A Análise Inelástica Avançada refere-se a qualquer método de análise que, de forma adequada, avalie simultaneamente a resistência e a estabilidade de um sistema estrutural como um todo. Esse tipo de análise consiste basicamente em introduzir no modelo numérico e nas formulações a serem adotados todos os fatores considerados relevantes na análise da estrutura, e que permitem ao calculista fazer o dimensionamento seguro do sistema estruturado em aço.
Dentre os fatores considerados relevantes a serem incluídos, de forma explícita ou implícita na análise avançada, segundo CHEN et al. (1996), destacam-se:
A) Atributos físicos
• Topologia de pórticos: comprimento das barras considerados como a distância entre os eixos das mesmas ou como os comprimentos livres das barras com nós finitos;
• Estruturas bi ou tridimensionais com elementos ortogonais ou inclinados;
• Imperfeições iniciais devido à curvatura inicial das barras, pórticos e pilares fora de prumo, desalinhamento das barras, distorção da seção transversal; • Tensões residuais devido a processos de fabricação e montagem;
• Restrições de extremidades devido a contraventamentos, apoios, fundações, etc.; • Tipos de ligações: flexível, rígida, semirrígida;
• Tipos de seções transversais: simétrica, não simétrica, perfil aberto ou fechado; • Barras de perfis prismáticos ou não-prismáticos;
• Sequência de construção/montagem; • Interação com a fundação.
B) Resposta a fenômenos não lineares
Não linearidade geométrica:
• Efeito P-Δ : momentos de segunda ordem devido a forças axiais agindo nos deslocamentos associados com rotação de corda do eixo longitudinal;
• Efeito P- : momentos de segunda ordem devido a forças axiais agindo nos deslocamentos associados com a curvatura de barras fletidas;
• Deformação axial devido ao “efeito bowing”; • Deformação por cisalhamento das barras; • Flambagem local e distorções;
• Interação entre flambagem local e global; • Deformações de painéis.
Não linearidade física dos materiais: • Formação de rótulas plásticas;
• Distribuição da plastificação ao longo das barras e das seções transversais; • Strain hardening (encruamento do material);
• Descarregamento devido a deformações plásticas;
• Interação inelástica da força normal, momentos fletores, momentos de torção e força cortante;
• Efeitos de plasticidade cíclica.
C) Efeitos de carregamentos:
• Carregamentos conservativos e não conservativos; • Carregamentos fora do centro de cisalhamento; • Carregamentos variáveis e repetitivos;
• Carregamentos dinâmicos;
• Carregamentos devido aos estágios de construção (escoramentos, equipamentos, etc.).
D) Incertezas
• Variabilidade dos carregamentos;
• Variabilidade das resistências das ligações, das barras e das estruturas; • Variabilidade da resistência dos materiais.
Para que um método de análise seja classificado como avançado nem todos os atributos mostrados anteriormente necessitam ser representados no modelo. Dessa forma, a literatura técnica tem considerado que, pelo menos, o estudo em teoria de segunda ordem (efeitos P-Δ e P- ), a distribuição da plasticidade, as tensões residuais, as imperfeições geométricas iniciais, as deformações por cisalhamento e a flexibilidade das ligações devem ser levadas em conta na análise. A falta de alguns atributos caracteriza uma limitação da análise, e essa limitação deve ser levada em conta no projeto final conforme os critérios estabelecidos pelas normas técnicas. Dentre os atributos descritos anteriormente, aqueles destacados em itálico são considerados na presente formulação.
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FORMULAÇÃO TEÓRICA PARA ANÁLISE
INELÁSTICA DE PÓRTICOS PLANOS
CONSIDERANDO A TEORIA DE TIMOSHENKO
3.1 Considerações Iniciais
A análise do comportamento estrutural de barras pode ser realizada, com suficiente aproximação, com base na teoria clássica de Bernoulli-Euler, na qual considera-se a hipótese de que as seções transversais planas, inicialmente normais ao eixo da viga, permanecem planas, indeformáveis e normais a este eixo após a deformação. Essa teoria, desenvolvida em 1705 e ainda usualmente utilizada pelos engenheiros devido à sua simplicidade, não leva em conta as deformações causadas por tensões de cisalhamento (distorções) nas seções transversais.
A teoria clássica de Bernoulli-Euler é mais apropriada para barras cujas dimensões da seção transversal são pequenas em comparação com seu comprimento (barras longas e esbeltas), ocorrendo diferenças significativas no caso de barras onde a razão entre o seu comprimento e a altura da seção transversal é pequena (barras curtas), principalmente no caso de perfis metálicos do tipo I, onde a influência da deformação por cisalhamento é
mais pronunciada pelo fato de possuírem elevados fatores de forma. Nesses casos, os
efeitos do cisalhamento não podem ser desprezados e o modelo de Timoshenko pode ser adotado.
Em 1921 TIMOSHENKO1 apud PLAIS (1998) estendeu o limite de validade da teoria clássica, ao introduzir os efeitos do cisalhamento, tomados como constantes ao longo da altura da seção transversal da barra, nas equações diferenciais que governam o problema. Dessa forma, a consideração de que as seções transversais permanecem planas após a deformação continua válida, porém não mais perpendiculares ao eixo normal da viga. A teoria admite, portanto, além da deformação oriunda do momento fletor, uma deformação adicional devido à distorção da seção.
Em GERE (1965) e TIMOSHENKO e GERE (1983, 1984) podem ser encontradas discussões importantes sobre o desenvolvimento teórico de vigas considerando-se a influência das deformações por cisalhamento, bem como em AMARAL (2002), que apresenta um estudo bastante didático sobre a influência dos efeitos do cisalhamento na análise de vigas.
WANG (1995) mostrou que soluções considerando-se o modelo de Timoshenko podem ser facilmente obtidas, sem a necessidade de se desenvolver análises mais complexas de deformações por flexão e cisalhamento. O autor apresentou flechas e esforços solicitantes resultantes de vigas de Timoshenko considerando-se vários tipos de carregamentos e condições de contorno, associadas às soluções correspondentes na teoria clássica.
Vários modelos de elementos finitos que consideram as hipóteses de Timoshenko já foram propostos na literatura, diferindo na escolha das funções de interpolação utilizadas para o deslocamento vertical e rotacional. O elemento de viga de Timoshenko mais simples é atribuído a HUGHES2 apud OWEN e HINTON (1980), que considera interpolações lineares tanto para os deslocamentos transversais, quanto para as rotações. No entanto, devido à inconsistência da ordem das funções de interpolação utilizadas para os deslocamentos transversais e rotações, o modelo leva ao efeito “shear locking”, acarretando o bloqueio ou travamento da solução.
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1
TIMOSHENKO, S. P. (1921) On the Correction for Shear of the Differential Equation for Transverse Vibrations of
Prismatic Bars. Philosophical Magazine, v. 41, pp 744-746. 2H
UGHES,T.J.R.,TAYLOR,R.L.eKANOKNUKULCHAI,S.(1977) A Simple and Efficient Finite Element for Bending. Int. J. Num. Meth. Engng. 11, pp 1529-1543.
A Teoria de Timoshenko tem sido amplamente investigada e aplicada na análise estrutural. No entanto, a ação combinada do efeito do cisalhamento e do efeito P-delta associados à flexão tem sido pouco estudada. Segundo LIU (2007), em problemas não lineares geométricos, o efeito da deformação por cisalhamento pode contribuir significativamente para o comportamento não linear de estruturas.
NEVES (2000) desenvolveu um programa computacional para a determinação mais rigorosa dos deslocamentos, esforços internos, deformações e tensões em grelhas de concreto armado. Para a obtenção da matriz de rigidez do elemento, o autor adaptou ao modelo de grelha a distorção da seção transversal, empregando-se a teoria de vigas de Timoshenko.
Baseado no trabalho de NEVES (2000), BRANCO (2002) desenvolveu um algoritmo, com a correspondente implementação de um código computacional, baseado no Método dos Elementos Finitos, considerando-se as não lineares, geométrica e do material, de pórticos planos em concreto armado. Para levar em conta a influência das tensões de cisalhamento foi utilizada a teoria de Timoshenko para a obtenção da matriz de rigidez do elemento.
Visando obter resultados que possam representar com uma maior aproximação a deformação real das barras de uma estrutura é apresentada uma formulação numérica considerando-se o modelo de Timoshenko para pórticos planos de aço. Finalmente,
exemplos numéricos são apresentados para comprovar a importância do efeito da distorção da seção transversal na análise, principalmente no caso onde a razão entre o comprimento da barra e a altura da seção transversal é pequena.