6.1 A corrente e o movimento das cargas:
Quando submetemos um fio condutor a uma determinada diferença de potencial, automaticamente tal condutor es- tará sujeito a um campo elétrico E . Tal campo atuará sobre os elétrons livres dos átomos que compõe o condutor, fazendo com que os mesmos sofram um deslocamento na direção do campo elétrico. Assim se tomarmos uma sec- ção transversal do fio, como representado na figura 6.1 teremos uma certa quantidade de carga (∆Q) atravessando
esta área (A) em um determinado intervalo de tempo (∆t). Assim a corrente elétrica será definida como sendo
I = ∆Q
∆t (6.1)
Figura 6.1: Fio condutor submetido a uma diferença de potencial
.
a unidade no SI é o Ampère onde [I ] = C/s = A. Quando a diferença de potencial é retirada, o campo
elétrico cessa automaticamente, consequentemente a corrente elétrica torna-se nula, pois não haverá uma corrente liquida de cargas em uma única direção, a energia dos elétrons é consequência da agitação térmica apenas, uma representação simplificada pode ser vista na figura 6.2.
Figura 6.2: Fio condutor acoplado com uma bateria que gera uma tensãoV com a chaveS aberta. Perceba o movimento aleatório dos elétrons, provavelmente gerado pela agitação térmica.
Exercício:
Considerando um circuito onde passa uma corrente elétrica de 5mA em um determinado condutor metálico. Qual a quantidade de elétrons que atravessa a secção transversal deste condutor em 1s?
48 CAPÍTULO 6. CORRENTE ELÉTRICA E CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA (CC):
6.1.1 Sentido da corrente elétrica:
Sabemos que a mobilidade de carga elétrica está associada aos elétrons de um átomo. Assim temos cargas negativas em movimento no interior de um fio metálico. No entanto, por convenção, a corrente elétrica em circuitos é orientado no sentido oposto ao movimento das cargas negativas. A representação correta em um circuito é então mostrada na figura 6.3
Figura 6.3: Representação da direção da corrente elétrica em um circuito elétrico.
6.2 Resistência e Lei de Ohm:
Levando em consideração que a corrente elétrica I está na mesma direção do campo elétrico E no interior do
condutor. Desta forma, a corrente I percorre um segmento de fio de um potencial maior V a até um potencial menor V b. Se o fio tiver um comprimento ∆L a diferença de potencial elétrica pode ser calculado como sendo
V = V a
−
V b = E·
∆L (6.2)a razão entre a diferença de potencial "V "e a corrente "I "denomina-se de resistência elétrica.
R = V
I (6.3)
A unidade no SI é o "Ohm"(Ω), onde 1Ω = 1V 1A.
A resistência elétrica dos materiais é uma função dimensões e das características atômicas que definirá o que denominamos de resistividade dos materiais. Se a resistividade for constante a resistência é uma constante, consequentemente a relação entre a tensão e a corrente destes materiais tem um comportamento linear, para este tipo de material denominamos de Materiais Ôhomicos. Caso a relação entre a tensão e a corrente não tenha um comportamento linear, denominamos o material de Material não Ôhomico.
Figura 6.4: (a) Curva I
×
V para um elemento resistivo com comportamento Ôhmico. (b) Curva I×
V para um elemento resistivo nãoôhmico.
A resistência elétrica de um elemento metálico é calculado levando em consideração o seu comprimento L
a área A e a resistividade ρ a partir de,
R = ρL
6.2. RESISTÊNCIA E LEI DE OHM: 49 Em alguns casos prefere-se calcular a condutividade elétrica que é definida como o inverso da resistividade. A unidade da condutividade é dada por (Ωm)−1denominado de Simiens (
S ). A condutividade ou resistividade dos materiais depende da temperatura do elemento resistivo. Em muitos materiais a relação entre ρ e T é linear e pode
ser calculado a partir da resistividade a temperatura ambiente (20oC ).
α = (ρ
−
ρ20)/ρ20T c
−
20 (6.5)Aquiαrepresenta o coeficiente de temperatura para um determinado material. A tabela 6.1 traz alguns coeficientes
de temperatura e resistividade de elementos utilizados no cotidiano em circuitos elétrico e componentes eletrônicos. Material Resistividade ρ(20oC ) Coef. Térmico α(20oC )
Cobre 1, 7
×
10−8 Ωm 3, 9×
10−3 K −1 Ferro 10×
10−8Ωm 5, 0×
10−3K −1 Alumínio 2, 8×
10−8 Ωm 3, 9×
10−3 K −1 Silício 640Ωm−
7, 5×
10−2 K −1Tabela 6.1: Tabela de Resistividades Elétricas
Exercício:
Um fio de Nichrome (ρ = 10−6Ωm) possui um raio de
0, 65mm. Que comprimento desse fio
é preciso para que se obtenha uma resistência de 2, 0Ω? (Resposta: L = 2, 65m)
Comercialmente os fios são fabricados em dimensões padronizadas. O diâmetro da secção transversal circular de um fio é identificado pro um número, o Calibre com valores maiores para diâmetros menores. A tabela
6.2 apresenta as características dos fio para cada dimensão.
Calibre Diâmetro (mm) Área (mm2)
4 5, 189 21, 15 6 4, 115 13, 30 8 3, 264 8, 366 10 2, 588 5, 261 12 2, 053 3, 309 14 1, 628 2, 081 20 0, 812 0, 517
Tabela 6.2: Tabela de referência e calibres
Exemplo:
Calcule a resistência por unidade de comprimento de um fio de cobre calibre 14.
Solução: Vamos calcular a resistência por unidade de comprimento utilizando
R = ρL A
queremos calcular a razão R
L, assim
R L =
ρ A
utilizando os valores da tabela 6.2 temos
R L = ρ A = 1, 7
×
10−8 2, 08×
10−6 = 8, 17×
10 −3 Ω/mGrande parte dos resistores encontrados nos equipamentos são de carbono, que apresentam uma resistência alta. Para facilitar a identificação, os resistores são vendidos com um código de cores que identificam o valor de sua resistência. A seguir será apresentado um exemplo simples baseado na figura 6.5.Para fazer a leitura da resistência devemos fazer o seguinte procedimento: A leitura deve ser feita a partir da linha mais próxima da extremidade do resistor. As duas primeiras linhas indicam um numero entre 00 até 99. A terceira linha irá indicar o expoente do fator que deverá ser multiplicada pela dezena formada anteriormente 10x. A quarta linha indica a tolerância do
50 CAPÍTULO 6. CORRENTE ELÉTRICA E CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA (CC): resistor, caso não esteja presente a tolerância é de 20%. Utilizando a figura 6.5 o valor da resistência é 33
×
100Ω,ou seja, 33Ω. Para exercitar você pode acessar www.areaseg.com/sinais/resistor.html.
Figura 6.5: Resistor com a codificação de cores.
6.3 Energia nos Circuitos Elétricos:
Quando um condutor fica sujeito a uma diferença de potencial (d.d.p) os elétrons os responsáveis pela corrente elétrica adquirem energia cinética que rapidamente é dissipada em forma de calor. Este mecanismo de dissipação recebe o nome de Efeito Joule. O cálculo da variação da energia potencial pode ser escrita na forma
∆U =
−
∆Q(V b−
V b) (6.6)onde V a e V b estão relacionados a diferença de potencial entre dois pontos de um condutor cilíndrico com área de secção transversal "A"e ∆Q a quantidade de carga que se desloca em um intervalo de tempo ∆t, o sinal negativo na equação acima é devido a diminuição da energia devido a dissipação. Para calcular a taxa de variação de energia em função do tempo, tomamos
−
∆U ∆t = ∆Q∆t
·
V = I V (6.7)a potencia dissipada é então
P = I V (6.8)
utilizando a Lei de Ohm V = RI podemos reescrever esta última na forma P = I V = I 2R = V
2
R (6.9)
6.4 Força Eletro Motriz (E ) e Baterias:
Existem duas principais forma de gerar uma determinada d.d.p. Uma é através de um processo químico, dispo- sitivos que funcionam baseado neste processo denominamos de Baterias. Caso a energia elétrica seja gerada por
energia mecânica, denominamos de Geradores. A diferença de potencial gerada por uma bateria é denominado
de Força Eletro Motriz (
E
). No entanto, em uma bateria real, nem todaE
produzida é liberada ao circuito. Umaparcela deste valor é "gasta"pela própria bateria ou gerador para o seu funcionamento, para representar este gasto inserimos no circuito uma resistência interna r em série com a bateria, com isso podemos ter duas representações
de fontes de tensão, as ideais e as reais como apresentadas na figura 6.6.
6.5. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES: 51
Figura 6.6: (a) Bateria Ideal onde a queda de potencial no resistor é igual a FEM gerada pela fonte. (b) Bateria real, onde a queda de potencial sobre o resistor é diferente da FEM produzida pela bateria. Nesta figura r é a resistência interna da bateria.
P =
E
I (6.10)Para uma bateria real, podemos calcular a diferença de potencial entregue ao circuito através de
V =
E −
Ir (6.11)onde
E
é a FEM produzida pela bateria e I r = V d é a tensão dissipada devido ao funcionamento da bateria. O cálculo da corrente em um circuito contendo uma bateria real pode ser feita a partir da associação de resistores em série. A expressão para a corrente I é dada porI =
E
R + r (6.12)
uma forma de representar a especificações de uma bateria é através do valor Ampère-hora (Ah) onde
1Ah = (1C/s)(3600) = 3600C
6.5 Associação de Resistores:
A prática de substituição de diversos resistores em circuitos elétrico é comum. Existem duas possibilidades de combinar resistores em m circuito elétrico, associação em série e em paralelo, a seguir iremos analisar cada uma das situações.
6.5.1 Associação em série:
Considere o circuito representado na figura 6.7.
Figura 6.7: Associação de resistores em série
Nesta situação a queda de potencial em cada um dos resistores pode ser calculado com
V 1 = R1I
52 CAPÍTULO 6. CORRENTE ELÉTRICA E CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA (CC): onde foi considerado que a corrente I em cada um dos resistores é a mesma. A tensão total dever ser a soma das
tensões em cada um dos resistores, de forma que
V = V 1 + V 2
Podemos substituir os dois resistores do circuito da figura 6.7 por um único resistor equivalente, que submetido ao mesmo potencial V dever gerar a mesma corrente I . Desta forma
V = ReqI (6.13)
ou ainda
V 1 + V 2 = ReqI (6.14)
substituindo V 1 e V 2 encontramos
R1I + R2I = ReqI
→
Req = R1 + R2 (6.15)6.5.2 Associação em Paralelo:
Utilizando o mesmo procedimento anterior e lembrando que neste caso a tensão é a mesma para os dois resistores presentes no circuito da figura ?? encontramos a seguinte expressão para a associação de resistores em paralelo
1 Req = 1 R1 + 1 R2 (6.16)
Figura 6.8: Associação de resistores em paralelo.
6.6 Leis de Kirchhoff:
A figura 6.9 representa um circuito de múltiplas malhas, neste circuito existem algumas fontes e alguns receptores que irão dissipar a energia liberada por elas. Em cada ramo das malhas estão indicadas as direções das correntes que estão circulando neste circuito. Para resolver este tipo de circuito e encontrar as variáveis precisamos utilizar as duas leis de Kirchhoff, que são:
1. Ao percorrer uma malha fechada em um circuito, a soma algébrica das variações de potencial dever ser igual a zero.
2. Em qualquer nó do circuito, a soma das corrente que chegam ao nó dever ser igual a soma das corrente que
saem deste nó.
6.7 Circuitos RC:
Como vimos nas seções anteriores, os capacitores tem a capacidade de armazenar energia elétrica em um circuito elétrico, por outro lado, os resistores tem a capacidade de dissipar energia elétrica a partir do chamado Efeito Joule. Vamos agora associar estes dois dispositivos elétricos em um mesmo circuito e analisar fisicamente e matematicamente as consequências disso. Inicialmente iremos fazer uma análise qualitativa.
6.7. CIRCUITOS RC: 53
Figura 6.9: Circuito de múltiplas malhas onde existe a necessidade de solução a partir das Leis de Kirchhoff.
6.7.1 Carga de um Capacitor:
Considere o circuito representado na figura 6.10, inicialmente o capacitor C 1 está completamente descarregado, ao fecharmos a chave S uma corrente I irá fluir no circuito no sentido horário, de modo que, utilizando as Leis de
Kirchhoff temos
Figura 6.10: Circuito RC utilizado para o cálculo da carga e descarga de capacitores.
E −
Ir−
QC = 0 (6.17)
o primeiro termo é o aumento do potencial elétrico
E
, o segundo termo é a queda de potencial no resistor e o terceiro é a queda de potencial no capacitor. Com isso, substituindo neste equação I = dQdt vemE −
RdQ dt−
Q
C = 0 (6.18)
manipulando podemos reescrever na forma
E
= Q C = R dQ dt (6.19) ou ainda CE −
Q = RC dQ dt (6.20)separando os termos para a integração
dQ C
E −
Q =dt
RC (6.21)
integrando a carga de 0 até Qf para o intervalo de tempo entre 0 e t, vem