N´umero de Ouro, que ´e o tema do nosso trabalho.
1.2 Determina¸c˜ ao do N´ umero de Ouro via geometria e ´ algebra
1.2.1 Defini¸c˜ao
Seja um segmento de reta AB. Queremos encontrar um ponto C pertencente a AB, de modo que CBAC = ABAC com AC > CB. Ou seja, dividir um segmento em duas parte, uma maior e outra menor, de modo que a raz˜ao entre a parte maior e a parte menor ´e igual a raz˜ao entre o segmento todo e a parte maior.
Ressaltamos que a propor¸c˜ao ´aurea tamb´em pode ser entendida como CBAC = ACAB. Isto soa como uma obviedade matem´atica, mas o primeiro caso tem como constante de proporcionalidade o valor aproximado 1,6180, sendo que no segundo caso o valor aproximado ´e 0,6180. Usualmente, a raz˜ao ´aurea ´e conhecida como sendo o primeiro valor, por´em alguns autores citam o outro valor tamb´em como sendo ´aureo.
A partir desse momento, iremos considerar a raz˜ao ´aurea da seguinte forma: o valor 1,6180... = ϕ (Phi min´usculo) e 0,6180... = φ (Phi mai´usculo). Temos que φ = ϕ1. O motivo de utilizarmos esta letra grega ser´a abordado no cap´ıtulo 2.
Vamos agora resolver o problema para determinarmos o valor alg´ebrico de ϕ. Consi-deremos AC =a e CB=b, coma > b. como ter certeza de que isso ´e sempre poss´ıvel? De fato, fixandob como constante, vamos encontrar o valor de a em fun¸c˜ao de b. Da´ı vem:
a/b= (a+b)/a⇒a2 =ab+b2 ⇒a2−ab−b2 = 0.
Por Bhaskara, temos:
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1.2.2 Sec¸c˜ao ´ Aurea e Autopropaga¸c˜ao
Seccionamos um segmento AB em duas partes de m´odulo distintos, cuja raz˜ao entre a parte maior e a parte menor ´e o N´umero de Ouro, e a esta raz˜ao denominamos de Raz˜ao ´Aurea. Desta forma, realizamos uma Sec¸c˜ao ´Aurea. Esta se¸c˜ao tem a propriedade da autopropaga¸c˜ao, isto ´e, podemos seccionar a parte maior em duas partes de m´odulos distintos segundo a Propor¸c˜ao ´Aurea, de modo que:
Proposi¸c˜ao 1.1 Se um segmentoAB ´e seccionado por um ponto C segundo a propor¸c˜ao
´aurea, de modo que AC =a e CB =b, com a > b, ent˜ao:
(i) b > a/2, (ii) b > a−b.
Prova.
De fato, o primeiro item vem de a = bϕ < 2b, pois ϕ < 2. Logo, a < 2b o que ´e equivalente a b > a/2. Para provarmos o item (ii) basta verificar que a/2> a−b. Com efeito,
a/2> a−b⇔a >2a−2b⇔a−2a >−2b ⇔ −a >−2b ⇔2b > a ⇔b > a/2 Assim, b > a/2> a−b. Portanto, por transitividade, b > a−b.
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1.2 Determina¸c˜ao do N´umero de Ouro via geometria e ´algebra
Com essa proposi¸c˜ao, podemos afirmar, matematicamente, a autopropaga¸c˜ao da sec¸c˜ao
´aurea.
Obseva¸c˜ao 1.2 Seja um pontoCpertencente ao segmentoAB tal queAC =a > CB =b e a = bϕ. Ent˜ao, seccionando o segmento AC por um ponto D, segundo a sec¸c˜ao ´aurea, tal que DC =CB =b, e AD=a−b, tem-se a/b =b/(a−b). Ver Figura 1.3:
a−b b b
A D C B
Figura 1.3: Autopropaga¸c˜ao.
Verifiquemos que os novos segmentos verificam a propor¸c˜ao ´aurea: sabemos que a/b= ϕ= (a+b)/a, o que ´e equivalente a a2−b2 =ab. Assim, basta provarmos que (a+b)/a= b/(a−b). Com efeito, (a+b)/a=b/(a−b) ´e equivalente a a2−b2 =ab.
1.2.3 Retˆangulo ´ Aureo
Um ente geom´etrico indispens´avel neste bojo ´e o Retˆangulo ´Aureo. Deste, ´e poss´ıvel construir a Espiral de Ouro.
Defini¸c˜ao 1.3 Um retˆangulo de base a e altura b ´e dito ´Aureo quando a/b = ϕ, para a > b, ou a/b=φ, para a < b. Concentremo-nos em ϕ, ou seja, onde a base maior que a altura.
Pela autopropaga¸c˜ao, podemos construir novos Retˆangulos ´Aureos a partir do pri-meiro, infinitamente, e com ´area cada vez menor.
Iniciamos com um retˆangulo R1 de base a e altura b, seguido de um retˆangulo R2 de base b e altura a−b, da´ı vem um retˆangulo R3 de base a−b e altura 2b−a, seguindo de modo infinito, onde um retˆangulo Rn+1 de base an+1 e altura bn+1 tal que an+1 =bn e bn+1 = an−bn. Se chamarmos de An a ´area do retˆangulo Rn, teremos que An > An+1
poisAn+1 =an+1bn+1 =bn(an−bn) =anbn−b2n < anbn =An. Veja a Figura 1.4.
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Figura 1.4: Retˆangulo ´Aureo
1.2.4 Triˆangulo ´ Aureo
Defini¸c˜ao 1.4 Todo triˆangulo is´osceles ABC, com base BC e ˆangulos da base Bb =Cb = 72o, ´e chamado de triˆangulo ´aureo.
Proposi¸c˜ao 1.5 A bissetriz de qualquer um dos ˆangulos da base intersecta o lado o oposto segundo a propor¸c˜ao ´aurea. Isto ´e, a bissetriz do ˆangulo Bb intersecta o lado AC em um ponto P tal que APP C = ϕ. De modo an´alogo, a bissetriz do ˆangulo Cb em rela¸c˜ao ao lado AB.
Prova.
Consideremos o triˆangulo ABC da defini¸c˜ao de modo que BC =a, e AC =AB =b.
Tra¸cando a bissetriz do ˆangulo B, obtemos mais dois triˆangulos: PAB e BCP.b
O triˆangulo PAB ´e is´osceles de base AB, pois a medida do ˆanguloAb= 36opor hip´otese e o ˆangulo PBAb = 36o pela bissetriz do ˆangulo B. Assim, temos queb AP =P B.
O triˆangulo BCP ´e is´osceles de base PC, pois a medida do ˆangulo Cb = 72o por hip´otese, e a medida do ˆangulo CP Bb = 72o, pois pela soma dos ˆangulos internos de um triˆangulo a medida do ˆangulo AP Cb = 108o, que ´e suplementar do ˆangulo CP B. Assim,b P B =BC =a.
Por transitividade, AP =a. Por hip´otese, AP +P C =AC =b. Ent˜ao, P C =b−a.
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1.2 Determina¸c˜ao do N´umero de Ouro via geometria e ´algebra Sabemos que em um triˆangulo qualquer, o lado maior ´e oposto ao ˆangulo maior. No triˆangulo BPC, temos que BC ´e oposto a um ˆangulo de 72o, sendo que PC ´e oposto a um ˆangulo de 36o. Ou seja, BC > P C, ent˜ao a > b−a.
Pelo caso de congruˆencia AA (ˆangulo-ˆangulo), os triˆangulos ABC e BCP s˜ao seme-lhantes. O ˆangulo Cb ´e comum a ambos, temos por hip´otese que a medida do ˆangulo Bb = 72o e j´a conclu´ımos anteriormente que CP Bb = 72o. Da´ı, pela proporcionalidade de triˆangulos semelhantes, vem: ABBC = BCP C = P BAC, isto ´e b/a = a/(b −a) = ϕ. Portanto,
AP P C =ϕ.
Veja a Figura 1.5 para a visualiza¸c˜ao.
Figura 1.5: Triˆangulo ´Aureo
◮ Autopropaga¸c˜ao do triˆangulo ´aureo
O triˆangulo de Ouro tamb´em se autopropaga infinitamente. A cada bissetriz tra¸cada, obtemos um novo triˆangulo is´osceles com ˆangulos da base medindo 72o. Aprovei-tando o exemplo dito inicialmente, ´e f´acil ver que do triˆangulo is´osceles ABC com ˆangulos da base medindo 72o obtemos o triˆangulo is´osceles BCP de base CP com Cb =Pb = 72o, ou seja, BCP ´e um triˆangulo de ouro. Assim, obt´em-se triˆangulos ´aureos seguidamente, sem fim.
◮ O n´umero ϕ e o cosseno de 36o