CATEGORIA 1 - ÁREA MATEMÁTICA – ESTUDO MATEMÁTICO DA BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

Iniciando as análises das pesquisas que compõem a categoria 1, verificamos que todas as seis desenvolvem seus trabalhos como contribuição de recursos para professores. Cinco delas abordam em seus objetivos o uso de régua e compasso sendo que duas delas associam esses instrumentos a um software de Geometria e uma os associam ao trabalho com Origami.

A respeito da definição de bissetriz, a pesquisa de Souza (2013, p. 32) apresenta a seguinte definição: “bissetriz é a semirreta que tem origem no vértice do ângulo e o divide em dois de mesma medida”. Na pesquisa de Silva (2013, p. 15) temos: “a bissetriz de um ângulo é a reta que passa pelo vértice do ângulo dado, e que o divide ao meio”. Essas pesquisas não abordam a definição de ângulo, mas a partir da definição de bissetriz verificamos que os ângulos são determinados por semirretas, além disso os autores se referem a dois ângulos de mesma “medida” e

não utilizam o termo “congruentes”, ou seja, consideram ângulo como medidas e não como grandeza.

Após a definição, Souza (2013) apresenta a Figura 44 em que os ângulos não são representados, não ocorrendo a identificação de igualdade de medidas citada na definição.

Figura 44 - Bissetriz de um ângulo

Fonte: Souza (2013, p. 32)

Silva (2013) descreve os passos da construção e apresenta a Figura 45 em que a bissetriz é uma reta de acordo com a definição do autor, mas os ângulos não são representados, não ocorrendo a identificação de igualdade de medidas citada na definição.

Figura 45 - Bissecção do ângulo

Fonte: Silva (2013, p. 16)

Na pesquisa de Souza (2013) a construção da bissetriz é realizada de maneira detalhada baseada em Os Elementos de Euclides e em seguida o autor descreve toda a justificativa por meio da congruência de triângulos, pelo caso LLL. A Figura 46 que se refere a justificativa não apresenta as circunferências que mostram que seus raios determinam os lados dos triângulos congruentes e não ocorre a identificação dos ângulos iguais, conforme a definição.

Figura 46 - Comprovação da congruência dos triângulos DAF e EAF

Fonte: Souza (2013, p. 34)

O autor propõe que os professores apresentem uma construção simplificada da bissetriz, de modo que os alunos possam investigar e perceber que os arcos de circunferência que possuem o mesmo raio determinam lados congruentes nos triângulos que evidencia a congruência de triângulos pelo caso LLL, em consequência, a congruência entre os ângulos determinados pela semirreta construída como sendo a bissetriz. Acrescenta que nessa investigação os alunos podem perceber que é necessário assegurar que apenas duas circunferências tenham mesmo raio e ainda assim as relações de congruência dos triângulos formados poderão ser estabelecidas e serão válidas. O pesquisador menciona que a bissetriz pode ser explorada como o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes aos lados do ângulo em questão.

A pesquisa de Lucca (2015) apresenta o passo-a-passo para a construção da bissetriz, de maneira simplificada (Figura 47) apenas com arcos de circunferência, seguida da seguinte justificativa: “observe que, os triângulos 𝑂𝑋𝐶 e 𝑂𝑌𝐶 são congruentes (caso LLL) e, portanto, 𝐴Ô𝐶 = 𝐶Ô𝐵. Logo, a semirreta 𝑂𝐶 é bissetriz do ângulo 𝐴Ô𝐵.” (p. 42).

Figura 47 – Bissetriz

Fonte: Lucca (2015, p. 42)

A definição de bissetriz está implícita na própria justificativa da construção e entendemos que sugere o ângulo definido por semirretas e como medida. Apesar de constar “triângulos congruentes” e “ângulos iguais” na justificativa, a representação figural não identifica essas relações.

Bonfim (2016) apresenta a demonstração da propriedade da bissetriz de que se um ponto pertence a bissetriz de um ângulo então ele equidista dos lados desse ângulo (Figura 48).

Figura 48 - Bissetriz do ângulo AÔB

Fonte: Bonfim (2016, p. 9)

Em seguida justifica por meio de congruência de triângulos e conclui: “portanto, pelo critério (LLL) os triângulos OMC e ONC são congruentes, logo 𝐶Ô𝑀 = 𝐶Ô𝑁, e assim prova-se que C pertence à bissetriz de 𝐴Ô𝐵.” (BONFIM, 2016, p. 9).

A representação figural apresentada para a demonstração não indica a equidistância do ponto C aos lados do ângulo, nem a perpendicularidade decorrente da projeção ortogonal do ponto C sobre as semirretas que formam o ângulo. A justificativa descreve que os ângulos formados pela bissetriz são “iguais”, o que não é identificado na figura.

Bonfim (2016, p. 11) define: “bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam dos lados do ângulo” e justifica que “a semirreta 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

é a bissetriz do ângulo 𝐴Ô𝐵, pois os ∆𝑂𝐷𝐶 𝑒 ∆𝑂𝐸𝐶 são congruentes pelo critério LLL, sendo assim 𝐴Ô𝐶 ≡ 𝐵Ô𝐶. " Não é feita a representação figural da justificativa onde poderiam ser identificados os ângulos congruentes divididos pela bissetriz, a equidistância do ponto C aos lados do ângulo e a perpendicularidade. A falta desses elementos pode dificultar a visualização dos triângulos congruentes que são mencionados. A pesquisa não apresenta a construção por lugar geométrico e sim por arcos de circunferência conforme a Figura 49. A definição de ângulo não é

apresentada na pesquisa, e não é possível saber se o autor considera ângulo como medida ou grandeza pois aborda as duas maneiras.

Figura 49 - Bissetriz do ângulo AÔB

Fonte: Bonfim (2016, p. 11)

Por outro lado, o pesquisador aborda também construções com Origami, baseadas nos axiomas de Huzita-Hatori, apresentando um exemplo de aplicação da bissetriz de um ângulo e de outros elementos de geometria.

Corrêa Júnior (2014, p. 26) apresenta a definição de bissetriz por semirreta e a descreve assim: “bissetriz de um ângulo é a semirreta que tem origem no vértice do ângulo, dividindo-o internamente em dois ângulos de medidas iguais.” Em seguida

“𝐴Ô𝐶 = 𝐵Ô𝐶 → 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ é bissetriz de 𝐴Ô𝐵". A representação figural da bissetriz (Figura 50) apresenta ângulos sem as medidas, apenas indica que são “congruentes”, o que difere da definição escolhida pelo autor. A definição de ângulos não é apresentada na pesquisa, então pela definição de bissetriz entendemos o ângulo por semirretas e considerado como medida.

Figura 50 - Bissetriz

Fonte: Corrêa Júnior (2014, p. 26)

Apresenta então a propriedade que caracteriza a bissetriz de um ângulo como lugar geométrico: “o Lugar Geométrico dos pontos P, de um plano, equidistantes de duas retas concorrentes r e s desse plano” (p. 87). Não apresenta a construção por lugar geométrico. A Figura 51 apresenta as quatro bissetrizes formadas por duas retas concorrentes e evidencia a equidistância de um ponto qualquer da bissetriz até as

retas concorrentes que formam os quatro ângulos. Pode ser identificada a perpendicularidade dos segmentos que representam a distância em relação às retas.

Figura 51 - Lugar geométrico bissetriz

Fonte: Corrêa Júnior (2014, p. 87)

A propriedade é então formalizada pelo seguinte enunciado: “P pertence à bissetriz se, e somente se, equidista de r e s”, o autor demonstra as duas condições, necessária e suficiente, por congruência de triângulos e apresenta a Figura 52 que sugere a definição de ângulo por semirretas e não por região.

Figura 52 - Propriedade de equidistância da bissetriz 1

Fonte: Corrêa Júnior (2014, p. 88)

O autor apresenta uma outra maneira de justificar a propriedade, considerando um ponto Q fora da bissetriz na Figura 53. Constam os ângulos “congruentes” e a perpendicularidade dos segmentos em relação aos lados do ângulo, porém não é identificada a equidistância uma vez que o ponto não pertence à bissetriz.

Figura 53 - Propriedade de equidistância da bissetriz 2

Fonte: Corrêa Júnior (2014, p. 89)

Amorim (2015) apresenta em sua pesquisa que reunindo todos os pontos que equidistam dos lados de um ângulo dado, obtém-se a bissetriz. O autor não apresenta o passo a passo da construção realizada na Figura 54 em que as retas perpendiculares aos lados do ângulo e paralelas entre si geram pontos que pertencem a bissetriz.

Figura 54 - Representação da bissetriz

Fonte: (Amorim, 2015, p. 24)

Em seguida descreve: “a reunião de todos os pontos, sendo cada um equidistante das retas concorrentes a e b constitui as bissetrizes dos quatro ângulos formados por essas retas”. A representação figural dessa situação (Figura 55) não evidencia as retas a e b, os ângulos formados, a equidistância de um ponto da bissetriz em relação aos lados do ângulo e nem a perpendicularidade.

Figura 55 - Bissetrizes em retas concorrentes

Fonte: Amorim (2015, p. 25)

Em seguida, Amorim (2015, p. 25) define a bissetriz como: “o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes, a e b, constitui um par de retas perpendiculares, as quais contém as bissetrizes dos ângulos determinados por a e b”.

São descritos e representados o passo a passo de uma construção simplificada (apenas os arcos de circunferência) da bissetriz de um ângulo. Então, o autor aborda outra definição para a bissetriz: “a bissetriz é a semirreta que tem origem no vértice do ângulo e passa por P”, não fazendo qualquer referência aos ângulos formados.

O autor faz um estudo sobre a construção dos ângulos de 90°, 45°, 22°30’ e 60°,30° e 15°, utilizando a bissetriz.

A respeito das atividades apresentadas nas pesquisas de Corrêa Júnior (2014) e Amorim (2015), ambas diferem das propostas sugeridas em outras pesquisas que em sua maioria descrevem o passo a passo da construção da bissetriz de um ângulo.

Corrêa Junior (2014) apresenta o seguinte problema: Sejam s e t duas retas concorrentes e seja T um ponto de t. Construir uma circunferência, tangente a s e t, passando pelo ponto de tangência T. O autor sugere a resolução por meio da obtenção do centro da circunferência procurada, o centro da circunferência é um ponto da bissetriz do ângulo formado por essas retas concorrentes e pensar na propriedade de equidistância dos pontos da bissetriz e na perpendicularidade, leva a construção da bissetriz (Figura 56) que determina a solução do problema.

Figura 56 - Problema resolvido 1

Fonte: Corrêa Júnior (2014, p. 91)

Outro problema apresentado: a linha irregular r da figura a seguir representa parte de um rio situada numa região relativamente plana. As semirretas pontilhadas C1 e C2 representam canais de irrigação retilíneos e subterrâneos que captam água desse rio. A reta f representa uma ferrovia “cortada” pelos citados canais. Nesse problema a propriedade de equidistância da bissetriz ajudará na determinação do local de instalação do reservatório, sendo a construção da bissetriz (Figura 57) a solução para o problema proposto.

Figura 57 - Problema resolvido 2

Fonte: Corrêa Júnior (2014, p. 96)

Amorim (2015, p. 45) apresenta: “construa um triângulo 𝐴𝐵𝐶, sendo dados um ponto 𝑃 do lado 𝐴𝐵̅̅̅̅, um ponto 𝑄 do lado 𝐴𝐶̅̅̅̅, a reta r suporte do lado 𝐵𝐶̅̅̅̅ e a reta s que contêm a bissetriz do ângulo ” a partir da Figura 58.

Figura 58 - Situação problema - bissetriz

Fonte: (Amorim, 2015, p. 45)

Para a resolução da situação acima, é necessário que o aluno mobilize seus conhecimentos sobre bissetriz e utilize a propriedade de equidistância para obter o triângulo solicitado, apresentado na Figura 59.

Figura 59 - Problema resolvido 3

Fonte: (Amorim, 2015, p. 45)

Ainda nessa pesquisa, outro problema é apresentado: determine a bissetriz do ângulo (Figura 60) formado pelas retas r e s, não paralelas, sem recorrer a seu vértice.

Figura 60 - Situação problema - bissetriz do ângulo de vértice inacessível

Fonte: (Amorim, 2015, p.47)

Traçando uma reta qualquer determinando os pontos A e B sobre as retas r e s, respectivamente; (Figura 61) trace as bissetrizes dos ângulos formados por essa reta e as retas r e s; as intersecções dessas bissetrizes determinam os pontos B1 eB2

pertencentes a bissetriz procurada.

Figura 61 - Problema resolvido 4

Fonte: (Amorim, 2015, p.47)

Na proposta acima os alunos devem realizar a construção da bissetriz do ângulo de vértice inacessível, essa situação exige uma construção diferenciada da comumente utilizada. Entendemos que em cada um dos problemas propostos a descrição do passo a passo das construções não deve ser mencionado ao aluno que deverá refletir sobre as propriedades da bissetriz e as possíveis estratégias de resolução.

4.3.2 CATEGORIA 2 – ÁREA MATEMÁTICA - ESTUDO DA BISSETRIZ DE UM