A Estrutura Matem´ atica do Problema de Decis˜ ao

Apresenta-se, sem uma preocupa¸c˜ao quanto a completeza ou ao rigor, a estrutura ma- tem´atica de um problema de decis˜ao:

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controle do decisor, mas que poder˜ao influenciar sobre as conseq¨uˆencias da suas escolhas. Um exemplo de estados da natureza podem ser os tipos de obras a serem priorizadas por uma nova gest˜ao (θ0 =obras de pavimenta¸c˜ao urbano e θ1 =obras de edifica¸c˜ao, logo

Θ = {θ0, θ1}).

A¸c˜oes: O objetivo em um problema de decis˜ao ´e alcan¸car os resultados desejados a partir da escolha de uma a¸c˜ao dispon´ıvel. Uma a¸c˜ao denotada por “a” pode ser a escolha de um determinado servi¸co, constante em uma tabela de pre¸cos, para ser o objeto de auditoria. O conjunto de todas as a¸c˜oes dispon´ıveis ´e representado por A = {a} .

Conseq¨uˆencias: Dado que a natureza se encontra em um estado θ, a escolha da a¸c˜ao a por parte do decisor poder´a acarretar em uma conseq¨uˆencia “p”. O conjunto de todas as conseq¨uˆencias poss´ıveis ´e dado por P = {p} .

Se a natureza resolveu priorizar obras de pavimenta¸c˜ao e o decisor escolheu auditar os servi¸cos de edifica¸c˜ao, significa que a ausˆencia de um maior dom´ınio sobres os pre¸cos dos servi¸cos de pavimenta¸c˜ao pode ter como conseq¨uˆencia uma superestimativa de pre¸cos nas contrata¸c˜oes das obras. E importante perceber que n˜´ ao h´a uma certeza sobre a conseq¨uˆencia da a¸c˜ao pois os resultados das contrata¸c˜oes mesmo nessas condi¸c˜oes podem ou n˜ao serem superestimados, por onde se conclui que mesmo que a natureza escolha θ e o decisor escolha a, a conseq¨uˆencia dessas escolhas ´e uma distribui¸c˜ao de probabilidade sobre as poss´ıveis conseq¨uˆencias.

Fun¸c˜ao Conseq¨uˆencia: Como apresentado a natureza escolhe o estado θ, o decisor escolhe a a¸c˜ao a, a partir da´ı dar-se-´a partida a um mecanismo probabil´ıstico que vai escolher uma conseq¨uˆencia para o decisor. Esse mecanismo denominado Fun¸c˜ao Conseq¨uˆencia ´e denotado por P (p|θ, a) .

Voltando ao exemplo anterior, a administra¸c˜ao pode escolher priorizar obras de pavi- menta¸c˜ao ou edifica¸c˜ao, o decisor pode auditar servi¸cos enfatizando a pavimenta¸c˜ao ou a edifica¸c˜ao e cada combina¸c˜ao dessas escolhas resultar´a em uma distribui¸c˜ao de proba- bilidade sobre o dom´ınio do decisor quanto aos pre¸cos praticados nas contrata¸c˜oes das obras.

Distribui¸c˜ao a Priori sobre os Estados da Natureza: Em verdade n˜ao se sabe qual dos estados a natureza vai escolher, qual o θ que se materializar´a. Por´em existem mecanismos probabil´ısticos subjacentes que necessitam ser adequadamente caracterizados para que se possa fazer inferˆencias racionais (Campello de Souza, 2002). A distribui¸c˜ao a priori sobre o estado da natureza ´e denotada por π (θ), podendo ser determinada com base em dados hist´oricos ou por edu¸c˜ao do conhecimento do especialista. O conjunto das distribui¸c˜oes a priori ´e representada por Θ∗ = {π} .

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Observa¸c˜oes: As observa¸c˜oes s˜ao vari´aveis que guardam uma rela¸c˜ao com os estados da natu- reza. Denotada por “x”, o conjunto de todas as observa¸c˜oes ´e representado por X = (x) . Como exemplo tem-se a programa¸c˜ao or¸cament´aria para os ´org˜aos executores de obra que pode estar associada com o tipo de obra que uma gest˜ao pretende priorizar.

Fun¸c˜ao de Verossimilhan¸ca: Ou “Canal de Comunica¸c˜ao com a Natureza”, ´e a distribui¸c˜ao de probabilidade que relaciona a ocorrˆencia de uma observa¸c˜ao x ao estado da natureza θ. ´E representada por P (x|θ).

Regras de Decis˜ao: Uma Regra de Decis˜ao ´e uma fun¸c˜ao que associa a cada observa¸c˜ao x uma a¸c˜ao a. As regras de decis˜ao podem ser deterministicas ou randomizadas, sendo essa ´ultima, quando condiciona-se probabilisticamente as a¸c˜oes as observa¸c˜oes.

• Para as regras n˜ao randomizadas:

d : X

x −→−→ d(x)=aA

O conjunto de todas as poss´ıveis regras de decis˜ao D = {d} .

• Para as regras randomizadas existe uma distribui¸c˜ao de probabilidade para e escolha da regra d dada por δ (d) .

O conjunto de todas as distribui¸c˜oes δ em D ´e denotado por D∗ = {δ} .

Fun¸c˜ao Perda: A Fun¸c˜ao Perda ´e o negativo da Fun¸c˜ao Utilidade:

L(θ, a) = −u(P (p|θ, a)); L(θ, d) = −u(P (p|θ, d))

Fun¸c˜ao Risco: A Fun¸c˜ao Risco ´e o valor esperado da Fun¸c˜ao Perda:

Rd(θ) =

X

x

L(θ, d(x))P (x|θ) = E(L|θ) = Eθ(L(θ, d(x)))

A Fun¸c˜ao Risco ´e o conceito b´asico para a determina¸c˜ao da regra de decis˜ao: quanto menor o risco, melhor a regra de decis˜ao. Isto ´e o reflexo do procedimento: Quanto maior a utilidade, melhor a conseq¨uˆencia (Campello de Souza, 2002).

O Risco de Bayes Conhecendo-se a distribui¸c˜ao a priori sobre os estados da natureza π, pode-se ent˜ao falar sobre a probabilidade de se obter uma conseq¨uˆencia dada uma regra de decis˜ao e por conseguinte falar em risco de uma regra de decis˜ao.

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ou

rd= −

Z Z Z

u (p) P (p|θ, d (x)) P (x|θ) π (θ) dp dx dθ

Este ´e o risco ao se usar a regra de decis˜ao d, tendo π como distribui¸c˜ao a priori, e ´e denominado risco de Bayes da regra de decis˜ao d .

Apresenta-se na Tabela 9.1 a rela¸c˜ao dos principais elementos que caracterizam um problema de decis˜ao.

Tabela 9.1: Principais elementos do problema de decis˜ao

Elementos de um Problema de Decis˜ao Θ = {θ} Conjunto dos estados da natureza - θ A = {a} Conjunto das poss´ıveis a¸c˜oes - a

P = {p} Conjunto de todas as conseq¨uˆencias ou bens - p X = (x) Conjunto das observa¸c˜oes ou vari´aveis - x Mecanismos Probabil´ısticos em um Problema de Decis˜ao

P (p|θ, a) Fun¸c˜ao Conseq¨uˆencia

P (x|θ) Fun¸c˜ao Verossimilhan¸ca

π (θ) Distribui¸c˜ao a priori sobre os estados da natureza - θ Fun¸c˜oes

d : X

x −→−→ d(x)=aA

Regra de decis˜ao n˜ao randomizada

D = {d} Conjunto das regra de decis˜ao n˜ao randomizadas

δ (d) Regra de decis˜ao randomizada

D∗ _{= {δ} Conjunto das regra de decis˜ao randomizadas}

L(θ, a) Fun¸c˜ao Perda

Rd(θ) Fun¸c˜ao Risco

rd Risco de Bayes