A solu¸cão do problema de distribui¸cão assintótica

x ≥ 0. Este fato em conjunto com o resultado da conta (38) mostra que IP[max{X₁, . . . , X_n} ≤x]→0 conformen→ ∞para cadax∈R, casoc_n= 1 e d_n = 0. Isto significa que para esta escolha de {c_n} e {d_n}, as variáveis aleatórias (20) não convergem em distribui¸cão. (Já que se convergissem, então a distribui¸cão limite só poderia ser a fun¸cão que é 0 em todo x ∈ R, mas tal fun¸cão não é uma fun¸cão de distribui¸cão pois ela não atende o quesito lim_x→∞F(x) = 1.)

Outros exemplos podem ser encontrados nos livros citados na se¸c˜ao Referˆencias.

Nossos exemplos foram dados para ilustrar a solu¸cão do problema de dis-tribui¸cão assintótica de extremos. Esta solu¸cão, que aparecerá na próxima sub-se¸cão, mostrará que todas as fun¸cões de distribui¸cão são separadas em classes – chamadas de dom´ınios de atra¸cão de EVD’s – sendo que o critério da separa¸cão é o formato da distribui¸cão da variável aleatória limite da seqüência (20). Os exemplos 1, 2 e 3 analisam fun¸cões de distribui¸cão pertencentes a algumas destas classes. Para quem quiser ver exemplos de outras classes, sugerimos a leitura da Se¸cão 3.3 de [3].

5.4 A solu¸cão do problema de distribui¸cão assintótica de

−10 −5 0 5 10 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Frechet Weibull Gumbel

Figura 16: A distribui¸cão de Fréchet com α = 1, a distribui¸cão de Weibull com α= 1, e a distribui¸cão de Gumbel.

fun¸cãoF(·) que não satisfa¸ca as condi¸cões a serem apresentadas no

´ıtem (IV).

(II) Se paraF(·) existir uma escolha de seqüências numéricasc_n ed_nonde a seqüência de variáveis aleatórias (20) convirja para uma distribui¸cão não degenerada, estas seqüências numéricas podem ser escolhidas de maneira que (20) tenha como limite

· uma fun¸cão da fam´ılia chamada distribui¸cões de Fréchet;

· uma fun¸c˜ao da fam´ılia chamada distribui¸c˜oes de Weibull;

· ou uma fun¸c˜ao chamada distribui¸c˜ao de Gumbel.

Eis as formas destas fun¸c˜oes e suas fam´ılias (veja seus gr´aficos na Figura 16):

a fam´ılia de Fr´echetconstitui-se das distribui¸c˜oes Φα(·) comα >0, onde:

Φ_α(x) =

0, sex≤0, exp{−x^−α}, sex >0;

a fam´ılia de Weibull constitui-se das distribui¸c˜oes Ψ_α(·) com α > 0, onde:

Ψα(x) =

exp{−[(−x)^α]}, sex≤0,

1, sex >0;

a distribui¸c˜ao de Gumbel´e definida por:

Λ(x) = exp{−e^−x}, para todox∈R.

Esclarecimento: Lembre-se dos Exemplos 2 e 3. Recorde que na tentativa (c) de cada um deles tivemos o azar de escolher {c_n} e {dn} de maneira que as variáveis aleatórias (20) convergiam para uma variável aleatória degenrada, enquanto que nas tentativas (d) estas variáveis aleatórias sequer convergiam. Porém, na tentativa (a)– dos Exemplos 2 e 3 – conseguimos encontrar {cn} e{dn}para as quais havia convergência para uma fun¸cão de distribui¸cão não degenerada. Esta fun¸cão é Weibull com α = 1 no Exemplo 2 e

é Gumbel no Exemplo 3. Dessa forma os ´ıtens (a), (c) e (d) de cada um destes exemplos ilustram o conteúdo da afirma¸cão (II).

Resta então apenas uma dúvida: como os resultados dos ´ıtens (b) enquadram-se nesta afirma¸cão? Eles se enquadram na afirma¸cão do próximo ´ıtem.

Daqui adiante usaremos o termo fam´ılia de distribui¸cões de valores ex-tremos para nos referir à união que contém a fam´ılia de Fréchet, a fam´ılia de Weibull e a distribui¸cão de Gumbel. Qualquer membro desta união será chamado de distribui¸cão de valores extremos, EVD (do Inglês extreme value distribution).Nossa nomeclatura não é tradicional . Sobre isso veja a Nota sobre nomeclaturaabaixo.

(III) Suponhamos que uma fun¸cão de distribui¸cão F(·) e duas seqüências numéricas {c_n} e {d_n} são tais que a seqüência das variáveis aleatórias (20) convergem para uma EVD H(·) (que pode ser, devido a nossa simboliza¸cão, uma distribui¸cão Gumbel, uma distribui¸cão da fam´ılia Fréchet, ou uma distribui¸cão da fam´ılia Weibull). Sejam agora {c⁰_n} e {d⁰_n} duas outras seqüências numéricas quaisquer. Nessas condi¸cões pode ocorrer uma e somente uma das duas seguintes alternativas:

ou (c⁰_n)⁻¹[max{X₁, . . . , X_n} −d⁰_n] converge para uma variável aleatória cuja distribui¸cão éH(^x−b_a ),x∈R, paraa∈R, a6= 0 eb∈R(cujos valores dependem das seqüências {c⁰_n} e{d⁰_n});

ou (c⁰_n)⁻¹[max{X₁, . . . , X_n} −d⁰_n] converge para uma distribui¸c˜ao de-generada ou nem sequer converge.

Para que este resultado importante seja adequadamente compreendido, ressaltamos a rela¸cão entre a fun¸cão H(^x−b_a ) e a fun¸cãoH(x), x∈R: a primeira é obtida da segunda por re-escala e transla¸cão ao longo do eixo das abcissas. Portanto o resultado acima formulado pode ser interpre-tado da seguinte maneira:

Dada uma distribui¸cão F(·) o limite (20), quando existe e não é uma variável aleatória degenerada, tem a forma H(^x−b_a ), x ∈ R, onde H(·) é uma EVD que é espec´ıfica para a F(·) dada; ou, em outras palavras, é imposs´ıvel que para dois pares de seqüências numéricas {c_n}, {d_n} e {c⁰_n}, {d⁰_n} ocorra que

c⁻¹_n [max{X₁, . . . , X_n} −d_n] convirja à distribui¸cão não degener-ada H(·), e

(c⁰_n)⁻¹[max{X₁, . . . , X_n} −d⁰_n] convirja à distribui¸cão não degen-erada K(·),

sem que H(·) eK(·) estejam relacionadas viaK(x) =H(^x−b_a ) para todo x∈R.

Esclarecimento: A propriedade afirmada neste ´ıtem está i-lustrada nos Casos (a) e (b) dos Exemplos 2 e 3. No Caso (a) do Exemplo 2 a fun¸cão de distribui¸cão limite é Weibull de parâmetro α = 1, isto é Ψ₁(x), x ∈R, enquanto que no Caso (b) a fun¸cão de distribui¸cão limite é Ψ₁(x+1),x∈R. O mesmo

“efeito” é observado no Exemplo 3: no Caso (a) a fun¸cão de distribui¸cão limite é Gumbel: Λ(x), x ∈ R, enquanto que no Caso (b) a fun¸cão de distribui¸cão limite é Λ ^x+2₃

, x∈R. A propriedade discutida acima diz que cada fun¸cão de distribui¸cão F(·) é

“fiel” a somente uma EVD. Podemos analisar esta rela¸cão sob outra perspec-tiva: cada EVD possui um conjunto de fun¸cões de distribui¸cão relacionado a ela. Este conjunto éo dom´ınio de atra¸cão da EVD. Em termos precisos. Diz-se que uma fun¸cão de distribui¸cãoF(·) está no dom´ınio de atra¸cão de uma EVD H(·) se existem seqüências {c_n} e {d_n} tais que as variáveis aleatórias (20) convergem para H(·). O conceito “dom´ınio de atra¸cão de uma EVD”

será utilizado na formula¸cão do ´ıtem (IV) e, o que é mais importante, na formula¸cão do teorema que dá origem ao método POT (veja Sub-se¸cão 6.2).

Nota sobre nomenclatura. Nossa nomenclatura é diferente da clássica (usada em todos os livros citados na se¸cão Referências). A nomenclatura clássica dá nome standard extreme value distribution a qualquer fun¸cão Φ_α(·), Ψ_α(·) ou

Λ(·), definidas no ´ıtem (II) acima. Já as extreme value distributions são as fun¸cões

Φ_α(^x−b_a ), x∈R, paraα >0, a >0, b∈R; Ψ_α(^x−b_a ), x∈R, paraα >0, a >0, b∈R; Λ(^x−b_a ), x∈R, para a >0, b∈R.

(39) Nós demos o nome extreme value distributions para as fun¸cões Φα(·), Ψα(·) ou Λ(·), e chamaremos qualquer uma das fun¸cões em (39) de extreme value distribution com parâmetro de escala a e parâmetro de loca¸cão b. Notamos que estes nomes paraaebsão tradicionais e são justificados pelo conteúdo do Fato 1da Sub-se¸cão 4.2. Já o nome tradicional para αé parâmetro de forma (shape parameter).

Nossa mudan¸ca na nomenclatura tem dois objetivos. O primeiro é de encurtar a nota¸cão: de fato, “EVD” nos parece mais econômico de que “EVD padrão”, e ainda admite o plural “EVD’s” mais bonito de que “EVD’s padrão”.

Segundo, queremos dar maior clareza à frase: “Cada distribui¸cão de valores extremos possui seu dom´ınio de atra¸cão.” Esta não está muito certa com a nomenclatura clássica, pois se H(·) for qualquer standard EVD, então seu dom´ınio de atra¸cão coincide com a da fun¸cão H(^x−b_a ),x∈R, para quaisquer ae b; tal coincidência foi afirmada agora pouco no ´ıtem (III). A frase correta compat´ıvel com a nomenclatura clássica seria: ““Cada distribui¸cãostandard de valores extremos possui seu dom´ınio de atra¸cão.” Mas há muita gente que prefere usar a primeira frase ao invés da segunda. Então adaptamos nossa nomenclatura à liguagem mais comum.

Nossa outra discordância com a nomenclatura clássica está no que chamamos dedom´ınio de atra¸cão , que é referido comomaximum domain of attraction.

(IV) É o comportamento da cauda direita¹⁶ de uma distribui¸cão F(·) que determina se esta estará no dom´ınio de atra¸cão de uma EVD e, se sim, qual a forma desta EVD.

·Uma fun¸cão de distribui¸cãoF(·) está no dom´ınio de atra¸cão da EVD de Fréchet com parâmetroαse e somente seF(·) tem cauda direita infinita e, para valores suficientemente grandes de x, ocorre que

F¯(x) ( que ´e a nota¸c˜ao para 1−F(x)) =x^−αL(x), (40)

16A defini¸c˜ao de “cauda” e dos conceitos relacionados a serem usados em seguida foram definidos na Sub-se¸c˜ao 4.3.

onde L(·) é uma fun¸cão de varia¸cão lenta – termo que será definido mais adiante: logo depois do Comentário 9. Caso F(·) satisfa¸ca esta condi¸cão, a escolha das constantes d_n= 0 e c_n =F^←(1−n⁻¹) garante a convergência das variáveis aleatórias em (20) à distribui¸cão de Fréchet com parâmetroα, ondeF^←(·) é a “fun¸cão inversa” deF(·), definida pela fórmula

F^←(t) = inf{x∈R : F(x)≥t}, t∈(0; 1),

que permite contornar o problema da determina¸c˜ao do valor inverso nos pontos de descontinuidade de F(·).¹⁷

· Uma fun¸cão de distribui¸cão F(·) está no dom´ınio de atra¸cão da EVD de Weibull de parâmetroα se e somente seF(·) tem cauda direita finita e para valores suficientemente grandes de x ocorre que

F¯(x_F −x⁻¹) =x^−αL(x), (41) onde x_F é a abcissa do fim da cauda direita, ou seja, o menor valor onde F(·) assume 1, e onde L(·) é uma fun¸cão de varia¸cão lenta. Se F(·) satisfizer esta condi¸cão, então a escolha das constantes d_n =x_F e c_n =x_F −F^←(1−n⁻¹) garante a convergência das variáveis aleatórias em (20) à distribui¸cão de Weibull com parâmetro α.

Esclarecimento. Note que x em (41) é uma variável auxiliar. Note que quando esta tende ao ∞, então o ponto x_F −x⁻¹ tende ao ponto x_F, o fim da cauda de F(·). Portanto, a variável x “ajuda”

na descri¸cão do comportamento de F(·) quando seu argumento se aproxima à esquerda ao fim de sua cauda. O fato da condi¸cão (41) ter sido colocada em termos de “valores grandes dex” não significa, portanto, que esta condi¸cão considera o comportamento de ¯F(·) para valores grandes de seu argumento; isto não faria sentido pois F(·) possui cauda finita que acaba no pontox_F. Mais ainda: esta variável auxiliar x permite aproveitar fun¸cão de varia¸cão lenta no infinito para expressar o comportamento de fun¸cão que tem cauda

17Não faremos uso muito da fun¸cãoF^←(·) em nossos futuros agrumentos, pois na maioria dos casosF(·) será cont´ınua or será assumida ser cont´ınua.

finita. Se abdic´assemos o uso dex, a condi¸c˜ao (41) teria o seguinte formato:

F¯(y) = 1

x_F −y −α

L 1

x_F −y

, conformey↑x_F.

· A EVD de Gumbel contém no seu dom´ınio de atra¸cão tanto fun¸cões com caudas finitas quanto fun¸cões com caudas infinitas (no segundo caso, x_F é entendido com ∞ nos argumentos a seguir). Uma fun¸cão de distribui¸cão F(·) está neste dom´ınio se e somente se existe z < x_F tal que F(·) admita a seguinte representa¸cão:

F¯(x) =h(x) exp

− Z x

g(t) a(t)dt

, parax∈(z, xF), (42) onde as fun¸cõesh(·) eg(·) são tais queg(x) converge a 1 eh(x) converge a uma constante positiva conforme xse aproxima dex_F, enquanto que a fun¸cãoa(·) é diferenciável e sua derivadaa⁰(·) satisfaz lim_x↑x_F a⁰(x) = 0.

Mais ainda, caso F(·) satisfa¸ca esta condi¸cão, então a escolha dn = F^←(1−n⁻¹) ec_n=a(d_n) garante a convergência das variáveis aleatórias (20) à distribui¸cão de Gumbel.

A representa¸cão (42) não é única, pois as fun¸cõesh(·), g(·) ea(·) não foram especificadas de forma muito r´ıgida. Isto faz com que pos-samos, por exemplo, modificar um pouco a fun¸cãog(·) e compensar esta modifica¸cão com a mudan¸ca de h(·), de sorte que a expressão (42) preserve todos os seus valores. A compreensão detalhada da fórmula (42) é, por enquanto, desnecessária. Entretanto será im-portante na Sub-s¸cão 8.2 onde discutiremos a execu¸cão do método POT para fun¸cões do dom´ınio de atra¸cão da EVD Gumbel . O conteúdo do ´ıtem (IV) supreende: ele resolve plenamente o problema (P5) da distribui¸cão assintótica de extremos (para as fun¸cões de distribui¸cão F(·) para as quais a resolu¸cão é poss´ıvel em princ´ıpio, conforme especificado nos itens (I)-(III)). Gostar´ıamos de indicar aos leitores a razão de tal resolu¸cão existir. Para tanto, lembramos ao leitor a parte de conta que está presente em todos os exemplos da Sub-se¸cão 5.3, nos quais conseguimos achar a fun¸cão de distribui¸cão limite não degenerada. Esta parte da conta baseia-se no pres-suposto principal do problema (P5) de que as variáveis aleatórias X₁, X₂, . . .

são independentes e identicamente distribu´ıdas de acordo com uma variável aleatória X, que tem F(·) como fun¸cão de distribui¸cão. Eis a parte da conta

`a qual nos referimos:

c⁻¹_n (max{X₁, . . . , X_n} −d_n)≤x

= (IP[X ≤c_nx+d_n])ⁿ= (F(c_nx+d_n))ⁿ. (43) O resultado da rela¸cão acima mostra que seF(c_nx+d_n) é 0 ou é 1 para todos valores densuficientemente grandes, entãoIP

c⁻¹_n (max{X₁, . . . , X_n} −d_n)≤x convergirá para 0 ou para 1, respectivamente. Mas se o limite da convergência for 0 ou 1 para cadax, então as variáveis aleatóriasc⁻¹_n (max{X1, . . . , Xn} −dn) não convergem ou convergem para uma variável aleatória degenerada. Por-tanto, se quisermos descobrir em que condi¸cões a convergência dessas variáveis aleatórias para uma distribui¸cão não degenerada se dá, devemos nos perguntar:

Como pode se comportarF(c_nx+d_n), sem que este seja 0 ou 1,

para que (F(c_nx+d_n))ⁿ convirja a um valor diferente de 0 e de 1? (44) E óbvio que tal convergência só será poss´ıvel caso´ F(c_nx+d_n) tenda a 1 conforme n → ∞. Mas isto só é poss´ıvel caso c_nx+d_n tenda ao ponto x_F (que é o ponto onde F toca no n´ıvel 1 se F tem cauda finita, ou é +∞ se F tem cauda infinita). Esta conclusão explica porque o valor do limite de (F(c_nx+d_n))ⁿ depende apenas do comportamento da cauda direita deF.

A pergunta (44) pode ser respondida com maior precisão se empregarmos o resultado citado no Comentário 8: a converência desejada pela pergunta só será poss´ıvel se para alguma fun¸cãot(·) ocorre que

F(c_nx+d_n) = 1 +t(x)

n + ∆(n), (45)

e, este for o caso, então o limite seráe^t(x). A resposta explica porque todas as fun¸cões EVD têm o formato “exp de alguma expressão” (se você ainda não se deu conta desta propriedade, volte às defini¸cões das EVD’s dadas no ´ıtem (II) acima): de fato, se H(·) é uma EVD, então, devido a própria defini¸cão das EVD’s,H(x) deve ser o limite quandon→ ∞de (F(c_nx+d_n))ⁿ para alguma fun¸cão de distribui¸cãoF(·), mas, conforme alegamos agora pouco, este limite só pode ser ou 0 ou 1 oue^t(x), logo, H(x) =e^t(x) para a fun¸cãot(x) dada em (45). Acontece que a classifica¸cão de todas ast(·)⁰⁰sque podem surgir em (45) não é uma tarefa simples. Sua solu¸cão pode ser encontrada em livros sobre a

Teoria dos Valores Extremos, particularmente em [4]. Esta solu¸cão é o miolo da demostra¸cão do principal teorema da Teoria clássica dos Valores Extremos, que dá resposta ao problema(P5) da distribui¸cão assintótica de extremos.

A rela¸cão (45), revelada no parágrafo anterior como a condi¸cão necessária para convergência de (F(c_nx+d_n))ⁿ, diz que tal convergência ocorrerá caso F(cnx+dn) seja, a grosso modo, 1 +t(x)/n mais uma corre¸cão cujo formato exato não tem importância, desde que decaia a 0 mais rápido que 1/nquando n→ ∞. As fun¸cões que satisfazem esta condi¸cão podem ser descritas como

F¯(x) (o que ´e a nota¸c˜ao para 1−F(x)) =

= (parte essencial)×(parte n˜o essencial), conformex aproxima-se ax_F,

(46) onde a parte essencial é o que determina a contribui¸cão 1 +t(x)/n, e em par-ticular determina o formato da fun¸cãot(·), enquanto que a parte não essencial

´e a “sujeira” que pode ser “escondia e esquecida” debaixo do “tapete” ∆(n).

E por isso que a resposta (I)-(IV) ao problema´ (P5)da distribui¸cão assintótica de extremos descreve as fun¸cões de distribui¸cão F(·), para as quais o prob-lema não tem solu¸cão trivial, nas formas (40), (41) e (42): são as maneiras matemáticas de descrever as partes essencial e não esencial da decomposi¸cão (46).

Comentário 9. Deve ser notado que a “parte não essencial” da decomposi¸cão (46) não pode ser totalmente desprezada: ela de fato não inluencia a forma da fun¸cão limite do problema da distribui¸cão assintótica de extremos, mas entra na defini¸cão dos valores das seqüências{c_n}e{d_n}envolvidas neste problema – o fato que fica claro se você voltar às defini¸cões destas seqüências dadas no

´ıtem (IV) da solu¸c˜ao do problema. Fim do coment´ario.

Para completar nossa exposi¸cão, falta apenas explicar o conceito defun¸cão de varia¸cão lenta. Conforme explicamos acima, varia¸cão lenta é a condi¸cão que uma fun¸cão deve satisfazer para desempenhar o papel da “parte não essencial”

da decomposi¸cão (46). Daremos a defini¸cão: qualquer fun¸cão L(x), x >0, se chamade varia¸cão lenta¹⁸ se ela satisfizer a seguinte condi¸cão

x→∞lim L(tx)

L(x) = 1 para todo t >1 (47)

18O correto seria o nome varia¸cão lenta no infinito, mas já que usamos somente fun¸cões deste tipo de varia¸cão lenta, então abdicamos do “no infinito” no nome.

O nome “varia¸cão lenta” é justificado pela interpreta¸cão da propriedade (47).

Eis esta: fixe um t > 1; fixe uma seqüência crescente de valores x₁, x₂, . . ., e seja esta tal que seus valores são equiespa¸cados (o que não é obrigatório para a validade da propriedade (47), mas que ajuda na compreen¸cão); então, conforme o ´ındice i cresce, o par de valores x_i e tx_i desloca-se à direita e a distância entre os pontos do par cresce (pois esta distância é txi −xi = x_i(t−1)); uma fun¸cão L(·) será de varia¸cão lenta caso a razão entre os seus valores nos pontos de cada par convirja para 1. É fácil ver que a fun¸cão

x²

1 +x² (48)

é uma fun¸cão de varia¸cão lenta. Porém, para que uma fun¸cão goze desta propriedade, não é necessário que ela seja assintoticamente constante, como é o caso em (48). Por exemplo, a fun¸cão

log(1 +x) (49)

possui varia¸cão lenta, apesar de não ser assintoticamente constante, uma vez que não há constante C tal que

x→∞lim

log(1 +x)

C = 1

Porém, a propriedade (47) é válida para esta fun¸cão.

5.5 Uso da Teoria de Valores extremos para solu¸c˜ao do

No documento “Peaks-over-Threshold” na estimac ¸ ˜ ao de risco; uma exposic ¸˜ ao abragente, (páginas 59-68)