CATEGORIA 5 – ÁREA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - ESTUDO DA BISSETRIZ DE UM ÂNGULO E

No documento PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO (páginas 90-125)

4.3 ANÁLISE DOS DADOS

4.3.5 CATEGORIA 5 – ÁREA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - ESTUDO DA BISSETRIZ DE UM ÂNGULO E

BISSETRIZ NÃO FEZ PARTE

Girotto (2016) aborda, em sua pesquisa, construções geométricas e uso do software Geogebra com o objetivo de tratar regularidades que podem ser observadas em figuras dinâmicas e seus procedimentos de construção no software Geogebra em uma sequência didática que foi aplicada a alunos do 9º ano do ensino fundamental.

Utilizou como metodologia alguns pressupostos da Engenharia Didática e como fundamentação teórica o trabalho de Goldenberg que discute hábitos de pensamento matemático e propõe o incentivo de hábitos como visualizar, fazer experiências e explorações, reconhecer padrões ou invariantes, além de descrever relações e processos informalmente e formalmente, do verbal para o visual e vice-versa.

Apesar da pesquisa não ser sobre análise de livros didáticos, Girotto (2016) faz uma crítica aos livros didáticos no que se refere ao ensino de mediatriz, bissetriz, retas paralelas e perpendiculares, pois apresentam as construções de maneira simplificada e não apresentam os argumentos que tornariam evidentes propriedades de figuras geométricas. Com relação a bissetriz de um ângulo, a pesquisadora critica o fato de que a apresentação de sua definição e construção não torna evidente suas propriedades.

A autora apresenta o passo a passo para a construção da bissetriz e afirma que é necessário explicar por que a semirreta é a bissetriz do ângulo e inicia sua argumentação se apoiando na congruência de triângulos pelo critério lado-ângulo-lado, como mostra a Figura 77, em que os triângulos EAF e DAF são congruentes (eles têm raios AD e AE congruentes, têm o lado 𝐴𝐹 em comum e os ângulos determinados por estes dois lados são congruentes).

Figura 77 - Justificativa da construção da bissetriz

Fonte: (Girotto, 2016 p. 25)

Vemos que a apreensão discursiva, conforme Duval, é evidenciada na apresentação da bissetriz de um ângulo, principalmente, para mostrar a congruência dos lados dos triângulos, mas a apreensão perceptiva da bissetriz fica prejudicada porque não está explícito os ângulos congruentes como apresentado nas justificativas.

A definição de ângulo não foi apresentada, porém pela definição de bissetriz, acreditamos que a autora considere ângulo como grandeza. Embora todo esse estudo tenha sido realizado, a bissetriz não constou nas atividades aplicadas aos alunos.

A análise dos resultados foi realizada de acordo com os hábitos de pensamento de Goldenberg em que os alunos precisavam visualizar, fazer experiências e

explorações, reconhecer padrões ou invariantes e descrever relações e processos, informalmente e formalmente, do verbal para o visual e vice-versa. Entendemos que os hábitos de pensamento “experiências e explorações e o reconhecimento de padrões ou invariantes” podem auxiliar os alunos no desenvolvimento da apreensão discursiva, conforme Duval, pois foi solicitado o registro das características dos objetos após a manipulação no software Geogebra. Em algumas atividades o hábito de pensamento “descrever relações e processos, informalmente e formalmente, do verbal para o visual e vice-versa” foi solicitado quando eram apresentadas algumas construções para que o aluno movesse alguns pontos a fim de observar características que lhe permitisse reproduzir a mesma construção. Nessa atividade entendemos que a apreensão sequencial conforme Duval poderá ser desenvolvida.

Girotto (2016) descreve que os hábitos de pensamento que envolvem a visualização e o fazer experiências e explorações foram muito utilizados pelos alunos e potencializados pelas construções geométricas realizadas com o software Geogebra por causa de seu dinamismo. Para a autora, os hábitos de pensamento “reconhecer padrões e invariantes e descrever relações e processos informalmente e formalmente do verbal para o visual e vice-versa” foram pouco ou parcialmente utilizados, fato que já era esperado, mas os alunos foram provocados a registrarem suas observações e percepções para que adquirissem maior familiaridade com a descrição. A pesquisadora concluiu que as construções geométricas aliadas ao software de Geometria favoreceram o desenvolvimento de hábitos do pensamento matemático e, embora os alunos tenham se mantido no nível de conhecimento empírico, houve uma preparação para um trabalho com argumentações dedutivas.

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O objetivo de nossa pesquisa foi realizar um mapeamento das teses e dissertações brasileiras dos principais bancos de dados para saber as abordagens a respeito da bissetriz de um ângulo no período de 2010 a 2020.

No decorrer da pesquisa estudamos as diferentes definições de bissetriz e de ângulo e um estudo didático, com base na Teoria dos Registros de Representação Semiótica para abordar as diferentes apreensões de uma figura.

A análise dos dados evidencia que mesmo que a bissetriz seja relacionada a um ângulo apenas cinco pesquisas apresentaram a definição de ângulo. Para as pesquisas que não definiram ângulo, verificamos a partir da definição de bissetriz como o ângulo era entendido pelo autor. Após a análise de todas as dissertações observamos que sete trabalhos consideraram ângulo como medida. Concordamos com Albuquerque (2017) quando descreve: “Medir vai além da utilização de um método um instrumento. Medir requer, essencialmente, conhecer por completo o objeto a ser medido [...]”. Nesse sentido, entendemos que é necessário que o ângulo seja compreendido como grandeza. A maneira de considerar o ângulo poderá implicar no conhecimento da bissetriz de um ângulo, que muitas vezes é enfatizada em sua característica de dividir um ângulo em dois “iguais”. Entendemos que o conhecimento do objeto geométrico bissetriz vai além dessa característica e por esse motivo ressaltamos sua importância ao longo da pesquisa.

A respeito das definições de bissetriz de um ângulo, destacamos: seis trabalhos abordaram bissetriz como a semirreta que divide um ângulo em dois de medidas iguais, seis pesquisas abordaram bissetriz como semirreta que divide um ângulo em dois congruentes e seis abordaram como lugar geométrico. Algumas pesquisas apresentaram mais de uma definição, outras não apresentaram definição.

Percebemos que oito pesquisas não apresentaram a justificativa da construção da bissetriz de um ângulo. Na justificativa são evidenciadas as características e propriedades do objeto, como: equidistância, ângulos congruentes e perpendicularidade. Além disso, conforme Duval (2014), ocorre o desenvolvimento da apreensão discursiva devido a explicitação de propriedades matemáticas.

Com relação aos sujeitos, encontramos seis pesquisas que aplicaram atividades aos alunos do ensino fundamental, solicitando a construção da bissetriz de um ângulo sem apresentar o passo a passo, porém as atividades enfatizam a construção em si, não solicitando dos alunos justificativas. Não existem situações problemas em que as propriedades da bissetriz sejam mobilizadas. Observamos que três pesquisas aplicaram a sequência com alunos do ensino médio e graduação, fato que difere da orientação dada pelos documentos oficiais.

Destacamos como contribuições três pesquisas que apresentaram atividades de resolução de problemas em que a bissetriz era a solução e que possuem potencial para o desenvolvimento das apreensões perceptiva, sequencial, discursiva e operatória, conforme Duval (2014). Dessas, apenas Lied (2016) aplicou atividades com sujeitos. Devido a quantidade de pesquisas analisadas, entendemos que há necessidade de mais trabalhos que abordem a resolução de problemas com a bissetriz.

A respeito das ferramentas para o ensino, destacamos as contribuições de seis pesquisas que usaram o software de Geometria. Entendemos que além da régua e compasso, essa ferramenta auxilia muito no ensino e aprendizagem pois propicia a manipulação das representações dos objetos geométricos na tela do computador, oferecendo uma construção mais rápida e possibilitando a movimentação e modificação da figura mantendo as características da construção, permitindo uma melhor visualização e identificação de propriedades geométricas.

Muitas pesquisas não realizam a representação figural de maneira fidedigna as definições ou justificativas matemáticas, o que poderá implicar em dificuldades com relação a apreensão perceptiva (maneira como a figura é entendida) pelo sujeito, que conforme Duval (2004) é a primeira apreensão que ocorre e faz com que as outras apreensões sejam subordinadas a ela.

Considerando todos os aspectos, entendemos que a pesquisa de Lied (2016) foi a única que abordou bissetriz na sequência buscando desenvolver a apreensão perceptiva, no sentido de apresentar diferentes registros figurais nos enunciados. Não foram dados o passo a passo nas situações propostas, o que pode permitir aos alunos a elaboração de estratégias para realização da construção, buscando o desenvolvimento da apreensão sequencial. Após cada construção, constavam na sequência questionamentos a respeito de definições, ou propriedades que satisfaziam

determinadas situações, evidenciando assim uma preocupação com a explicitação das propriedades matemáticas que conforme Duval se referem a apreensão discursiva.

Verificamos a necessidade de pesquisas com sujeitos do ensino fundamental que apresentem a bissetriz como lugar geométrico em resolução de problemas conforme sugere a Base Nacional Comum Curricular - BNCC (BRASIL, 2019), pois não encontramos nenhuma pesquisa com essas características.

Sugerimos também que outras pesquisas possam investigar a bissetriz em uma abordagem de ângulo como região, conforme representado em Sangiorgi (1963).

Reiteramos que a Área de Educação Matemática tem dado pouca ênfase as pesquisas relacionadas a bissetriz de um ângulo e sugerimos o estudo desse objeto como protagonista.

Esperamos que as contribuições e lacunas indicadas nessa pesquisa, sejam consideradas como reflexões para novos estudos que possam abranger aspectos que não conseguimos investigar.

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2020.

APÊNDICE A – FICHAMENTO E RESENHA DOS TRABALHOS

DA CARTOLINA AO COMPUTADOR: UMA PROPOSTA PARA O ESTUDO DE GEOMETRIA

Instituição: Universidade Estadual Paulista (UNESP) Autor (a): Sandra Aparecida Oriani Fassio

Titulação: Mestre Ano da defesa: 2011

Sujeitos da pesquisa: Dez alunos da 7ª e 8ª séries do ensino fundamental Metodologia de pesquisa: Pesquisa qualitativa

Referencial teórico: Investigações matemáticas em sala de aula de Ponte, Brocardo e Oliveira (2006)

Definição de Bissetriz: É uma semirreta interna ao ângulo, com origem no vértice do ângulo e que divide em dois ângulos congruentes.

Fassio (2011) tem como objetivo analisar o envolvimento dos alunos de ensino fundamental em uma proposta de estudo da geometria, verificando as possibilidades do uso da tecnologia informática e materiais manipuláveis para a organização de ambientes de aprendizagem que privilegiem uma atitude investigativa por parte do professor e do aluno. A proposta seria a seguinte: Um estudo para descrever e compreender a maneira como os alunos realizam atividades de geometria com diferentes recursos materiais, da cartolina ao computador, passando pelo uso de lápis, régua e caleidoscópio, esquadro, compasso, software e portasegmento. O trabalho foi realizado com dez sujeitos das 7ª e 8ª séries do ensino fundamental.

A pesquisa é qualitativa e baseada nas Investigações matemáticas em sala de aula de Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), que definem quatro principais momentos em investigações matemáticas: o primeiro deles é o reconhecimento da situação e

A pesquisa é qualitativa e baseada nas Investigações matemáticas em sala de aula de Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), que definem quatro principais momentos em investigações matemáticas: o primeiro deles é o reconhecimento da situação e

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