Concep¸c˜oes sobre conceitos matem´aticos: o que as pesquisas

2.3 Concep¸c˜oes

2.3.2 Concep¸c˜oes sobre conceitos matem´aticos: o que as pesquisas

Algumas pesquisas têm se dedicado a investigar concep¸cões e cren¸cas de professores e de alunos sobre a matemática, e.g. (THOMPSON, 1992) e (JANKVIST, 2009), e de professores sobre o ensino de matemática, e.g. (THOMPSON, 1984). No en- tanto, há poucos estudos investigando concep¸cões de professores e de alunos sobre um determinado tópico do curr´ıculo. Nosso principais exemplos são o trabalho de tese de Iiris Attorps (2006) sobre as concep¸cões acerca do tópico equa¸cões e a pesquisa de Ruhama Even (1993) sobre o conhecimento de conteúdo e o conhecimento pedagógico de conteúdo acerca do tópico fun¸cões.

Attorps (2006) investigou as concep¸cões sobre equa¸cões por parte de professores de matemática baseada na defini¸cão proposta por Sfard (1991). Attorps conduziu um estudo preliminar com 30 estudantes em sua forma¸cão inicial para o ensino de matemática. O estudo principal contou com 10 professores de matemática em campo e 75 estudantes em forma¸cão inicial. Dentre os instrumentos para coleta de dados, a pesquisa contou com a aplica¸cão de questionários, grava¸cões em v´ıdeo de aulas e entrevistas.

As concep¸cões sobre equa¸cões dos participantes da pesquisa foram descritas a partir de três perspectivas: concep¸cões sobre a aprendizagem de equa¸cões32 _consi- derando as experiências prévias de aprendizagem na escola e na universidade, con-

cep¸cões sobre o conteúdo de equa¸cões33 _{e concep¸cões pedagógicas sobre o conte´}_udo de equa¸cões34 _{Attorps estabelece as perspectivas acima com base nas categorias para} o conhecimento do professor introduzidas por Lee Shulman (1986), em particular, o conhecimento de conteúdo e o conhecimento pedagógico de conteúdo.

As concep¸cões dos professores sobre o conteúdo de equa¸cões remetem ao conhecimento matemático relativo a equa¸cões. Elas foram investigadas por meio de questões como “Descreva o que é uma equa¸cão” e por meio de uma extensa lista, com exemplos e contraexemplos de equa¸cões, em que os professores participantes do estudo tinham que identificar quais eram equa¸cões. Vemos que as questões são diretamente vinculadas com o conteúdo de equa¸cões. Os resultados apontaram que a maioria dos professores tinham uma visão operacional de equa¸cões, no sentido de (SFARD, 1991), isto é, demonstraram conceber a no¸cão de equa¸cão como um proce- dimento de cálculo (processo), mais do que como uma estrutura algébrica (objeto). Alguns professores consideraram expressões do tipo x2 _{− 5x − 10 como equa¸cões,} alegando que seria poss´ıvel encontrar um valor para x. Ao pedir aos professores que descrevessem o que é uma equa¸cão, as seguintes categorias de concep¸cões foram esta- belecidas: uma ilustra¸cão concreta, uma ferramenta para encontrar a incógnita, uma igualdade entre duas quantidades e uma transi¸cão para o pensamento algébrico. Na primeira categoria, os professores expressaram suas concep¸cões usando a metáfora da balan¸ca. As respostas agrupadas nas três primeiras categorias sinalizam que a maioria possu´ıa uma visão operacional do conceito.

As concep¸cões pedagógicas sobre o conteúdo de equa¸cões remetem ao conhecimento pedagógico de conteúdo. Elas foram investigadas por meio de questões abor- dando os objetivos do ensino de equa¸cões, como os alunos são motivados a aprender equa¸cões, os tipos de erros que os alunos cometem, dentre outras. As concep¸cões identificadas nas respostas foram agrupadas nas seguintes categorias: equa¸cões como uma ferramenta, equa¸cões de acordo com os objetivos no curr´ıculo de matemática e equa¸cões de um ponto de vista geral. As concep¸cões na primeira categoria sugerem que os professores entendem a álgebra como um estudo de procedimentos para re- solver certos tipos de problemas do dia a dia ou da própria matemática. Por outro lado, as concep¸cões na terceira categoria apontam para a transi¸cão do pensamento

33_{No original: teachers’ subject matter conceptions about equations.} 34_{No original: teachers pedagogical content conceptions about equations.}

aritm´etico para o alg´ebrico (ATTORPS, 2006, p. 170).

Ruhama Even (1993) investigou concep¸cões de futuros professores sobre o conceito de fun¸cão. O objetivo do estudo foi investigar o conhecimento de conteúdo dos (futuros) professores de matemática e suas inter-rela¸cões com o conhecimento pedagógico de conteúdo, no contexto do ensino de fun¸cões. Mais especificamente, o estudo enfatiza duas caracter´ıstica da concep¸cão moderna do conceito de fun¸cão como “uma correspondência univalente entre dois conjuntos”: a natureza arbitrária do conceito, tanto para a rela¸cão considerada como também para os conjuntos en- volvidos e, a propriedade da univalência, segundo a qual cada elemento do dom´ınio é associado a um único elemento no contradom´ınio. O termo “concep¸cão”não é definido por Even. Em alguns momentos, esse termo é usado em referência à no¸cão de imagem conceitual de Tall e Vinner (1981).

Os instrumentos utilizados para gerar os dados foram questionários e entrevistas organizadas com questões sobre fun¸cões, cujas respostas requeriam maior elabora¸cão e reflexão em rela¸cão ao questionário. O estudo foi conduzido com 162 estudantes, de oito universidades dos Estados Unidos, que estavam finalizando um curso de forma¸cão inicial de professores equivalente as nossas licenciaturas. A Figura 2.2 mostra a parte inicial do questionário.

Os resultados do estudo de Even mostraram que a maioria dos estudantes não possu´ıa uma concep¸cão moderna de fun¸cões. As respostas às questões 1 e 2 (Figura 2.2) sugerem concep¸cões i) de que fun¸cões são (ou sempre podem ser representadas por) equa¸cões ou fórmulas35_{; ii) gráficos de fun¸cões devem sempre ser suaves}36 _{e iii)} fun¸cões são “conhecidas”37_{. Essa ´}_{ultima concep¸cão foi marcada por respostas que} indicavam tipos espec´ıficos de fun¸cões, por exemplo: “existem infinitas parábolas que satisfazem as condi¸cões”38 _{(EVEN, 1993, p. 107, tradu¸cão nossa), em resposta} à questão 2.

Tais concep¸cões sugerem uma visão limitada do conceito de fun¸cão no que diz respeito à sua natureza arbitrária. Conceber fun¸cões como equa¸cões e que pos- suem como gráficos curvas suaves pode conduzir ao erro de aceitar como fun¸cões

35_{No original: functions are (or can always be represented as) equations or formulas.} 36_{No original: graphs of functions should be “nice”.}

37_{No original: functions are “known.”}

38_{No original: “There are infinite parabolas that would satisfy the conditions.”(EVEN, 1993,}

circunferências ou elipses, por exemplo. Even explica os resultados encontrados ar- gumentando que a ênfase, na maioria dos cursos de matemática, é sobre fun¸cões cujas rela¸cões podem ser representadas por uma expressão anal´ıtica e que têm por gráfico curvas suaves. Assim, mesmo que sejam apresentados à defini¸cão “moderna” de fun¸cão, o que fica é a experiência maior com casos particulares. Essa situa¸cão não é muito diferente nos cursos de licenciatura em matemática no Brasil.

1. a) Dê uma defini¸cão para fun¸cão. b) Um estudante diz que ele/ela não entendeu essa defini¸cão. Dê uma versão alternativa que ajude o estudante a compreender.

2. Como fun¸c˜oes e equa¸c˜oes se relacionam?

3. É pedido a um estudante que forne¸ca um exemplo de um gráfico de uma fun¸cão que passe pelos dos pontos A e B (veja Fig. 1). O estudante dá a seguinte resposta (veja Fig. 2)

(a) Figura 1 (b) Figura 2

Quando questionado se existe outra resposta, o estudante diz: “Não”. - Se você acha que o estudante está correto - explique porque.

- Se você acha que o estudante está errado - quantas fun¸cões que satisfazem a condi¸cão você pode encontrar? Explique.

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Tanto Attorps (2006) quanto Even (1993) detectaram concep¸cões limitadas em algum aspecto, por parte dos estudantes, sobre os tópicos equa¸cões e fun¸cões. Es- ses resultados mostram que os participantes das pesquisas possu´ıam uma compre- ensão parcial ou inadequada sobre esses conceitos. Compreender equa¸cões apenas como uma ferramenta para encontrar a incógnita pode sugerir que outros aspectos considerados importantes na aprendizagem desse conceito não foram devidamente compreendidos, por exemplo, os significados do sinal de igual, os diferentes usos das letras na álgebra, o significado da solu¸cão de uma equa¸cão. A associa¸cão de fun¸cões com equa¸cões sinaliza uma compreensão inadequada do conceito de fun¸cão. Desse modo, os resultados dessas pesquisas apontam para a importância de promover situa¸cões em que os estudantes possam desenvolver concep¸cões mais adequadas sobre os conceitos matemáticos, isto é, que aproximem sua compreensão sobre um conceito do conhecimento objetivo.

Nossa proposta de ensino não foi planejada visando desenvolver concep¸cões espec´ıficas sobre os conceitos de matrizes e determinantes. Como parte do nosso objetivo inicial, pretendemos promover reflexões sobre metarregras relacionadas a matrizes e determinantes. Esperamos que esse processo de reflexão possa levar os participantes a perceberem e reverem suas concep¸cões sobre esses conceitos. A proposta de ensino foi desenvolvida a partir de dois episódios da história das matrizes (Se¸cão 3.1), que mostram o momento em que as matrizes foram introduzidas, no contexto da solu¸cão de um problema geométrico cuja principal ferramenta utilizada era determinante, isto é, determinantes eram usados sem matrizes. Além disso, os episódios trazem diferentes interpreta¸cões da no¸cão de matriz. A partir do conteúdo dos roteiros, elencamos três temas para identificar concep¸cões e investigar poss´ıveis influências das reflexões sobre as metarregras: concep¸cões sobre o que é matriz, concep¸cões sobre o que é determinante e concep¸cões sobre a utilidade de calcular determinantes.

No documento Publicações do PESC História e Ensino de Matrizes: Promovendo Reflexões Sobre o Discurso Matemático (páginas 61-65)