∂xb e
Wbadxb⊗ ∂
∂xa T
= Wba ∂
∂xa ⊗dxb.
E. 33.13 Exerc´ıcio. Veriifique! 6
Em particular, valem ∂
∂xa ⊗dxb T
= dxb⊗ ∂
∂xa e
dxa⊗ ∂
∂xb T
= ∂
∂xb ⊗dxa .
Nesse sentido, a opera¸c˜ao de transposi¸c˜ao pode ser generalizada de forma ´obvia para tensores de ordem superior. N˜ao entraremos nos detalhes aqui, por serem de interesse superficial no caso geral.
Na Se¸c˜ao 34.1.1m p´agina 1679, apresentaremos uma outra no¸c˜ao de transposi¸c˜ao, a saber, com respeito a um tensor m´etrico.
33.2.4 Aplica¸c˜ oes Entre Variedades Diferenci´ aveis
A no¸c˜ao de aplica¸c˜ao diferenci´avel entre variedades diferenci´aveis foi introduzida `a p´agina 1613. Nesta se¸c˜ao vamos estender um tanto a an´alise desse conceito.
33.2.4.1 A Diferencial de Uma Aplica¸c˜ ao Entre Variedades. “Pullback” e “Pushforward”
Sejam M1 eM2 duas variedades diferenci´aveis de dimens˜oes m1 em2, respectivamente. SejamAM
1 ={(A1α, h1α), α∈ Λ1} e AM
2 = {(A2β, h2β), β ∈ Λ2} atlas infinitamente diferenci´aveis em M1 e M2, respectivamente. Toda aplica¸c˜ao diferenci´avel ϕ : M1 → M2 induz naturalmente uma aplica¸c˜ao entre os espa¸cos tangentes de M1 e M2, denominada aplica¸c˜ao diferencialinduzida porϕ, ou simplesmente adiferencial deϕ, da qual trataremos no que segue.
Seja p∈M1 e seja, para algumǫ >0 conveniente,c1: (−ǫ, ǫ)→M1 uma curva cont´ınua e diferenci´avel definida em M1comc(0) =p. Por simplicidade suporemos queǫ´e pequeno o suficiente de modo que toda a imagem decesteja contida
dentro de uma carta localA1α que cont´emp. Sejac2:=ϕ◦c1: (−ǫ, ǫ)→M2 a curva emM2obtida pela imagem dec1
porϕ. Seǫfor pequeno o suficiente,c2n˜ao ter´a auto-intersec¸c˜oes (ou seja, ser´a injetora na sua imagem). Naturalmente, tem-sec2(0) =ϕ(p). A chamadaaplica¸c˜ao diferencialinduzida porϕ, denotada pordϕ:TpM1→Tϕ(p)M2, ´e a aplica¸c˜ao que, para cada curva c1 como acima, associa o vetor tangente ˙c1(0) `a curva c1 empao vetor tangente ˙c2(0) `a curvac2
emϕ(p):
dϕp c˙1(0)
= ˙c2(0). (33.43)
Como veremos no que segue, essa aplica¸c˜ao est´a bem definida e ´e linear, enquanto aplica¸c˜ao entre os espa¸cos vetoriais TpM1eTϕ(p)M2. Na Proposi¸c˜ao 33.6, adiante, apresentaremos circunstˆancias sob as quais a aplica¸c˜ao diferencial ´e um isomorfismo. enquanto que o conjunto de vetores
diferenci´avel. Coerentemente com a nota¸c˜ao acima, vamos denot´a-la por
h2β◦ϕ◦(h1α)−1
Coerentemente com a nota¸c˜ao acima, parametrizaremos essas curvas por (h1α◦c1)(t) = x1(t), . . . , xm1(t) Pela regra da cadeia, vale d
dth2β◦c2
associados `as curvasc1 ec2 nos pontospeϕ(p), respectivamente, tˆem suas componentes relacionadas por (33.45) (em t= 0).
Essas observa¸c˜oes acima permitem-nos definir a aplica¸c˜ao linear dϕp : TpM1 → Tϕ(p)M2, denominada aplica¸c˜ao diferencial induzida porϕemp, ou simplesmente a diferencialdeϕemp, por
dϕp := D
h2β◦ϕ◦(h1α)−1
(33.46)
(em cartas locais), ou seja,
o vetor coluna resultante fornecendo as coordenadas da imagem na base acima, as derivadas parciais ∂yi
∂xj s˜ao calculadas emh1α ϕ(p) .
Como discutiremos abaixo, a aplica¸c˜ao diferencialdϕp:TpM1→Tϕ(p)M2´e tamb´em dita ser opushforwardassociado a ϕ:M1→M2.
E. 33.14 Exerc´ıcio importante. Mostre quedϕp:TpM1→Tϕ(p)M2, definida acima, n˜ao depende das particulares cartas locais de coordenadas(A1α, h1α)e(A2β, h2β)adotadas, que satisfa¸camp∈A1α eϕ(p)∈A2β. Sugest˜ao: em (33.44) use as fun¸c˜oes de transi¸c˜ao e
a regra da cadeia. 6
Como se compreende de (33.43) e da discuss˜ao acima, sew∈TpM1, podemos determinardϕp(w) da seguinte forma:
toma-se uma curvac(t) emM1 comc(0) =pe ˙c(0) =we calcula-se o vetor tangente `a curvaϕ c(t)
no pontot= 0:
dϕp(w) = d
dtϕ c(t)t=0 . (33.49)
• A aplica¸c˜ao diferencial e difeomorfismos
A ´util proposi¸c˜ao a seguir estabelece uma rela¸c˜ao entre difeomorfismos e aplica¸c˜oes diferenciais que sejam isomorfismos.
Proposi¸c˜ao 33.6 Sejam M1 e M2 duas variedades diferenci´aveis de mesma dimens˜ao m. Seja f : M1 → M2 di-ferenci´avel e seja dfp : TpM1 → Tf(p)M2 a aplica¸c˜ao diferencial induzida por f em p ∈ M1. Valem as seguintes afirma¸c˜oes:
1. Sef for um difeomorfismo, ent˜ao a aplica¸c˜ao diferencialdfp ´e um isomorfismo para todo p∈M1.
2. Se para algump∈M1 a aplica¸c˜ao diferencial dfp for um isomorfismo, ent˜ao f ´e um difeomorfismo local em p. 2
Note-se que a afirma¸c˜ao do item 2, acima, ´e uma rec´ıproca parcial `a afirma¸c˜ao do item 1.
Prova da Proposi¸c˜ao 33.6. SejamM1eM2duas variedades diferenci´aveis e sejaf :M1→M2diferenci´avel. Sejap∈M1e seja a carta local de coordenadas (A1α, h1α) comp∈A1α, cujas coordenadas denotaremos por (x1, . . . , xm). Consideremos tamb´em emM2a carta local de coordenadas (A2β, h2β) comf(p)∈A2β, cujas coordenadas denotaremos por (y1, . . . , ym).
Sef for um difeomorfismo, a fun¸c˜aoh2β◦f◦(h1α)−1do abertoh1α(A1α)⊂Rmno abertoh2β(A2β)⊂Rm´e diferenci´avel e tem inversa diferenci´avel. Consequentemente, o Jacobiano det
Por outro lado, se para algump∈M1a aplica¸c˜ao diferencialdfpfor um isomorfismo, ent˜ao a matrizD h2β◦f◦(h1α)−1 tem determinante n˜ao nulo emp. O Teorema da Fun¸c˜ao Inversa, Teorema 25.9, p´agina 1336 (para um tratamento em Rn, vide [255]-[256] ou [85]), garante que existe uma vizinhan¸ca de h1α(p) ondeh2β◦f ◦(h1α)−1 ´e invers´ıvel, sendo essa inversa diferenci´avel. Isso garante que existe uma vizinhan¸ca depondef tem inversa e essa inversa ´e diferenci´avel, ou seja, garante quef ´e um difeomorfismo local emp.
• Pontos cr´ıticos de aplica¸c˜oes diferenci´aveis
Como acima, sejamM1eM2 duas variedades diferenci´aveis de mesma dimens˜aom. Sejaf :M1→M2diferenci´avel e seja dfp : TpM1 → Tf(p)M2 a aplica¸c˜ao diferencial induzida por f emp∈ M1. Tendo em mente a Proposi¸c˜ao 33.6, p´agina 1633, a seguinte defini¸c˜ao ´e relevante: um pontop0∈M1´e dito ser umponto cr´ıtico da aplica¸c˜aof sedfp0 n˜ao for um isomorfismo entre Tp0M1 e Tf(p0)M2. Se p0 ´e um ponto cr´ıtico de f, ent˜aof n˜ao pode ser um difeomorfismo local emp0.
• Pullback epushforward
Como antes, seja f :M1 →M2 diferenci´avel, mas vamos supor adicionalmente que ela seja injetora em sua imagem f(M1)⊂M2.
Seguindo a mesma ideia, a aplica¸c˜ao diferencialdfp ´e tamb´em dita ser opushforward def.
O leitor deve ser informado que h´a uma nota¸c˜ao alternativa muito difundida para pullbacks e pushforwards: df ´e denotada porf∗ enquanto quedf∗´e denotada porf∗. Ocasionalmente empregaremos tamb´em essa nota¸c˜ao.
• Representa¸c˜ao de pullbacks em cartas locais
O exerc´ıcio que segue mostra como se pode expressar umpullbacks concretamente, em cartas locais.
E. 33.15 Exerc´ıcio. Obtenha, usando a defini¸c˜ao (33.50), o an´alogo das express˜oes em coordenadas locais (33.47) e (33.48) para opullbackdϕ∗. A saber, mostre que paradϕ∗q :T∗qM2 →T∗ϕ−1(q)M1, teremos
escrever, em nota¸c˜ao matricial,
dϕ∗qω =
ω1 · · · ωm2
∂y1
∂x1 · · · ∂y1
∂xm1 ... . .. ...
∂ym2
∂x1 · · · ∂ym2
∂xm1
, (33.52)
o vetor linha resultante fornecendo as coordenadas da imagem na basen
dx1ϕ−1(q), . . . , dxmϕ−11 (q)
o
de T∗ϕ−1(q)M1. As derivadas parciais
∂yi
∂xj s˜ao calculadas emh1α ϕ−1(q)
. 6
• Pullbacks e pushforwardsde fun¸c˜oes
Seja M uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao m e seja g : M → R uma fun¸c˜ao diferenci´avel. Como M e R s˜ao variedades diferenci´aveis, as no¸c˜oes de pushforward e pullback aplicam-se sg. Seguindo as defini¸c˜oes, vemos que o pushforward dgp:TpM →TpR´e expresso em uma carta local (U, h) deM como
dgp(v) ≡ dgpv = Xm k=1
∂g
∂xk h(p)
vk (33.53)
comv= (v1, . . . , vm)∈TpM. J´a opullbackdgp∗:T∗pR→T∗pM ´e expresso em uma carta local como dg∗pu = u
Xm l=1
∂g
∂xl h(p)
dxlp, (33.54)
comu∈R≡TpR. Verifique!
Como ´e f´acil ver, a aplica¸c˜aodgpdefinida em (33.53) ´e um elemento do espa¸co cotangenteT∗pM.
• Composi¸c˜ao depullbacks e pushforwards
O exerc´ıcio que segue mostra como comporpullbacks epushforwards.
E. 33.16 Exerc´ıcio. Sejam M1, M2 e M3 trˆes variedades diferenci´aveis. Seja f : M1 → M2, bijetora e diferenci´avel e seja g :M2 →M3, injetora e diferenci´avel. Considere a composi¸c˜aog◦f : M1 →M3, injetora e diferenci´avel. Mostre qued(g◦f)p : TpM1→T(g◦f)(p)M3, comp∈M1, ed(g◦f)∗q:T∗qM3→T∗(g◦f)−1(q)M1, comq∈(g◦f)(M1)⊂M3, satisfazem:
d(g◦f)p = dgf(p)dfp e d(g◦f)∗q = dfg∗−1(q)dgq∗, (33.55) para todop∈M1e todoq∈(g◦f)(M1)⊂M3.
Na outra nota¸c˜ao, essas rela¸c˜oes ficam
(g◦f)∗ = g∗f∗ e (g◦f)∗ = f∗g∗. (33.56)
sendo que aqui omitimos os pontos onde as aplica¸c˜oes devem ser calculadas para a preserva¸c˜ao da elegˆancia.
Um caso interessante ´e aquele em que M3 = M1 e g = f−1. Aqui, g◦f = idM1, a aplica¸c˜ao identidade de M1. Assim, d f−1◦f
p=d idM1
p=idTpM1, a aplica¸c˜ao identidade em TpM1 (a ´ultima igualdade ´e evidente, mas pode ser vista em (33.47) ou em (33.48)). Disso segue igualmente qued f−1◦f∗
p=idT∗pM1. Agora, de (33.55) obtemos com isso que d(f−1)
f(p) = (df)p
−1
e d(f−1)∗
p = (df)∗f(p)
−1
, (33.57)
para todop∈M1. 6
• Pullbacks e pushforwardsagindo sobre tensores
Generalizar a a¸c˜ao depullbacksepushforwards sobre tensores ´e imediato. Tratemos de um caso relevante.
Seja f : M1 → M2 um difeomorfismo. Seja, por exemplo,T um tensor de tipo (0, k) emM2 que se expressa em coordenadas locais em um ponto q ∈M2 como Tq =Ti1···ik(q)dyiq1 ⊗ · · · ⊗dyqik, com q∈ M2. Definimos (com uso da conven¸c˜ao de Einstein e simplificanto um tanto a nota¸c˜ao)
f∗T
p := Ti1···ik f(p)
f∗dyqi1
⊗ · · · ⊗ f∗dyiqk
=
Ti1···ik f(p)∂yi1
∂xj1 · · ·∂yik
∂xjk
dxjp1⊗ · · · ⊗dxjpk , (33.58) sendop=f−1(q)∈M1, para q∈M2. Compare-se com (33.51).
Por simplicidade, usamos em (33.58) a mesma nota¸c˜ao f∗, empregada para pullbacks usuais. Mais correto seria denot´a-lo por f∗⊗r
, o que teria a vantagem de marcar a dependˆencia comr, mas evitamos fazˆe-lo.
E um exerc´ıcio elementar, remetido ao estudante, constatar que a defini¸c˜´ ao de (33.58) independe das particulares cartas locais de coordenadas usadas emM1 eM2. A express˜ao (33.58) ser´a usada oportunamente no contexto de formas difererenciais (vide, em particular, Se¸c˜ao 35.1.2, p´agina 1765).