5. Análise e discussão dos resultados
5.4. Análise Estatística
Com a série temporal de elevação da superfície livre de cada registo, como já foi dito anteriormente, calculou-se a média, o desvio padrão, a assimetria e a curtose. Será apresentado nesta secção a evolução destes parâmetros para o ensaio com onda incidente de altura de 18 cm e período de 1.5 s.
5.4.1.
Média
A média,
̅
, é o valor médio da elevação da superfície livre. Na Figura 44 é possível observar a evolução deste parâmetro ao longo do canal.Figura 44 – Média da elevação da superfície livre, para uma onda incidente com altura de 18 cm e período de 1.5 s.
Verifica-se que os valores médios da elevação da superfície livre têm numa fase inicial um carácter mais constante. A partir da posição x=-800 cm começam a apresentar mais variabilidade, sendo gradualmente maior até chegar perto da zona de rebentação, x=-470 cm, posição a partir da qual os valores começam a descer, sendo que a tendência de descida não se verifica na posição x=0 cm, ou seja, na mudança de declive do fundo, e na posição x=400 cm, já perto do final. -10.0 -8.0 -6.0 -4.0 -2.0 0.0 2.0 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 M é d ia ( cm) x (cm)
62
5.4.2.
Desvio padrão
O desvio padrão, , é a medida mais comum da dispersão estatística, tratando-se da raiz quadrada da variância. Na Figura 45 está exposta a sua evolução.
Figura 45 – Desvio padrão da elevação da superfície livre, para uma onda incidente com altura de 18 cm e período de 1.5 s.
Na Figura 45 observa-se que os valores do desvio padrão mantêm-se mais ou menos constantes numa fase inicial. Aproximadamente a partir da posição x=-600 cm começam a aumentar, ainda que de forma ligeira. Perto da posição de rebentação, x=-470 cm, atingem os valores máximos e a partir daí existe uma queda clara dos valores, atingindo um patamar com menor variabilidade à volta da posição x=100 cm.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 D e sv io Pad rão ( cm) x (cm)
63
5.4.3.
Assimetria
A assimetria, , é a medida de assimetria da elevação da superfície livre em relação ao eixo horizontal, neste caso, o nível da água em repouso. Este parâmetro está exposto na Figura 46.
Figura 46 - Assimetria da elevação da superfície livre, para uma onda incidente com altura de 18 cm e período de 1.5 s.
Analisando a Figura 46, a assimetria apresenta uma tendência para crescer desde o início até chegar perto da zona onde começa a rebentação. Depois de baixar durante um certo período, apresenta uma grande variabilidade na zona entre x=-200 cm e x=0 cm, onde ainda ocorre rebentação. A partir deste último ponto, existe um certo pendor crescente para depois na parte final voltar aos valores encontrados nas posições iniciais.
-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 A ssi me tr ia (- ) x (cm)
64
5.4.4.
Curtose
Em Estatística descritiva, a curtose, , é uma medida de dispersão. Neste caso, caracteriza o pico ou "achatamento" da curva de distribuição da superfície livre.
Para a distribuição normal, a curtose tem o valor de três. Se o valor da curtose for inferior a três, a distribuição está mais achatada e, se for superior a três, a distribuição é menos achatada do que a normal e existe uma gama de valores que ocorre com maior frequência (Sancho, 2002). Na Figura 47 apresenta-se a evolução da curtose ao longo do canal.
Figura 47 – Curtose da elevação da superfície livre, para uma onda incidente com altura de 18 cm e período de 1.5 s.
A curtose apresenta um comportamento semelhante ao da assimetria. Aumenta até ao momento da rebentação, para depois baixar e de seguida entrar numa fase com variação enorme. Ao ter valores de curtose abaixo de três é um indicativo de que não existem muitos valores a ocorrer com mais frequência.
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 C u rto se ( -) x (cm)
65
5.5. Análise Espectral
5.5.1.
Considerações gerais
Nesta secção será exposto a variação da forma do espectro ao longo do canal, tendo sido escolhidos 7 pontos, considerados os mais relevantes para o efeito, para analisar as diferenças, ou não, entre os dois tipos de análises feitas.
Convém referir um aspecto importante que ocorre na análise espectral dos valores de elevação da superfície livre, , uma função contínua, para um domínio discreto, o domínio da frequência. A amostragem dos valores contínuos do domínio do tempo com um intervalo de tempo limita o valor máximo das frequências resolvidas pela análise espectral, limite este dado pelo teorema de Nyquist. A consequência disto é um fenómeno conhecido como “alisamento”, que consiste em reflectir a energia das frequências altas em torno da frequência de Nyquist, também conhecida por frequência de corte, cujo valor é dado pela Equação 5.5:
(5.5)
em que é o intervalo de amostragem.
A Figura 48 mostra um exemplo esquemático simples da consequência de escolher um intervalo de amostragem desadequado em relação à frequência presente na série temporal. Neste exemplo, o não respeitou a Equação 5.5 e o resultado é a curva a azul.
Figura 48 – Representação de duas ondas harmónicas com frequências e , dado um =1/( + ).
Convém referir alguns parâmetros significativos para o estudo feito nesta dissertação, expostos desde a Equação 5.6 até à Equação 5.9:
(5.6)
(5.7)
(5.8)
66
em que é o comprimento da série discreta, ou seja, o número de pontos que haviam para calcular o espectro.Tendo uma frequência de amostragem, , igual a 100 Hz, obteve-se um de 0.01 s. Para cada ensaio, houve cerca de 150 s de tempo para aquisição de dados a serem utilizados nos cálculos, sendo assim o valor de
é dado por
=
=
15000. Após isto, o intervalo entre frequências, , deu então um valor de 0.0067 Hz.O processo de aquisição da transformada de Fourier, isto é, a transformação do sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência, foi feita de forma relativamente rápida. Tendo como 1º procedimento a digitalização do sinal, a obtenção da transformada de Fourier discreta, foi feita por software de processamento de sinais como Matlab™ (Mori, 2009) e
LabView™ (Capitão, 2002), que têm este tipo de sub-rotinas incorporadas.
A onda Wavelet é uma função capaz de decompor e descrever outras funções no domínio da frequência, de forma a podermos analisar estas funções em diferentes escalas de frequência e de tempo. A decomposição de uma função com o uso de wavelets é conhecida como Transformada de Wavelet e tem duas variantes: contínua e discreta. Graças à capacidade de decompor as funções no domínio da frequência e no domínio do tempo, as funções wavelet são ferramentas poderosas para a análise de sinais e compressão de dados (Torrence e Compo, 1998).
Esta característica de haver energia concentrada numa região finita é o que diferencia a análise usando wavelets da análise de Fourier, já que a última usa as funções de seno e co- seno que são periódicas. Na análise de Fourier podemos extrair apenas informações sobre o domínio da frequência, enquanto na análise com Wavelets podemos extrair também informações da função no domínio do tempo.
No entanto as wavelets não são tão bem localizadas no domínio da frequência como as funções da base de Fourier. As ondas wavelet dispõem uma forma de balancear a incerteza entre o domínio do tempo e o domínio da frequência. Um dos exemplos de funções de base da análise por wavelets é a função wavelet de Morlet, que foi a utilizada nesta dissertação, nomeadamente na função criada em ambiente Matlab™ (Torrence e Compo,
1998). Na Figura 49 apresenta-se um exemplar duma wavelet de Morlet.
67
5.5.2.
Análise comparativa
Foi escolhida o ensaio da maior onda, com altura de 18 cm e período de 2.5 s. As posições escolhidas para fazer a análise foram as seguintes: x=-1000, -500, -400, -150, -100, 0 e 400 cm. Desde a Figura 50 à Figura 63 estão as análises com Wavelets e de Fourier, partindo desde o ponto x=-1000 cm até ao ponto x=400 cm, apresentando-se desta forma a evolução do espectro ao longo do canal.
Convém referir um facto importante: para garantir que as transformadas wavelet em cada escala são directamente comparáveis entre si e para outras transformadas de séries temporais, a função de onda em cada escala é normalizado para ter energia unitária. Para tornar mais fácil a comparação espectros wavelet diferentes, é desejável encontrar uma normalização comum, sendo que, para séries temporais de ruído branco (white noise), isto é, um tipo de ruído produzido pela combinação simultânea de todas as frequências, o valor esperado da Transformada Wavelet é a variância, ou seja, = (Torrence e Compo, 1998).
68
Figura 50 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-1000cm.
Figura 51 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-1000 cm.
69
Figura 52 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-500 cm.Figura 53 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-500 cm.
70
Figura 54 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-400 cm.Figura 55 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-400 cm.
71
Figura 56 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-150 cm.Figura 57 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-150 cm.
72
Figura 58 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-100 cm.Figura 59 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-100 cm.
73
Figura 60 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=0 cm.74
Figura 62 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=400 cm.Figura 63 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=400 cm.
Analisando todos os sete pontos testados, existe uma forte correlação entre as análises de Fourier e Wavelet, com os picos de energia a terem lugar nas mesmas frequências.
Porém, existe uma nota importante a reter, neste caso, a ordem de grandeza entre as duas análises, já que devido à normalização existente na análise Wavelet, os valores máximos dos espectros deste tipo diferem na ordem de uma casa decimal a menos em relação aos da análise de Fourier.
De resto, obteve-se valores dentro do esperado, com o espectro a ter valores mais altos e energia concentrada em certas frequências na posições x=-1000 e -500 cm. Na posição x=- 400 cm, praticamente da zona de rebentação (ver Tabela 4), já há uma diminuição do valor máximo do espectro, ou seja, da energia, e nas restantes posições mais adiante há uma diminuição gradual do valor máximo do espectro, com a distribuição da energia por um maior número de frequências mais altas.
75
6. Conclusões
Neste trabalho descreveram-se os trabalhos realizados no LNEC no período de Abril de 2010 a Março de 2011, consistindo principalmente na execução de ensaios de ondas regulares no canal descrito no Capítulo 4.
A realização dos ensaios em modelo físico baseou-se na recolha de dados com o objectivo final de fazer análises das características hidrodinâmicas das ondas com propagação em fundos complexos e a obtenção de dados experimentais para a validação de modelos numéricos.
No presente trabalho, efectuou-se análises com base nas medições da elevação da superfície livre da água para quinze tipos de ondas (diferentes alturas e períodos), em vários pontos distribuídos ao longo do canal, e chegou-se a algumas conclusões. No entanto, é preciso ter em conta que a aplicabilidade e validade dos resultados obtidos e apresentados neste trabalho é naturalmente limitada pelas condições experimentais de onde foram obtidas, estando sujeitos a efeitos de reflexão que estão inerentes a instalações deste género. Há que realçar também que a medição da elevação da superfície livre na zona pós-rebentação é menos precisa, uma vez que esta é uma zona onde existe forte turbulência e emulsionamento de ar. Por essa razão, existe uma certa dispersão dos valores experimentais nesta zona.
Na análise temporal, chegaram-se a resultados esperados, mesmo que com algumas
nuances, da evolução do período, da altura significativa e da altura relativa.
Na análise da rebentação, os resultados foram bastante aceitáveis, quando comparados com os estudos previamente feitos. No entanto, notou-se uma maior discrepância para os ensaios com onda de períodos superiores, sendo isto um aspecto importante a reter.
Em termos de análise estatística, os parâmetros tiveram resultados semelhantes nos ensaios das diversas ondas, antes e depois da rebentação. Convém dizer também que as variações nos valores de assimetria e curtose são um indicador da presença de efeitos não lineares (Sancho, 2002).
Na análise espectral, tendo à partida uma noção de que, a análise entre os dois tipos de espectros teria de ser vista de forma um tanto qualitativa, por causa da normalização, a evolução do espectro ao longo do canal foi a esperada e tendo na quase totalidade dos ensaios, exceptuando alguns casos na posição x= 400 cm, correspondências significativas.
Como forma de desafio a futuras iterações neste domínio, a análise de ondas incidentes irregulares seria sem dúvida uma tentativa interessante a seguir, sobretudo por causa da análise espectral e do local de rebentação. Dessa maneira, será possível chegar a mais conclusões em termos do efeito provocado pela interacção entre ondas, como por exemplo a transferência de energia para outras frequências no espectro e o local de rebentação da onda.
76
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i
Anexos
Anexo A – Análise Temporal
Anexo A1 – Altura Significativa (Período de onda incidente 1.1, 1.5 e
2.5 s)
Figura A1. 1 – Variação da altura significativa ao longo do canal, para os ensaios com período de onda incidente igual a 1.1 s.
Figura A1. 2 – Variação da altura significativa ao longo do canal, para os ensaios com período de onda incidente igual a 1.5 s.
Figura A1. 3 – Variação da altura significativa ao longo do canal, para os ensaios com período de onda incidente igual a 2.5 s. 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 H s ( cm) x (cm)
Variação da Altura Significativa (Período de onda incidente T=1.1 s)
H12 H14 H16 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 H s ( cm) x (cm)
Variação da Altura Significativa (Período de onda incidente T=1.5 s)
H12 H14 H16 H18 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 H s ( cm) x (cm)
Variação da Altura Significativa (Período de onda incidente T=2.5 s)
H12 H14 H16 H18
ii
Anexo A2 – Período Médio
Figura A2. 1 – Evolução do período médio ao longo do canal, para os ensaios com altura de onda incidente igual a 12 cm.
Figura A2. 2 – Evolução do período médio ao longo do canal, para os ensaios com altura de onda incidente igual a 14 cm.
Figura A2. 3 – Evolução do período médio ao longo do canal, para os ensaios com altura de onda incidente igual a 18 cm. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 Tm ( s) x (cm)
Variação do Período médio (Altura de onda incidente H=12 cm)