Corte-de-conexidade - Formula¸c˜ ao Linear do PCCC sem pesos nas arestas

2.4 Formula¸c˜ ao Linear do PCCC sem pesos nas arestas

2.4.1 Corte-de-conexidade

Considere o problema P , cuja formula¸cão é equivalente à formula¸cão (F1) sem as restri¸cões do tipo (iii). Claramente P é uma relaxa¸c˜ao do PCCC sem pesos nas arestas, pois em P n˜ao é exigida a restri¸cão de conexidade. Ou seja, toda solu¸cão vi´avel do PCCC sem pesos nas arestas é vi´avel de P . Porém, o contrário não é verdadeiro. As solu¸cões que não atendem à restri¸cão de conexidade só

VI\ S j i

Figura 2.6: Considere o exemplo no qual o grafo acima corresponde a GI. Indicamos atrav´es dos c´ırculos pontilhados

um conjunto S, tal que GI[S] ´e desconexo. Note que para que a restri¸c˜ao (iii) seja satisfeita, deve valer que λ(k) 6= S,

para todo k ∈ VM. Para um k ∈ VM qualquer, dois exemplos que n˜ao violam a restri¸c˜ao (iii) seriam: λ(k) = S \ {i} ou

λ(k) = S ∪ {j}.

são viáveis de P . Logo, uma solu¸cão ótima de P é um limitante inferior para o valor de uma solu¸cão do PCCC sem pesos nas arestas. Uma consequência disso é que se uma solu¸c˜ao ótima de P atende `

a restri¸cão de conexidade (GI[λ(k)] é conexo para todo k ∈ VM), então tal solu¸cão também é ótima para o PCCC sem pesos nas arestas.

Vimos que a restri¸cão de conexidade pode ser descrita através da seguinte inequa¸cão: X

i∈S xik−

j∈VI\S

xjk≤ |S| − 1, para todo k ∈ VM e S ⊆ VI, tal que GI[S] ´e desconexo.

Qualquer subconjunto não vazio de VI é um poss´ıvel candidato a λ(k), para qualquer k ∈ VM. Este fato pode nos levar a concluir que a quantidade de cortes-de-conexidade necessários para obter uma solu¸cão que não viole a restri¸cão de conexidade não seja polinomial no tamanho da entrada. Talvez não seja necessário incluir a restri¸cão acima para todo S ⊆ VI e k ∈ VM. Se tivermos sorte, possivelmente apenas um subconjunto não muito grande dessas inequa¸cões seja necessário para obter- se uma solu¸cão ótima que não viole a restri¸cão de conexidade.

A idéia desta abordagem alternativa é utilizar inicialmente a formula¸cão de P para obter uma solu¸cão ótima x∗. Caso a solu¸cão x∗ viole a restri¸cão de conexidade, então encontramos novas restri¸cões violadas por x∗ _{e as juntamos `}_{as restri¸c˜}_{oes de P , gerando um novo problema P}1_{, de modo} que x∗não seja uma solu¸cão viável de P1. Chamaremos estas restri¸c˜oes de cortes-de-conexidade, pois tais restri¸cões servem para “cortar” (ou descartar) as solu¸cões que violam a restri¸cão de conexidade.

Então, utilizamos P1 para obter uma nova solu¸cão ótima x1. Caso x1viole a restri¸cão de conexidade, juntamos algumas (pelo menos uma) inequa¸cões violadas por x1_`_{as restri¸c˜}_{oes de P}1_{, gerando um novo} problema P2. E assim sucessivamente, até que seja encontrada uma solu¸cão ótima que não viole a restri¸cão de conexidade. Vejamos como calcular tais cortes-de-conexidade.

Dada uma solu¸c˜ao x∗_{, para todo k ∈ V}

M, tal que GI[λ(k)] n˜ao seja conexo, temos a seguinte restri¸c˜ao violada por x∗:

X i∈λ(k) xik− X j∈VI\λ(k) xjk≤ |λ(k)| − 1. (4.2)

Vamos fixar um k tal que GI[λ(k)] não é conexo na solu¸cão x∗. Claramente a solu¸cão x∗ viola a restri¸cão (4.2), pois P

i∈λ(k)xik = |λ(k)| eP_j∈V_I_\λ(k)xjk= 0. Note que qualquer outra solu¸cão que contenha um conjunto de vértices associados a k diferente do atual (na solu¸cão x∗) não violará a restri¸cão (4.2). Basta observar que qualquer mapeamento M que atenda a uma das condi¸cões abaixo, não viola a restri¸cão (4.2) para o k fixado.

• M contém pelo menos um vértice j ∈ VI associado ao cluster k, tal que j /∈ λ(k) na solu¸cão x∗_{, aumentando assim o valor do termo}P

j∈VI\λ(k)xjk em pelo menos uma unidade.

• M contém pelo menos uma associa¸cão de algum vértice i ∈ VI a um outro cluster l ∈ VM, tal que i ∈ λ(k) na solu¸cão x∗ e l 6= k, diminuindo o valor do termo P

i∈λ(k)xik em pelo menos uma unidade.

Dada uma solu¸cão x∗ _{de P (possivelmente j´}_{a acrescido de alguns cortes-de-conexidade), precisa-} mos verificar se x∗ atende à restri¸cão de conexidade. Para efetuar esta tarefa, podemos utilizar o algoritmo de busca em largura, que é polinomial no tamanho do grafo no qual será feita a busca [14]. Basta executar, para cada GI[λ(k)], tal que k ∈ VM, uma busca em largura partindo de um vértice qualquer de GI[λ(k)]. Somente as arestas com os dois extremos em λ(k) podem ser consideradas na busca. Se todos os vértices de GI[λ(k)] forem alcan¸cados na busca, então GI[λ(k)] é conexo. Caso contrário, GI[λ(k)] é desconexo.

A figura2.7ilustra um exemplo onde GI[λ(l)] é conexo e GI[λ(k)] é desconexo, para dois clusters distintos k, l ∈ VM. Note que o grafo GI[λ(k)] possui duas componentes, portanto, uma busca em largura partindo de um único vértice de GI[λ(k)] jamais alcan¸cará todos os vértices de GI[λ(k)]. Já o grafo GI[λ(l)] é conexo. Portanto, uma busca em largura partindo de um vértice qualquer de GI[λ(l)]

k l 1 2 3 4 5 7 8 1 2 3 7 4 5 8

Figura 2.7: _{A esquerda temos G}` _I_{. As ´}_{areas pontilhadas indicam que os vértices 1, 2, 3, e 7 est˜}_{ao associados a um} mesmo cluster, digamos k. Os vértices 4, 5 e 8 estão associados a um cluster l 6= k. Ao centro temos GI[λ(k)] e à

direita temos GI[λ(l)].

sempre alcan¸cará todos os vértices de GI[λ(l)]. Neste caso o corte-de-conexidade a ser inserido na formula¸cão éP

i∈λ(k)xik−P_j∈V_I_\λ(k)xjk≤ 3.

A seguir, mostramos um pseudo-código para a resolu¸c˜ao do PCCC sem pesos nas arestas através da inclusão de cortes-de-conexidade. O algoritmo PCCC-sem-pesos-nas-arestas recebe como parâmetros dois grafos GI e GM e devolve uma solu¸cão ´otima do PCCC sem pesos nas arestas para os grafos GI e GM.

PCCC-sem-pesos-nas-arestas(GI, GM)

1 Seja F o conjunto de restri¸c˜oes da formula¸c˜ao para P 2 devolva trata-conexidade(GI, GM, F)

trata-conexidade(GI, GM, F) 1 x∗ ← resolve-PI(F)

2 se x∗ _{viola a restri¸c˜}_{ao de conexidade}

3 ent˜ao Seja C o conjunto dos cortes-de-conexidade violados por x∗

4 F′← F ∪ C

5 devolva trata-conexidade(GI, GM, F′) 6 sen˜ao devolva x∗

O algoritmo trata-conexidade faz uso de uma subrotina chamada resolve-PI, que é encar- regada de encontrar uma solu¸cão inteira que otimiza a fun¸cão P

i∈VI P

conta as restri¸cões contidas em F. Inicialmente, a formula¸cão F contém apenas as restri¸cões do problema P , que é uma relaxa¸c˜ao do PCCC sem pesos nas arestas. A cada chamada recursiva feita a trata-conexidade, caso a solu¸cão x∗ encontrada por resolve-PI não atenda à restri¸cão de conexidade, são gerados novos cortes-de-conexidade violados por x∗. Estes cortes são “acumulados” até que em alguma chamada a trata-conexidade a solu¸cão x∗ _{encontrada por resolve-PI n˜}_{ao viole} a restri¸cão de conexidade.

Observe que, quando GI é um grafo completo, não é necessária a inclusão de nenhum corte-de- conexidade, pois qualquer subgrafo GI[S], tal que S ⊆ VI, é conexo. Neste caso, podemos utilizar um algoritmo guloso, que associa cada i ∈ VM a um cluster k ∈ VM, tal que o custo de cik seja m´ınimo. Qualquer solu¸cão obtida desta forma é ótima porque cada vértice é associado de maneira ótima, e qualquer subconjunto de associa¸cões não influi no restante. Tal procedimento consumiria tempo O(|VI| · |VM|). De forma geral, quanto mais denso for o grafo GI, menor tende a ser a quantidade de cortes-de-conexidade necessários para obter-se uma solu¸cão ´otima para o PCCC sem pesos nas

arestas.

A abordagem utilizada pelo algoritmo trata-conexidade ´e chamada de m´etodo de planos-de-

corte. Dada uma classe de inequa¸c˜oes I, em cada itera¸cão do método de planos-de-corte é necessário decidir se uma dada solu¸cão viola ou não alguma inequa¸cão de I. Em caso afirmativo, deve-se exibir uma inequa¸cão de I violada por tal solu¸c˜ao. Este problema é conhecido como o problema da

separa¸cão. O problema de encontrar uma solu¸c˜ao ótima que não viole nenhuma inequa¸cão de I é chamado de problema de otimiza¸cão.

Grötschel, Lovász e Schrijver [25] provaram que os problemas de otimiza¸cão e separa¸cão sobre um mesmo poliedro são computacionalmente equivalentes. Este resultado, ao contrário do que aparenta, não nos trás nenhuma informa¸cão sobre o comportamento do algoritmo trata-conexidade. Os cortes-de-conexidade que mostramos servem apenas para eliminar solu¸cões inteiras que violam a restri¸cão de conexidade. Repare que na linha 1 do algoritmo temos uma chamada à subrotina resolve-PI, que encontra uma solu¸cão inteira para o problema composto pelas restri¸cões de F. Em geral, resolver um problema de programa¸cão inteira é N P-dif´ıcil. O ideal seria se soubéssemos resolver eficientemente o problema da separa¸cão para uma dada solu¸cão qualquer (fracionária ou inteira). Neste caso, através da equivalência entre otimiza¸cão e separa¸cão, poder´ıamos afirmar que o PCCC sem pesos nas arestas est´a em P.

de restri¸c˜oes polinomial nos tamanhos de GI e GM. Esta outra formula¸c˜ao utiliza conceitos de fluxo em redes.

No documento Correspondência inexata entre grafos (páginas 33-38)