Consideremos um simplex Sk no Rn.
No Passo 0 do algoritmo anterior, denotamos o simplex Sk por S (simplex
atual). A partir de S constru´ımos simplex-testes. Inicialmente constru´ımos uma reflex˜ao de S (no Passo 1) particionando-o em dois subconjuntos: Sgood
formado pelos m melhores v´ertices, os quais ser˜ao mantidos, e Sbad pelos
n + 1 − m piores v´ertices, os quais ser˜ao substitu´ıdos. A Figura 4.3 ilustra a reflex˜ao isom´etrica de S no R3 , para m = 3, m = 2 e m = 1. A itera¸c˜ao k s´o termina quando um dos simplex-testes satisfaz o decr´escimo fortalecido , ou seja, quando ocorrer um passo melhorado. Neste caso, um dos simplex-testes ser´a o simplex Sk+1. Caso contr´ario, aceitamos o simplex reduzido S0 para ser
o novo S e reiniciamos o processo no Passo 1 dentro da mesma itera¸c˜ao k. A escolha do n´umero inteiro m (n´umero de v´ertices mantidos na constru¸c˜ao de simplex-testes) deve satisfazer
1 6 m 6 min{n, l(F (S), F (Sk))} .
Em cada itera¸c˜ao k, quando entramos no Passo 1 pela primeira vez (do Passo 0), temos que S = Sk, ent˜ao, l(F (S), F (Sk)) = n + 1, logo podemos
escolher m entre 1 e n, o qual, neste caso, denotamos por mk. Se acontecer
de, ainda na mesma itera¸c˜ao k, retornarmos ao Passo 1 do Passo 5, segue que S 6= Ske ent˜ao, l(F (S), F (Sk)) poder´a ser menor que n. Neste caso, talvez n˜ao
poderemos escolher m t˜ao livremente como antes. No in´ıcio de cada itera¸c˜ao podemos escolher mk entre 1 e n, se escolhemos esse n´umero constante em
CAP´ITULO 4. O M ´ETODO FDSS DE PAUL TSENG 23 m = 3 • • • • ◦ Simplex refletido Simplex Inicial
Figura 4.3: Reflex˜ao isom´etrica no m´etodo FDSS.
m = 2 • • • • ◦ ◦ ◦ Simplex refletido Simplex Inicial m = 1 • • • • ◦ ◦ ◦ Simplex refletido Simplex Inicial
CAP´ITULO 4. O M ´ETODO FDSS DE PAUL TSENG 24
Se for f convexa, ou mais geralmente quase-convexa, no sentido de
f (x + γ(y − x)) 6 max{f (x), f (y)}, ∀ γ ∈ [0, 1], ∀ x, y ∈ Rn, (4.14) ent˜ao, l(F (S), F (Sk)) > n toda vez que retornarmos ao Passo 1 e, portanto,
m poder´a ser escolhido livremente entre 1 e n. De fato, quando S ´e re- duzido em dire¸c˜ao ao melhor v´ertice sbest para obter S0 = sbest+ γs(S − sbest),
temos que f (sbest) 6 f (s) para cada s ∈ S e junto com (4.14) segue que
f (sbest+ γs(s − sbest) 6 max{f (sbest), f (s)} = f (s).
Logo, Fi(S0) 6 Fi(S), i = 1, . . . , n . Cada vez que retornamos ao Passo 1 do
Passo 5, Sk permanece constante, ent˜ao, F
i(S) 6 Fi(Sk), i = 1, . . . , n e, por-
tanto, l(F (S), F (Sk)) > n.
Implementamos o algoritmo com mk sendo um dado de entrada constante.
No in´ıcio da itera¸c˜ao fazemos m = mk e quando ocorrer uma redu¸c˜ao n˜ao
melhorada, calculamos o ´ındice de consistˆencia e verificamos m, podendo variar dentro da itera¸c˜ao. Em alguns experimentos num´ericos ocorreu este fato. No Cap´ıtulo 5 apresentaremos testes com diversos valores de mk.
Ainda no Passo 1, devemos escolher um subconjunto n˜ao vazio S0 de Sgood
e os escalares µs. Ambos s˜ao usados para definir o centr´oide ponderadox. Ab condi¸c˜ao µs >
θr
|S0|
, θr ∈ (0, 1), impede que o centr´oide ponderado fique
muito pr´oximo de um v´ertice. Uma escolha poss´ıvel ´e:
S0 = Sgood e µs = 1 m. (4.15) Portanto, b x = 1 m X s∈Sgood s .
Devemos escolher Srsatisfazendo (4.5). Podemos escolher a reflex˜ao isom´etrica
CAP´ITULO 4. O M ´ETODO FDSS DE PAUL TSENG 25
O lema a seguir mostra que as escolhas (4.15) e (4.16) satisfazem (4.5) para τr = 1, γe > 1 e ν ∈ (0, von(S0)].
Lema 4.3.1. Dado o simplex inicial S0 = {s
1, s2, . . . , sn+1} no algoritmo
FDSS. Consideremos Sgood = {s1, s2, . . . , sm}, Sbad = {sm+1, sm+2, . . . , sn+1}
e o conjunto de v´ertices obtido atrav´es da reflex˜ao isom´etrica de Sbadem rela¸c˜ao
ao centr´oide dos v´ertices de Sgood, ou seja, Sr = 2x − Sb bad com bx = 1 m
X
s∈Sgood
s.
Se τr= 1, γe> 1 e ν ∈ (0, von(S0)], ent˜ao,
Sbad−x ⊆ τb rconv(Sgood− Sr) ,
∆ 6 diam(Sgood∪ Sr) 6 γe∆ e von(Sgood∪ Sr) > ν .
Dem. Consideremos Sr = {s0m+1, s0m+2, . . . , s0n+1}. Da isometria da re-
flex˜ao temos que
si+1−bx =bx − s
0
i+1, i = m, . . . , n .
Como x ∈ conv({sb 1, s2, . . . , sm}) segue que
b
x − s0i+1 ∈ conv({s1− s0i+1, s2− s0i+1, . . . , sm− s0i+1}) , i = m, . . . , n .
Portanto,
Sbad−bx = {sm+1−x, sb m+2−x, . . . , sb n+1−x} =b
= {x − sb 0m+1,bx − s0m+2, . . . ,x − sb 0n+1} ⊂
⊂ [
i=m,...,n
conv({s1− s0i+1, s2− s0i+1, . . . , sm− s0i+1})
! ⊂
⊂ conv [
i=m,...,n
{s1 − s0i+1, s2− s0i+1, . . . , sm− s0i+1}
!
= conv(Sgood− Sr) .
Tamb´em podemos concluir, da reflex˜ao isom´etrica, que
CAP´ITULO 4. O M ´ETODO FDSS DE PAUL TSENG 26
e que os ˆangulos internos do simplex n˜ao se alteram, donde,
von(Sgood∪ Sr) > ν para ν ∈ (0, von(S0)] .
Observamos que em (4.5) a condi¸c˜ao diam(Sgood∪ Sr) 6 γe∆ evita o que
ilustra a Figura 4.4A, no R2, ou seja, o simplex ficar com forma arbitrariamente
alongada. Se o diˆametro for a base onde se encontra o centr´oide ponderado, a condi¸c˜ao von(Sgood ∪ Sr) > ν impede o que ilustra a Figura 4.4B, ou seja,
o simplex ficar arbitrariamente achatado. Condi¸c˜oes semelhantes s˜ao usadas no simplex expandido e no contra´ıdo. Portanto, estas condi¸c˜oes garantem que os ˆangulos internos do simplex-teste est˜ao limitados inferiormente por uma constante positiva, impedindo que o simplex torna-se degenerado.
◦ ◦ ◦ • • • ◦ ◦ ◦ • • • Figura 4.4A Figura 4.4B
Figura 4.4: ˆAngulos internos do simplex no R2.
No Passo 2 devemos escolher Σbad, um subconjunto n˜ao vazio de Sbad, satis-
fazendo (4.6), para verificar o decr´escimo fortalecido (4.9). Se para Σbad esco-
lhemos os piores v´ertices de Sbad, temos que fmax(Σbad) = fmax(S) , assim, para
CAP´ITULO 4. O M ´ETODO FDSS DE PAUL TSENG 27
Podemos escolher o pr´oprio Sbad, mas ´e vantajoso escolher Σbad com cardinali-
dade menor pois, assim, parax e Sb rconforme (4.15) e (4.16), podemos escolher
Σr = 2x − Σb bad (4.17)
e portanto, Σr tamb´em poder´a ter cardinalidade menor. Como s˜ao necess´arias
|Σr| avalia¸c˜oes adicionais da fun¸c˜ao para verificar o decr´escimo fortalecido
(4.8) e (4.9), teremos um teste mais econˆomico. Entretanto, se diminu´ımos |Σr|, a chance do simplex refletido ser aceito torna-se menor. No cap´ıtulo 5
apresentaremos testes variando |Σr|.
No Passo 1, em (4.4), definimos a fun¸c˜ao interpolada bf usada na escolha de Σbad em (4.6) e no decr´escimo fortalecido (4.9). Para definirmos bf precisamos
somente efetuar soma e multiplica¸c˜ao de n´umeros reais, j´a que os valores de f nos v´ertices de S0 foram obtidos anteriormente. Teoricamente, pode-se mudar
b
f por f (x) sem afetar os resultados de convergˆb encia, mas, na pr´atica essa mudan¸ca aumenta significantemente o n´umero de avalia¸c˜oes da fun¸c˜ao (uma avalia¸c˜ao adicional por itera¸c˜ao).
Ap´os fazermos a reflex˜ao de S no Passo 1, se o crit´erio do decr´escimo fortalecido no Passo 2 for satisfeito, seguimos para Passo 3, sen˜ao, devemos escolher se iremos para o Passo 4 ou 5. Em nossa implementa¸c˜ao n˜ao colocamos essa op¸c˜ao, seguimos para o Passo 4.
No Passo 5, ao reduzirmos o simplex S, se o decr´escimo fortalecido (4.13) ´e satisfeito, a itera¸c˜ao k termina, caso contr´ario, retornamos para o Passo 1 com S = S0. Ent˜ao, se acontecer uma seq¨uˆencia de passos n˜ao melhorados seguidos por um passo melhorado, contamos como uma ´unica itera¸c˜ao. Ainda pode acontecer o que chamamos de entrar em looping, ou seja, o Passo 1 ´e retornado um n´umero infinito de vezes e a itera¸c˜ao k nunca termina. Quando isto acontece, o algoritmo p´ara, saindo com o ponto para o qual {sbest} con-
verge. Isto ´e garantido, pois cada vez que o Passo 1 ´e retornado, o diam(S) ´e diminu´ıdo por um fator γs e o novo S est´a contido no envolt´orio convexo do S
CAP´ITULO 4. O M ´ETODO FDSS DE PAUL TSENG 28
anterior. Portanto, {sbest} converge. Notamos que este m´etodo usa o crit´erio
do decr´escimo fortalecido para testar o simplex reduzido, enquanto que nos trˆes m´etodos simplex citados anteriormente, quando o simplex ´e reduzido, ele ´e aceito sem verificar se houve melhora.
Uma itera¸c˜ao do m´etodo FDSS representa
• ou um n´umero finito (inclusive 0) de redu¸c˜oes n˜ao melhoradas seguidas por um passo melhorado de reflex˜ao/expans˜ao/contra¸c˜ao/redu¸c˜ao;
• ou um n´umero infinito de redu¸c˜oes n˜ao melhoradas.
No ´ultimo caso, o m´etodo produz o ponto limite.
O crit´erio do decr´escimo fortalecido aparece em (4.8) e (4.9) para o simplex refletido, em (4.10) para o simplex expandido, em (4.11) e (4.12) para o simplex contra´ıdo e em (4.13) para o simplex reduzido. Podemos escolher a fun¸c˜ao α(t) = 10−5min{t2, 1} para ser a fun¸c˜ao α, a qual aparece em (4.8), (4.12) e (4.13), α(t) ´e menor ou igual a 10−5 para qualquer t; para ser a fun¸c˜ao β, a qual aparece em (4.9), podemos escolher a fun¸c˜ao β(t) = 105t2, a qual tem crescimento r´apido longe do zero. Esse crit´erio impede que melhoras n˜ao t˜ao boas sejam aceitas. Em [14], Tseng mostra que para um simplex-teste que satisfaz um desses conjuntos de condi¸c˜oes, o diˆametro do simplex converge para zero e que pelo menos um ponto de acumula¸c˜ao da seq¨uˆencia de iterandos ´e um ponto estacion´ario de f .
O crit´erio de parada do m´etodo FDSS ´e baseado no diˆametro do simplex e na diferen¸ca dos valores de f nos v´ertices:
diam(S) 6 e kg(S)k 6 (4.18) onde g(S) = (f (s2) − f (s1))/ks2− s1k .. . (f (sn+1) − f (s1))/ksn+1− s1k .
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