5.2 Temperatura de Inversão
5.2.2 A temperatura de inversão em Rainbow Gravity
Realizando o mesmo procedimento da seção acima, primeiro, utilizando a métrica sem os parâmetros de Kiselev, em Rainbow Gravity, plotamos as curvas de temperatura de inversão para vários valores dos parâmetros rainbow ηen. O parâmetroη é uma indicação de quão longe a Rainbow Gravity se distancia da Relatividade Geral.
48 Capítulo 5. Expansão de Joule-Thomson
Por outro lado, o expoente indica um tipo de ordem de correção, e quanto menor o valor de n, maiores devem ser as correções esperadas. Para as curvas mencionadas, usamos expoentes n= 1, n= 2 e n= 4, e alguns valores do parâmetro η. À esquerda, traçamos a curva para uma grande faixa de pressão, enquanto à direita nos limitamos a pequenas faixas de pressão, pois estaremos interessados em um valor mínimo para a temperatura de inversão.
Figura 15 – Curvas da temperatura de inversão para n= 1, Q= 1 e α= 0.
(a) (b)
Fonte – SILVA, G. V. et al. Joule–Thomson expansion in charged AdS black hole surrounded by a cosmological fluid in Rainbow Gravity. Modern Physics Letters A, p. 2150278, 2022.
Como esperado, os números nos mostram que valores menores do expoenten levam à maiores correções na temperatura de inversão. Para um expoente fixo, valores maiores do parâmetroηlevam a valores menores para a temperatura de inversão. Quando o parâmetro se torna negativo, ocorre o inverso. Esse comportamento é válido para pressões grandes e pequenas.
Para deixar mais evidente que a correção depende do expoente n, na figura 18 traçamos a curva de temperatura de inversão, comη = 1, para os três valores do expoente (n = 1, n= 2 e n = 4) no contexto da Rainbow Gravity, bem como em TRG, para efeito
de comparação. Como pode ser visto, a maior correção ocorre quando n= 1.
O único caso em que não fizemos o gráfico para um valor negativo paraηfoi quando n= 4, e a razão é que neste caso a solução da relação de dispersão da energia em função do raio do horizonte é por partes (piecewise function), o que complica a análise numérica.
De qualquer modo, o padrão já parece bem estabelecido.
Antes de estudarmos o efeito do fluido cosmológico, vamos dar uma olhada mais de perto na temperatura de inversão mínima. As figuras nos mostram que elas são menores na
5.2. Temperatura de Inversão 49
Figura 16 – Curvas da temperatura de inversão para n = 2, Q= 1 e α= 0.
(a) (b)
Fonte – SILVA, G. V. et al. Joule–Thomson expansion in charged AdS black hole surrounded by a cosmological fluid in Rainbow Gravity. Modern Physics Letters A, p. 2150278, 2022.
Figura 17 – Curvas da temperatura de inversão para n = 4, Q= 1 e α= 0.
(a) (b)
Fonte – SILVA, G. V. et al. Joule–Thomson expansion in charged AdS black hole surrounded by a cosmological fluid in Rainbow Gravity. Modern Physics Letters A, p. 2150278, 2022.
Rainbow Gravity, quando comparadas com as correspondentes temperaturas encontradas na TRG. Outro ponto de interesse é a relação entre a temperatura mínima de inversão e a temperatura crítica, Tmin/Tc. Para o buraco negro de Reissner Nordström em anti-de Sitter, na TRG, tal valor é calculado em 1/2 [15].
Para a Rainbow Gravity, já havia sido dito que haveria uma correção. Yekta,
50 Capítulo 5. Expansão de Joule-Thomson
Figura 18 – Curvas de inversão da temperatura para Q= 2, η= 1, α= 0.
Fonte – SILVA, G. V. et al. Joule–Thomson expansion in charged AdS black hole surrounded by a cosmological fluid in Rainbow Gravity. Modern Physics Letters A, p. 2150278, 2022.
Hadikhani e Ökcü [50] usaram métodos de aproximação para tal cálculo, no caso de n= 2.
Fizemos o cálculo para os casosn = 1,2,4, numericamente. Para n= 2, nossos resultados são totalmente compatíveis com o acima mencionado. Tais resultados são mostrados nas tabelas2 (n= 1), 3 (n= 2) e 4(n= 4). Eles mostram que o fator de correção da função rainbow (2.17) é bastante relevante, mas para uma carga grande, parece tender para 1/2, como no caso n= 2. Devemos mencionar que os cálculos para a temperatura crítica foram obtidos em [51].
Quando também consideramos o fluido cosmológico, a Rainbow Gravity mudará a forma das curvas. Escolhemos dois tipos de fluido cosmológico para acentuar as distinções.
Na figura19, utilizando ω=−4/3, notamos que as curvas se deformam se compararmos rainbow (à esquerda) com a relatividade geral (à direita), porém a variação não é grande.
Traçamos somente o cason = 2, mas com base nos resultados obtidos acima, esperamos que para outros valores do expoente n, as modificações sigam o mesmo padrão.
Uma propriedade interessante quando fluidos cosmológicos estão presentes é que a temperatura de inversão mínima pode cair para zero, e desta forma, podemos ter uma pressão de inversão mínima. Tal característica não requer que estejamos no cenário da Rainbow Gravity, pois esse fato já ocorre na Relatividade Geral.
O que pode ser visto aqui, mais claramente na figura (20), para ω= −1/6, é que os efeitos da Rainbow Gravity e do fluido cosmológico são complementares: ambos diminuem o valor da temperatura mínima de inversão.
Finalmente, na figura 21, traçamos algumas isentálpicas, para um caso específico
5.2. Temperatura de Inversão 51
Tabela 2 – Timin/Tc para n= 1
n = 1 η= 0.1 η= 1 η= 10
Q= 0.1 0.1472/0.3015≈0.448 0.0286/0.0715≈0.400 0.0029/0.0079≈0.367 Q= 1 0.0209/0.0416≈0.502 0.0153/0.0301≈0.508 0.0031/0.0072≈0.431
Tabela 3 – Timin/Tc para n= 2
n = 2 η= 0.1 η= 1 η= 10
Q= 0.1 0.0841/0.1973≈0.426 0.0289/0.0749≈0.386 0.0092/0.0248≈0.371 Q= 1 0.0211/0.0423≈0.499 0.0177/0.0358≈0.494 0.0091/0.0197≈0.462
Tabela 4 – Timin/Tc para n= 4
n = 2 η= 0.1 η= 1 η= 10
Q= 0.1 0.0511/0.1370≈0.373 0.0291/0.0794≈0.366 0.0154/0.0251≈0.364 Q= 1 0.0214/0.0430≈0.498 0.0198/0.0410≈0.483 0.0150/0.0334≈0.450
Figura 19 – Curvas da temperatura de inversão para o fluido cósmico ω=−4/3.
(a)η= 1 (b)η= 0
Fonte – SILVA, G. V. et al. Joule–Thomson expansion in charged AdS black hole surrounded by a cosmological fluid in Rainbow Gravity. Modern Physics Letters A, p. 2150278, 2022.
de ω= −4/3, n = 1 en = 4. O estudo das isentálpicas não parece muito relevante para a compreensão da expansão de Joule-Thomson, mas é importante que seu comportamento seja consistente com o fato de que a curva de inversão de temperatura deve tocar as isentálpicas em seus pontos de máximo, como pode ser visto em [52].
52 Capítulo 5. Expansão de Joule-Thomson
Figura 20 – Curvas da temperatura de inversão para o fluido cósmico ω=−1/6.
(a)η= 1 (b)η= 0
Fonte – SILVA, G. V. et al. Joule–Thomson expansion in charged AdS black hole surrounded by a cosmological fluid in Rainbow Gravity. Modern Physics Letters A, p. 2150278, 2022.
Figura 21 – As curvas fechadas são isentálpicas para o valor de massa indicado, enquanto a curva aberta é a curva de inversão de temperatura em ω=−4/3.
(a)n= 1 (b)n= 4
Fonte – SILVA, G. V. et al. Joule–Thomson expansion in charged AdS black hole surrounded by a cosmological fluid in Rainbow Gravity. Modern Physics Letters A, p. 2150278, 2022.
53
6 Considerações finais
As consequências da estrutura formal de uma teoria bem consolidada, como a Teoria da Relatividade Especial (TRE), no que diz respeito, por exemplo, ao fato de que diferentes observadores inerciais irão atribuir diferentes comprimentos a um dado objeto, sem especificar a escala particular de energia, constitui-se em obstáculo para se estabelecer o comprimento de Planck como uma nova escala de comprimento. A ideia de Double Special Relativity (DSR) [27] surgiu como uma proposta de modificação da TRE, que é realizada através da inclusão de uma nova escala, a do comprimento de Planck, além da escala invariante para todos os observadores, a velocidade da luz, postulada por Einstein, na construção da TRE. Uma vez construída a DSR, cujos resultados devem coincidir com os da TRE, para energias muito menores do que a energia de Planck, ou de modo equivalente, para comprimentos muito maiores do que o comprimento de Planck, o próximo passo seria modificar a Teoria da Relatividade Geral, de modo a incorporar a nova escala, qual seja o comprimento de Planck. Esta modificação foi construída e é conhecida com Rainbow Gravity [7]. Nesta, a modificação do espaço-tempo torna-se relevante para energias próximas à energia de Planck.
Nesta dissertação, apresentamos de forma breve no capítulo 2 a estrutura da Rainbow Gravity. No capítulo 3 estudamos a termodinâmica de buracos negros e suas possíveis aplicações. No capítulo4estudamos a possibilidade de existência de remanescentes de buracos negros, imersos em uma métrica Kiselev, em Rainbow Gravity. Ainda no capítulo 4, construímos uma análise formal e gráfica detalhadas de vários parâmetros da teoria, como massa / energia interna, temperatura, entropia e calor específico, priorizando a métrica de Kiselev e as funções rainbow.
No capítulo4, mostramos explicitamente que existe um valor limite para o horizonte de eventos, no caso de Kiselev, que depende da massa do buraco negro. Por este motivo, existe um valor limite para a relação temperatura / entropia deste espaço-tempo. É por isso que alguns autores encontram uma temperatura negativa em seus trabalhos, quando não limitam os valores para o raio do horizonte.
Quando consideramos a Rainbow Gravity, conseguimos encontrar um valor finito para a temperatura à medida que o raio do horizonte diminui. Este comportamento não ocorre para o buraco negro de Schwarzschild, onde a temperatura tende ao infinito conforme o raio do horizonte diminui. Embora este caso não resulte em um remanescente, ao menos evita o comportamento catastrófico presente na Relatividade Geral.
Quando incorporamos a métrica Kiselev, como no caso na constante cosmológica, encontramos um ponto onde a temperatura vai a zero e a massa segue finita, porém
54 Capítulo 6. Considerações finais
ele ocorre no encontro entre dois horizontes, o do buraco negro e o cosmológico. Este não parece um quadro fisicamente aceitável. Em n= 4, quandoη <0, encontramos um comportamento incomum para a temperatura, quando um mesmo raio do horizonte possui dois valores para a temperatura. Isto pode ser um problema com o sistema de coordenadas.
No capítulo5, com base no trabalho de Ökcü e Aydiner [15], analisamos a expansão de Joule-Thomson em um buraco negro AdS carregado, cercado por um fluido cosmológico, em Rainbow Gravity. O objetivo foi investigar as curvas de temperatura de inversão e o valor mínimo para temperatura de inversão. Priorizamos o estudo de como as funções rainbow alteram o comportamento de tais curvas e valores, quando comparadas à Relatividade Geral.
Como esperado, ao modificar os parâmetros que corrigem (deformam) a relação de dispersão energia-momento, verificamos que ela altera a forma das curvas de temperatura de inversão, alterando também o valor mínimo para a temperatura de inversão. A temperatura diminui para a propagação subluminal (η >0), e aumenta para propagação superluminal (η <0).
Ao estudar numericamente a expansão de Joule-Thomson, mostramos que quanto maior a correção para a relação de dispersão, maior será a correção dos parâmetros termodinâmicos analisados, o que é razoável de se esperar, mas não necessariamente óbvio.
Com a mesma motivação, analisamos a razão entre a temperatura mínima de inversão e a temperatura crítica. Como já apontado por Yekta, Hadikhani e Ökcü [50], essa proporção não é mais constante para a Rainbow Gravity, e mostramos que essa proporção depende das funções Rainbow escolhidas. Aparentemente, para altos valores de carga elétrica, essa relação tende ao mesmo valor que encontraríamos para a relatividade geral.
Outra observação é que na presença de um fluido cosmológico, podemos observar o mesmo tipo de comportamento quando comparamos os parâmetros da expansão de Joule-Thomson em Rainbow Gravity com a relatividade geral. A curva da temperatura de inversão é achatada e o valor mínimo para a temperatura de inversão diminui quando não é zero, o que pode acontecer na presença de certos tipos de fluidos cosmológicos. Neste trabalho, mostramos que o valor mínimo para a temperatura de inversão pode ser zero paraω = −4/3 e certos valores para o parâmetro α, que corresponde a uma espécie de acoplamento entre a geometria e a energia do fluido cosmológico.
Considerando os vários dado observacionais realizados nos últimos anos, podemos afirmar que, até agora, não exite nenhuma evidência direta de detecção de algum fenômeno que possamos assegurar, com alto nível de certeza, estar associado a realizações quânticas da interação gravitacional. Portanto, propostas como a Rainbow Gravity são perfeitamente válidas, e nos fornecem uma perspectiva de se construir um cenário que permita compreender melhor o caminho a ser seguido na construção de uma possível teoria quântica da gravitação.
55
Inspirada nesse cenário da Rainbow Gravity, nesta dissertação fizemos algumas investigações e análises sobre diferentes aspectos da termodinâmica de buracos negros, sempre tendo como elemento de fundo ou de comparação, a Teoria da Relatividade Geral.
57
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50 YEKTA, D. M.; HADIKHANI, A.; ÖKCÜ, Ö. Joule-thomson expansion of charged ads black holes in rainbow gravity.Physics Letters B, Elsevier, v. 795, p. 521–527, 2019.
Citado 2 vezes nas páginas 50e 54.
51 MORAIS, P. H.; GRAÇA, J. P. M.; BEZERRA, V. B. Phase transitions in charged AdS black hole with quintessence in Rainbow Gravity. 10 2021. Citado na página 50.
52 SILVA, G. et al. Joule–thomson expansion in charged ads black hole surrounded by a cosmological fluid in rainbow gravity. Modern Physics Letters A, World Scientific, p.
2150278, 2022. Citado na página 51.
Apêndices
63
APÊNDICE A – Buraco negro de Kiselev em Rainbow Gravity
Em 1998, observações astronômicas forneceram indícios robustos de que o Universo encontra-se em expansão acelerada. Esta expansão pode ser explicada, em princípio, admitindo-se a existência de uma de pressão negativa, que se oporia a força gravitacional, em escala cosmológica. Esta pressão poderia ser explicada com o uso da constante cosmológica ou da chamada quintessência, dentre outras possibilidades. A quintessência é um tipo de energia escura cuja origem está associada a um campo escalar [49]. Nos modelos de quintessência, a densidade se define como:
ρ= φ˙
2 +V(φ) (A.1)
onde φ é o campo escalar, φ˙
2 é a energia cinética do campo escalar, V(φ) é o potencial de auto-interação. A pressão no modelo de quintessência é definida como
P = φ˙
2 −V(φ). (A.2)
O parâmetro para a quintessência é introduzido como
ω = P ρ =
φ˙
2 −V(φ) φ˙
2 +V(φ)
, (A.3)
onde ω ≥ −1 quandoV(φ)φ˙. Na equação de estado definida por
P =ωρ, (A.4)
a expansão acelerada do universo é possível no intervalo −1≤ω≤ −1
3. Quando ω =−1, os efeitos da quintessência são equivalentes aos produzidos pela constante cosmológica.
Neste cenário de quintessência, vamos considerar um buraco negro estático, esfe-ricamente simétrico, rodeado por este fluido, inicialmente, no contexto da Relatividade Geral. Para este cenário, o tensor energia-momento é dado por
Ttt =Trr =ρq(r), (A.5)
Tφφ =Tθθ =−1
2ρq(r)(1 + 3ω). (A.6)
64 APÊNDICE A. Buraco negro de Kiselev em Rainbow Gravity
Levando-se em conta a simetria, podemos escrever o elemento de linha do espaço-tempo gerado por esse buraco negro, como sendo dado por
ds2 =eνdt2−eλdr2−r2dΩ2, (A.7) onde ν =ν(r), λ=λ(r) são funções somente da coordenada radial. Usando as equações de Einstein
Gµν =Rµν −1
2δµν = 2Tνµ, (A.8)
obtemos o seguinte resultado
2Ttt=−e−λ 1 r2 − λ0
r
!
+ 1
r2 = 2ρq(r), (A.9)
2Trr=−e−λ 1 r2 +ν0
r
!
+ 1
r2 = 2ρq(r), (A.10)
2Tθθ = 2Tφφ=−e−λ ν00+ ν00
2 + ν0−λ0
r − ν0λ0 2
!
=−ρq(r)(1 + 3ω). (A.11) Podemos assumir que λ = −ν. Com isso, substituir λ = −ln (1 +z(r)) e, em seguida, vamos subtrair as equações (A.9) e (A.11). Agora, temos uma equação diferencial homogênea
(1 + 3ω)z+ (1 + 3ω)rz0 +r2z00= 0, (A.12) com a solução
z(r) =−2M
r − α
r3ωq+1. (A.13)
O elemento de linha (A.7) toma a forma ds2 =1− 2M
r − α r1+3ωq
dt2−
1−2M
r − α r1+3ωq
−1
dr2−r2dΩ2. (A.14) Esta solução corresponde a um buraco negro rodeado por quintessência, em Relatividade Geral, e obtida por Kiselev, recentemente [49].
Agora, vamos obter a solução para as fontes consideradas anteriormente, porém, no contexto da Rainbow Gravity. Para isto, usaremos o ‘Ansatz’ dado por (2.15), para escrevermos a métrica correspondente a um buraco negro estático e esfericamente simétrico, da seguinte forma;
ds2 = eν
f2(E/Ep)dt2− eλ
g2(E/Ep)dr2− r2
g2(E/Ep)dΩ2. (A.15) O tensor energia-momento é reescrito na forma
2Ttt=g2(E/Ep)
"
−e−λ 1 r2 − λ0
r
!
+ 1 r2
#
, (A.16)