11.2 M´ etodo de Newton em dimens˜ oes mais altas
11.2.1 Determina¸ c˜ ao da forma de uma corda
Uma aplica¸c˜ao interessante do M´etodo de Newton em dimens˜ao 3 ocorre na determina¸c˜ao do formato de uma corda a partir das coordenadas de dois pontos (podem ser os pontos de sustenta¸c˜ao, por exemplo) e do comprimento da corda entre os dois pontos. A implementa¸c˜ao desta id´eia deve ser feita com o aux´ılio do computador, pela quantidade de c´alculos a serem feitos, mas mesmo assim deve-se prestar bastante aten¸c˜ao para o chute da condi¸c˜ao inicial, que pode freq¨uentemente levar o m´etodo a divergir.
Como vimos na Subse¸c˜ao 5.3.2, uma corda ou corrente pendurada assume o formato do gr´afico da fun¸c˜ao
1
ccosh(cx), conhecida como caten´aria.
No entanto, assume-se a´ı que a origem das coordenadas esteja uma unidade abaixo do ponto mais baixo da corda. De modo geral, se quisermos deslocar a corda na verti-cal, precisamos acrescentar um parˆametro h, que ser´a somado `a express˜ao acima, e se quisermos deslocar a corda horizontalmente em aunidades ent˜ao devemos trocarx por x−a, de modo que
f(x) = 1
ccosh(c(x−a)) +h
´
e a maneira mais geral de se representar o formato da corda.
Se nosso modelo pretende ser consistente, deveria prever exatamente a forma da corda, desde que informemos dois pontos de sustenta¸c˜ao e o comprimento total da corda entre os dois pontos. Ou seja, com essas trˆes informa¸c˜oes deveria ser poss´ıvel determinar c,a eh, e portantof.
Sejam (x0, y0) e (x1, y1) os pontos de sustenta¸c˜ao. Ent˜ao y0 = 1
c cosh(c(x0−a)) +h
e
y1= 1
ccosh(c(x1−a)) +h .
O comprimento da corda entre os pontos de sustenta¸c˜ao ser´a chamado del. Portanto l=
Z x1
x0
p1 +f0(x)2dx
(ver Se¸c˜ao 14.3 adiante, para uma justificativa desta f´ormula). Como f0(x) = sinh(c(x−a)),
e
1 + sinh2t= cosh2t , logo
l= Z x1
x0
cosh(c(x−a))dx= 1
c{sinh(c(x1−a))−sinh(c(x0−a))} . Com isso, obtivemos um sistema n˜ao-linearde trˆes equa¸c˜oes e trˆes inc´ognitas:
c(y0−h)−cosh(c(x0−a)) = 0 c(y1−h)−cosh(c(x1−a)) = 0 lc+ sinh(c(x0−a))−sinh(c(x1−a)) = 0 O sistema pode ser resolvido numericamente pelo M´etodo de Newton.
Interpola¸ c˜ ao Polinomial
155
Estimativa do erro nas interpola¸ c˜ oes
Voltemos `a quest˜ao (abordada nas Se¸c˜oes 1.5 e 2.7) da interpola¸c˜ao de um polinˆomio de grau k a k+ 1 pontos dados (t0, z0),(t1, z1), . . ., (tk, zk), que ser´a importante na Parte seguinte do livro, onde falaremos de integra¸c˜ao de fun¸c˜oes.
Nesta Parte do livro, usaremostcomo vari´avel (no lugar dex), valoresz(no lugar de y) e pontos indexados de 0 ak(no lugar den). Tudo isso justamente para n˜ao fazermos confus˜ao na Parte V, quando usaremos alguns conceitos aqui expostos.
Imagine que utilizemos a interpola¸c˜ao polinomial como uma maneira de “aproximar”
uma fun¸c˜ao. Mais precisamente, seja f : [tL, tR]→R uma fun¸c˜ao (cuja regularidade s´o especificaremos adiante) e uma parti¸c˜ao de seu dom´ınio
tL=t0 < t1 < t2 < . . . < tk−1< tk =tR,
n˜ao necessariamente a intervalos regulares. Assumiremos sempre que tL < tR e que k≥1.
Aos k+ 1 pontos (t0, f(t0)), (t1, f(t1)), . . ., (tk, f(tk)) podemos interpolar um po-linˆomiop(t) de grau k, que ´e ´unico. A pergunta ´e: quanto se perde ao se trocar f(t) pelo polinˆomio interpoladorp(t)? Ou seja, qu˜ao grande ´e a diferen¸ca f(t)−p(t), para cada ponto tdo intervalo [tL, tR]?
Vejamos primeiro como deve ser a fun¸c˜ao diferen¸caF(t)≡f(t)−p(t). Parak= 1 a parti¸c˜ao tem que sertL=t0 < t1 =tR, e o polinˆomio interpolador ´e a fun¸c˜ao afim cujo gr´afico passa por (t0, f(t0)) e (t1, f(t1)). Como p(t0) = f(t0) e p(t1) =f(t1), ent˜ao F se anula em t0 e t1. Veja na figura abaixo, esquematicamente, como devem serf ep (`a esquerda) e F (`a direita).
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t 1 t 0
t 0 t 1
f F p
Pelas mesmas raz˜oes, para valores quaisquer dek, a fun¸c˜ao F se anula em todos os pontos t0, t1,. . ., tk da parti¸c˜ao. Ela pode at´e se anular em outros pontos, mas n˜ao ´e necess´ario que isto ocorra. Veja na figura abaixo uma situa¸c˜ao com k= 2, onde p tem que ser um polinˆomio quadr´atico.
t 0 t 1 t 2 t 0 t 1 t 2
F f
p
Sep ef n˜ao diferem nos pontos da parti¸c˜ao, quanto ser´a a diferen¸ca para os demais valores det?
Para responder, tentaremos definir uma fun¸c˜ao (n˜ao-negativa)S(t) tal que
−S(t)≤F(t)≤S(t)
(ou|F(t)| ≤S(t)) para todot ∈[tL, tR], sabendo de antem˜ao que S(t) pode se anular emt0, t1, . . . , tk.
A forma deS e−S, em linha pontilhada, seria algo assim (para k= 4):
−S
t 0
t 1 t 2 t 3
t 4
F S
E claro que´ S deveria ser do tipo mais simples poss´ıvel. Uma tentativa ´e olhar para um polinˆomio n˜ao-nulo q(t) de grau k+ 1 que se anule nos pontos t0, . . . , tk e tomar S(t) =c|q(t)|, onde c´e uma constante positiva. O polinˆomio
q(t) = (t−t0)(t−t1). . .(t−tk), por exemplo, satisfaz a condi¸c˜ao pedida.
O que faremos agora ´e mostrar que uma tal estimativa ´e poss´ıvel, e al´em do mais apresentar um valor de c, que possa ser calculado a partir de algum conhecimento sobre a fun¸c˜ao f.
De fato, mostraremos um resultado mais forte, que implicar´a automaticamente o que queremos. Provaremos que, para cada t∈[tL, tR] existe um outro pontos=st (st indica a dependˆencia desem rela¸c˜ao a t) tal que
F(t) = F(k+1)(s) (k+ 1)! q(t), ondeF(k+1)(s) indica a derivada (k+ 1)-´esima deF ems.
Como conseq¨uˆencia dessa afirma¸c˜ao, teremos que
|F(t)| ≤ max
s∈[tL,tR]
F(k+1)(s) (k+ 1)!
!
|q(t)|.
Al´em disso, n˜ao devemos esquecer queF(t) =f(t)−p(t), ondep(t) ´e polinˆomio de grau k. Como a derivada (k+ 1)-´esima de um polinˆomio de grauk´e zero, ent˜ao
F(k+1)=f(k+1) ,
logo
|F(t)| ≤ max
s∈[tL,tR]
f(k+1)(s) (k+ 1)!
!
|q(t)|, e podemos tomar
c= max
s∈[tL,tR]
f(k+1)(s) (k+ 1)! .
E claro que esta resposta s´´ o ´e poss´ıvel se f for uma fun¸c˜ao pelo menos (k+ 1) vezes diferenci´avel. ´E o que ocorre com a maioria das fun¸c˜oes com que nos deparamos na pr´atica, mas pode haver exce¸c˜oes.
Finalmente s´o nos falta provar a afirma¸c˜ao, que diz que para cadatem [tL, tR] existe umsneste mesmo intervalo tal que
(k+ 1)!F(t) =F(k+1)(s)q(t).
A afirma¸c˜ao ´e trivialmente v´alida se t for um dos pontos t0, t1, . . . , tk, pois F e q se anulam nesses pontos, e os dois lados da equa¸c˜ao ficam iguais a zero. Resta-nos assim provar a afirma¸c˜ao quandot n˜ao ´e nenhum desses pontos.
Em primeiro lugar, fazemos a constata¸c˜ao esperta de que (k+ 1)! ´e a (k+ 1)-´esima derivada de q, pois o polinˆomio q tem grau (k+ 1) e o coeficiente de tk+1 ´e igual a 1.
Ent˜ao nos bastar´a demonstrar que existe s=st tal que q(k+1)(s)F(t)−F(k+1)(s)q(t) = 0. Para isso definimos a fun¸c˜ao
G(s) =q(s)F(t)−F(s)q(t),
lembrando que t est´a fixo, neste racioc´ınio. Desta maneira, queremos apenas mostrar que existesondeG(k+1) se anula.
Acontece que G ´e uma fun¸c˜ao que se anula em todos os pontos t0, t1, . . . , tk, pois tantoq como F se anulam nesses pontos, masG tamb´em se anula ems=t, pois
G(t) =q(t)F(t)−F(t)q(t) = 0.
Como estamos interessados no caso em que t n˜ao ´e nenhum dos pontos t0, t1, . . . , tk, ent˜ao Gse anula em pelo menos k+ 2 pontos distintos. Pelo Teorema do Valor M´edio, entre cada par consecutivo de pontos ondeGse anula h´a um ponto onde a derivada de Gse anula. PortantoG0 se anula, obrigatoriamente, em pelo menosk+ 1 pontos. Pelo mesmo racioc´ınio, G00 se anula em pelo menos k pontos. Continuando indutivamente, temos que G(k) se anula em 2 pontos e, finalmente, que G(k+1) se anula em 1 ponto, como quer´ıamos demonstrar.
Tendo em vista que os resultados deste Cap´ıtulo ser˜ao usados no Cap´ıtulo 17, resu-mimos a estimativa obtida (com a nota¸c˜ao j´a exposta):
|f(t)−p(t)| ≤c|q(t)|, onde
c= max
s∈[tL,tR]
f(k+1)(s) (k+ 1)!
e
q(t) = (t−t0)(t−t1). . .(t−tk).
T´ ecnicas de interpola¸ c˜ ao
Neste Cap´ıtulo apresentaremos duas t´ecnicas de interpola¸c˜ao que servem como alterna-tivas ao m´etodo j´a descrito na Se¸c˜ao 1.5 de redu¸c˜ao a um sistema linear.