Colora¸c˜ao de arestas de grafos {square,unichord}-free com

No documento Publicações do PESC Decomposições para Coloração de Arestas e Coloração Total de Grafos (páginas 51-56)

4.4 Considera¸c˜oes finais

5.1.2 Colora¸c˜ao de arestas de grafos {square,unichord}-free com

Na Se¸c˜ao ?? consideramos o problema de colora¸c˜ao de arestas restrito a C e obti- vemos um resultado de NP-completude. Na Se¸c˜ao 5.1.1, consideramos a subclasse C0 e verificamos que, mesmo para esta classe bastante restrita e estruturada, a NP- completude ainda vale. Nesta se¸c˜ao aplicamos os resultados de decomposi¸c˜ao da Se¸c˜ao 4.1 e mostramos que o problema de colora¸c˜ao de arestas ´e polinomial para grafos deC0 com grau m´aximo pelo menos 4. De fato, os ´unicos Classe 2 no conjunto s˜ao os grafos completos de ordem ´ımpar.

Descrevemos, a seguir, a t´ecnica utilizada para colorir as arestas de um grafo C0 atrav´es da combina¸c˜ao das colora¸c˜oes de arestas de seus blocos com rela¸c˜ao a uma decomposi¸c˜ao por 2-cutset. Observe que o fato de um determinado grafo F ser isom´orfico a um bloco B obtido a partir de uma decomposi¸c˜ao por 2-corte pr´oprio de G n˜ao implica que G contenha F : possivelmente B ´e constru´ıdo atrav´es da adi¸c˜ao de um v´ertice marker. Isto ´e ilustrado no exemplo da Figura 5.2, onde G ´e P∗-free e, ainda assim, o grafo P∗ aparece como bloco de uma decomposi¸c˜ao por 2-corte pr´oprio de G.

O leitor ir´a observar que nem sempre ´e necess´ario que os blocos de decomposi¸c˜ao de G possuam ∆(G)-aresta-colora¸c˜ao para que G possua ∆(G)-aresta-colora¸c˜ao: o grafo G da Figure 5.2 ´e 3-aresta-color´ıvel, enquanto P∗ n˜ao ´e. Esta ´e uma impor- tante observa¸c˜ao: possivelmente, as arestas incidentes ao marker de um bloco de decomposi¸c˜ao n˜ao s˜ao arestas reais do grafo original, ou ent˜ao j´a foram coloridas em uma colora¸c˜ao de arestas do outro bloco, de tal forma que n˜ao necessitam ser coloridas.

Observa¸c˜ao 4 Considere um grafo G∈ C0 com as seguintes propriedades: • (X, Y, a, b) ´e split de um 2-corte pr´oprio de G;

• ˜GY obtido de GY a partir da remo¸c˜ao do marker se este marker n˜ao ´e um v´ertice real de G;

Figura 5.2: Exemplo de decomposi¸c˜ao com rela¸c˜ao a um 2-corte pr´oprio {a, b}. Observe que o marker e as arestas incidentes – identificadas por linhas tracejadas – n˜ao pertencem ao grafo original.

• ˜πY ´e uma ∆(G)-aresta-colora¸c˜ao de ˜GY;

• Fa (resp. Fb) ´e o conjunto das cores em {1, 2, ..., ∆} que n˜ao s˜ao usadas por ˜

πY em qualquer aresta de ˜GY incidente a a (resp. b).

Se existe uma ∆(G)-aresta-colora¸c˜ao πX de GX \ M, onde M ´e o marker de GX, tal que cada cor utilizada em uma aresta incidente a a (resp. b) est´a em Fa (resp. Fb), ent˜ao G ´e ∆-aresta-color´ıvel.

A observa¸c˜ao acima mostra que, de forma a estender uma ∆(G)-aresta-colora¸c˜ao de ˜GY a uma ∆(G)-aresta-colora¸c˜ao de G, basta colorir as arestas de GX \ M de tal forma que as cores das arestas incidentes a a (resp. b) n˜ao estejam usadas nas arestas de ˜GY incidentes a a (resp. b). Isto garante que nenhum conflito ´e criado. Al´em disso, n˜ao h´a necessidade de colorir as arestas incidentes ao marker M de GX: se este marker ´e um v´ertice de G, ent˜ao suas arestas j´a est˜ao coloridas por ˜π, caso contr´ario, suas arestas n˜ao s˜ao arestas reais de G. No exemplo da Figura 5.2, exibimos uma 3-aresta-colora¸c˜ao ˜πY de ˜GY. Usando a nota¸c˜ao da Observa¸c˜ao 4, Fa ={2, 3} e Fb = {2, 3}. Exibimos, tamb´em, uma 3-aresta-colora¸c˜ao de GX \ M tal que as cores das arestas incidentes a a s˜ao {2, 3} ⊆ Fa as cores das arestas

incidentes a b s˜ao {2, 3} ⊆ Fb. Assim, pela Observa¸c˜ao 4, podemos combinar as colora¸c˜oes ˜πY e πX em uma 3-aresta-colora¸c˜ao de G, o que ´e feito na Figura 5.2.

Investigamos, agora, como obter uma ∆(G)-aresta-colora¸c˜ao de um grafo G∈ C0 atrav´es da combina¸c˜ao de ∆(G)-aresta-colora¸c˜oes de seus blocos de decomposi¸c˜ao por um 2-corte pr´oprio quando um dos blocos ´e b´asico. Mais precisamente, o Lema 14 mostra como isso pode ser feito se um dos blocos ´e b´asico. Em seguida, ob- temos, no Teorema 11 e seu Corol´ario 2, uma caracteriza¸c˜ao para os grafos Classe 2 de C0 com grau m´aximo ∆ ≥ 4 que estabelece a polinomialidade do problema de colora¸c˜ao de arestas restrito a grafos{square,unichord}-free com grau m´aximo pelo menos 4.

Lema 14 ( Machado, Figueiredo e Vuˇskovi´c — Lema 6 de [32]) Seja G ∈ C0 um grafo de grau m´aximo ∆≥ 4 e seja (X, Y, a, b) split de 2-corte pr´oprio, de tal forma que GX seja b´asico. Se GY ´e ∆-aresta-color´ıvel, ent˜ao G ´e ∆-aresta-color´ıvel.

Esbo¸co. Assumimos, como hip´otese de indu¸c˜ao, que GY ´e λ-aresta-color´ıvel e estendemos a colora¸c˜ao para as arestas de GX, considerando cada poss´ıvel grafo b´asico GX. 

A partir do Lema 14 ´e poss´ıvel determinar em tempo polinomial o ´ındice crom´atico de grafos {square,unichord}-free com grau m´aximo pelo menos 4, con- forme mostramos no Teorema 11 e seu Corol´ario 2.

Teorema 11 ( Machado, Figueiredo e Vuˇskovi´c — Teorema 9 de [32]) Se λ ´e um inteiro de valor pelo menos 4 e G ´e um grafo {square,unichord}-free n˜ao-completo e com grau m´aximo ∆(G)≤ λ, ent˜ao G ´e λ-aresta-color´ıvel.

Corol´ario 2 ( Machado, Figueiredo e Vuˇskovi´c — Corol´ario 1 de [32]) Um grafo conexo G ∈ C0 de grau m´aximo ∆ ≥ 4 ´e Classe 2 se, e somente se, ´e um grafo completo de ordem ´ımpar.

5.1.3

Colora¸c˜ao das arestas de grafos

{square,unichord}-free

com grau m´aximo 3

Os grafos {square,unichord}-free possuem estrutura ainda mais forte que a dos unichord-free; ainda assim, o problema de colora¸c˜ao de arestas ´e NP-completo

mesmo restrito a entradas {square,unichord}-free. Observe que a NP-completude vale para grafos emC0 com grau m´aximo ∆ = 3. Nesta se¸c˜ao, aprofundamos nossas investiga¸c˜oes acerca dos grafos {square,unichord}-free com grau m´aximo ∆ = 3, fornecendo duas subclasses para as quais o problema de colora¸c˜ao de arestas pode ser resolvido em tempo polinomial: grafos {square,unichord}-free c´ubicos e grafos {square,6-hole,unichord}-free.

Grafos {square,unichord}-free c´ubicos

Nesta subse¸c˜ao, provamos a polinomialidade do problema de colora¸c˜ao de ares- tas restrito a grafos {square,unichord}-free c´ubicos. Isto ´e conseq¨uˆencia direta do Lema 15, que enuncia que todo grafo c´ubico conexo mas n˜ao-biconexo ´e Classe 2, e Lema 16, que enuncia que os ´unicos grafos biconexos Classe 2 em C0 s˜ao o grafo de Petersen, o grafo de Heawood e o grafo completo de ordem 4.

Lema 15 ( Machado, Figueiredo e Vuˇskovi´c — Lema 7 de [32]) Seja G um grafo c´ubico conexo. Se G possui um 1-corte, ent˜ao G ´e Classe 2.

Esbo¸co. Se G possui um 1-corte v, ent˜ao v ´e o ´unico v´ertice de grau 2 de um subgrafo G0 tal que todos os outros v´ertices possuem grau 3. Logo, G0 ´e overfull [17] e, portanto, G ´e subgraph-overfull [17] e, assim, Classe 2.

Lema 16 ( Machado, Figueiredo e Vuˇskovi´c — Lema 8 de [32]) Seja G ∈ C0 um grafo biconexo. Se G ´e c´ubico, ent˜ao G ´e isom´orfico ao grafo de Petersen, ao grafo de Heawood ou ao grafo completo de ordem 4.

Esbo¸co. Basta observar que, se G possui 2-corte pr´oprio, ent˜ao G possui v´ertice de grau 2.

O teorema a seguir ´e conseq¨uˆencia direta do lema anterior.

Teorema 12 ( Machado, Figueiredo e Vuˇskovi´c — Teorema 10 de [32]) Seja G∈ C0 um grafo c´ubico conexo. O grafo G ´e Classe 1 se, e somente se, G ´e biconexo e n˜ao ´e isom´orfico ao grafo de Petersen.

Grafos {square,6-hole,unichord}-free

Na presente se¸c˜ao, mostramos a polinomialidade do problema de colora¸c˜ao de arestas restrito aos grafos {square,6-hole,unichord}-free. Isto ´e conseq¨uˆencia do Lema 17, uma varia¸c˜ao para 3-aresta-colora¸c˜ao do Lema 14, e que ´e provado usando-se a mesma t´ecnica.

Lema 17 ( Machado, Figueiredo e Vuˇskovi´c — Lema 9 de [32]) Seja G ∈ C0 um grafo conexo de grau m´aximo 3 ou menor e seja (X, Y, a, b) split de 2-corte pr´oprio, de tal forma que GX ´e b´asico mas n˜ao isom´orfico a P∗. Se GY ´e 3-aresta-color´ıvel, ent˜ao G ´e 3-aresta-color´ıvel.

Lembre-se de que o gadget ˜P da Figura 5.1 ´e constru´ıdo a partir de P∗. A NP-completude da colora¸c˜ao de arestas em C0 ´e obtida como conseq¨uˆencia de que P∗ ∈ C0. Usando o Lema 17, podemos provar que, se o grafo especial Pn˜ao aparece como folha na ´arvore de decomposi¸c˜ao, isto ´e, como bloco b´asico ap´os a aplica¸c˜ao recursiva de decomposi¸c˜ao 2-corte pr´oprio de um grafo biconexo G ∈ C0 de grau m´aximo 3, ent˜ao G ´e Classe 1.

Teorema 13 ( Machado, Figueiredo e Vuˇskovi´c — Teorema 11 de [32]) Seja G∈ C0 um grafo conexo de grau m´aximo 3. Se G n˜ao possui um 6-ciclo induzido por v´ertices de grau 3, ent˜ao G ´e Classe 1.

Esbo¸co. A hip´otese implica a inexistˆencia do grafo de Petersen como bloco de decomposi¸c˜ao de G, de forma que o Lema 17 pode ser aplicado.

Corol´ario 3 ( Machado, Figueiredo e Vuˇskovi´c — Corol´ario 2 de [32]) Todo grafo conexo 6-hole-free de C0 de grau m´aximo 3 ´e Classe 1.

Uma quest˜ao natural ´e se a proibi¸c˜ao de 6-holes tornaria f´acil a colora¸c˜ao de arestas em C0, e a resposta ´e negativa: o grafo constu´ıdo na demonstra¸c˜ao do Teorema 6 ´e 6-hole-free.

Teorema 14 ( Machado, Figueiredo e Vuˇskovi´c — Teorema 12 de [32]) Para cada ∆≥ 3, CHRIND(grafo {6-hole,unichord}-free ∆-regular) ´e NP-completo.

5.1.4

Observa¸c˜oes sobre colora¸c˜ao de arestas de grafos

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