CATEGORIA 4 – ÁREA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - ESTUDO DA BISSETRIZ DE UM ÂNGULO E

BISSETRIZ FEZ PARTE

Dentre as pesquisas, que compõem essa categoria, duas são da instituição UNESP e uma da Universidade Federal de Santa Maria. Fassio (2011) tem como objetivo analisar o envolvimento dos alunos de ensino fundamental em uma proposta de estudo da geometria, verificando as possibilidades do uso de tecnologia informática e materiais manipuláveis para a organização de ambientes de aprendizagem que privilegiem uma atitude investigativa por parte do professor e do aluno. Lied (2016) desenvolveu uma pesquisa envolvendo lugares geométricos da circunferência, reta mediatriz e bissetriz com o objetivo de investigar a mobilização de registros de representação semiótica por meio de atividades didáticas envolvendo lugares geométricos em dois ambientes de aprendizagem: régua e compasso e software Geogebra. Oliveira (2018) teve por objetivo propor a melhoria da aprendizagem de Geometria utilizando desenho geométrico e, para isso, elaborou uma sequência de ensino utilizando régua, compasso, esquadros e transferidor.

A respeito dos sujeitos, Fassio (2011) realizou seu trabalho com alunos de 7º e 8º anos, Oliveira (2018) com alunos do ensino fundamental do 6º ano e Lied (2016) trabalhou com alunos de graduação (licenciatura e bacharelado em Matemática).

Com relação a metodologia e embasamento teórico, as pesquisas diferem. A pesquisa de Fassio (2011) é qualitativa e baseada nas Investigações Matemáticas em Sala de Aula de Ponte, Brocardo e Oliveira, que definem quatro principais momentos em investigações matemáticas: o primeiro deles é o reconhecimento da situação e sua exploração preliminar e a formulação de questões; o segundo se refere ao processo de formulação de conjecturas; o terceiro diz respeito a realização de testes e o eventual refinamento de conjecturas e o quarto se refere a argumentação, a demonstração e a avaliação do trabalho realizado. Fassio (2011) menciona que os alunos são chamados para agirem como matemáticos, não apenas na formulação de questões, conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e nas discussões e argumentações com os colegas e o professor. São mencionados diversos autores que tratam do ensino de Geometria, inclusive Duval com as apreensões de uma figura.

Lied (2016) realiza uma pesquisa qualitativa do tipo estudo de caso em que a elaboração e análise da sequência foi baseada na Teoria de Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval abordando os diferentes tipos de registros de representação: registro figural (RF), registro algébrico (RAI), registro simbólico (RSb) e registro da língua natural (RLN), além dos diferentes tipos de apreensões.

A pesquisa de Oliveira (2018) cita vários autores que tratam de desenho geométrico e sua trajetória no processo de ensino, da especificidade do desenho geométrico na área de conhecimento da matemática e da apropriação de conceitos geométricos a partir de desenhos e construções geométricas.

Fassio (2011, p. 37) apresenta: “dado um ângulo de vértice 𝑂 e lados 𝑂𝐴̅̅̅̅ e 𝑂𝐵̅̅̅̅, dizemos que 𝑂𝐶̅̅̅̅ é bissetriz do ângulo 𝐴Ô𝐵 quando 𝑂𝐶̅̅̅̅ é uma semirreta interna ao ângulo, com origem no vértice do ângulo e que divide em dois ângulos congruentes”.

A autora não definiu ângulo e pela definição de bissetriz entendemos ângulos como grandeza. São descritos o passo a passo da construção e apresentada a justificativa por meio da congruência de triângulos (Figura 75).

Figura 75 - Justificativa da construção da bissetriz

Fonte: (Fassio, 2011, p. 38)

A apreensão perceptiva da figura não evidencia os ângulos congruentes e as circunferências necessárias para a visualização dos triângulos congruentes (os raios das circunferências são os lados dos triângulos) o que dificultaria a apreensão discursiva de que a semirreta 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ é a bissetriz do ângulo pela justificativa da construção.

Oliveira (2018) não explicita o estudo realizado com a bissetriz de um ângulo.

Lied (2016, p. 23) aborda na seção sobre lugares geométricos a bissetriz de um ângulo com a seguinte definição: “o lugar geométrico dos pontos que equidistam

de duas retas concorrentes dadas é o par de bissetrizes dos ângulos formados pelas duas retas, ou ainda, o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados de um ângulo dado”. Apresenta a descrição do passo a passo da construção e sua representação (Figura 76), mas não realiza a construção da bissetriz por lugar geométrico.

Figura 76 - Bissetriz

Fonte: (Lied, p. 24)

A apreensão perceptiva da figura não evidencia a perpendicularidade e a equidistância da bissetriz aos lados do ângulo dado, conforme a definição. Não desenvolve nesse momento a apreensão discursiva, que seria o discurso de justificativa da construção por meio da congruência de triângulos.

Quanto as atividades propostas, Fassio (2011) propõe a construção da bissetriz de um ângulo com os seguintes instrumentos: transferidor, esquadro, software Geogebra, portasegmento⁴ e caleidoscópio. No entanto, o autor não solicita para os alunos a justificativa de suas construções ou a identificação de alguma propriedade inerente ao objeto matemático, ou seja, não procura desenvolver nos alunos a apreensão discursiva.

Oliveira (2018) separa a sequência em tópicos e, no que trata de “ângulos”, constam atividades de construção de ângulos e de bissetriz de um ângulo. Cabe salientar que o autor não definiu ângulo em sua pesquisa e a definição de bissetriz de um ângulo não foi abordada até o momento das análises. Oliveira (2018, p. 121) afirma

4O portasegmento, instrumento pouco conhecido, tem sua construção descrita por Cecco (1971), como sendo do seguinte modo: pode ser confeccionado com papel cartão, cartolina, uma lâmina fina de metal, celulóide ou outro material plástico (o material mais adequado é aquele que apresenta uma superfície lisa e translúcida). Basta recortar um pedaço retangular de 1,5 a 3 cm de largura, e de 10 a 15 cm de comprimento. Esses valores podem variar de acordo com seu uso. O ideal é que o aluno prepare vários portasegmentos de diferentes medidas.

(FASSIO, 2011, p. 11)

que “os alunos compreenderam o conceito de bissetriz como a reta que divide um ângulo em outros dois ângulos congruentes”. Foram propostas duas atividades que envolviam o traçado da bissetriz de um ângulo e o traçado da bissetriz de um ângulo de vértice inacessível, que foram realizadas pelo pesquisador na lousa para que os alunos as seguissem, o que nos leva a inferir que não ocorreu o desenvolvimento da apreensão sequencial. Com relação a apreensão discursiva entendemos que não foi solicitada, uma vez que os alunos não apresentaram as justificativas das construções ou a identificação de alguma propriedade.

Lied (2016) apresentou uma sequência em que foram propostas quinze atividades que tratavam da bissetriz de um ângulo. A pesquisadora cita que buscou criar atividades que contemplassem as quatro apreensões distinguidas por Duval e que propiciassem aos alunos a manipulação de diferentes registros de representação semiótica. Verificamos que as atividades com bissetriz de um ângulo, de fato, buscavam desenvolver a apreensão perceptiva, no sentido de abordar diferentes registros figurais (retas paralelas, retas concorrentes, retas concorrentes e circunferência, retas tangentes e circunferência) em situações problemas que solicitavam a bissetriz como solução. Com relação a apreensão sequencial, não foram dados o passo a passo para construções para permitir aos alunos a elaboração de suas próprias estratégias para a resolução. Após cada construção havia questões que solicitava um discurso do aluno a respeito da determinação de um ponto, da definição da situação ou de alguma propriedade relacionada à situação, assim entendemos que houve uma preocupação em desenvolver nos alunos a apreensão discursiva.

Quanto aos resultados, Fassio (2011) afirma que os alunos não apresentaram maiores dificuldades com a construção com régua e compasso e acredita que isso se deve ao fato de terem visto o conteúdo de ângulos na 6ª série do ensino fundamental.

Os alunos tiveram ideias semelhantes e relataram aos colegas os procedimentos para a construção com régua e compasso. Para a construção da bissetriz de um ângulo com transferidor, os alunos fizeram a medição do ângulo e marcaram um ponto para indicar a metade da medida desse ângulo, depois obtiveram a bissetriz unindo esse ponto com o vértice do ângulo. Quanto a construção da bissetriz com os esquadros, os alunos disseram ser impossível tal construção, mas a pesquisadora interveio dizendo ser possível a construção da bissetriz de alguns ângulos aproveitando o próprio formato dos esquadros.

Ainda em Fassio (2011) o próximo item solicitava a construção da bissetriz com o software Geogebra, mas como no primeiro encontro os alunos se familiarizaram com as ferramentas do software, eles não encontraram dificuldades em realizarem a construção. Na construção com portasegmentos, os alunos tiveram um trabalho de investigação maior e por muitas vezes ocorreu a intervenção da pesquisadora, mas ao final os alunos conseguiram realizar a atividade o que não aconteceu com a atividade de construção proposta com caleidoscópios. A pesquisadora explicou aos alunos que a construção da bissetriz de um ângulo qualquer x com o caleidoscópio dependerá da posição do observador, e exemplificou mostrando que para construir a bissetriz do ângulo de 60º, deve se saber que com o ângulo de 60º temos seis cunhas, então para formar a bissetriz de 60º, deve se dobrar o número de cunhas. Para ângulos divisores de 360º, o número de cunhas é exato e que para outras medidas de ângulos, a bissetriz poderá ser encontrada informalmente, sendo que a metade da medida do ângulo será aproximado. Depois das construções fundamentais, foram propostas outras construções mais elaboradas, como o incentro, para a qual a pesquisadora afirma que os alunos disseram não terem dificuldades nessa construção, pois haviam realizado a construção de várias bissetrizes com os materiais do experimento.

Com relação as construções realizadas pelos alunos, a respeito da bissetriz de um ângulo na pesquisa de Fassio (2011), não pudemos verificar a apreensão perceptiva, pois as figuras não foram apresentadas. Com relação a apreensão sequencial acreditamos que o trabalho possa tê-la desenvolvido nos alunos, pois tiveram que realizar as construções com seus próprios conhecimentos e compartilhar com os colegas, porém como não foram descritos na pesquisa o passo a passo realizado pelo próprio aluno, não podemos confirmar nossa hipótese. Não evidenciamos a apreensão discursiva, porque as atividades com bissetriz de um ângulo não solicitaram aos alunos quaisquer justificativas e, ainda, não foram explicitadas quaisquer propriedades matemáticas da bissetriz de um ângulo. A apreensão operatória pode ser observada nas construções realizadas pelos alunos.

Lied (2016) inferiu a respeito das atividades com a bissetriz de um ângulo que os alunos não se limitaram a repetir método, a grande maioria considerou as propriedades envolvidas e suas respectivas representações de acordo com a atividade proposta além de transitar entre os diferentes registros, deixando o mais

claro possível suas resoluções. Os registros da língua natural e simbólico estavam presentes na maioria das respostas para uma melhor justificativa das soluções e os maiores índices de acertos foram obtidos quando os enunciados tinham o registro em língua natural ou o figural como registros de partida. Foi observado uma predominância do registro figural nas atividades realizadas no Geogebra em comparação com as que foram desenvolvidas com o uso de instrumentos físicos. O registro algébrico não se fez presente nas resoluções, embora os alunos tenham interpretado corretamente o enunciado quando fazia parte do enunciado.

Observamos na pesquisa de Lied (2016) que, embora os sujeitos sejam alunos de graduação (licenciatura e bacharelado em Matemática), em sua maioria as justificativas permaneceram no registro de língua natural. De quinze atividades, para a obtenção do lugar geométrico bissetriz, apenas duas apresentam as justificativas no registro simbólico. Demonstrando que mesmo no ensino superior ocorre uma dificuldade de se apropriar da linguagem matemática.

Oliveira (2018) apresenta a construção realizada por um aluno que escreve o seguinte: “bissetriz é a reta que sai do vértice e divide o ângulo dado em duas partes iguais” o que sugere o entendimento de ângulo como medida. Em seguida o autor afirma: “os alunos compreenderam o conceito de bissetriz como a reta que divide um ângulo em outros dois ângulos congruentes” (p. 121) o que conduz ao entendimento do ângulo como grandeza. Nessa atividade de construção, entendemos que o aluno definiu a bissetriz pela apreensão perceptiva, mas acreditamos que não houve o desenvolvimento da apreensão discursiva e sequencial.

Oliveira (2018), na atividade da bissetriz de um ângulo de vértice inacessível, apresenta apenas a construção realizada por um aluno sem nenhuma justificativa ou definição. Entendemos que esse tipo de atividade pode permitir o desenvolvimento das apreensões sequencial, na possibilidade do aluno realizar a construção, por estratégias próprias, sem ter que seguir um passo a passo pré determinado (o que não ocorreu); o desenvolvimento da apreensão discursiva quando desenvolve um discurso para justificar as construções e, por último, o desenvolvimento da apreensão operatória quando faz modificações mereológicas na figura para construir as bissetrizes que solucionam o problema.

Com relação aos resultados das pesquisas, Fassio (2011) conclui que o uso de diferentes recursos em uma proposta de geometria proporciona aos alunos o

desenvolvimento de habilidades para utilizar os instrumentos e de conhecimentos dos conteúdos abordados. Acrescenta, que a sequência de construções e o modo gradativo como os conteúdos foram abordados, permitem afirmar que os conceitos estudados foram compreendidos.

Lied (2016) analisa que, em síntese, as atividades propostas apoiaram-se na mobilização dos registros e no reconhecimento das apreensões, pois a apreensão perceptiva esteve presente em todas as etapas das atividades e a sequencial se fez presente em alguns itens das atividades. No entanto, alguns erros de interpretação dos enunciados prejudicaram a apreensão discursiva, mas a apreensão operatória foi essencial, para que os alunos pudessem visualizar as propriedades abordadas, sendo mais evidente no ambiente de geometria dinâmica que possibilitou identificar características e propriedades dos lugares geométricos envolvidos.

Oliveira (2018) analisa que os resultados da sequência aplicada confirmaram a hipótese da pesquisa a respeito da relevância da contribuição do desenho geométrico para a aprendizagem de conceitos de geometria. Concluiu que uma prática em que o aluno seja protagonista da construção de seu conhecimento ao vivenciar atividades que solicitam suas próprias estratégias de solução torna a aprendizagem de conceitos geométricos mais significativa.

4.3.5 CATEGORIA 5 – ÁREA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - ESTUDO DA