Crescimento dos grafos de processo - OBTENC ¸ ˜ AO E UTILIZAC ¸ ˜ AO DE GRAFOS-LIMITE DE AUT ˆ

Neste cap´ıtulo, apresenta-se o conceito dos grafos de processo de um autˆomato celular

seguido de uma t´ecnica de busca de estruturas que surgem nos grafos de processo para

diferentes itera¸cões de uma mesma regra, bem como um método para detectar a existência de poss´ıveis padrões de crescimento de tais grafos, com o objetivo de poder inferir os grafos para itera¸cões maiores sem a necessidade de computá-los diretamente.

3.1 Grafos de processo dos autˆomatos celulares

ele-mentares (ACEs)

Em (Wolfram, 1984) foi sugerido o estudo de uma medida de complexidade dos ACEs por meio dos grafos de processo que descrevem as poss´ıveis equa¸cões obtidas como imagem da regra para diferentes números de itera¸cões.

Nesta se¸cão essa representa¸cão das regras por meio dos grafos de processo é apresen-tada.

3.1.1 Grafos de De Bruijn e o m´etodo iterativo

Dado um AC unidimensional, ´e poss´ıvel representar sua regra local atrav´es de segrafo de De Bruijn (de Bruijn, 1946).

Defini¸c˜ao 3.1. Seja f : Sn −→ n a regra local de um AC unidimensional, com

S = {0,· · · , k −1}. O grafo de De Bruijn de f ´e o grafo direcionado rotulado G_f = (V_f, E_f, S, L_f) tal que:

Figura 3.1: Grafo de De Bruijn representando a regra 150 do espa¸co dos ACEs. Se conside-rado como um grafo de processo, as cadeias aceitas pelo grafo de De Bruijn correspondem `

as configura¸cões que podem ser obtidas aplicando-se essa regra sobre todas as poss´ıveis sequências binárias.

• O conjunto V_f dos v´ertices ´e o conjuntoSn−1;

• O conjunto E_f das arestas é constru´ıdo da seguinte forma: há uma aresta orientada de um vértice v para o vértice v⁰ se os valores das últimas n−2 posi¸cões de v são iguais aos das primeiras n−2 posi¸cões de v⁰. Mais formalmente, todas as arestas são da forma (s₁s₂· · ·s_n₋₁, s₂· · ·s_n₋₁s_n), coms_i ∈S,∀1≤i≤n;

• O conjunto de r´otulos corresponde ao conjunto de estados S;

• O r´otulo da aresta (s₁s₂· · ·s_n−1, s₂· · ·s_n−1s_n) corresponde ao valor def(s₁,· · · , s_n),

isto ´e, corresponde ao valor de f calculada na n-upla formada sobrepondo-se as

partes idênticas das sequências contidas nos vértices de onde a aresta sai e no qual a aresta chega, nesta ordem.

Exemplo 3.1. A fim de deixar mais clara a maneira de construir o grafo de De Bruijn,

considere a regra 150 do espa¸co dos ACEs dada porf(a₁, a₂, a₃) = (a₁+a₂+a₃)mod 2,∀(a₁, a₂, a₃)∈ {0,1}3. Temos:

• V_f ={00,01,10,11};

• E_f ={(00,00),(00,01),(01,10),(01,11),(10,00),(10,01),(11,10),(11,11)};

• L(a1a2, a2a3) = f(a1, a2, a3) = (a1+a2+a3)mod 2. A Figura 3.1 representa tal grafo de De Bruijn.

O grafo de De Bruijn pode ser visto como um grafo de processo. A linguagem por ele

aceita corresponde exatamente `aquela formada pelas subcadeias que podem ser obtidas

aplicando-se a regra global sobre todas as configura¸c˜oes iniciais poss´ıveis. Isto ´e, o grafo de

De Bruijn de um AC unidimensionalf aceita exatamente as subcadeias das configura¸c˜oes

do conjuntoF(SZ) = Ω1

Além disso, para saber a imagem de uma configura¸cão pela fun¸cão global F, pode-se percorrer o caminho formado pelos vértices que definem a configura¸cão. Os rótulos das

arestas do caminho definem essa imagem. Dessa maneira, a imagem de uma configura¸c˜ao

c contendo a sequência 11010 pela fun¸cão global F₁₅₀ da regra descrita no Exemplo 3.1 pode ser obtida percorrendo-se, nessa ordem, as arestas do vértice 11 para o vértice 10 (rótulo 0), do vértice 10 para o vértice 01 (rótulo 0) e do vértice 01 para o vértice 10 (rótulo 1), resultando numa configura¸cãoF150(c) contendo a sequência 001.

A seguir, a ideia discutida nos últimos dois parágrafos é generalizada.

Defini¸cão 3.2. Sejac uma configura¸cão e Gum grafo de processo (ou AFD). Dizemos queGaceita a configura¸cão cquando, para quaisquer ´ındices i, j ∈_Zcomj ≥i, a cadeia

c(i)c(i+ 1)· · ·c(j) ´e aceita por G.

Agora convém fazer a conexão entre os conjuntos de configura¸cão e as linguagens. Defini¸cão 3.3. Seja S um conjunto de estados de um AC e L uma linguagem fatorial sobre S. O conjunto de configura¸cões induzido por Lé o conjunto

L^∞={c∈SZ :c(i)c(i+ 1)· · ·c(j)∈L,∀i, j ∈_Z, j ≥i},

isto é, L^∞ é o conjunto das configura¸cões sobre S que possuem como subcadeias apenas

elementos de L

Pelas duas últimas defini¸cões, fica claro que uma configura¸cão é aceita por um grafo de processo (ou AFD) se, e somente se, pertence ao conjunto induzido pela linguagem associada a esse grafo de processo (ou AFD). A próxima defini¸cão junta essas duas no¸cões de uma maneira mais fácil de expressar.

Defini¸cão 3.4. Um conjunto de configura¸cõesC ⊆SZédescrito pelo grafo de processo

(ou AFD)G quando C ´e o conjunto induzido pela linguagem deG.

Wolfram (1994) estudou uma generaliza¸c˜ao do processo de constru¸c˜ao do grafo de

Figura 3.2: Fluxograma do m´etodo iterativo. do conjunto Ωt

f para qualquer t finito, uma vez que tais conjuntos s˜ao induzidos por

linguagens regulares (Wolfram, 1994).

J´a em (Wolfram, 2002) um m´etodo para gerar grafos de processo descrevendo os

conjuntos Ω^t_f paratfinito foi exibido. Esse método baseia-se em três fun¸cões, denominadas NetCAStep, MinNet e TrimNet no referido trabalho. Tais fun¸cões são descritas a seguir:

• NetCAStep: Dada a regra local f de um AC unidimensional e o grafo de processo descrevendo o conjunto Ωt

f, gera o grafo de processo descrevendo o conjunto Ω^t_f⁺¹;

• MinNet: Dado um grafo de processo, devolve um AFD m´ınimo equivalente;

• TrimNet: Dado um AFD equivalente a um grafo de processo, devolve tal grafo de processo.

Ao longo do texto usa-se a nota¸c˜ao G(Ωt

f) para indicar o grafo de processo m´ınimo descrevendo o conjunto Ω^t_f.

O m´etodo utilizado em (Wolfram, 2002) encontra-se esquematizado no fluxograma na

Figura 3.2. Esse método é denominado método iterativo, pelo fato da fun¸cão NetCAStep

atuar iterativamente para obter um grafo de processo descrevendo o conjunto Ωt

As fun¸cõesMinNeteTrimNet correspondem a minimiza¸cões e conversões entre autômatos finitos e são algoritmos clássicos descritos na literatura. Por outro lado, é necessário que

a fun¸c˜aoNetCAStep seja descrita aqui.

A descri¸cão a seguir corresponde ao espa¸co dos ACEs et= 2, mas o método é análogo

para qualquer caso unidimensional k-´ario e t finito qualquer. Dada uma regra local f

do espa¸co dos ACEs, o grafo de sa´ıda da fun¸c˜aoNetCAStep para tempo t apresenta 2²^t v´ertices.

Sejam G1 e G2 os grafos de processo de uma regra f (ainda n˜ao minimizados) para

t= 1 e t= 2, respectivamente.

Para t= 1, os vértices 00, 01, 10 e 11 (derivados do grafo de De Bruijn da regra) são numerados 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Parat= 2, o grafo possu´ıra 16 vértices, nomeados 001,011,101,111,002,012,· · · ,104,114, nos quais o ´ındice em subscrito representa de qual vértice do grafo anterior (t = 1) os vértices do novo grafo (t = 2) derivaram. O sistema de numera¸cão para valores maiores det é análogo.

Para cada vértice (a₁a₂)_i de G₂, as arestas saindo desse vértice são calculadas da seguinte maneira:

1. Calcule L0 =f(a1, a2,0), L1 =f(a1, a2,1), j0 ej1;

2. Sejam K₀ e K₁ os conjuntos dos v´ertices de G₁ alcan¸cados por arestas saindo de

a₁a₂ com r´otulos L₀ eL₁, respectivamente;

3. Construa arestas (a₁a₂_i, a₂0_k₀), k₀ ∈K₀ e (a₁a₂_i, a₂1_k₁), k₁ ∈K₁ em G₂.

Para facilitar o entendimento do algoritmo descrito acima, uma regra do espa¸co dos ACEs ´e analisada a seguir.

Exemplo 3.2. Considere a regra 126 do espa¸co dos ACEs, dada por

f₁₂₆(a₁, a₂, a₃) =      0, se a₁ =a₂ =a₃

1, caso contr´ario

Como exemplo, considere o cálculo das arestas saindo do vértice 00₄. Como a sequência 00 possui apenas doisbits e a regra f₁₂₆ atua sobre uma vizinhan¸ca com três bits, preci-samos considerar as duas possibilidades para o terceirobit da sequência.

Se o bit for 0, temos L₀ =f₁₂₆(0,0,0) = 0 e, portanto, teremos uma aresta do vértice 00₄ (dois primeiros bits) para o(s) vértice(s) 00_k, k ∈ K₀ (dois últimos bits) com rótulo 0. Para calcular K₀, basta observar o grafo do passo anterior (Figura 3.3) e verificar a

Figura 3.3: Grafo gerado pela fun¸c˜ao NetCAStep para a regra f₁₂₆ e t = 1. Esse grafo corresponde ao grafo de De Bruijn da regra.

Figura 3.4: Grafo gerado pela fun¸c˜ao NetCAStep para a regraf₁₂₆ et = 2.

aresta com rótulo 0 saindo do vértice 4 (11 parat = 1): tal aresta leva ao próprio vértice 4, logo temos K₀ ={4} e esse processo gerou uma aresta com rótulo 0 ligando o vértice 00₄ com ele próprio.

Caso contrário, se obit à direita for 1, temosL₁ =f₁₂₆(0,0,1) = 1 e haverá uma aresta com rótulo 1 conectando 00₄ ao(s) vértice(s) 01_k, k∈K₁. Para calcular K₁, observa-se a aresta com rótulo 1 a partir do vértice 4 (11 para t = 1) que leva ao vértice 3 (10 para

t= 1). Logo K₁ ={3} e tem-se uma aresta conectando 00₄ a 01₃ com r´otulo 1.

A constru¸cão do restante do grafo é análoga e o resultado encontra-se na Figura 3.4. Wolfram (1994) obteve uma tabela relacionando a quantidade de vértices e de arestas dos grafos de processo descrevendo os conjuntos Ω^t_f para os ACEs com valores detvariando

entre 1 e 5 (n˜ao alcan¸cando o valor m´aximo para todas as regras). Essas quantidades

Como alternativa ao m´etodo iterativo proposto por Wolfram, um m´etodo direto de

c´alculo dos grafos gerados pela NetCAStep foi proposto inicialmente em (De Oliveira,

Ruivo, Costa, Miki, & Trafaniuc, 2016), incluindo altera¸cões nas fun¸cões de minimiza¸cão e conversão de maneira a tornar o algoritmo mais eficiente e possibilitar o cálculo de grafos de processo até então não computados, conforme descrito na próxima se¸cão.

Coment´arios a respeito das fun¸c˜oes MinNet e TrimNet

Em seu trabalho, Wolfram (1984) usa uma terminologia um pouco diferente da padr˜ao

utilizada aqui, chamando os grafos de processo e os AFDs ambos por AFDs. Considerando o caso espec´ıfico do trabalho (um estudo de representa¸cões das linguagens de ACEs para um número finito de itera¸cões) não há problemas em utilizar o mesmo termo para os dois casos, pelas seguintes razões:

1. As linguagens definidas pelos grafos de processo s˜ao um subconjunto das linguagens

regulares, ent˜ao todo grafo de processo pode ser visto, de maneira natural, como

um AFD;

2. No caso de ACs unidimensionais, se uma cadeia est´a contida em alguma configura¸c˜ao

gerada pelo AC e, todas as suas subcadeias tamb´em est˜ao. Logo, se uma cadeia

qualquer ´e aceita pelo AFD descrevendo uma certa regra em tempo finito, todas

as suas subcadeias também serão aceitas (Hedlund, 1969). Isto é justamente a

defini¸c˜ao de uma linguagem de processo (linguagem regular fatorial). Portanto,

todo AFD descrevendo uma regra de AC unidimensional em tempo finito pode ser visto naturalmente como um grafo de processo.

Em resumo, é importante notar que em todos os passos do método iterativo descrito por Wolfram (2002), os objetos tratados pelas fun¸cões sãoAFDs que podem ser converti-dos em grafos de processo. Além disso, Wolfram (2002) descreve brevemente as fun¸cões MinNet e TrimNet em termos das opera¸cões que estas realizam.

A MinNet é uma fun¸cão clássica de minimiza¸cão de AFDs: ela recebe um grafo de

processo, que ´e visto como um AFD e realiza a minimiza¸c˜ao de um AFD.

A TrimNet realiza uma tarefa simples: recebe o AFD dado pela MinNet e remove os v´ertices que n˜ao podem ser alcan¸cados a partir dos demais de maneira iterativa de modo

que, ao final do processo, só restem vértices que podem ser acessados a partir de algum dos vértices restantes.

E importante descrever a razão disso fazer sentido, ito é: por que, ao remover vértices sem arestas que chegam a eles, a linguagem descrita pelo grafo é mantida?

Como descrito acima, se uma cadeia pertence ao conjunto Ωt

f, parat finito ef um AC unidimensional, ent˜ao todas as suas subcadeias pertencem.

Assim, suponha que exista um v´ertice v de um grafo G descrevendo um AC f para

um tmepo finito t que seja proveniente da fun¸c˜ao MinNet que n˜ao possa ser removido,

isto é, que exista uma cadeia w de comprimento L que é aceita pelo grafo G mas não é aceita por seu subgrafoG⁰ obtido de G pela remo¸cão de v e de suas arestas.

Se w é aceita por G, então existe uma configura¸cão c gerada contendo w. Suponha, sem perda de generalidade, que w = c1c2· · ·cL. Tome agora w⁰ = c0w, isto é, w⁰ é a cadeia obtida a partir de w prefixada pelo s´ımboloc₀ que a antecede na configura¸cãoc.

Como w⁰ pertence a uma configura¸c˜ao gerada pela regraf, deve ser aceita pelo grafo

G. Sendo assim, o s´ımboloc₀ fará com que uma aresta saindo devseja percorrida, fazendo com que os s´ımbolosc1c2· · ·cL definam um caminho exclusivamente contido em G⁰, uma vez que não há arestas levando dos demais vértices para o vértice v.

Portanto, a cadeia w =c1c2· · ·cL pode ser percorrida exclusivamente dentro de G⁰ e então, não existe tal vértice v que não possa ser removido.

3.1.2 Composi¸c˜ao de regras e o m´etodo direto

Sejaf uma regra local de um AC unidimensional qualquer e F sua respectiva fun¸c˜ao

global. Podemos definir os conjuntos Ωt

f iterativamente da seguinte maneira:

Ω¹_f =F(SZ); Ω^t_f =F(Ω^t_f), t >1.

Dessa maneira, temos Ω^t_f =F^t(SZ). Portanto, Ω^t_f corresponde ao conjunto induzido pelo grafo de De Bruijn da regraft, obtida pela composi¸cão def consigo mesma t vezes. O método direto para cálculo dos grafos de processo leva essa propriedade em conta

e dispensa o uso da fun¸c˜ao NetCAStep, calculando diretamente o grafo de De Bruijn da

Figura 3.5: Fluxograma do m´etodo direto.

Al´em disso, para ambos os m´etodos, o custo computacional impossibilitou a

cons-tru¸cão, minimiza¸cão e conversão dos grafos de processo para algumas regras. Esse pro-blema foi contornado utilizando-se fun¸cões equivalentes no lugar das fun¸cões MinNet e TrimNet originais. No caso da minimiza¸cão utilizou-se o pacote“Automata”desenvolvido por Sutner (2004). Para a regra 22, por exemplo, utilizando-se as fun¸cões originais, só era

poss´ıvel obter o grafo de processo para t = 1 enquanto que com as vers˜oes modificadas

foi poss´ıvel calcular os grafos de processo parat= 1 at´e t= 4.

O fluxograma na Figura 3.5 mostra o algoritmo envolvido nom´etodo direto.

Utilizando o m´etodo direto, a tabela de complexidade original que consta em (Wolfram,

1984) foi refeita. As Tabelas 3.1 and 3.2 apresentam uma compara¸c˜ao dos resultados em

(Wolfram, 1984) (à esquerda) e os resultados obtidos neste trabalho (à direita) para as regras representantes das 88 classes de equivalência dinâmica do espa¸co dos ACEs. Re-sultados que divergem daqueles em (Wolfram, 1994) encontram-se destacados em laranja e os novos resultados obtidos aparecem destacados em verde.

Quanto aos resultados divergentes (em laranja), cabem as seguintes observa¸c˜oes:

• Os resultados na tabela de Wolfram (1994) dizem respeito a AFDs enquanto os

resultados aqui apresentados dizem respeito aos grafos de processo (AFNDs);

• Os grafos de processo que puderam ser computados para ambos os m´etodos eram

• Alguns resultados obtidos em (Wolfram, 2002) tamb´em diferem daqueles em (Wolfram, 1994) e coincidem com os resultados obtidos aqui, como por exemplo os grafos das regras 108, 110 e 126 (Wolfram, 2002, p. 958);

• Alguns grafos exibidos em (Wolfram, 1994) que n˜ao coincidem com os grafos

cor-respondentes obtidos neste trabalho, n˜ao descrevem precisamente a linguagem da

regra. Por exemplo, o grafo mostrado em (Wolfram, 1994, p. 188)para a regra 72 com t = 1 não aceita a configura¸cão c= [0]000001101010[0], a qual é a imagem de

Tabela 3.1: Tabela de complexidade dos grafos de processo dos ACEs (1/2).

Tabela 3.2: Tabela de complexidade dos grafos de processo dos ACEs (2/2).

Figura 3.6: Exemplo da opera¸cão de diferen¸ca de grafos utilizada em (Trafaniuc, 2004). Apesar dos grafos serem estruturalmente idênticos, a diferen¸ca entre eles não é nula.

A partir da observa¸cão da tabela e da varia¸cão na quantidade de vértices e arestas dos grafos ao longo do tempo, surgem naturalmente duas perguntas:

1. Como calcular as estruturas que s˜ao adicionadas no grafo entre valores consecutivos de t?

2. Existe algum padr˜ao entre as estruturas adicionadas? O restante do cap´ıtulo aborda essas duas quest˜oes.

3.2 Complementos de grafos

Com o intuito de detectar o surgimento de estruturas recorrentes nos grafos de processo ao longo do tempo, é necessário definir uma opera¸cão capaz de, dados dois grafos, fornecer quais estruturas estão presentes em um mas não no outro. E ainda antes disso é necessário definir como dizer quais estruturas estão ou não presentes em ambos os grafos.

Anteriormente, em (Trafaniuc, 2004), foi utilizada uma fun¸cão de diferen¸ca entre grafos sens´ıvel à nomenclatura dos vértices. A Figura 3.6 mostra o problema nesse método: estruturas idênticas (isomorfas) existentes em ambos os grafos só são detectadas se os vértices possu´ırem o mesmo nome.

Conforme sugerido em (Costa, 2013), a opera¸cão de diferen¸ca deveria se basear em iso-morfismos entre grafos, de maneira a torná-la independente da nomenclatura dos vértices. Posteriormente, a opera¸cão foi definida e utilizada em (De Oliveira et al., 2016).

Antes de abordar a opera¸cão de diferen¸ca em si, convém enunciar algumas defini¸cões sobre grafos.

Defini¸cão 3.5. UmsubgrafoG⁰de um grafoG= (V, E,Σ, L) é um grafoG⁰ = (V_G0, E_G0,Σ, L_G0) tal queVG0 ⊆V, EG0 ⊆E eLG0 é a restri¸cão de LaEG0. Sendo assim, um subgrafo pode ser visto como umaparte ousubestrutura do grafo original. Aqui,Sn

Gdenotar´a oconjunto de subgrafos de G com n v´ertices.

Defini¸cão 3.6. Dois grafosG₁ = (V₁, E₁,Σ, L₁) eG₂ = (V₂, E₂,Σ, L₂) são ditos isomor-fos se existe uma fun¸cãoφ :V1 −→V2 bijetora tal que:

1. (v, v⁰)∈E₁ ⇔(φ(v), φ(v⁰))∈E₂;

2. L1(v, v⁰) =L2(φ(v), φ(v⁰)),∀(v, v⁰)∈E1.

Nesse caso,φ ´e dito um isomorfismo de G₁ em G₂.

De maneira mais informal, dois grafos s˜ao isomorfos se existe um jeito de renomear

os vértices de um deles de modo a corresponder à nomenclatura dos vértices do outro e, simultaneamente, preservar a estrutura de arestas e rótulos já existentes.

Defini¸c˜ao 3.7. Um subisomorfismo entre grafos G₁ e G₂ ´e um isomorfismo entre um

subgrafo de G₁ e um subgrafo de G₂. Um subisomorfismo ´e dito de tamanho n se os

subgrafos isomorfos tem n v´ertices. Denotamos por Φⁿ(G₁, G₂) o conjunto dos subiso-morfismos de tamanho n entre G₁ e G₂ e por Φ(G₁, G₂) o conjunto de subisomorfismos de tamanho m´aximo entreG₁ e G₂.

Dado um subisomorfismoφentreG₁ eG₂, ossubgrafos definidos por φs˜ao os subgrafos

G₁_φ eG₂_φ de G₁ eG₂, respectivamente, que s˜ao isomorfos por φ.

Defini¸c˜ao 3.8. Sejam G= (V, E,Σ, L) um grafo eE⁰ ⊆E um subconjunto de arestas, osubgrafo gerado por E⁰ ´e o grafo G(E⁰) = (V_E0, E⁰,Σ, L_E0) com:

• V_E0 ={v ∈V : (v, v_x)∈E⁰ ou (v_x, v)∈E⁰};

• LE0 ´e a restri¸c˜ao de L aE⁰.

Assim, o subgrafo gerado por um conjunto de arestas do grafo original apresenta as arestas desse conjunto e os v´ertices definidos por elas.

Defini¸cão 3.9. Dado um grafo G = (V, E,Σ, L), E⁰ ⊆ E e um subgrafo G(E⁰), o subgrafo complementar de G(E⁰), é o subgrafo G(E⁰)^C =G(E−E⁰) gerado porE −E⁰. O subgrafo complementar nada mais é que a estrutura que resta no grafo original quando as arestas do subgrafo são removidas.

Figura 3.7: Grafo e subgrafo gerados por um conjunto de arestas (acima) e subgrafo complementar gerado (abaixo).

Para deixar isso mais claro, a Figura 3.7 mostra um exemplo dessa complementa¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 3.10. Dados dois grafos G₁ e G₂, o complemento de G₁ por G₂, denotado porC(G₁, G₂) ´e calculado da seguinte maneira:

• Considera-se o maior n poss´ıvel para o qual o conjunto Φn(G₂, G₁) dos subisomor-fismos de G₂ em G₁ é não-vazio. Caso não exista tal n, isso indica que não há uma estrutura que apare¸ca em ambos os grafos, portanto define-se C(G₁, G₂) =G₁. Se, por outro lado, G₁ eG₂ são isomorfos, diz-se que o complemento é nulo;

• Para cada φ ∈ Φn(G₂, G₁), sejam G₁_φ e G₂_φ os subgrafos de G₁ e G₂, respectiva-mente, para os quais φ´e um isomorfismo e seja Eφ o conjunto de arestas deG1φ;

• Define-se C(G₁, G₂) =S

φ∈Φn(G2,G1)G(E_φ)^C.

Dito de outra maneira, cada G(E_φ) corresponde a um “encaixe” de uma

subestru-tura de G2 em G1 (subgrafo induzido pelo subisomorfismo φ) e o complemento G(Eφ)^C corresponde à remo¸cão dessa subestrutura. Como podem haver diversos subisomorfismos entre dois grafos (isto é, diversas maneiras de “encaixar” subestruturas), os complementos também podem ser diversos.

A Figura 3.8 mostra o c´alculo do complemento do grafoG(Ω²₁₈₄) porG(Ω¹₁₈₄) da regra 184 para t= 2 e t= 1, respectivamente.

Figura 3.8: C´alculo do complementoC(G(Ω2

184), G(Ω1

184)) dos grafos de processo da regra 184 para t= 2 e t= 1.

A opera¸cão de diferen¸ca em (De Oliveira et al., 2016) emprega a no¸cão de complemen-tos definida acima e gera umconjunto de diferen¸cas entre os grafos, conforme é detalhado na Se¸cão 3.3.

Entretanto, vale observar que os complementos continuam apresentando estruturas que aparecem em ambos os grafos, conforme exemplificado na Figura 3.9. As estruturas

destacadas em azul e verde em ambos os grafos s˜ao isomorfas separadamente, mas n˜ao

existe um isomorfismo entre os grafos exibidos que inclua as duas estruturas, por conta do vértice destacado em vermelho no grafo para t= 1 (à esquerda) fazer parte das duas estruturas destacadas, enquanto no grafo para t = 2 (à direita) não há interseçcão entre as estruturas, como se o vértice para t = 1 fosse “duplicado” para cada estrutura.

Para solucionar essa limita¸cão devida aos isomorfismos, foi utilizado um método para encontrarcoberturas entre dois grafos, conforme será discutido na próxima se¸cão.

3.3 Coberturas e conjuntos de diferen¸cas

Defini¸cão 3.11. Dados dois grafos G₁ = (V₁, E₁,Σ, L₁) e G₂ = (V₂, E₂,Σ, L₂), com #V2 ≥#V1, uma cobertura de G2 por G1 é uma sequência finita φ1,· · ·, φk calculada da seguinte maneira:

Figura 3.9: Estruturas isomorfas (destacadas em azul e em verde) nem sempre podem constar no mesmo isomorfismo. Nesse caso isso se deve ao fato de as estruturas terem interseçcão no grafo à esquerda (vértice destacado em vermelho) mas não no grafo à direita (duplica¸cão e separa¸cão do vértice de interseçcão).

de G₂ porG₁);

2. Defina G¹₁ =G₁ e G¹₂ =G₂;

3. Cada φ_i,i >1, ´e definido recursivamente da seguinte maneira:

• Toma-se Gⁱ₁ ∈C(Gⁱ₁⁻¹, Gⁱ₁⁻¹_φ

i−1) e Gⁱ₂ ∈ C(Gⁱ₂⁻¹, Gⁱ₂⁻¹_φ

i−1) com Φ(Gⁱ₁, Gⁱ₂) 6=∅

(se n˜ao existir, o procedimento ´e interrompido);

• Toma-se φ_i ∈Φ(Gi

1, Gi

2) qualquer;

4. O processo no passo (2) é repetido até que uma das diferen¸cas seja nula (caso no qual a cobertura é denominadacompleta) ou até que não haja mais subisomorfismos entre os grafos (cobertura incompleta).

Uma sequˆencia definida acima fornece “encaixes” sucessivos de subestruturas comuns

entre os grafos. A Figura 3.10 mostra um exemplo de c´alculo de cobertura (completa) do

grafoG(Ω2

184) pelo grafo G(Ω1 184).

Obviamente podem existir diversas coberturas diferentes para cada par de grafos, uma

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