de ideais monomiais

3.1 Gera¸cão finita das Álgebras de Rees simbólicas

Seja S = K[x1, x2, . . . , xr] e I ⊂ S um ideal monomial livre de quadrado. Sabemos

que M n≥0 I(n)tn=M n≥0 ( \ P∈Min(I) Pn)tn

(posteriormente falaremos mais sobre a igualdade acima) que por sua vez ´e uma S_−´algebra finitamente gerada, usando o teorema 2.0.8.

O objetivo desta se¸cão é mostrar que as Álgebras de Rees simbólicas de ideais monomiais são, de forma geral, um caso particular do teorema 2.0.8 e portanto são também finitamente geradas. O próximo lema auxiliará na demostra¸cão da proposi¸cão 3.1.3. Antes de enunciá-lo, necessitamos lembrar a seguinte defini¸cão:

Sejam A um anel e B um subanel de A. Um elemento x _{∈ A ´e dito ser inteiro} sobre B se satisfaz uma equa¸c˜ao da forma

xn+ a1xn−1+· · · + an= 0

em que ai ∈ B, ∀ i ∈ {1, . . . , n}. Claramente, todo elemento de B ´e inteiro em B. Se todo

elemento de A ´e inteiro em B dizemos que A ´e inteiro em B.

Lema 3.1.1. Sejam A um anel e B um subanel de A. Se A é inteiro em B e A é uma B_{−álgebra finitamente gerada então A é um B−módulo finitamente gerado.}

Demonstra¸cão. Como A é uma B−álgebra finitamente gerada, ∃ ω1, . . . , ωk ∈ A tais

que A = B[ω1, . . . , ωk]. Ademais, como A ´e inteiro em B, ωi ´e inteiro em B para todo i.

Afirmamos que se A = B[ω1] então A é um B−módulo finitamente gerado.

De fato, _{∃ n ∈ N tal que ω}1n+ a1ω1n−1+· · · + an= 0. Consequentemente,

ω1n+s =−(a1ω1n+s−1+· · · + anω1s), ∀ s ≥ 0.

Procedendo por indu¸c˜ao em s, podemos ver que todas as potˆencias de ω1 per-

tencem ao B_{−módulo gerado por {1, ω}1, . . . , ω1n−1}. Portanto, A = B[ω1] é um B−módulo

finitamente gerado, o que conclui a afirma¸c˜ao.

Agora, supondo B[ω1, . . . , ωu] um B− m´odulo finitamente gerado para todo u tal

que 1_{≤ u < k, vamos mostrar que B[ω}1, . . . , ωu] um B− m´odulo finitamente gerado para

u= k.

Seja Bu = B[ω1, . . . , ωu]. Então, por hipótese de indu¸cão, Bk−1 é um B−módulo

finitamente gerado. Por outro lado, como ωk ´e inteiro sobre Bk−1 (pois B ⊂ Bk−1),

Bk= Bk−1[ωk] ´e um Bk−1−m´odulo finitamente gerado.

Portanto, é poss´ıvel verificar facilmente que Bk = B[ω1, . . . , ωk] é um B−módulo

finitamente gerado.

✷ Seja S = K[x1, x2, . . . , xr] e considere ℑ = {In}n∈N uma filtra¸c˜ao de ideais ho-

mogˆeneos de S.

Denote por A =M

n≥0

Intn a ´Algebra de Rees associada a ℑ. Define-se

A(d) =M n≥0 And = M n≥0 Indtnd

como sendo a d-´esima veronessiana de A. ´

E fácil ver que A(d) _{é uma subálgebra de A.}

Defini¸c˜ao 3.1.2. Seja B uma B0−álgebra. Dizemos que B é uma B0−álgebra graduada

padrão se é isomorfa ao anel quociente de B0[x1, x2, . . . , xr] por um ideal homogêneo.

A proposi¸cão a seguir estabelece duas equivalências para que uma S−álgebra seja finitamente gerada. Nesse contexto, trata-se apenas de um resultado técnico que será útil posteriomente.

Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais 31

Proposi¸c˜ao 3.1.3. São equivalentes: (a) A é uma S-álgebra finitamente gerada.

(b) Existe um número natural d tal que A(d) _{é uma S}_{−álgebra graduada padrão.}

(c) Existe um número natural d tal que A(d) _{é uma S}_{−álgebra finitamente gerada.}

Demonstra¸cão. (a) _{⇒ (b) Como A é uma S−álgebra finitamente gerada e ℑ é uma} filtra¸cão de ideais homogêneos, pela proposi¸cão 1.4.5, A = S[f1tc1, . . . , fmtcm] em que

fi ∈ Ici ´e um elemento homogˆeneo, ∀ i ∈ {1, . . . , m}. Seja c = MMC{c1, . . . , cm}.

Defina B = S[g1, . . . , gm] com gi = fi

ci_tc_._{Note que B ´e um subanel de A.}

Al´em disso, B=M j≥0 Bj com Bj =h{uα1···αmg1 α1· · · g mαm; |α| := m X i=1 αi = j , uα1···αm ∈ S}i, ∀ j > 0 e B0 = S.

Observe que como fi

c ci ⊂ (I_c i) c ci ⊂ I_c ent˜ao g_i ∈ A_c_, ∀ i. Consequentemente, uα1···αmg1 α1· · · g mαm ∈ (Ac)j ⊂ Ajc, ou seja, Bj ⊂ Ajc para todo j_{∈ N.}

Por outro lado, como fitci é um elemento inteiro em B (pois é raiz do polinômio

p(x) = xcic − g_i_{) para todo i, e A ´e em particular uma B}−´algebra finitamente gerada,

pelo lema 3.1.1 temos que A é um B_{−módulo finitamente gerado. Por sua vez, como B é} noetheriano (pois é imagem homomórfica do anel de polinômios em m variáveis sobre S) então A(c) _{é também um B}_{−módulo finitamente gerado.}

Seja_{ak ∈ Askc; k = 1, . . . , θ} um conjunto de geradores de A

e considere d = sc em que s = max{s1, . . . , sθ}.

Afirmamos que Ajd = Adj, ∀ j ≥ 0.

Com efeito, para j = 0 ou j = 1 é trivial. Suponha a afirma¸cão válida para todo j _{≥ 1 e mostremos que a mesma é válida para j + 1.}

Para isso, note que BjAkc = A(j+k)c, ∀ j ≥ 0 e k ≥ s.

De fato, como Bj ⊂ Ajc tem-se BjAkc ⊂ AjcAkc ⊂ A(j+k)c. Reciprocamente,

considere f ∈ A(j+k)c ⊂ A(c). Ent˜ao

f = ht(j+k)c =X

bλaλ com h∈ I(j+k)c, bλ ∈ B e aλ ∈ Asλc.

Observe que, k ≥ s ≥ sλ. Al´em disso, o grau em t de bλ ´e (j + k)c− sλc, para

Fixado λ, para simplificar a nota¸c˜ao, escreva bλ = X |α|=(j+k)−sλ uα1···αmg1 α1 · · · gmαm = X |α|=(j+k)−sλ uα1···αm(f1 c c1₎α1 · · · (fm c cm)αmt(j+k)c−sλ _e aλ = eaλtsλ com eaλ ∈ Isλc

Desta forma, ´e suficiente mostrar que eaλuα1···αm(f1 c c1)α1 · · · (fm c cm)αmt(j+k)c∈ B_jA_kc com _{|α| = (j + k) − s}λ. Como α _{∈ N}m _e_{|α| = j + (k − s}

λ) ent˜ao ∃ β, γ ∈ Nm tais que α = β + γ em que

|β| = j e |γ| = k − sλ. Portanto, eaλuα1···αm(f1 c c1₎α1· · · (f m c cm)αm_t(j+k)c = [uα1···αm(f1 c c1)β1 · · · (fm c cm)βmtjc][ea_λ(f₁ c c1)γ1 · · · (fm c cm)γmtkc] = [uα1···αmg1 β1 · · · gmβm][eaλ(f1 c c1₎γ1 · · · (fm c cm)γmtkc]∈ B_jA_kc

pois, eaλ ∈ Isλc e para cada i, (fi c

ci)γi ∈ I

cγi ⊂ Icγi.

Com isso, conclu´ımos que BjAkc = A(j+k)c, ∀ j ≥ 0 e k ≥ s. Em particular,

trocando j por js e k por ks temos

BjsAkd = BjsAksc = A(js+ks)c = A(j+k)d, ∀ j, k ≥ 0.

Note ainda que BjBbj= Bj+bj, ∀ j, bj ≥ 0.

Assim,

A(j+1)d = BjsAd= Bs(B(j−1)sAd) = BsAjd = BsAdj ⊂ AscAdj = AdAdj ⊂ Adj+1.

Como a outra inclusão é óbvia, conclu´ımos a afirma¸cão.

Para finalizar a demonstra¸c˜ao, considere o homomorfismo de S_{−´algebras induzido} por

ϕ : S[y1, . . . , yl] 7−→ A(d)

yi 7−→ epi = eqitd com eqi ∈ Id

em que {ep1, . . . ,pel} é um conjunto de geradores homogêneos de Ad como S−módulo.

Se mostrarmos que ϕ é um epimorfismo de S−álgebras cujo núcleo é um ideal homogêneo, obtemos o desejado. Com efeito, claramente ϕ é um homomorfismo. Se

f _{∈ A}(d) ent˜ao

Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais 33

Para cada j fixo, j_{≥ 1, como A}jd = Adj,

e fj = X λ vλ1···λlpe λ1 1 · · · ep λl l , |λ| = j. Assim, tomando eg0 = ef0 e egj = X λ vλ1···λly1 λ1 · · · ylλl para 1 ≤ j ≤ n em S[y1, . . . , yl]

tem-se ϕ(egj) = efj para todo j. Logo, ϕ ´e sobrejetiva.

Seja p _{∈ S[y}1, . . . , yl] tal que ϕ(p) = 0. Escreva

p= p0+ p1+· · · + pn

em que pj é um polinômio homogêneo de grau j, em S[y1, . . . , yl], isto é,

pj = X |λj|=j ωλ1j···λljy1 λ1j_{· · · y} lλlj para 1≤ j ≤ n em que λj = (λ1j, . . . , λlj) e p0 ∈ S. Portanto, 0 = ϕ(p) = ϕ(p0) + ϕ(p1) +· · · + ϕ(pn) = p0+ ( X |λ1|=1 ωλ11···λl1qe1 λ11 · · · eqlλl1)td+· · · + ( X |λl|=l ωλ1l···λllqe1 λ1n · · · eqlλln)tnd, ou seja, 0 = (X |λj|=j ωλ1j···λljqe1 λ1j

· · · eqlλlj)tjd = ϕ(pj) para todo j tal que 1 ≤ j ≤ n e

p0 = ϕ(p0) = 0. Portanto, pj ∈ Nuc(ϕ), ∀ j. Logo, pela observa¸c˜ao 1.4.1, Nuc(ϕ) ´e um

ideal homogˆeneo.

(b)_{⇒ (c) ´E imediato.}

n≥0

And+j.

Note que A(d;j) _{´e um A}(d)_{−m´odulo. Com efeito, basta ver que A}

idAnd+j ⊂ A(i+n)d+j para

todo i, n≥ 0. Seja

ψn: And+j −→ A(d)

hntnd+j 7−→ hntnd, hn∈ Ind+j ⊂ Ind.

Se ψn(hntnd+j) = ψn(ehntnd+j) então hntnd = ehntnd, isto é, hn = ehn. Portanto, ψn é um

homomorfismo injetor, _{∀ n ∈ N. Consequentemente, definindo} ψ : A(d;j) 7−→ A(d)

temos que ψ ´e um homomorfismo injetor de A(d)_{−m´odulos.}

Assim, A(d;j) _{é isomorfo a um submódulo de A}(d) _{(como A}(d)_{−módulo) que é, em}

particular, um ideal de A(d)_. _{Consequentemente, como A}(d) _{´e uma S}_{−´algebra finitamente}

gerada, A(d;j) _{´e um (ideal) subm´odulo de A}(d) _{finitamente gerado,} _{∀ j ∈ {0, · · · , d − 1}.}

Portanto, A =

d−1

j=0

A(d;j) é um A(d)_{−módulo é finitamente gerado, o que é sufi-}

ciente para concluir a prova.

✷ Defini¸c˜ao 3.1.4. Sejam I, J _{⊂ S ideais homogêneos. A n-ésima potência simbólica de I}

com respeito a J ´e o ideal dado por

In : J∞=_{{f ∈ S; fJ}k

⊂ In_{para algum k}

∈ N}

Note se J ⊂√In_, _{como J} _{⊂ S e S ´e um anel noetheriano, ent˜ao ∃ k ∈ N tal que}

Jk _{⊂ (}√In₎k

⊂ In _{(ver ref. [13]). Portanto, neste caso, I}n_{: J}∞ _{= S.}

Se J _6⊂√In _ent˜ao In: J∞= \ P∈Ass(In_{), J6⊂P} Q(P ) em que In₌ \ P∈Ass(In₎

Q(P ) é uma decomposi¸cão primária de In_.

Com efeito, se f _{∈ I}n _{: J}∞ _{ent˜ao f J}k _{⊂ I}n _{para algum k} _{∈ N. Consequente-}

mente, como In₌ \ P∈Ass(In₎

Q(P ), em particular,

f Jk_{⊂ Q(P ), para todo P ∈ Ass(I}n) tal que J _{6⊂ P.}

Para cada P tal que J 6⊂ P, ∃gP ∈ J tal que (gP)k 6∈ P. Como f(gP)k ∈ Q(P )

conclu´ımos que f _{∈ Q(P ), ∀ P ∈ Ass(I}n_{) tal que J}

6⊂ P, ou seja,

f _∈ \

P∈Ass(In_{), J6⊂P}

Q(P ).

Reciprocamente, para cada P ∈ Ass(In_{), como P} _{⊂ S e S ´e um anel noetheriano,}

existe k(P ) _{∈ N tal que P}k(P ) _{⊂ Q(P ). Tomando k = max{k(P ); J ⊂ P } temos que}

Pk _{⊂ Q(P ) para todo P ∈ Ass(I}n_{) com J} _{⊂ P. Ent˜ao, J}k _{⊂ P}k _{⊂ Q(P ) para todo}

P _{∈ Ass(I}n_{) tal que J} _{⊂ P, isto ´e,}

Jk_⊂ \ P∈Ass(In_{), J⊂P} Q(P ). Assim, se g ∈ \ P∈Ass(In_{), J6⊂P} Q(P ) ent˜ao gJk_{⊂ I}n_. _{Logo, g} _{∈ I}n_{: J}∞_.

Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais 35

A Álgebra de Rees simbólica de I com respeito a J é definido como sendo a S_{−álgebra graduada}

n≥0

(In_{: J}∞_)tn_.

Mostraremos que para ideais monomiais esta álgebra é finitamente gerada. Come- cemos enunciando um lema que nos será útil.

Lema 3.1.5. Sejam I, J ideais monomiais de S,_{A = {P ∈ Ass(I); J 6⊂ P } e P}1, P2, . . . , Pu

elementos m´aximos de _{A (com respeito a inclus˜ao). Se Ass(I : J}∞_{) = Ass(I}n_{: J}∞_{) para}

todo n_{∈ N e I =} \

P∈Ass(I)

Q(P ) é uma decomposi¸cão primária de I. Então

(In : J∞) = u \ i=1 Qin, ∀ n ∈ N com Qi := \ P∈Ass(I), P ⊂Pi Q(P ) para todo i = 1, 2, . . . , u.

Demonstra¸c˜ao. Dado n _{∈ N, seja I}n _{: J}∞ ₌ \ P∈Ass(In_:J∞

)

Qn(P ) uma decomposi¸c˜ao

prim´aria de In _{: J}∞_. _{Uma vez que Ass(I : J}∞_{) = Ass(I}n_{: J}∞_),

In: J∞= \ P∈Ass(I:J∞₎ Qn(P ). Defina Qn,i := \ P∈Ass(I:J∞_{), P ⊂P} i

Qn(P ). Observe que A = Ass(I : J∞). Assim,

como P1, P2, . . . , Pr s˜ao elementos m´aximos de A temos:

(In : J∞) =

i=1

Qn,i.

Resta mostrar que Qn,i = Qin, ∀ i ∈ {1, . . . , u}.

Renomeando as vari´aveis x1, x2, . . . , xr,se necess´ario, assuma Pi = (x1, x2, . . . , xs)

em que s_{≤ r (pela proposi¸cão 1.1.11 os primos asssociados de I são gerados por subcon-} juntos de variáveis).

Seja R = K[x1, . . . , xr]Pi = K(xs+1, . . . , xr)[x1, . . . , xs].

Para cada monˆomio f _{∈ K[x}1, . . . , xr], denote por f∗ o divisor de f, de maior

grau poss´ıvel, envolvendo apenas as vari´aveis x1, x2, . . . , xs. ´E imediato que (f g)∗ = f∗g∗

para f, g monˆomios. Afirmamos que: 1) Qi = Iec = (f∗)f∈I, fmonˆomio

1) Note que Iec = \ P∈Ass(I) (Q(P ))ec ₌ \ P∈Ass(I), P ⊂Pi Q(P )ec = \ P∈Ass(I), P ⊂Pi Q(P ) = Qi. Seja f∗ _{∈ (f}∗₎

f∈I, fmonˆomio.Consequentemente, ∃ t ∈ K[xs+1, . . . , xr] tal que

f = tf∗ _{∈ I, ou seja,} f ∗ 1 = f t ∈ I e_.

Portanto, f∗ _{∈ I}ec _{e por sua vez (f}∗₎

f∈I, fmonˆomio ⊂ I

ec_.

Reciprocamente, como Iec _{´e um ideal monomial (pois, Q}

i = Iec), ´e suficiente

provar que todo monˆomio de Iec _{est´a em (f}∗₎

f∈I, fmonˆomio.

Seja p _{∈ I}ec_{, p}_{monˆomio. Ent˜ao,}

p 1 =

s com f ∈ I e s ∈ K[xs+1, . . . , xr],

o que implica em, sp = f ∈ I. Como I ´e um ideal monomial, considerando c como sendo o coeficiente do termo l´ıder de sp, o monˆomio

h := termo l´ıder(sp)

c =

termo l´ıder(s)p

c ∈ I.

Por conseguinte, h∗ _{= p}∗ _{∈ (f}∗₎

f∈I, f monˆomio.Logo, como p∗|p temos que p ∈ (f∗)f∈I, fmonˆomio.

2) É análogo à demonstra¸cão anterior.

Portanto, como todo monˆomio g∗ _{com g} _{∈ I}n _{pode ser escrito como produto de}

nelementos da forma f∗ _{com f} _{∈ I, isto ´e, se g = f}n _{com f} _{∈ I tem-se g}∗ _{= (f}∗₎n_,_ent˜ao

Qn,i = Qin.

✷ Teorema 3.1.6. Sejam I, J ⊂ S ideais monomiais. Ent˜ao A =

∞

n=0

(In : J∞)tn ´e uma

S_{−´algebra finitamente gerada.}

Demonstra¸cão. Pela proposi¸cão 3.1.3, é suficiente mostrar que A(d) =M

n≥0

(Idn _{: J}∞_)tn

´e uma S_{−´algebra finitamente gerada para algum d ∈ N.}

Afirmamos que _{∃ d ∈ N tal que Ass(e}I : J∞_{) = Ass(e}_In _{: J}∞_), _{∀ n ∈ N com}

e I = Id_.

Com efeito, como ∃ d ∈ N tal que Ass(Id_{) = Ass(I}n_), _{∀ n ≥ d (ver ref.[3]), em}

particular, Ass(Id_{) = Ass(I}dn_), _{∀ n ∈ N. Assim,}

Ass(Idn _{: J}∞_{) =} {P ∈ Ass(Idn_{); J} 6⊂ P } = {P ∈ Ass(Id ); J 6⊂ P } = Ass(Id_{: J}∞_).

Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais 37

Definindo eI := Id_, _{obtemos o desejado.}

Como eI ´e um ideal monomial, considerando os Qi′s como no lema 3.1.5 temos:

A(d) =M n≥0 (eIn : J∞)tn ₌M n≥0 ( u \ i=1 Qin)tn

em que os Qi′s são ideais monomiais (pois, cada Qi é uma interse¸cão finita de ideais

monomiais).

Logo, pelo teorema 2.0.8, A(d) _{´e uma S}_{−´algebra finitamente gerada.}

✷ Corol´ario 3.1.7. Se I _{⊂ S ´e um ideal monomial ent˜ao} M

n≥0

I(n)tn ´e uma S_−´algebra finitamente gerada.

Demonstra¸c˜ao. Seja \

P∈Ass(In₎

Q(P ) uma decomposi¸c˜ao prim´aria de In_.

Se Ass(In_{) = Min(I) para todo n}_{∈ N ent˜ao}

I(n)= \ P∈Min(I) Q(P ) = \ P∈Ass(In₎ Q(P ) = In_, ∀ n ∈ N

e neste caso a tese segue do teorema 1.4.6.

Se existe n _{∈ N tal que Ass(I}n₎_{6= Min(I) ent˜ao}

I(n)= In : J∞ com J = \

P∈Ass∗

(I)\ Min(I)

em que Ass∗(I) = [

n≥0

Ass(In) (note que Ass∗(I) ´e um conjunto finito por [3]). Com efeito, como In _{: J}∞ ₌ \

P∈Ass(I), J6⊂P

Q(P ) definindo D = { eP _{∈ Ass(I}n_{); J} _{6⊂ e}_P_{} ´e}

suficiente mostrar que D = Min(I). Se eP _{∈ Ass(I}n₎_{⊂ Ass}∗_{(I) e e}_P

6∈ Min(I) ent˜ao eP _{6∈ D.}

Por outro lado, se eP _{∈ Min(I) e J ⊂ e}P ent˜ao∃ P ∈ Ass(In₎_{\ Min(I) (para algum}

n _{∈ N) tal que P ⊂ e}P . Consequentemente, In _{⊂ P ⊂ e}_P _{o que equivale a I} _{⊂ P ⊂ e}_{P .}

Assim, pela observa¸c˜ao 1.1.9,_{∃ b}P _{∈ Ass(I) tal que b}P _{⊂ P ⊂ e}P .Como eP _{∈ Min(I) tem-se} P = eP ,o que ´e um absurdo. Neste caso, o resultado segue do teorema 3.1.6.

✷ O corolário anterior mostra que as Álgebras de Rees simbólicas de ideais monomiais são finitamente geradas, mas não dá informa¸cões sobre os geradores dessas álgebras. O exemplo a seguir explicitará um conjunto de geradores em um caso particular.

Exemplo 3.1.8. Seja I = (xy, yz, xz)⊂ K[x, y, z] um ideal monomial e I = (x, y)_{∩ (y, z) ∩ (x, z)}

uma decomposi¸cão primária de I. Como I é gerado por monômios livres de quadrado,

I(n)= (x, y)(n)_{∩ (y, z)}(n)_{∩ (x, z)}(n).

Al´em disso, (x, y)(n) _{= (x, y)}n_, _{(y, z)}(n) _{= (y, z)}n _{e (x, z)}(n) _{= (x, z)}n _{pois (x, y), (y, z) e}

(x, z) s˜ao ideais gerados por subconjuntos de vari´aveis.

Assim, M n≥0 I(n)tn=M n≥0 [(x, y)n ∩ (y, z)n ∩ (y, z)n_]tn ₌

hxyt, yzt, xzt, xyzti

como foi visto no exemplo 2.0.9.

De forma geral, se I ´e um ideal radical de um anel noetheriano A, I(n)= \

P∈Min(I)

P(n).

Além disso, se P é gerado por uma sequência regular então P(n)_{= P}n_._{No caso particular}

que I ´e um ideal de S gerado por monˆomios livres de quadrado, I(n)= \

P∈Min(I)

Pn.

O leitor interessado pode encontrar tais resultados em [3].

3.2 Algebras de cobertura de v´´

ertices

Nesta se¸cão estudaremos as coberturas de vértices associadas a grafos simples. Mostraremos que para cada grafo simples existe apenas um número finito de coberturas de vértices indecompon´ıveis. A estratégia usada será traduzir esse problema combinatório para um problema algébrico, mais precisamente, ao estudo do tipo de gera¸cão das Álgebras de Rees simbólicas de ideais monomiais.

Dado um conjunto finito [r] :=_{{1, . . . , r}, um grafo simples G de vértices em [r]} é um par G = ([r], E(G)) em que E(G) é uma cole¸cão de subconjuntos _{{i, j} com i 6= j} de [r] chamados arestas.

Um subconjunto C _{⊂ [r] ´e chamado uma cobertura de v´ertices de G se para toda} aresta{i, j} de G, i ∈ C ou j ∈ C.

Exemplo 3.2.1. G = ([3], E(G)) em que E(G) = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ´e um grafo

simples chamado triˆangulo.

C1 ={1, 2}, C2 ={2, 3}, C3 ={1, 3} e C4 ={1, 2, 3} s˜ao todas as coberturas de

Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais 39

Figura 3.2.1: Grafo do triˆangulo.

Um subconjunto C _{⊂ [n] pode ser identificado com um (0, 1)−vetor a}C ∈ Nr

dado por

aC(i) =

(

1, se i∈ C 0, se i_{6∈ C} em que aC(i) denota a i-´esima coordenada do vetor aC ∈ Nr.

Claramente um (0, 1)_{−vetor a}C ∈ Nr corresponde a uma cobertura de v´ertices

de G se, e somente se, aC(i) + aC(j)≥ 1, ∀ {i, j} ∈ E(G).

De modo geral, chamaremos um vetor a = (a1, . . . , ar)∈ Nr de uma cobertura de

v´ertice de G de ordem k se ai+ aj ≥ k, ∀ {i, j} ∈ E(G).

Uma cobertura de vértice ordinária corresponde segundo a nossa defini¸cão a um (0, 1)_{−vetor que é uma cobertura de vértice de ordem 1.}

Dizemos que uma cobertura de vértice a de grau k é decompon´ıvel se existem coberturas de vértice b e c6= a de graus i e j respectivamente tais que a = b+c e k = i+j. Caso contrário, a é dita indecompon´ıvel.

Exemplo 3.2.2. Seja G o grafo do triângulo. Então a = (1, 1, 1) é uma cobertura de

v´ertices de ordem 2 indecompon´ıvel. De fato, se a = b + c com b, c_{6= a temos:}

a= (1, 0, 0) + (0, 1, 1) ou a = (0, 1, 0) + (1, 0, 1) ou a = (0, 0, 1) + (1, 1, 0).

Em qualquer uma das possibilidades, a ordem de b ´e 0 e a ordem de c ´e 1.

Seja A(G) uma sub´algebra de S[t] gerada pelo conjunto

{x1a1· · · xrartk; a = (a1, . . . , ar)∈ Nr ´e uma cobertura de v´ertice de G de ordem k}.

Note que

A(G) =M

k≥0

Ak(G)

em que A0(G) = S e Ak(G) ´e um S−m´odulo gerado por

Com efeito, se a = (a1, . . . , ar) ´e uma cobertura de v´ertice de ordem k e

b= (b1, . . . , br) é uma cobertura de vértice de ordem l então como

(x1a1· · · xrartk)(x1b1· · · xrbrtl) = x1a1+b1· · · xrar+brtk+l

em que (ai+ bi) + (aj + bj) = (ai+ aj) + (bi+ bj)≥ k + l para todo {i, j} ∈ E(G) temos

que a + b ´e uma cobertura de v´ertice de ordem k + l. Logo, Ak(G)Al(G)⊂ Ak+l(G).

Assim, A(G) é uma S−álgebra graduada a qual denominamos de álgebra de cober-

tura de v´ertices.

Defina

I∗(G) := \

{i,j}∈E(G)

Pi,j

em que Pi,j ´e o ideal primo gerado pelas vari´aveis xi e xj.

Proposi¸c˜ao 3.2.3. Seja G um grafo simples no conjunto de v´ertices [r]. Ent˜ao A(G)

é a álgebra de Rees simbólica do ideal I∗_{(G). Em particular, A(G) é uma S}_−álgebra

finitamente gerada.

Demonstra¸c˜ao. Note que Ak(G) = I∗(G)(k)tk para todo k∈ N.

De fato, como

x1a1. . . xrartk ∈ Ak(G) ⇔ ai+ aj ≥ k, ∀{i, j} ∈ E(G)

ai+ aj ≥ k, ∀{i, j} ∈ E(G) ⇔ x1a1. . . xrar ∈ Pi,jk, ∀{i, j} ∈ E(G)

x1a1. . . xrar ∈ Pi,jk, ∀{i, j} ∈ E(G) ⇔ x1a1. . . xrar ∈

{i,j}∈E(G)

Pi,jk.

e Pi,j ´e gerado por um subconjunto de vari´aveis temos que x1a1. . . xrartk∈ Ak(G), o que

equivale a dizer que

x1a1. . . xrar ∈ \ {i,j}∈E(G) Pi,jk = \ {i,j}∈E(G) Pi,j(k)= I∗(G)(k).

Portanto, pelo corolário 3.1.7, A(G) é uma S−álgebra finitamente gerada. ✷ Seja a = (a1, . . . , ar) uma cobertura de vértices de ordem k. Por defini¸cão, a é

uma cobertura de vértices decompon´ıvel se existem b e c coberturas de vétices disjuntas de a de ordens i e j respectivamente tais que a = b + c e k = i + j. Do ponto de vista algébrico, a é uma cobertura de vértices decompon´ıvel se, e somente se,

x1a1· · · xrartk = (x1b1· · · xrbrti)(x1c1· · · xrcrtj)

Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais 41

E fácil ver que cada cobertura de vértice de G indecompon´ıvel de ordem > 0 está associada de forma biun´ıvoca a um gerador monomial m´ınimo da S_{−álgebra A(G),} ou seja, a um monômio que gera a S_{−álgebra A(G) e não é escrito como produto de} dois elementos de A(G) diferentes de 1. Além disso, o conjunto formado pelos geradores monomiais m´ınimos de A(G) é unicamente determinado. Com efeito, se existissem dois conjuntos disjuntos com essa propriedade, teriamos um elemento que pertenceria a apenas um deles, mas que seria produto de elementos diferentes de 1 do outro, o que é imposs´ıvel. Ademais, as coberturas de vértices indecompon´ıveis de ordem 0 são apenas o vetor nulo e os vetores da base canônica e1, . . . , er ∈ Nr. De fato, se a = (a1, . . . , ar) é uma cobertura

de v´etices de ordem 0, a = a1e1+· · · + arer = e_|1+· · · + e_{z _}1 a1−vezes +· · · + e_|r+· · · + e_{z _}r ar−vezes

em que cada ei ´e uma cobertura de v´etices de ordem 0.

Portanto, pelo lema 3.2.3, como A(G) é uma S_{−álgebra finitamente gerada, existe} apenas um número finito de coberturas de vértices de G indecompon´ıveis.

Exemplo 3.2.4. Seja G o grafo do triˆangulo. Neste caso, A(G) =M

n≥0

I∗(G)(n)tn em que I∗(G) = (x, y)_{∩ (y, z) ∩ (x, z).}

Pelo exemplo 3.1.8, A(G) =_{hxyt, yzt, xzt, xyzti. Note que xyt, yzt, xzt e xyzt s˜ao gera-} dores m´ınimos de A(G). Com efeito, se escrevermos esses elementos como produto de dois outros diferentes de 1 temos as seguintes possibilidades:

xyt = x(yt) = y(xt) = (xy)t yzt = y(zt) = z(yt) = (yz)t xzt = x(zt) = z(xt) = (xz)t

xyzt2 = x(yzt2) = y(xzt2) = z(yzt2) = xy(zt2) = yz(xt2) = xz(yt2) = xyz(t2)

Como I∗_(G)(n)_tn _{= (x, y)}n_{∩ (y, z)}n_{∩ (x, z)}n_tn _{(veja o exemplo 3.1.8), ´e poss´ıvel}

verificar facilmente que em nenhum dos casos os dois fatores pertencem simultaneamente a A(G).

Logo, (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) e (1, 1, 1) são as únicas coberturas de vértices indecompon´ıveis de ordem > 0 do grafo do triângulo sendo que as três primeiras são de ordem 1 e a última de ordem 2.

Note que no exemplo anterior o grau máximo (em t) dos geradores m´ınimos da álgebra de cobertura de vértices associada ao grafo do triângulo é 2. De forma geral, 2 é uma cota superior para o grau dos geradores m´ınimos de A(G) (veja [6]).

O conceito de cobertura de vértices pode ser facilmente estendida para complexos simpliciais pesados. Um peso em um complexo simplicial ∆ é uma fun¸cão ω que associa a cada faceta de ∆ um número natural. Assim, a álgebra de cobertura de vértices A(∆, ω) é definida de forma similar ao caso do grafo (descrito nessa se¸cão), além de ser também finitamente gerada. Em adi¸cão, A(∆, ω) é normal e Cohen-Macaulay. Esses conceitos e resultados podem ser encontrados em [6].

Conclus˜ao

Embora esta disserta¸cão mostre que as Álgebras de Rees simbólicas de ideais monomiais tem tipo de gera¸cão finita, ela não fornece informa¸cões sobre esses geradores. No caso particular em que os ideais monomiais são gerados por monômios livres de quadrado, em 2004, Bahiano em [2] estabeleceu uma quota superior para o tipo de gera¸cão das Álgebras de Rees associadas a esses ideais. Esse mesmo trabalho nos motivou a adaptar para a nossa linguagem um exemplo, originalmente tratado em [2], de uma

Algebra de Rees simb´olica em que um conjunto de geradores ´e explicitado.

Para o caso em que os ideais monomiais são quaisquer, ainda não existe uma cota superior para o tipo de gera¸cão nem outro tipo de informa¸cão sobre os geradores.

Outra questão que surgiu naturalmente ao longo deste trabalho é se a interse¸cão finita de álgebras finitamente geradas é sempre finitamente gerada. Essa pergunta tem como motiva¸cão o fato de mostrarmos neste texto que, em particular, a resposta é po- sitiva, se a interse¸cão é dada por um número finito de Álgebras de Rees ordinárias associadas a ideais monomiais. Se essa conjectura for verdadeira, isso fornecerá uma nova demonstra¸cão para o caso acima, mais simples que a apresentada no segundo cap´ıtulo desta disserta¸cão.

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Referˆencias 45

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No documento Manuela da Silva Souza (páginas 39-55)