Entendemos ser importante observar as sugestões para o ensino de bissetriz nos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN, embora não seja o oficial atualmente, e na Base Nacional Comum Curricular – BNCC por serem documentos normativos que abrangem tanto a rede pública como a rede privada de ensino. Como a BNCC, documento normativo atual, passou a vigorar a partir de 2017, optamos por abordar também os PCN, porque as pesquisas anteriores à 2017 tinham esse documento como norteador. Procuramos compreender o que esses documentos abordam com relação ao ensino de Geometria, construções geométricas e, mais especificamente, o ensino de bissetriz.
Parâmetros Curriculares Nacionais
Os PCN (BRASIL, 1998) são separados por áreas do conhecimento e para cada uma o documento apresenta objetivos, conteúdos, avaliação e orientações didáticas para cada ciclo que corresponde a dois anos de escolaridade no ensino fundamental. Buscamos as orientações para os terceiro e quarto ciclos, que tratam do 6º ao 9º ano. A Matemática é dividida nos seguintes blocos: números e operações, espaço e forma, grandezas e medidas e tratamento da informação.
No bloco espaço e forma o documento trata da importância de desenvolver no aluno o pensamento geométrico, que é um tipo especial de pensamento que permite ao aluno compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive.
O ensino da bissetriz está no quarto ciclo e, este, tem por objetivos:
- produzir e analisar transformações e ampliações/reduções de figuras geométricas planas, identificando seus elementos variantes e invariantes, desenvolvendo o conceito de congruência e semelhança;
- ampliar e aprofundar noções geométricas como incidência, paralelismo, perpendicularismo e ângulo para estabelecer relações, inclusive as métricas, em figuras bidimensionais e tridimensionais. (BRASIL, 1998, p. 82)
Inicialmente os conteúdos desse ciclo levam à análise de figuras e observações, manuseios e construções que permitam ao aluno fazer conjecturas e identificar propriedades. O documento enfatiza a importância de o aluno perceber que é possível transformar uma figura em outra por composição de movimentos e afirmam que:
As atividades de transformação são fundamentais para que o aluno desenvolva habilidades de percepção espacial e podem favorecer a construção da noção de congruência de figuras planas (isometrias). De forma análoga, o trabalho de ampliação e redução de figuras permite a construção da noção de semelhança de figuras planas (homotetias). (BRASIL, 1998, p.
86)
Está previsto para esse ciclo o início do contato do aluno com raciocínios dedutivos que estão muito presentes na exploração de atividades Geométricas, mas focam na importância da realização de verificações empíricas na produção de conjecturas e na prática da argumentação para entender demonstrações.
A bissetriz faz parte do bloco Espaço e Forma com as seguintes orientações:
- Resolução de situações-problema que envolvam a obtenção da mediatriz de um segmento, da bissetriz de um ângulo, de retas paralelas e perpendiculares e de alguns ângulos notáveis, fazendo uso de instrumentos como régua, compasso, esquadro e transferidor.
- Identificação e construção das alturas, bissetrizes, medianas e mediatrizes de um triângulo utilizando régua e compasso. (BRASIL, 1998, p. 89)
Os PCN apresentam ainda critérios de avaliação para o quarto ciclo dos quais apresentamos: “decidir sobre os procedimentos matemáticos adequados para construir soluções num contexto de resolução de problemas numéricos, geométricos ou métricos.” (BRASIL, 1998, p. 92) em que o professor verifica a capacidade do aluno em interpretar, selecionar as informações necessárias, planejar uma solução, prever possíveis soluções, investigar, justificar, argumentar e apresentar a sua resolução de forma clara e objetiva.
A respeito das orientações didáticas, o documento trata da representação plana das figuras espaciais e descreve que as principais funções do desenho são: visualizar, ajudar a provar e ajudar a fazer conjecturas. Segundo os PCN (BRASIL, 1998) quando o aluno tem que representar um objeto geométrico, por meio de um desenho, busca uma relação entre a representação e propriedades desse objeto para organizá-los de acordo com sua imagem mental do objeto. Acrescentam que as atividades realizadas pelos alunos costumam estar em dois polos: o aluno representa o objeto como ele imagina e como ele vê ou procura representar as propriedades que ele julga mais
importantes (sem adaptação). O aluno busca fazer composições para obter o melhor resultado possível. Os PCN afirmam que os estudantes no início do terceiro ciclo ainda realizam as atividades de forma espontânea, conforme suas percepções, mas aos poucos diminuem essa predisposição para se apoiarem nos métodos do professor.
De acordo com esse documento, o professor deve, juntamente com seus alunos, construir um caminho a partir de experiências concretas, para que haja a prova e a legitimação das hipóteses levantadas e uma articulação entre o espaço físico, as figuras geométricas e as representações gráficas. Além disso, sugerem que abordar aspectos históricos pode contribuir para o ensino à medida que o estudo de alguns problemas resolvidos pode mostrar que as generalizações de relações espaciais e suas representações são importantes na resolução de situações diversificadas e complexas.
O documento aborda a importância da construção da bissetriz para permitir ao aluno fazer conjecturas e identificar propriedades. Incentiva o trabalho com resoluções de situações-problema e o uso de instrumentos como régua e compasso, pois este tipo de atividade faz com que os alunos possam realizar verificações empíricas e produzir conjecturas, ampliando o grau de compreensão dos conceitos trabalhados.
Conforme Duval (2004) esse trabalho passa pela apreensão sequencial, referente as construções e a apreensão discursiva que auxiliará nas conjecturas e identificação de propriedades da bissetriz. Para os PCN é importante todo esse trabalho antes da demonstração, etapa que se refere ao resultado da conexão entre as apreensões operatória e discursiva conforme Duval (1997, apud Moretti e Brandt, 2015).
Base Nacional Comum Curricular
A Base Nacional Comum Curricular - BNCC (BRASIL, 2019) é um documento normativo, de abrangência nacional, que auxilia a elaboração dos currículos do sistema de ensino a partir de unidades de conhecimento, que precisam ser desenvolvidas nos alunos durante a educação básica, apoiadas em um conjunto de competências e habilidades. Define competência como “a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitiva e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho.” (BRASIL, 2019,
p. 8). As habilidades, por sua vez, são as aprendizagens, relacionadas aos objetos de conhecimento (conteúdo, conceitos e processos) que devem ser garantidas aos alunos.
A BNCC enfatiza que deve haver uma articulação entre os diversos campos da Matemática – Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade, para que o aluno desenvolva a capacidade de observar a Matemática no mundo real e saiba interpretá-la e utilizá-la na resolução de problemas aplicando conceitos e procedimentos para obter soluções.
Abordaremos as orientações ao ensino fundamental, pois a bissetriz se encontra nesse nível de ensino e, de acordo com o documento é nesse nível que o aluno deve desenvolver o letramento matemático que é definido como:
[...] as competências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. É também o letramento matemático que assegura aos alunos reconhecer que os conhecimentos matemáticos são fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição).
(BRASIL, 2019, p. 266)
O documento propõe cinco unidades temáticas: números, álgebra, geometria, grandezas e medidas, probabilidade e estatística, cada uma acompanhada das habilidades a serem desenvolvidas. Na unidade temática Geometria, propõem o estudo de posição e deslocamentos no espaço, formas e relações entre elementos de figuras planas e espaciais com ênfase na construção, representação e interdependência, com o objetivo de desenvolver o pensamento geométrico dos alunos, necessário para investigar propriedades, fazer conjecturas e produzir argumentos convincentes.
Sugerem que o estudo da Geometria, nos anos finais do ensino fundamental, deve contemplar transformações, ampliações e reduções, identificando seus elementos variantes e invariantes, para que os alunos desenvolvam os conceitos de congruência e semelhança que conduzirá o aluno à formação do raciocínio hipotético-dedutivo.
A respeito de recursos didáticos e materiais, o documento sugere o uso de malhas quadriculadas, ábacos, jogos, calculadoras, planilhas eletrônicas, software de
geometria e a história da Matemática para despertar o interesse do aluno a partir de situações que gerem reflexão, sistematização e formalização dos conceitos matemáticos.
O documento enfatiza que, para a construção de um determinado conhecimento, é necessário um contexto significativo para os alunos, que pode estar dentro da Matemática, em outras áreas ou no cotidiano com o objetivo de capacitar o aluno para abstrair relações e significados e aplicá-los em outros contextos.
O ensino da bissetriz está proposto para o 8º ano, na unidade temática Geometria com os seguintes objetos de conhecimento: “construções geométricas:
ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares; mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas.” (BRASIL, 2019, p. 314). O trabalho com esses objetos deve conduzir o aluno a desenvolver as seguintes habilidades:
(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.
(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas. (BRASIL, 2019, p. 315)
Podemos destacar na comparação dos dois documentos que a BNCC sugere o uso de software de Geometria e a aplicação da noção de lugar geométrico na resolução de problemas.
Após os estudos aqui realizados entendemos, de maneira mais abrangente, o ensino desse conteúdo o que é fundamental para realizarmos as análises das pesquisas encontradas que tratamos no capítulo subsequente.
4 MAPEAMENTO DAS PESQUISAS
Este capítulo tem como objetivo apresentar o mapeamento realizado detalhando a seleção das pesquisas, a organização dos dados, bem como as análises com base nos fichamentos e nas resenhas das pesquisas que compõem nosso corpus de estudo.