Critérios do EN1992-1-1:2004

Para norma EN1992-1-1:2004, item 3.1.2, os valores da resistência característica à compressão do concreto (𝑓_𝑐𝑘) é definido da mesma maneira adotada para NBR6118:2014. O máximo valor admitido para o 𝑓𝑐𝑘, de acordo com o EN1992-1-1:2004 é de 90MPa.

O valor da resistência característica à compressão de cálculo do concreto (𝑓_𝑐𝑑) é dado por:

𝑓_𝑐𝑑= 𝛼_𝑐𝑐𝑓𝑐𝑘

𝛾_𝑐 Eq. 3.26

onde 𝛼𝑐𝑐 é o coeficiente que leva em consideração o efeito ao longo do tempo na resistência à

compressão (recomendado como 1,0 pela norma EN1992-1-1:2004, item 3.16) e 𝛾_𝑐 é o coeficiente de ponderação da resistência do concreto dado por 1,5, para combinações normais e especiais, e 1,2, para combinações excepcionais.

A norma EN1992-1-1:2004 define também um valor para resistência média à compressão (𝑓_𝑐𝑚) que se relaciona com o 𝑓_𝑐𝑘 através de:

𝑓_𝑐𝑚 = 𝑓_𝑐𝑘 − 8 Eq. 3.27

para valores em MPa.

O valor da resistência média à compressão do concreto em uma idade (𝑡) é dado por:

𝑓𝑐𝑚(𝑡) = 𝛽𝑐𝑐(𝑡). 𝑓𝑐𝑡𝑚 Eq. 3.28 para: 𝛽_𝑐𝑐(𝑡) = exp {𝑠 [1 − (28 𝑡 ) 1 2 ]} Eq. 3.29 onde:

𝑠 = 0,38, para concreto de cimento classe R; 𝑠 = 0,25, para concreto de cimento classe N; 𝑠 = 0,20, para concreto de cimento classe S; 𝑡 é a idade efetiva do concreto, expressa em dias.

Observa-se que o parâmetro “𝛽_𝑐𝑐(𝑡)” do EN1992-1-1:2004 corresponde ao parâmetro “𝛽1” da NBR6118:2014. Os cimentos indicados pela norma EN1992-1-1:2004 como referência

para o parâmetro “s” são equivalentes aos indicados pela NBR6118:2014.

O valor da resistência característica à compressão em uma idade (𝑡) (𝑓_𝑐𝑡𝑘(𝑡)) pode ser calculado através de 𝑓_𝑐𝑚(𝑡) por:

𝑓_𝑐𝑘(𝑡) = 8 + 𝑓_𝑐𝑚(𝑡) Eq. 3.30

A resistência à tração característica direta do concreto (𝑓_𝑐𝑡) é definida como a maior tensão suportada sobre carga centrada de tração. As expressões utilizadas para o cálculo dos limites superior e inferior da tensão de tração e do seu valor médio (𝑓_{𝑐𝑡𝑘,0,95}, 𝑓_{𝑐𝑡𝑘,0,05} e 𝑓_𝑐𝑡𝑚, conforme nomenclatura da EN1992-1-1:2004, ou 𝑓_{𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝}, 𝑓_{𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓} e 𝑓_{𝑐𝑡,𝑚}, conforme nomenclatura da NBR6118:2014) também correspondem ao adotado pela norma brasileira. Contudo, para o cálculo da resistência à tração média em uma idade (𝑡) deve-se utilizar a seguinte expressão: 𝑓_𝑐𝑡𝑚(𝑡) = (𝛽_𝑐𝑐)𝛼_{. 𝑓} 𝑐𝑡𝑚 Eq. 3.31 sendo: 𝛼 = 1, para 𝑡 < 28; 𝛼 = 2/3, para 𝑡 ≥ 28.

O valor da resistência característica à tração de cálculo do concreto (𝑓_𝑐𝑡𝑑) é dado por: 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 𝛼𝑐𝑡

𝑓_{𝑐𝑡𝑘,0,05} 𝛾𝑐

Eq. 3.32 onde 𝛼_𝑐𝑡 é o coeficiente que leva em consideração o efeito ao longo do tempo na resistência à tração, recomendado como 1,0 pela norma EN1992-1-1:2004, item 3.16.

A resistência à tração na flexão do concreto (𝑓𝑐𝑡𝑚,𝑓𝑙) se relaciona com a resistência à

tração média (𝑓𝑐𝑡𝑚) através de:

𝑓_{𝑐𝑡𝑚,𝑓𝑙} = 𝑚𝑎𝑥 {(1,6 − ℎ

1000) . 𝑓𝑐𝑡𝑚 𝑓𝑐𝑡𝑚

Eq. 3.33 onde h é a altura do elemento em milímetros.

O módulo de elasticidade especificado na norma é o secante, identificado como 𝐸_𝑐𝑚. O valor desse parâmetro é dado através da expressão:

𝐸_𝑐𝑚 = 22000 [𝑓𝑐𝑚 10]

1/3

Eq. 3.34 contudo, assim como para NBR6118:2014, o valor de 𝐸_𝑐𝑚 deve ser multiplicado por: 1,2 para basalto e diabásio, 0, 9 para calcário e 0,7 para arenito.

Para uma idade (𝑡), pode-se avaliar o 𝐸𝑐𝑚 através da seguinte expressão:

𝐸_𝑐𝑚(𝑡) = [𝑓𝑐𝑚(𝑡) 𝑓_𝑐𝑚 ]

0,3

. 𝐸_𝑐𝑚 Eq. 3.35

A norma EN1992-1-1:2004 define, no item 3.1.7, diagramas tensão-deformação para o concreto que pode ser do tipo parábola-retângulo, bi-linear ou retangular. O diagrama retangular é definido com profundidade 𝑦 = 𝜆. 𝑥 e tensão constante igual a 𝜂. 𝑓_𝑐𝑑, quando a seção não diminui em relação à borda comprimida, ou 0,9. 𝜂. 𝑓𝑐𝑑, caso contrário. Os parâmetros 𝜆 e 𝜂

podem ser calculados por: • para 𝑓_𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎: 𝜆 = 0,8 Eq. 3.36 𝜂 = 1,0 Eq. 3.37 • para 50𝑀𝑃𝑎 < 𝑓𝑐𝑘 ≤ 90𝑀𝑃𝑎: 𝜆 = 0,8 −𝑓𝑐𝑘− 50 400 Eq. 3.38 𝜂 = 1,0. [1 − (𝑓𝑐𝑘− 50)/200] Eq. 3.39 3.1.3 Critérios do ACI318-14

A resistência à compressão especificada do concreto (𝑓_𝑐′_{) é definida pelo ACI318-14}

(item 26.12.3.1) como sendo aquela obtida por meio de ensaio de corpos cilíndricos aos 28 dias de idade em que a média aritmética de quaisquer três resultados de resistência consecutivos deve ser igual ou maior que 𝑓_𝑐′ e que, se 𝑓_𝑐′≤ 35, nenhum resultado deve ser menor que 𝑓_𝑐′ por mais de 3,5MPa ou, se 𝑓𝑐′> 35, nenhum resultado deve ser menor que 𝑓𝑐′ por mais de 0,10𝑓𝑐′.

O trabalho de Souza e Bittencourt (2003) investigou a relação entre 𝑓_𝑐′ _{e 𝑓}

𝑐𝑘 (utilizado pela

norma brasileira e europeia) e propôs a seguinte equação de correlação: 𝑓_𝑐′ _{= 𝑓}

essa equação será utilizada neste trabalho para correlacionar resistências nos exemplos de cálculo que serão desenvolvidos.

Não existe uma limitação para o máximo valor de 𝑓_𝑐𝑘 para concretos de peso normal, de acordo com o ACI318-14, item 19.2.1.

A norma especifica um parâmetro para resistência à compressão do concreto na idade de protensão inicial (𝑓_𝑐𝑖 ′), contudo não é feita uma correlação que permita o cálculo do valor para resistência à compressão para uma idade (𝑗) diferente de 28 dias.

O valor de 𝑓𝑐′ é utilizado para o cálculo dos esforços resistentes nominais da seção

(momento, cortante, etc...) que são então multiplicados por um coeficiente de redução 𝜙 a depender do tipo de solicitação, conforme será melhor discutido no item 3.6.3 deste trabalho para o dimensionamento ao ELU. Sendo assim, não existe uma definição para resistência de cálculo do concreto nessa norma.

A resistência à tração é definida pelo ACI318-14 a partir do valor do módulo de ruptura (𝑓_𝑟), que corresponde à resistência à tração na flexão. Esse parâmetro, para concretos normais, é dado por:

𝑓𝑟 = 0,62. √𝑓𝑐′ Eq. 3.41

O módulo de elasticidade do concreto (𝐸_𝑐) é dado pelo seu valor secante conforme item 19.2.2.1 do ACI318-14, através da expressão:

𝐸𝑐 = 4700√𝑓𝑐′ Eq. 3.42

A relação tensão-deformação para o concreto pode ser assumida parabólica, retangular trapezoidal ou de qualquer outra forma que gere resultados de resistência coerentes com os resultados experimentais (item 22.2.2.3 do ACI318-14). Para o diagrama retangular, a profundidade é definida por 𝛼 = 𝛽1. 𝑐 (onde 𝑐 é a profundidade da linha neutra) e a tensão

constante é dada por 0,85. 𝑓_𝑐′_{. O parâmetro 𝛽}

1 pode ser calculado por:

• para 17 ≤ 𝑓_𝑐′_{≤ 28𝑀𝑃𝑎:} 𝛽₁ = 0,85 Eq. 3.43 • para 28 ≤ 𝑓𝑐′≤ 55𝑀𝑃𝑎: 𝛽₁ = 0,85 −0,05. (𝑓𝑐 ′_{− 28)} 7 Eq. 3.44 • para 𝑓_𝑐′_{≥ 55𝑀𝑃𝑎:} 𝛽1 = 0,65 Eq. 3.45

3.2 Propriedades das armaduras passiva e ativa

Neste item serão abordadas as propriedades das armaduras passiva e ativa conforme prescrito pelas três referências normativas estudadas. Assim como definido para o material concreto, serão discutidas apenas as propriedades que são utilizadas para o dimensionamento e verificação de lajes protendidas solicitadas à flexão. Em exemplos desenvolvidos neste trabalho serão consideradas, independente da norma, as armaduras usuais empregadas para o dimensionamento de lajes à flexão no Brasil, que terão as suas propriedades nominais definidas conforme fabricante e as suas propriedades de cálculo modificadas a partir das expressões fornecidas pelas normas.

3.2.1 Critérios da NBR6118:2014

A NBR6118:2014 (item 8.3.6) classifica o tipo de aço utilizado para armadura passiva conforme o valor característico da sua tensão de escoamento (𝑓𝑦𝑘) como CA-25 (armadura para

concreto armado com 𝑓𝑦𝑘 = 250MPa), CA-50 e CA-60. A nomenclatura das armaduras

passivas recebe ainda o sufixo “A” ou “B” de acordo com o tratamento que recebe, aços do tipo “A” apresentam patamar de escoamento definido enquanto os aços do tipo “B” não o apresentam. Para o aço do tipo “B” o valor de 𝑓𝑦𝑘 é o valor da tensão correspondente à

deformação de 0,2%.

A tensão de escoamento de cálculo (𝑓_𝑦𝑑) da armadura passiva é dada por:

𝑓_𝑦𝑑 = 𝑓_𝑦𝑘/𝛾_𝑠 Eq. 3.46

onde 𝛾_𝑠 é o coeficiente de ponderação da resistência da armadura passiva dada por 1,15, para combinações normais ou especiais, e 1,0, para combinações excepcionais.

O módulo de elasticidade da armadura passiva (𝐸_𝑠) pode ser admitido como 210𝐺𝑃𝑎. Para cálculos nos ELS e ELU, pode-se utilizar o diagrama simplificado ilustrado na Figura 48.

A classificação do tipo de aço utilizado para armadura ativa é feita conforme o valor característico da sua tensão de ruptura (𝑓𝑝𝑡𝑘) como CP-190 (armadura para concreto protendido

com 𝑓_𝑝𝑡𝑘 = 1900𝑀𝑃𝑎) ou como CP-210. A nomenclatura dos aços de protensão recebe ainda o sufixo “RB” para relaxação baixa ou “RN” para relaxação normal.

Figura 48: Diagrama tensão-deformação da armadura passiva

(Fonte: NBR6118:2014)

Na norma, não é definido uma expressão ou valor para a tensão característica de escoamento (𝑓_𝑝𝑦𝑘), contudo, segundo o exposto em outras referências e especificações técnicas brasileiras, essa tensão corresponde à provocada pela carga mínima a 1% de deformação. A tensão de escoamento de cálculo (𝑓´𝑝𝑦𝑑) da armadura ativa é dada por:

𝑓_𝑝𝑦𝑑 = 𝑓_𝑝𝑦𝑘/𝛾_𝑠 Eq. 3.47

onde 𝛾𝑠 é o coeficiente de ponderação conforme definido para armadura passiva.

O módulo de elasticidade da armadura ativa (𝐸_𝑝), na falta de ensaios disponíveis, pode ser admitido como 200𝐺𝑃𝑎.

Para cálculos nos ELS e ELU, pode-se utilizar o diagrama simplificado ilustrado na Figura 49.

Figura 49: Diagrama tensão-deformação da armadura ativa

3.2.2 Critérios do EN1992-1-1:2004

Para norma EN1992-1-1:2004, a tensão de escoamento de cálculo da armadura passiva (𝑓𝑦𝑑) é dada por:

𝑓_𝑦𝑑 = 𝑓_𝑦𝑘/𝛾_𝑠 Eq. 3.48

onde 𝛾𝑠 é o coeficiente de ponderação da resistência da armadura passiva dada por 1,15, para

combinações normais ou especiais, e 1,0, para combinações excepcionais.

O módulo de elasticidade da armadura passiva (𝐸_𝑠) pode ser admitido como 200𝐺𝑃𝑎. Para cálculos nos ELS e ELU, assim como para NBR6118:2014 pode-se utilizar o diagrama simplificado ilustrado na Figura 48.

O valor da tensão característica de ruptura é definido como 𝑓_𝑝𝑘 e o valor da tensão correspondente à carga mínima a 1% de deformação como 𝑓_𝑝0,1𝑘. A tensão 𝑓_𝑝0,1𝑘 também é utilizada como um limite a partir do qual pode-se considerar o escoamento da armadura. A tensão de escoamento de cálculo (𝑓´𝑝𝑑) da armadura ativa é dada por:

𝑓𝑝𝑑 = 𝑓𝑝0,1𝑘/𝛾𝑠 Eq. 3.49

O módulo de elasticidade da armadura ativa (𝐸_𝑝) pode ser admitido como 205𝐺𝑃𝑎. Para cálculos nos ELS e ELU, assim como para NBR6118:2014, pode-se utilizar o diagrama simplificado similar ao ilustrado na Figura 49 apenas com a deformação última na armadura de protensão limitada ao seu valor de cálculo (𝜀_𝑢𝑑) e não ao seu valor característico (𝜀_𝑢𝑘). O valor de 𝜀_𝑢𝑑 sugerido pela norma é de 0,9 ∗ 𝜀_𝑢𝑘.