Para quaisquer números reais x e a e qualquer número natural n, temos:
(x 1 a)n 5 p 5 0
Ŷ
n@
n p#
xn 2 p ap 55
@
n 0#
xna0 1@
n 1#
xn 2 1a1 1@
n 2#
xn 2 2a2 1 ... 1@
n p#
xn 2 pap 11 ... 1
@
n n#
x0anO termo geral do binômio de Newton é dado por:
T 5
@
p n#
xpan 2 p, segundo a ordem crescente dos expoentes de x; T 5
@
p n#
xn 2 p ap, segundo a ordem decrescente dos expoen- tes de x.320
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
1. (Unioeste-PR) Na intenção de formar números naturais compostos de três algarismos nos deparamos com a possi-bilidade de que os algarismos que compõem esse número podem ser ou não distintos. Se optarmos pela alternativa de compor esses números com algarismos que podem ser repetidos, teremos uma quantidade de números que chamaremos de A. Se optarmos pela formação de número de três algarismos, porém sem repeti-los, teremos uma quantidade de números que chamaremos de B. Com base nessas informações, é correto afirmar que:
a) A 1 B 5 1.500
a) quantos anagramas podemos formar apresentando as consoantes em ordem alfabética, não necessariamente juntas?
b) quantos anagramas podemos formar apresentando as vogais em ordem alfabética, não necessariamente juntas?
3. (UFV-MG) O número de combinações de n objetos tomados 3 a 3 é igual ao número de arranjos dos mesmos objetos tomados 2 a 2. O valor de n2 2 n é:
5. (Vunesp) Um certo tipo de código usa apenas dois sím-bolos, o número zero (0) e o número (1), e, considerando esses símbolos como letras, podem-se formar palavras.
Por exemplo: 0, 01, 00, 001, 110 são algumas palavras de uma, duas e três letras desse código. O número máximo de palavras, com cinco letras ou menos, que podem ser formadas com esse código é:
a) 120 d) 20
b) 62 e) 10
c) 78
6. (Unifesp) O corpo clínico de pediatria de certo hospital é composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto a crianças que apresentam necessida-des educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida.
Quantas comissões distintas podem ser formadas nestas condições?
a) 792 d) 136
b) 494 e) 108
c) 369
No Vestibular
Análise combinatória e Binômio de Newton
O total de números com três algarismos é:
9 3 10 3 10 5 900
O total de números com três algarismos distintos é:
9 3 9 3 8 5 648
O total de palavras formadas por uma letra é 2.
O total de palavras formadas por duas letras é: 2 3 2 5 4 O total de palavras formadas por três letras é: 2 3 2 3 2 5 8 O total de palavras formadas por quatro letras é:
2 3 2 3 2 3 2 5 16
O total de palavras formadas por cinco letras é:
2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 32
Logo, o número máximo de palavras com cinco letras ou menos é: 2 1 4 1 8 1 16 1 32 5 62
Alternativa b.
O total de comissões formadas por três profissionais escolhidos entre 12 é: C12, 3 5 __________ 12!
3! (12 2 3)! 5 220 O total de comissões formadas por três profissionais NÃO QUALIFICADOS, entre os nove restantes, é:
C9, 3 5 _________ 9!
3! (9 2 3)! 5 84
Assim, o total de comissões distintas que podem ser formadas de tal maneira que pelo menos um deles seja qualificado é: 220 2 84 5 136
Alternativa d.
a) O número de anagramas que apresentam o L antes do N é igual ao número de anagramas que apresentam o N antes do L; assim, o total t de anagramas que apresentam as consoantes em ordem alfabética é dado por: t 5 5! __
2 5 60
b) Há seis ordens possíveis para as vogais: AUO, AOU, OAU, OUA, UAO e UOA, não necessariamente juntas.
O total de anagramas da palavra ALUNO se distribui igualmente entre essas 6 ordens. Logo, o número k de anagramas que apresentam as vogais em ordem alfabética é dado por: k 5 5! __
6 5 20
Exercício 1Exercício 3Exercício 4Exercício 5Exercício 6Exercício 2
321
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
122
Suplemento de revisão MATEMÁTICA7. (Vunesp) Uma rede de supermercados fornece a seus clientes um cartão de crédito cuja identificação é formada por 3 letras distintas (dentre 26), seguidas de 4 algarismos distintos. Uma determinada cidade receberá os cartões que têm L como a terceira letra, o último algarismo zero e o penúltimo é 1. A quantidade de cartões distintos oferecidos por tal rede de supermercados para essa cidade é:
a) 33.600 com exceção de Andreia, que vive brigando com Manoel e Alberto.
Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros.
Quantas comissões podem ser formadas?
a) 71 b) 75 c) 80 d) 83 e) 87
9. (Fuvest-SP) Uma lotação possui três bancos para passa-geiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Souza, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso,
r "GBNÎMJB4PV[BRVFSPDVQBSVNNFTNPCBODP r -ÙDJBF.BVSPRVFSFNTFOUBSTFMBEPBMBEP
Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros na lotação é igual a:
a) 928 b) 1.152 c) 1.828 d) 2.412 e) 3.456
10. (Mackenzie-SP) O termo independente de x em
E @
x 1 1 __ x#
@
x 2 1 __ x#
R
6 é:11. (UFRRJ) Deseja-se formar comissões de 5 pessoas de um grupo de 5 homens e 6 mulheres. Quantas comissões po-derão ser formadas se em cada uma haverá, no máximo, uma mulher?
12. (Mackenzie-SP) No desenvolvimento de (2x 2 y)5 (2x 1 y)5, a soma dos coeficientes numéricos vale:
a) 3 b) 9 c) 27 d) 81 e) 243
13. (Vunesp) Quatro amigos, Pedro, Luísa, João e Rita, vão ao cinema, sentando-se em lugares consecutivos na mesma fila. O número de maneiras que os quatro podem ficar dispostos de forma que Pedro e Luísa fiquem sempre juntos e João e Rita fiquem sempre juntos é:
a) 2 d) 16
são inteiros não negativos, o número de soluções dessa equação é:
16. (Fuvest-SP) Participam de um torneio de voleibol 20 times distribuídos em 4 chaves, de 5 times cada. Na 1a fase do torneio, os times jogam entre si uma única vez (um úni-co turno), todos úni-contra todos em cada chave, sendo que os 2 melhores de cada chave passam para a 2a fase. Na 2a GBTFPTKPHPTTÈPFMJNJOBUÓSJPTEFQPJTEFDBEBQBS-tida, apenas o vencedor permanece no torneio. Logo, o número de jogos necessários até que se apure o campeão do torneio é:
a) 39 d) 45
b) 41 e) 47
c) 43
17. (Ufla-MG) Um problema clássico em combinatória é cal-cular o número de maneiras de se colocar bolas iguais em caixas diferentes. Calcule o número de maneiras de se colocar 7 bolas iguais em 3 caixas diferentes, sem que nenhuma caixa fique vazia.
Sugestão:
Cada possibilidade das duas barras na figura determina uma distribuição das bolas nas caixas. No desenho, caixa 1 com duas bolas, caixa 2 com três bolas e caixa 3 com duas bolas.
caixa 1 caixa 2 caixa 3
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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. atum, queijo, presunto e salame, sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche.
Calcule:
a) RVBOUPTTBOEVÎDIFTEJTUJOUPTQPEFNTFSNPOUBEPT b) o número de sanduíches distintos que um cliente
pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.
19. (UFC-CE) Considere o conjunto de dígitos C 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
a) Dentre todos os números naturais com quatro dígitos que se pode formar utilizando somente elementos de C, calcule quantos são múltiplos de 4.
b) Dentre todos os números naturais com três dígitos distintos que se pode formar utilizando somente ele-mentos de C, calcule quantos são múltiplos de 3.
20. (Fuvest-SP) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno.
Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumpri-mentarem quanto para se despedirem. Em uma come-moração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão?
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 21. (UFBA) Numa disputa entre três times, estabeleceu-se
que:
r DBEBUJNFKPHBSJBEVBTWF[FTDPOUSBDBEBVNEPTPVUSPT dois, sendo uma partida no seu próprio estádio e outra OPFTUÃEJPEPBEWFSTÃSJP
r DBEBUJNFHBOIBSJBEPJTQPOUPTQPSWJUÓSJBFVNQPOUP QPSFNQBUFOÈPNBSDBOEPQPOUPFNDBTPEFEFSSPUB r BPGJOBMEBTTFJTQBSUJEBTFNRVFFTUBSÃFNEJTQVUB
um total de 12 pontos, o campeão seria o time que acumulasse o maior número de pontos.
Um dos times somou três pontos nas partidas realizadas no próprio estádio, e outro empatou todas as partidas que disputou.
Sabendo que, ao final de todas as partidas, os times fi-caram com pontuações distintas e que a pontuação do campeão foi um número par, determine o produto das pontuações finais dos três times.
22. (Ufes) Um avião possui 120 poltronas de passageiros dis-tribuídas em 20 filas. Cada fila tem 3 poltronas do lado esquerdo (denotadas por A, B, C) e 3 do lado direito (de-notadas por D, E, F), separadas pelo corredor do avião.
Considere que duas poltronas são vizinhas quando elas estão numa mesma fila e não há poltronas entre elas, exceto as de letras C e D, que não são consideradas vizi-nhas.
a) De quantas maneiras distintas dois passageiros podem sentar-se nesse avião, numa mesma fila?
b) De quantas maneiras distintas um casal pode sentar-se em poltronas vizinhas?
c) De quantas maneiras distintas dois casais podem sentar-se nesse avião, de modo que cada casal fique em poltronas vizinhas?
Obs.: A inversão de posição de um casal em poltronas vizinhas caracteriza maneiras disitintas.
23. (UFRJ) Seja P o conjunto de todos os pontos (x, y, z) 9 V3 tais que x 9 {0, 1, 2}, y 9 {0, 1, 2} e z 9 {0, 1, 2}.
a) Quantos pontos possui o conjunto P?
b) Considere os subconjuntos de P formados por exata-mente três pontos colineares. Determine, entre esses subconjuntos, quantos são formados apenas por pontos em que z 5 1. Justifique sua resposta (faça um desenho, se preferir).
24. (Unifesp) As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73a palavra nessa lista é: