Na presente seção iremos tratar de grafos G que podem conter arestas múltiplas, ou seja, podem existir duas ou mais arestas uv ∈ E(G) entre os mesmos vértices u e v. O número máximo de arestas com extremos em dois vértices u e v em G é denotado µ(G). Todos os
resultados apresentados nesta seção foram de retirados de [17], exceto o Teorema 3.30 (p. 41) que pode ser encontrado em [23] e o Lema 3.28 (p. 40) que pode ser encontrado em [6]. LEMA 3.26. Tomemos G um grafo, alguns outros grafos Gi, cada um destes grafos tendo G
como um subgrafo, e tomemos também um inteiro não-negativo a. Consideremos G + a como
a junção deG com um Ka disjunto deG. Se todas as condições abaixo são verdadeiras, então
G + a é Classe 1.
(1) G + a não é overfull;
(2) |V (G)| 6 ∆(G) + a;
(3) existe um grafoG1 tal queG1 temG como subgrafo induzido, ∆(G) = ∆(G1) e |E(G)| =
|V (G)|∆(G)/2; (4) χ′(G1) 6 ∆(G) + a
A condição (5) só se aplica se |V (G)| . a(mod 2) e ∆(G)+a > a(∆(G)+a−|V (G)|). Neste caso,
será provado que existe um grafoG2tal queG2temG como subgrafo induzido, ∆(G) = ∆(G2)
e2|E(G2)| = a(∆(G)+a−|V (G)|)+|V (G)|∆(G)−∆(G)−a; e também existe um grafo G3 obtido
pela adição de um novo vértice aG2, com grau ∆(G)+a−a(∆(G)+a−|V (G)|), possibilitando a
incidência de arestas múltiplas e mantendo todos os outros vértices com grau no máximo ∆(G). A última condição é:
(5) χ′(G3) 6 ∆(G) + a.
DEMONSTRAÇÃO. Tomemos uma ∆(G) + a = ∆(G + a) = ∆(G1+ a)-aresta-coloração de G1,
com um conjunto de cores C. Sendo V = V (G), formemos um grafo bipartido B1 com V (B1) =
V ∪ C e E(B1) definido da seguinte forma: se v ∈ V e c ∈ C, então existe aresta vc em B1 se e
somente se não existe em G1 uma aresta incidente ao vértice v colorida com a cor c. Nota-se
que dB1(v) é ∆(G) + a − dG1(v) > a. Percebe-se que c é incidente em |E(G)|/(∆(G) + a) ou
|E(G)|/(∆(G) + a) arestas de G1, denotemos esse número por FG1(c).
Se |V (G)| ≡ a(mod2) ou ∆(G) + a 6 a(∆(G) + a − |V (G)|) será mostrado que |V (G)| − 2FG1(c) 6 a. Nota-se que |V (G)| − 2FG1(c) 6 |V (G)| − 2 |E(G)| (∆(G) + a) = |V (G)| − 2 |V (G)|∆(G) 2(∆(G) + a) .
39 Já que |V (G)| 6 ∆(G) + a, |V (G)|∆(G) 2(∆(G) + a) > (|V (G)| − a) 2 .
Se |V (G)| ≡ a(mod2), então (|V (G)| − a)/2 é um inteiro e assim |V (G)|∆(G)
2(∆(G) + a)
> (|V (G)| − a)
2 .
De maneira análoga, se |V (G)| . a(mod2), então |V (G)|∆(G) 2(∆(G) + a)>
(|V (G)| − a + 1) 2
e sendo assim, segue que ∆(G) + a > a(∆(G) + a − v). Neste caso, forme B′
1 removendo arestas
de B1 de forma que cada v ∈ V tenha grau a em B′1; assim ∆(B′1) = a. Como todos os grafos
bipartidos são Classe 1, tomemos uma a-coloração equilibrada em B′
1 com cores {1,2,...,a}.
Será estendida a coloração ∆(G) + a de G1 para G1+ a como segue. Supondo que os a novos
vértices são α1, α2, ...αa, tomemos v ∈ V e 1 6 i 6 a. Nota-se que em B′1 existe exatamente
uma aresta incidente a v colorida com a cor i. Se c é o outro extremo de tal aresta, atribua a cor
c a aresta de G1+ a com extremos v e αi. Assim G1+ a é Classe 1 e, por consequência, G + a é
Classe 1.
Suponha que |V (G)| . a(mod2), então ∆(G) + a > a(∆(G) + a − |V (G)|). Primeiro é preciso mostrar que os grafos G2 e G3 existem. É possível tomar G2 como subgrafo de G1,
apenas é preciso verificar que |E(G2)| = 12(a(∆(G) + a − |V (G)|) + |V (G)|∆(G) − ∆(G) − a) é
um inteiro. Assim, tomemos 2k = a e 2j + 1 = |V (G)|. Percebe-se que, para os fins desta demonstração, isso é equivalente a tomarmos 2k + 1 = a e 2j = |V (G)|. Se substituirmos na equação teremos:
2k∆(G) + 2k2− 2k(2j + 1) + (2j + 1)∆(G) − ∆(G) − 2k
2 .
Agora podemos observar que independente da paridade do ∆(G) a equação resultará em um número inteiro. É preciso mostrar também que |E(G)| 6 |E(G2)| 6 |E(G1)|. Como G + a não é
overfull, 2|E(G+a)| = 2(|E(G)|+|V (G)|a) 6 (∆(G)+a)(|V (G)|+a−1) e então |E(G)| 6 |E(G2)|.
Como foi assumido que ∆(G) + a > a(∆(G) + a − |V (G)|), é natural que |E(G2)| 6 |E(G1)|.
Para G3, tomemos s = ∆(G) + a − a(∆(G) + a − |V (G)|), então s é positivo. Tomemos t =
P
v∈V(∆(G) − dG2(v)). É preciso mostrar que s 6 t, mas é possível observar que s = t.
Tomemos uma (∆(G) + a)-aresta-coloração equilibrada em G3. Já que 2|E(G3)| =
essa coloração induz uma (∆(G)+a)-aresta-coloração equilibrada em G2, com s cores ocorrendo
em 1
2(|V (G)| − a + 1) arestas de G2, e sobram ∆(G) + a − s cores ocorrendo em12(|V (G)| − a + 1)
arestas de G2. Formemos o grafo bipartido B2 para G2 tal como foi formado o grafo B1 para
G1. Cada uma das s cores ocorrendo nas arestas de G3 mas não em G2 correspondem às cores
faltantes em um dado vértice de G2. Formemos B′2 removendo essas s arestas de B2. Em B′2
cada v ∈ V tem grau a, s dos vértices em C têm grau a e os outros ∆(G) + a − s vértices em C têm grau a − 1. Usaremos B′
2 para a (∆(G) + a)-aresta-coloração de G2+ a, exatamente como
foi usado em B′
1 para colorir G1+ a.
Um grafo H é quase regular se todo vértice de H tem grau 2|E(H)|/|V (H)| ou 2|E(H)|/|V (H)|. Então temos o seguinte resultado clássico, conforme enunciado por [17]: LEMA 3.27. Tomemos α um inteiro positivo e β um inteiro não-negativo. Existe um grafo
quase regular comα vértices e β arestas se e somente 2β 6 α(α − 1).
Um grafo L é dito um multigrafo estrela se algum dos vértices de L é incidente a todas as arestas múltiplas de L. O lema a seguir foi retirado de [6]:
LEMA 3.28. Se L é um multigrafo estrela, então χ′(L) 6 ∆(L) + 1.
TEOREMA3.29. Tomemos um grafo multipartido completo K, onde |V (K)| = a1+a2+· · ·+ap, sendo queai, 1 6 i 6 p, representa a cardinalidade da i-ésima parte de K. K é Classe 1 se e somente se não éoverfull.
DEMONSTRAÇÃO. Assumamos sem perda de generalidade que 1 6 a1 6 a2 6 · · · 6 ap. Como, do Teorema de König, todo grafo bipartido é Classe 1, então trataremos dos casos ape- nas em que p > 2. Vamos assumir também que ap >2, já que se ai = 1 para todo i, K é um grafo completo e portanto é Classe 1 se e somente se |V (K)| é par, ou seja, se e somente se não é overfull.
Para os casos remanescentes, tomemos G como o subgrafo induzido pela remoção dos
ap vértices pertencentes à parte representada por ap em K. Tomemos a = ap. Agora usaremos o Lema 3.26 (p. 38) para o restante da demonstração. A condição (1) do Lema 3.26 (p. 38) vem da própria hipótese. A condição (2) é imediata. Vamos tratar da condição (3). Assim é possível, conforme o Lema 3.27, adicionar algumas arestas em G e formar G1. Para cada 1 6 i 6 p − 1,
se ai ou ai− a1 é par, então pelo Lema 3.27 existe um grafo simples Hi com um conjunto de vértices Ai, regular e com grau ai− a1. Se ai e ai − a1 são ímpares, o Lema 3.27 mostra que
41
existe um grafo Hi, com um conjunto de vértices Ai, com um vértice vi que tem grau ai− a1− 1
e os demais vértices com grau ai−a1. Adicionemos as arestas de todos os grafos Hi a G. Agora todos os vértices de G têm grau ∆(G), exceto por vi que tem grau ∆(G) − 1, para todo i em que vi é definido. Se existe no máximo um i onde ai e ai− a1 são ímpares, G1 estará formado
e µ(G) = 1. Se existe mais de um i onde ai e ai − a1 são ímpares, nós particionamos todos,
ou todos menos um em caso de haver um número ímpar de elementos, em pares {i,j}. Para cada par {i,j}, adicionemos outra aresta ij, formando G1 com µ(G) = 2. Novamente, todos
os vértices têm grau ∆(G), exceto por um, em caso de ter um número ímpar de vértices no conjunto já citado, que terá grau ∆(G) − 1 e assim |E(G1)| =|V (G)|∆(G)/2. A condição (3)
está assegurada. A condição (4) segue do Teorema de Vizing.
Para assegurar a condição (5) usaremos o Lema 3.28 (p. 40). Será assumido que |V (G)| . a(mod 2) e ∆(G) + a > a(∆(G) + a − |V (G)|). Tomemos G2 e G3 construídos como no
Lema 3.26 (p. 38). Tomemos s = ∆(G) + a − a(∆(G) + a − |V (G)|). Já que |V (G)| . a(mod2), |V (G)| + a é ímpar. Em particular, ap> a1, pois se todas as partes fossem de tamanhos iguais,
K seria overfull. Mas pela hipótese, K não pode ser overfull. Então |V (G)| < ∆(G) + a, assim s 6 ∆(G) e, por consequência, ∆(G3) = ∆(G). Se µ(G) = 1, então G3 é um multigrafo estrela
e χ′(G
3) 6 ∆(G) + 1 < ∆(G) + a pelo Lema 3.28 (p. 40). Por outro lado, se µ(G3) = 2, for-
memos o grafo G4, removendo de G3 uma aresta de cada par de arestas múltiplas em G2 e,
pelo Lema 3.28 (p. 40), novamente temos que χ′(G
3) 6 ∆(G) + 1. E como as arestas remo-
vidas formam um emparelhamento, podemos colorir todas com a mesma cor extra, para que
χ′(G3) 6 ∆(G) + 2 6 ∆(G) + a. Com isso, a condição (5) foi assegurada e com ela está provado
o Teorema 3.29 (p. 40).
O próximo teorema é uma adaptação da demonstração que pode ser encontrada em [23], observando-se que o teorema é válido para qualquer multigrafo.
TEOREMA 3.30. Tomemos G um multigrafo. Se G admite uma aresta-coloração C com p
cores, entãoG possui uma aresta-coloração equilibrada com p cores.
DEMONSTRAÇÃO. Tomemos ci como o número de arestas coloridas com a cor i em C, com i ∈ {1, 2, ..., p}. Se a coloração C não é equilibrada, existem ao menos duas cores i e j tal que
|cj− ci| > 1. Para tais cores, assuma sem perda de generalidade que ci < cj. Tomemos dois conjuntos de arestas I(G) e J(G), tal que I(G) contém todas as arestas coloridas com a cor i em G e J(G) contém todas as arestas coloridas com a cor j em G. Tomemos o grafo G′tal que
V (G′) = V (G) e E(G′) = I(G) ∪ J(G). Tomemos uma componente conexa H de G′. Tomemos também os conjuntos I(H) e J(H). Nota-se que existem apenas três possibilidades para H: H é um vértice isolado, um caminho simples ou um ciclo. De qualquer forma, ||I(H)| − |J(H)|| 6 1. Mas, como ci < cj, existe alguma componente conexa H de G′ tal que |J(H)| − |I(H)| = 1. Sendo assim, podemos inverter a cor de cada aresta de H em G e repetir esse processo até que
cj− ci 61.
É necessário repetir o procedimento anterior até que não existam duas cores i e j tal que |ci− cj| > 1. Assim teremos uma coloração equilibrada.
43
4 RESULTADOS
Durante a pesquisa foram encontrados alguns resultados que representam um avanço no estado arte da coloração de arestas de grafos-junção. Estes resultados serão expostos no presente capítulo.
O teorema a seguir caracteriza a classe dos subgrafos-overfull para grafos-junção com ∆(G1) = ∆(G2) e |V (G1)| = |V (G2)|.
TEOREMA4.1. Seja G = G1∗ G2, com ∆(G1) = ∆(G2) e |V (G1)| = |V (G2)|. G é subgrafo-
overfull se e somente se G − v é overfull, sendo v um vértice qualquer de G.
DEMONSTRAÇÃO. (⇐) Se G−v é overfull para algum v ∈ V (G), então, G é subgrafo-overfull.
Vamos agora mostrar o outro sentido da equivalência.
(⇒) Suponhamos que G seja subgrafo-overfull. Nota-se que G como um todo não pode ser overfull, já que |V (G)| é par. Então, é necessário remover um conjunto S de vértices do grafo
G para verificar se H = G − S é overfull. Entretanto, vamos demonstrar que não é possível que
|S| > 1. Suponhamos que |S| > 1. Se removermos um vértice de V (G1), todo vértice de V (G2)
terá seu grau diminuído em 1. O mesmo acontece com os vértices de V (G1) se removermos um
vértice de V (G2). Então vamos assumir que para todo v ∈ S, v ∈ V (G2), já que não é possível
remover vértices de ambos G1e G2sem fazer com que ∆(H) < ∆(G) (se isso acontecer, H não
será subgrafo-overfull de G).
Como todo vértice v ∈ V (G) tem dG(v) > |V (G1)|, mG(S) > 2|V (G1)| > ∆(G), já que
∆(G) = |V (G1)| + ∆(G2).
Mas, segundo o Lema 3.9 (p. 28), mG(V (H)) 6 ∆(G) − 2. Sendo assim |S| = 1. O próximo teorema mostra como gerar uma coloração equilibrada em um multigrafo G′
dadas certas condições.
TEOREMA 4.2. Tomemos um grafo G tal que |E(G)| 6 ∆(G)(|V (G)| − 1)/2, então, para
qualquer inteirok entre |E(G)| e ∆(G)(|V (G)| − 1)/2, inclusive, existe um multigrafo G′ tal que ∆(G) = ∆(G′), V (G) = V (G′), G′suporta uma(∆(G) + 1)-aresta-coloração equilibrada e |E(G′)| = k.
DEMONSTRAÇÃO. Se k = |E(G)| então o próprio grafo G satisfaz todas as condições para ser
satisfazendo |E(G)| 6 k′< k, existe um multigrafo G′tal que ∆(G) = ∆(G′), V (G) = V (G′), G′
suporta uma (∆(G) + 1)-aresta-coloração equilibrada e |E(G′)| = k′.
Tomemos uma (∆(G) + 1)-aresta-coloração equilibrada no grafo G. Nota-se que k 6 ∆(G)(|V (G)| − 1)/2, por isso: X v∈V (G) (∆(G) − dG(v)) − 2(k − |E(G)|) > ∆(G) + 2, já que, se X v∈V (G) (∆(G) − dG(v)) − 2(k − |E(G)|) 6 ∆(G) + 1, teríamos ∆(G)|V (G)| − 2|E(G)| − 2(k − |E(G)|) 6 ∆(G) + 1, e, consequentemente, k > ∆(G)(|V (G)| − 1) − 1 2 ,
e não poderíamos adicionar k −|E(G)| novas arestas, pois se adicionássemos (k −|E(G)|) arestas,
k >∆(G)(|V (G)| − 1)/2. Assim, X v∈V (G)
(∆(G) − dG(v)) > ∆(G) + 2(k − |E(G)|) + 2
e, do Princípio da Casa dos Pombos, como existem apenas ∆(G) + 1 cores na coloração equi- librada do grafo, teremos ao menos k − |E(G)| pares não necessariamente distintos de vértices {u, v}, u , v, tais que u e v não são ∆-vértices e aos quais falta a cor i. Para formar o grafo G′, tomemos inicialmente G′= G e, para cada par de vértices {u, v}, adicionemos uma nova aresta
uv, possivelmente múltipla, colorida com a cor i no grafo G′. Agora G′ tem G como subgrafo,
∆(G′) = ∆(G), |E(G′)| = k e uma (∆(G)+1)-aresta-coloração, não necessariamente equilibrada. Usemos o Teorema 3.30 (p. 41) para tornar a coloração equilibrada. Este resultado apresenta condições suficientes para que um grafo-junção seja Classe 1. LEMA 4.3. Tomemos G = G1∗ G2, sendo que G1 pode ser um multigrafo. Se |V (G1)| =
|V (G2)|, |E(G1)| = |E(G2)|, ∆(G1) = ∆(G2) e ambos os grafos suportam uma (∆(G1) + 1)-
aresta-coloração equilibrada, entãoG é Classe 1.
DEMONSTRAÇÃO. Em uma (∆(G) + 1)-aresta-coloração equilibrada em um grafo G qualquer,
teremos um conjunto de cores C com |C| = ∆(G) + 1. Para facilitar a demonstração, tomemos F = |E(G)|
45
Tomemos também modF como o resto da divisão inteira de |E(G)| por ∆(G) + 1
Cada cor c ∈ C aparece em ⌊F ⌋ ou em ⌈F ⌉ arestas do grafo G e em 2⌊F ⌋ ou 2⌈F ⌉ vértices de G; portanto, não aparece em |V (G)| − 2⌊F ⌋ ou |V (G)| − 2⌈F ⌉ vértices. As cores
ci ∈ C, com i ∈ {1,...,∆(G) + 1 − modF }, aparecem em ⌊F ⌋ arestas. Já as cores cj ∈ C, com
j ∈ {∆(G) − modF + 2, . . . , ∆(G) + 1} aparecem em ⌈F ⌉ arestas.
Assim, tomemos duas (∆(G1) + 1)-aresta-coloração equilibradas, uma de G1 e outra de
G2, com o mesmo conjunto de cores. Desde que G1 e G2 respeitem as condições impostas,
tais colorações equilibradas terão todas as características supramencionadas idênticas, já que |V (G1)| = |V (G2)|, |E(G1)| = |E(G2)| e ∆(G1) = ∆(G2). Nota-se que todo vértice v ∈ V (G1) e
todo vértice u ∈ V (G2) tem ao menos uma cor sobrando, já que os grafos foram coloridos com
∆(G1) + 1 = ∆(G2) + 1 cores. Desta forma, é possível tomar um emparelhamento perfeito M e colorir as arestas de M apenas com cores já usadas, já que o número de vértices aos quais falta uma mesma cor em ambos os grafos é o mesmo, fazendo com que o grafo GMseja Classe 1. E segundo a Observação 3.13 (p. 33), se GM é Classe 1 então G é Classe 1. TEOREMA 4.4. Tomemos G = G1∗ G2. SeG1 é subgrafo de um grafoH, que pode aceitar
arestas múltiplas desde que suporte uma coloração equilibrada com ∆(G1) + 1 cores, com
∆(G1) = ∆(G2) = ∆(H), tal que |V (H)| = |V (G2)| e |E(H)| = |E(G2)|, então G é Classe 1. DEMONSTRAÇÃO. Usemos o Lema 4.3 (p. 44) para colorir GH = G2∗ H. Como G é subgrafo
de GH, com ∆(G) = ∆(GH), removamos todas as arestas uv ∈ E(GH) tais que uv < E(G) e
todos os vértices v ∈ GH tais que v < G.
COROLÁRIO4.5. Tomemos G = G1∗G2, com ∆(G1) = ∆(G2), |V (G1)| = |V (G2)| e |E(G1)| 6
|E(G2)|. Se |E(G2)| 6(|V (G2)| − 1)∆(G2)/2 então G é Classe 1.
DEMONSTRAÇÃO. Se |E(G1)| = |E(G2)|, então usemos o Lema 4.3 (p. 44) para colorir o grafo
G. Assim, podemos assumir que |E(G1)| < |E(G2)|. E usar o Teorema 4.2 (p. 43) para encontrar
um multigrafo H tal que ∆(G2) = ∆(H), |V (G2)| = |V (H)|, |E(G2)| = |E(H)|, G1 é subgrafo
de H e H tem uma aresta-coloração equilibrada. Usemos o Teorema 4.4 para colorir o grafo
G.
Na Figura 4.1 (p. 46) é possível observar dois grafos G1 e G2 que se enquadram no
Teorema 4.4 (p. 45). Nota-se que H tem G1 como subgrafo e além disso, H suporta uma
Figura 4.1 — A junção dos grafos G1 e G2é Classe 1 graças a H, que é um multigrafo que tem
G1 como subgrafo, satisfaz ∆(H) = ∆(G1), |V (H)| = |V (G2)| e |E(H)| = |E(G2)| e suporta uma
(∆(G1) + 1)-aresta-coloração equilibrada.
Fonte: Elaborada pelo autor
Conforme propomos na Conjectura 4.6, suspeitamos que a direção oposta do Teo- rema 4.4 também vale, já que se tomarmos um grafo G = G1∗ G2 tal que ∆(G1) = ∆(G2),
|V (G1)| − 1 = |V (G2)| (devido ao Teorema 4.1 (p. 43), removemos um vértice v de G1 su-
pondo que não exista nenhuma aresta com extremo em v, caso este que é exatamente o limitante superior do Teorema 4.2 (p. 43), um grafo que tem todos os vértices ∆-vértices exceto um vértice que não tem arestas insidentes a si), |E(G1)| = (|V (G2)| − 1)∆(G2)/2 e
|E(G2)| = (|V (G2)| − 1)∆(G2)/2 + 1, então G é overfull. E este é um dos piores casos para
o Teorema 4.4 (p. 45), já que se existem dois vértices que não são ∆-vértices é possível adicio- nar arestas, possivelmente múltiplas, para fazer com que |E(G1)| = |E(G2)|.
CONJECTURA 4.6. Tomemos G = G1 ∗ G2, com ∆(G1) = ∆(G2), |V (G1)| = |V (G2)| e
|E(G1)| 6 |E(G2)|. G é Classe 1 se e somente se existe um grafo H, possivelmente com arestas
múltiplas, que temG1como subgrafo e suporta uma(∆(G1) + 1)-aresta-coloração equilibrada,
tal que ∆(H) = ∆(G1), |V (G1)| = |V (H)| e |E(H)| = |E(G2)|.
Sumarizamos a ideia de realizar a coloração de grafos G que são subgrafos de um grafo
H que é conhecidamente Classe 1 na próxima observação:
OBSERVAÇÃO4.7. Tomemos um grafo G = G1∗G2e um grafoH = H1∗H2. SeG1é subgrafo
deH1 eG2 é subgrafo deH2, ∆(H) = ∆(G) e H é Classe 1, então G é Classe 1.
DEMONSTRAÇÃO. Como H = H1∗ H2 é Classe 1, façamos a coloração de H e em seguida
apenas removamos as arestas uv ∈ E(H) tais que uv < E(G) e os vértices v ∈ V (H) tais que
49
5 CONCLUSÃO
O Problema da Classificação é um problema NP -completo. Entretanto, a existência da Conjectura Overfull— conjectura esta que perdura há cerca de 30 anos — e a existência de um algoritmo de tempo polinomial para verificar se um grafo G, com 2∆(G) > |V (G)|, é subgrafo- overfull, indicam a possível existência de um algoritmo para classificar todos os grafos que respeitem a condição de 2∆(G) > |V (G)|. No presente trabalho, foram pesquisados e expostos alguns resultados para o Problema da Classificação quando restrito a grafos-junção, sendo que todo grafo-junção respeita a condição supramencionada.
O presente trabalho serve como introdução à coloração de grafos-junção, reunindo os principais trabalhos encontrados na literatura. Além da exposição das técnicas já existentes, du- rante a execução do trabalho foram encontrados alguns resultados inéditos que contribuem para o avanço do estado da arte do Problema da Classificação. No Quadro 5.1 é possível visualizar o estado da arte do Problema da Classificação com a adição dos resultados obtidos no presente trabalho. É possível notar que, quando comparada com o Quadro 3.1 (p. 32), evidencia que o presente trabalho expôs resultados que contribuíram com todas as três subáreas que ainda não possuíam classificação completa.
Quadro 5.1 — Estado da arte da classificação de grafos-junção quanto ao índice cromático contendo os resultados do presente trabalho; os resultados desenvolvidos neste trabalho são representados por *
|V (G1)| < |V (G2)| |V (G1)| = |V (G2)|
∆(G1) < ∆(G2) Resultados parciais ([22, 30] e *) Todos os grafos são Classe 1 ([29]) ∆(G1) = ∆(G2) Resultados Parciais ([22, 29, 30, 21] e *) Resultados parciais ([29, 30] e *) ∆(G1) > ∆(G2) Todos os grafos são Classe 1 ([29]) Todos os grafos são Classe 1([29])
Fonte: Elaborado pelo autor
Com base no presente trabalho, podemos apontar alguns nortes para trabalhos futuros. A primeira sugestão é estudar mais a fundo a Conjectura 4.6 (p. 46), explorando principalmente as propriedades de uma coloração equilibrada em um multigrafo, como foi feito no Teorema 4.2 (p. 43) para multigrafos H restritos a |E(H)| 6 ∆(H)(|V (H)| − 1)/2. Outra sugestão é o estudo da Observação 4.7 (p. 46) quando aplicado especificamente a cografos, devido ao fato de que o complemento de um cografo é um cografo e por conta da definição construtiva, que suporta duas operações: união e junção entre dois cografos. A última sugestão para trabalhos futuros é o estudo dos multigrafos para coloração de grafos G = G1∗ G2com |V (G1)| , |V (G2)|.
REFERÊNCIAS
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