Definic¸ ˜ao: Conjunto Enumer ´avel. O conjunto A ´e
enumer ´avel(oucont ´avel) se for poss´ıvel listar todos os seus elementos de acordo com uma contagem. Portanto, podemos escrever A como A = {x1, x2, . . . }, ou de modo finito ou de modo infinito. Se A for enumer ´avel n ˜ao finito, dizemos que ´e um conjunto infinito enumer ´avel.
Existem conjuntos infinitos tais que o n ´umero de elementos ´e t ˜ao grande que n ˜ao podem ser listados em uma enumerac¸ ˜ao. Um exemplo ´e o intervalo [0, 1] da reta real. Isso significa que existem (pelo menos) dois tipos de infinito relacionados a tamanhos de conjuntos, infinito enumer ´avel e infinito n ˜ao-enumer ´avel.
Exemplos
Todo subconjunto X ⊂ N ´e enumer ´avel.
Os conjuntos N, Z e Q s ˜ao enumer ´aveis.
O intervalo [0, 1] da reta real n ˜ao ´e enumer ´avel.
O conjunto R n ˜ao ´e enumer ´avel. O conjunto dos n ´umeros irracionais (I = R\Q) n ˜ao ´e enumer ´avel.
Exemplos
Todo subconjunto X ⊂ N ´e enumer ´avel.
Os conjuntos N, Z e Q s ˜ao enumer ´aveis.
O intervalo [0, 1] da reta real n ˜ao ´e enumer ´avel.
O conjunto R n ˜ao ´e enumer ´avel. O conjunto dos n ´umeros irracionais (I = R\Q) n ˜ao ´e enumer ´avel.
Exemplos
Todo subconjunto X ⊂ N ´e enumer ´avel.
Os conjuntos N, Z e Q s ˜ao enumer ´aveis.
O intervalo [0, 1] da reta real n ˜ao ´e enumer ´avel.
O conjunto R n ˜ao ´e enumer ´avel. O conjunto dos n ´umeros irracionais (I = R\Q) n ˜ao ´e enumer ´avel.
Exemplos
Todo subconjunto X ⊂ N ´e enumer ´avel.
Os conjuntos N, Z e Q s ˜ao enumer ´aveis.
O intervalo [0, 1] da reta real n ˜ao ´e enumer ´avel.
O conjunto R n ˜ao ´e enumer ´avel. O conjunto dos n ´umeros irracionais (I = R\Q) n ˜ao ´e enumer ´avel.
T ´opicos
1 Revis ˜ao Matem ´atica
Conjuntos Func¸ ˜oes
Derivac¸ ˜ao e Integrac¸ ˜ao
2 Revis ˜ao Estat´ıstica
Conceitos Iniciais Vari ´aveis Aleat ´orias
Esperanc¸a e Outros Momentos
3 Modelando Ativos com Risco
Introduc¸ ˜ao Exemplos
Princ´ıpio da Diversificac¸ ˜ao
Derivac¸ ˜ao
Definic¸ ˜ao: Derivada de f em a. Sejam I ⊂ R um intervalo,
f : I → R. Aderivada de f no ponto a ´e definida pelo limite:
lim x→a f(x) − f (a) x− a = limh→0 f(a + h) − f (a) h ,
caso esse limite exista. Nesse caso, dizemos que f ´e deriv ´avel
no pontoa. Se o limite n ˜ao existir, dizemos que f n ˜ao ´e deriv ´avel no ponto a.
Se f ´e deriv ´avel em a, denotamos a sua derivada por f0(a), ou
(df /dx)(a). Se existir a derivada de f em todos os pontos do seu dom´ınio, dizemos que f : X → R ´e deriv ´avel no conjunto X
e obtemos uma nova func¸ ˜ao f0 : X → R.
Derivac¸ ˜ao
Considere f : [a, b] → R. Denotamos f0∈ C[a, b] se f0for
cont´ınua em todo o intervalo [a, b]).
Neste caso dizemos que f ´econtinuamente diferenci ´avel. A
classe das func¸ ˜oes reais continuamente diferenci ´aveis em [a, b] ´e denotada por C1[a, b].
Dizemos que f : [a, b] → R ´eduas vezes continuamente
diferenci ´avelse f0 ∈ C1[a, b].
Para qualquer k ∈ N, definimos o conjunto Ck[a, b], das func¸ ˜oes
k-vezes continuamente diferenci ´aveis, de modo indutivo.
Exemplos
Toda func¸ ˜ao constante ´e deriv ´avel, com derivada igual a zero em todo ponto.
Se f : R → R ´e definida por f (x) = cx + b, ent ˜ao f0(x) = c, para todo x ∈ R.
Dado n ∈ N qualquer, f : R → R definida por f (x) = xn, ´e
deriv ´avel em todo ponto do seu dom´ınio e f0(x) = nxn−1.
Exemplos
Toda func¸ ˜ao constante ´e deriv ´avel, com derivada igual a zero em todo ponto.
Se f : R → R ´e definida por f (x) = cx + b, ent ˜ao f0(x) = c, para todo x ∈ R.
Dado n ∈ N qualquer, f : R → R definida por f (x) = xn, ´e
deriv ´avel em todo ponto do seu dom´ınio e f0(x) = nxn−1.
Exemplos
Toda func¸ ˜ao constante ´e deriv ´avel, com derivada igual a zero em todo ponto.
Se f : R → R ´e definida por f (x) = cx + b, ent ˜ao f0(x) = c, para todo x ∈ R.
Dado n ∈ N qualquer, f : R → R definida por f (x) = xn, ´e deriv ´avel em todo ponto do seu dom´ınio e f0(x) = nxn−1.
Resultados
Resultados. Sejam f , g : X → R deriv ´aveis no ponto a ∈ X. As
func¸ ˜oes f ± g, f · g e f /g (com g(a) 6= 0) s ˜ao tamb ´em deriv ´aveis no ponto a, e as derivadas dessas func¸ ˜oes s ˜ao:
(f ± g)0(a) = f0(a) ± g0(a)
(f · g)0(a) = f0(a) · g(a) + f (a) · g0(a) f
g 0
(a) = f
0(a) · g(a) − f (a)g0(a) g(a)2
Regra da Cadeia. Sejam f : X → R, g : Y → R, a ∈ X, b ∈ Y, F(X) ⊂ Y e f (a) = b. Se f ´e deriv ´avel no ponto a e g ´e deriv ´avel no ponto b, ent ˜ao h = g ◦ f : X → R ´e deriv ´avel no ponto a e:
h0(a) = (g ◦ f )0(a) = g0(f (a)) · f0(a) . Jos ´e Guilherme de Lara Resende Revis ˜ao Matem ´atica e Estat´ıstica
Resultados
Resultados. Sejam f , g : X → R deriv ´aveis no ponto a ∈ X. As
func¸ ˜oes f ± g, f · g e f /g (com g(a) 6= 0) s ˜ao tamb ´em deriv ´aveis no ponto a, e as derivadas dessas func¸ ˜oes s ˜ao:
(f ± g)0(a) = f0(a) ± g0(a)
(f · g)0(a) = f0(a) · g(a) + f (a) · g0(a) f
g 0
(a) = f
0(a) · g(a) − f (a)g0(a) g(a)2
Regra da Cadeia. Sejam f : X → R, g : Y → R, a ∈ X, b ∈ Y,
F(X) ⊂ Y e f (a) = b. Se f ´e deriv ´avel no ponto a e g ´e deriv ´avel no ponto b, ent ˜ao h = g ◦ f : X → R ´e deriv ´avel no ponto a e:
h0(a) = (g ◦ f )0(a) = g0(f (a)) · f0(a) .
Func¸ ˜ao Inversa
Exemplo. Dada f : R → R deriv ´avel, considere as func¸ ˜oes
g, h : R → R definidas por g(x) = f (x2)e h(x) = f (x)2. Para todo x∈ R, a regra da cadeia implica que g0(x) = f0(x2) · 2x e
h0(x) = 2f (x) · f0(x).
Func¸ ˜ao Inversa. Sejam X, Y ⊂ R e f : X → Y uma bijec¸ ˜ao com inversa f−1: Y → X. Se f ´e deriv ´avel no ponto a ∈ X e f−1 ´e cont´ınua no ponto b = f (a), ent ˜ao f−1 ´e deriv ´avel no ponto b se, e somente se, f0(a) 6= 0. Nesse caso, temos que
(f−1)0(b) = 1/f0(a).
Func¸ ˜ao Inversa
Exemplo. Dada f : R → R deriv ´avel, considere as func¸ ˜oes
g, h : R → R definidas por g(x) = f (x2)e h(x) = f (x)2. Para todo x∈ R, a regra da cadeia implica que g0(x) = f0(x2) · 2x e
h0(x) = 2f (x) · f0(x).
Func¸ ˜ao Inversa. Sejam X, Y ⊂ R e f : X → Y uma bijec¸ ˜ao com
inversa f−1: Y → X. Se f ´e deriv ´avel no ponto a ∈ X e f−1 ´e cont´ınua no ponto b = f (a), ent ˜ao f−1 ´e deriv ´avel no ponto b
se, e somente se, f0(a) 6= 0. Nesse caso, temos que
(f−1)0(b) = 1/f0(a).
Derivac¸ ˜ao
Sejam f : X → R e a ∈ X. Dizemos que a ´e um:
M ´aximo local de f se existir δ > 0 tal que f (x) ≤ f (a) para todo x ∈ X, |x − a| < δ.
M ´aximo local estritode f se existir δ > 0 tal que f (x) < f (a) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ.
M´ınimo localde f se existir δ > 0 tal que f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ X, |x − a| < δ.
M´ınimo local estritode f se existir δ > 0 tal que f (a) < f (x) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ.
M ´aximo global(ou absoluto) de f se f (x) ≤ f (a) para todo x∈ X. Dizemos que a ´e um m ´aximo global estrito de f se f(x) < f (a), para todo x ∈ X \ {a}.
M´ınimo global(ou absoluto) de f se f (a) ≥ f (x) para todo x∈ X. Dizemos que a ´e um m´ınimo global estrito de f se f(a) < f (x), para todo x ∈ X \ {a}.
Derivac¸ ˜ao
Sejam f : X → R e a ∈ X. Dizemos que a ´e um:
M ´aximo localde f se existir δ > 0 tal que f (x) ≤ f (a) para todo x ∈ X, |x − a| < δ.
M ´aximo local estrito de f se existir δ > 0 tal que f (x) < f (a) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ.
M´ınimo localde f se existir δ > 0 tal que f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ X, |x − a| < δ.
M´ınimo local estritode f se existir δ > 0 tal que f (a) < f (x) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ.
M ´aximo global(ou absoluto) de f se f (x) ≤ f (a) para todo x∈ X. Dizemos que a ´e um m ´aximo global estrito de f se f(x) < f (a), para todo x ∈ X \ {a}.
M´ınimo global(ou absoluto) de f se f (a) ≥ f (x) para todo x∈ X. Dizemos que a ´e um m´ınimo global estrito de f se f(a) < f (x), para todo x ∈ X \ {a}.
Derivac¸ ˜ao
Sejam f : X → R e a ∈ X. Dizemos que a ´e um:
M ´aximo localde f se existir δ > 0 tal que f (x) ≤ f (a) para todo x ∈ X, |x − a| < δ.
M ´aximo local estritode f se existir δ > 0 tal que f (x) < f (a) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ.
M´ınimo local de f se existir δ > 0 tal que f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ X, |x − a| < δ.
M´ınimo local estritode f se existir δ > 0 tal que f (a) < f (x) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ.
M ´aximo global(ou absoluto) de f se f (x) ≤ f (a) para todo x∈ X. Dizemos que a ´e um m ´aximo global estrito de f se f(x) < f (a), para todo x ∈ X \ {a}.
M´ınimo global(ou absoluto) de f se f (a) ≥ f (x) para todo x∈ X. Dizemos que a ´e um m´ınimo global estrito de f se f(a) < f (x), para todo x ∈ X \ {a}.
Derivac¸ ˜ao
Sejam f : X → R e a ∈ X. Dizemos que a ´e um:
M ´aximo localde f se existir δ > 0 tal que f (x) ≤ f (a) para todo x ∈ X, |x − a| < δ.
M ´aximo local estritode f se existir δ > 0 tal que f (x) < f (a) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ.
M´ınimo localde f se existir δ > 0 tal que f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ X, |x − a| < δ.
M´ınimo local estrito de f se existir δ > 0 tal que f (a) < f (x) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ.
M ´aximo global(ou absoluto) de f se f (x) ≤ f (a) para todo x∈ X. Dizemos que a ´e um m ´aximo global estrito de f se f(x) < f (a), para todo x ∈ X \ {a}.
M´ınimo global(ou absoluto) de f se f (a) ≥ f (x) para todo x∈ X. Dizemos que a ´e um m´ınimo global estrito de f se f(a) < f (x), para todo x ∈ X \ {a}.
Derivac¸ ˜ao
Sejam f : X → R e a ∈ X. Dizemos que a ´e um:
M ´aximo localde f se existir δ > 0 tal que f (x) ≤ f (a) para todo x ∈ X, |x − a| < δ.
M ´aximo local estritode f se existir δ > 0 tal que f (x) < f (a) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ.
M´ınimo localde f se existir δ > 0 tal que f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ X, |x − a| < δ.
M´ınimo local estritode f se existir δ > 0 tal que f (a) < f (x) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ.
M ´aximo global (ou absoluto) de f se f (x) ≤ f (a) para todo x∈ X. Dizemos que a ´e um m ´aximo global estrito de f se f(x) < f (a), para todo x ∈ X \ {a}.
M´ınimo global(ou absoluto) de f se f (a) ≥ f (x) para todo x∈ X. Dizemos que a ´e um m´ınimo global estrito de f se f(a) < f (x), para todo x ∈ X \ {a}.
Derivac¸ ˜ao
Sejam f : X → R e a ∈ X. Dizemos que a ´e um:
M ´aximo localde f se existir δ > 0 tal que f (x) ≤ f (a) para todo x ∈ X, |x − a| < δ.
M ´aximo local estritode f se existir δ > 0 tal que f (x) < f (a) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ.
M´ınimo localde f se existir δ > 0 tal que f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ X, |x − a| < δ.
M´ınimo local estritode f se existir δ > 0 tal que f (a) < f (x) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ.
M ´aximo global(ou absoluto) de f se f (x) ≤ f (a) para todo
x∈ X. Dizemos que a ´e um m ´aximo global estrito de f se
f(x) < f (a), para todo x ∈ X \ {a}.
M´ınimo global (ou absoluto) de f se f (a) ≥ f (x) para todo x∈ X. Dizemos que a ´e um m´ınimo global estrito de f se f(a) < f (x), para todo x ∈ X \ {a}.
Derivac¸ ˜ao
Resultado. Seja f : [a, b] → R deriv ´avel no intervalo aberto
limitado (a, b) e suponha que f assume um m ´aximo (ou m´ınimo) em algum x ∈ (a, b). Ent ˜ao f0(x) = 0.
Definic¸ ˜ao: Ponto Cr´ıtico. Dizemos que c ∈ X ´e umponto cr´ıticoda func¸ ˜ao deriv ´avel f : X → R quando f0(c) = 0.
Derivac¸ ˜ao
Todo ponto c ∈ (a, b) que ´e ponto de m ´aximo ou m´ınimo local ´e um ponto cr´ıtico (ou seja, estamos assumindo que
f : [a, b] → R ´e diferenci ´avel em c).
Por ´em nem todo ponto cr´ıtico c ∈ (a, b) ser ´a um ponto de m ´aximo ou m´ınimo local.
Por exemplo, para f : R → R dada por f (x) = x3, x = 0 ´e um
ponto cr´ıtico de f , mas n ˜ao ´e nem m´ınimo nem m ´aximo local de f .
Resultados
Se para f : I → R cont´ınua no intervalo I temos que f0(x) = 0 para todo x ∈ int I, ent ˜ao f ´e func¸ ˜ao constante. Se f , g : I → R cont´ınuas no intervalo I = [a, b] s ˜ao
deriv ´aveis em (a, b) com f0(x) = g0(x), para todo x ∈ (a, b), ent ˜ao existe c ∈ R tal que g(x) = f (x) + c, para todo x ∈ I. A func¸ ˜ao deriv ´avel f : I → R ´emon ´otona n ˜ao-decrescente (mon ´otona n ˜ao-crescente)no intervalo I ⊂ R se, e
somente se, f0(x) ≥ 0 (f0(x) ≤ 0) para todo x ∈ I. Se f0(x) > 0 (f0(x) < 0) para todo x ∈ I, ent ˜ao f ´e uma bijec¸ ˜ao crescente (decrescente) sobre um intervalo J e sua inversa f−1: J → I ´e deriv ´avel, com (f−1)0(y) = 1/f0(x), para todo y = f (x) ∈ J.
Resultados
Se para f : I → R cont´ınua no intervalo I temos que f0(x) = 0 para todo x ∈ int I, ent ˜ao f ´e func¸ ˜ao constante.
Se f , g : I → R cont´ınuas no intervalo I = [a, b] s ˜ao
deriv ´aveis em (a, b) com f0(x) = g0(x), para todo x ∈ (a, b), ent ˜ao existe c ∈ R tal que g(x) = f (x) + c, para todo x ∈ I. A func¸ ˜ao deriv ´avel f : I → R ´emon ´otona n ˜ao-decrescente (mon ´otona n ˜ao-crescente)no intervalo I ⊂ R se, e
somente se, f0(x) ≥ 0 (f0(x) ≤ 0) para todo x ∈ I. Se f0(x) > 0 (f0(x) < 0) para todo x ∈ I, ent ˜ao f ´e uma bijec¸ ˜ao crescente (decrescente) sobre um intervalo J e sua inversa f−1: J → I ´e deriv ´avel, com (f−1)0(y) = 1/f0(x), para todo y = f (x) ∈ J.
Resultados
Se para f : I → R cont´ınua no intervalo I temos que f0(x) = 0 para todo x ∈ int I, ent ˜ao f ´e func¸ ˜ao constante. Se f , g : I → R cont´ınuas no intervalo I = [a, b] s ˜ao
deriv ´aveis em (a, b) com f0(x) = g0(x), para todo x ∈ (a, b), ent ˜ao existe c ∈ R tal que g(x) = f (x) + c, para todo x ∈ I.
A func¸ ˜ao deriv ´avel f : I → R ´e mon ´otona n ˜ao-decrescente (mon ´otona n ˜ao-crescente) no intervalo I ⊂ R se, e
somente se, f0(x) ≥ 0 (f0(x) ≤ 0) para todo x ∈ I. Se f0(x) > 0 (f0(x) < 0) para todo x ∈ I, ent ˜ao f ´e uma bijec¸ ˜ao crescente (decrescente) sobre um intervalo J e sua inversa f−1: J → I ´e deriv ´avel, com (f−1)0(y) = 1/f0(x), para todo y = f (x) ∈ J.
Integrac¸ ˜ao
Aintegralde uma func¸ ˜ao f : [a, b] → R determina a ´area sob a curva definida por f no plano cartesiano. O m ´etodo de calcular a integral de uma func¸ ˜ao ´e chamadointegrac¸ ˜ao.
Definic¸ ˜ao: Integral de Riemann. Seja f : [a, b] → R uma
func¸ ˜ao cont´ınua. A func¸ ˜ao f ´eintegr ´avele o n ´umero:
Z b
a
f(x) dx
´e aintegral(de Riemann) de f em [a, b] (ou integral definida ou
apenas integral). Dizemos que f (x) ´e ointegrando, a ´e olimite
inferior, b ´e olimite superior, e dx denota que estamos integrando com relac¸ ˜ao `a vari ´avel x.
Propriedades
1 Seja α ∈ R e considere f : [a, b] → R cont´ınua. Se f ´e integr ´avel,
ent ˜ao αf tamb ´em ´e, e Z b a αf (x) dx = α Z b a f(x) dx .
2 Mais geralmente, sejam α, β ∈ R e considere f , g : [a, b] → R
cont´ınuas. Se f e g s ˜ao integr ´aveis, ent ˜ao αf + βg tamb ´em ´e, e Z b a [αf (x) + βg(x)] dx = α Z b a f(x) dx + β Z b a g(x) dx .
3 Seja c ∈ [a, b] qualquer e considere f : [a, b] → R cont´ınua. Se f
´e integr ´avel, ent ˜ao: Z b a f(x) dx = Z c a f(x) dx + Z b c f(x) dx .