Deforma¸c˜oes

Todo corpo tem como caracter´ıstica f´ısica o fato de ocupar regi˜oes do espa¸co euclidiano

E. Apesar de um corpo poder ocupar diferentes regi˜oes do espa¸co em instantes diferentes,

nenhuma delas define o corpo, se bem que podemos selecionar uma qualquer destas regi˜oes, a qual designaremos por B, e estabelecer uma correspondˆencia biun´ıvoca entre os pontos

x ocupados pelas part´ıculas do corpo em qualquer instante e os pontos X ocupados na

regi˜ao de referˆencia B. Assim estaremos identificando uma part´ıcula do corpo com o lugar ocupado por ela em B.

Portanto um corpo passa a ser formalmente uma regi˜ao (inclusive pode ser n˜ao limi- tada) B de E. Esta regi˜ao B recebe a denomina¸c˜ao de configura¸c˜ao de referˆencia e, por defini¸c˜ao, para um mesmo corpo podemos adotar diferentes configura¸c˜oes de referˆencia. ´E claro que esta ser´a adotada de forma a facilitar a an´alise do problema a que nos propomos resolver.

Definimos tamb´em os pontos X ∈ E chamados pontos materiais e as subregi˜oes de B como as partes de B.

Como um corpo pode ocupar diferentes regi˜oes, torna-se necess´aria a introdu¸c˜ao de um parˆametro, aqui designado por t ∈ [t0, tf] que ir´a nos associar `a uma configura¸c˜ao Bt

do corpo. Vale aqui ressaltar que t n˜ao ´e necessariamente o tempo em todos os problemas. Das defini¸c˜oes anteriores, pode-se partir agora no sentido de estudar a deforma¸c˜ao de um corpo. Dizemos que um corpo se deforma, se ele parte de uma configura¸c˜ao B para uma configura¸c˜ao Bt, sendo portanto caracterizada uma aplica¸c˜ao

Xt : B 7→ Bt

X 7→ x = Xt(X). (6.1)

Entretanto, esta aplica¸c˜ao deve possuir algumas propriedades para caracterizar o que denominamos deforma¸c˜ao. Assim, torna-se necess´ario impor que n˜ao haja interpenetra¸c˜ao de material, o que matematicamente significa que Xt´e biun´ıvoca. Tamb´em devemos evitar

que um corpo de volume n˜ao-nulo possa, atrav´es de uma aplica¸c˜ao cont´ınua, passar a um volume nulo depois da deforma¸c˜ao, o que significa termos

6.2. Cinem´atica 175

Figura 6.1: Deforma¸c˜ao.

j´a que det ∇Xt est´a associado `a mudan¸ca de volume (ver [Gur81, Gur72]).

Temos assim que por deforma¸c˜ao de um corpo ao passar da configura¸c˜ao B para Bt

ser´a entendida a aplica¸c˜ao 6.1 que ´e biun´ıvoca e satisfaz det ∇Xt(X) > 0 ∀X ∈ B,

Xt(B) = Bt, (6.3)

Xt(∂B) = ∂Bt,

onde o s´ımbolo de derivada parcial designa a fronteira de uma regi˜ao.

Esta deforma¸c˜ao pode ser materializada atrav´es de um campo vetorial definido `a partir das posi¸c˜oes que ocupa uma part´ıcula antes e depois da deforma¸c˜ao, sendo este campo definido sobre todos os pontos do corpo B, como mostrado na Figura 6.1. Temos assim que x = Xt(X) ut = ut(X) = x − X, (6.4) por tanto x = X + ut(X). (6.5)

Este campo ut ´e denominado campo de deslocamentos relativo a configura¸c˜ao B. ´E

claro que o campo ut dever´a satisfazer certas restri¸c˜oes que garantam que 6.3 seja ver-

dadeira.

Definimos agora o tensor Ft, o gradiente da deforma¸c˜ao, dado por

Ft = ∇Xt= ∇X + ∇ut = I + ∇ut (6.6)

onde I denota o tensor identidade.

Diremos que uma deforma¸c˜ao X ´e homogˆenea se seu gradiente ´e constante. Assim, toda deforma¸c˜ao homogˆenea admite a seguinte representa¸c˜ao ([Gur81, p´ags. 35–36])

onde

F = ∇X .

Iremos agora classificar dois tipos de deforma¸c˜oes homogˆeneas que nos ser˜ao ´uteis mais adiante. Dizemos que X ´e uma transla¸c˜ao se

X (X) = X + u (6.8)

onde u ´e um vetor constante que mede a transla¸c˜ao. Dizemos que X ´e uma rota¸c˜ao ao redor do ponto fixo Xo se

X (X) = Xo+ R(X − Xo) (6.9)

onde R ´e um tensor de rota¸c˜ao constante (isto ´e, R ∈ Skw+).

Suponhamos agora que X n˜ao seja homogˆenea e seja dada uma vizinhan¸ca suficiente- mente pequena de Xo ∈ B arbitr´aria, assim

X (X) = X (Xo) + ∇X (Xo)(X − Xo) + o(X − Xo)

= X (Xo) + F (Xo)(X − Xo) + o(X − Xo). (6.10)

Do anterior podemos concluir que na vizinhan¸ca de um ponto Xo toda deforma¸c˜ao ´e, com

um erro de ´ordem o(X − Xo), uma deforma¸c˜ao homogˆenea.

Procuremos agora determinar uma medida da deforma¸c˜ao, para tanto, seja X = Xo+

dX o que em 6.10 nos dar´a (ver Figura 6.1)

dx = ∇X (Xo)dX = F dX (6.11)

e, portanto,

dx · dx = F dX · F dX = FT_{F dX · dX. (6.12)}

Logo, uma medida da deforma¸c˜ao da fibra dX ao passar para a configura¸c˜ao deformada

dx ser´a dada por

dx · dx − dX · dX = (FT_{F − I)dX · dX = 2EdX · dX (6.13)} onde E = 1 2(F T_{F − I) =} 1 2(∇u + ∇u T _{+ ∇u}T_{∇u) (6.14)}

´e denominado tensor de deforma¸c˜ao de Green.

At´e aqui foi adotada uma descri¸c˜ao da deforma¸c˜ao conhecida como descri¸c˜ao La-

grangeana onde nos preocupamos em acompanhar o ponto material X na sua trajet´oria.

Dadas as propriedades da deforma¸c˜ao 6.1, se segue que existe X−1_{, suficientemente regu-}

lar, logo podemos distinguir o ponto x j´a que `a medida que t varia x passa a ser o lugar ocupado por distintos pontos materiais X. A este tipo de descri¸c˜ao denominamos eule-

riana ou espacial e, procedendo da mesma forma que na descri¸c˜ao Lagrangeana, teremos

que

6.2. Cinem´atica 177

dX = F−1_{dx, (6.16)}

F−1 _{= grad X}−1_{(x) = grad X(x) = I − grad u(x) (6.17)}

onde grad ´e o gradiente com respeito `a vari´avel espacial x. Teremos, finalmente que

dx · dx − dX · dX = (I − F−T_F−1_{)dx · dx}

= 2 ¯Edx · dx (6.18)

onde ¯E ´e conhecido como tensor de deforma¸c˜ao de Almansi e, em fun¸c˜ao do campo de

deslocamentos ut 1, estar´a dado por

¯

E = 1

2(grad u

T _{+ grad u − grad u}T _{grad u). (6.19)}

Se agora supormos que os deslocamentos e seus gradientes s˜ao suficientemente pe- quenos, ou seja

kutk, k∇utk e k grad utk < ² (6.20)

onde ² > 0 ´e suficientemente pequeno teremos que ser´a poss´ıvel desprezar os termos de maior ´ordem dados por ∇uT∇u ou grad uT grad u frente aos termos lineares ∇u e grad u e, mais ainda, se igualarmos os termos `a direita de 6.13 e de 6.18 encontraremos

EdX · dX = Edx · dx = ( ¯¯ EF dX) · (F dX)

= FT_{EF dX · dX¯}

E = FTEF = (I + ∇u¯ T) ¯E(I + ∇u)

= E + ∇u¯ TE + ¯¯ E∇u + ∇uTE∇u¯

= E + o( ¯¯ E)

mostrando que, sob tais hip´oteses, os tensores de Green e de Almansi diferem por termos de ´ordem superior.Se agora desprezarmos tais termos chegaremos `a conclus˜ao de que

∇ = grad, ou seja, os gradientes espacial e material coincidem e portanto E = ¯E = 1

2(∇u + ∇u

T_{), (6.21)}

conhecido como tensor de deforma¸c˜ao infinitesimal. No que segue, limitaremos nossa an´alise a problemas em que consideramos apenas deforma¸c˜oes infinitesimais.

Dizemos que uma deforma¸c˜ao X ´e r´ıgida se a medida de deforma¸c˜ao, dada pelo tensor

E, for nula. O ´ultimo implica que ∇u = −∇uT_{, ou seja, o gradiente do campo de deslo-}

camentos correspondente a uma deforma¸c˜ao r´ıgida ´e um campo tensorial antisim´etrico. O anterior nos permite introduzir a seguinte defini¸c˜ao: um campo de deslocamento infinitesimal se diz r´ıgido se seu gradiente ´e constante e antisim´etrico, o que nos conduz a

u(X) = u(Xo) + W (X − Xo) ∀X, Xo ∈ B, (6.22)

1_{Aqui cabe ressaltar que estamos considerando a descri¸c˜ao espacial do campo de deslocamentos, por} isso temos ut= ut(x).

onde W ´e um tensor constante e antisim´etrico.

Se agora fizermos uso do vetor axial de W , representado aqui por w, o anterior equivale a (ver [Fei78, p´ag. 18])

u(X) = u(Xo) + w × (X − Xo) ∀X, Xo∈ B. (6.23)

Notamos que

[u(X) − u(Xo)] · (X − Xo) = W (X − Xo) · (X − Xo) = −W (X − Xo) · (X − Xo) = 0 (6.24)

pois W ´e antisim´etrico, logo

u(X) − u(Xo) ⊥ X − Xo. (6.25)

Em outras palavras, o deslocamento de X relativo ao de Xo ´e ortogonal ao vetor X − Xo

para toda deforma¸c˜ao r´ıgida.