Dimensionamento de Lotes

O problema de dimensionamento de lotes consiste em determinar a quantidade de lotes a serem produzidos e o período em que os lotes serão produzidos. Essa produção está inserida num horizonte de planejamento e existe uma demanda de produtos a ser atendida. O objetivo é geralmente de cunho econômico e envolve custos de produção, que são tradicionalmente divididos em custos de estoque, custos de processamento de produtos e custos de preparação de máquinas. Na literatura, muitos trabalhos abordam o problema, dentre eles destacamos as revisões de Karimi et al. (2003) e Brahimi et al.

(2006).

O problema de dimensionamento de lotes pode ser dividido em multi-estágio e mono-estágio. Denomina-se sistema de produção multi-estágio quando os itens a serem pro-duzidos são dependentes, isto é, a produção de determinado item depende da produção de outro item, que é chamado item componente. Diz-se que um sistema de produção é mono-estágio quando os itens a serem produzidos são independentes, ou seja, nenhum

item depende da produção de outro item. O problema mono-estágio pode ser subdividido em várias categorias, por exemplo: pode ser considerado para um único item ou para vários itens, com ou sem restrição de capacidade. Essas categorias serão detalhadas a se-guir, sendo que uma revisão bibliográfica mais completa pode ser encontrada em Pochet e Wolsey (2006).

A seguir, são apresentados alguns modelos importantes de dimensionamento de lotes.

Os modelos apresentados possuem características comuns. O horizonte de planejamento é finito e dividido em períodos, e a demanda de cada item em cada período é dinâmica, isto é, varia ao longo do horizonte. A demanda e outros parâmetros dos modelos são supostos conhecidos, isto é, abordamos modelos determinísticos. Os parâmetros e variáveis usados na descrição dos modelos estão definidos na Lista de Símbolos.

O problema mais simples de dimensionamento de lotes envolve um único item, sem restrição de capacidade e pode ser formulado matematicamente como:

Min Z =

∑T

t=1

hIt (2.1)

sujeito a:

I_t−1+x_t−I_t =d_t, t= 1, . . . , T; (2.2) I_t≥0, x_t≥0, t = 1, . . . , T. (2.3) A função objetivo (2.1) minimiza o custo total de estoque. As inequações (2.2) ga-rantem o atendimento da demanda em cada período t e são conhecidas como restrições de balanceamento de estoque. As inequações (2.3) definem o domínio das variáveis.

Caso seja necessário garantir que só haverá produção caso a máquina esteja preparada é inserida no modelo uma variável binária que assume 1 caso a máquina esteja preparada para produzir um determinado produto, e 0 caso contrário. Karimi et al. (2003) indica dois tipos de estruturas de preparo: estrutura de preparo simples, quando o custo de preparo não é dependente da sequência de produção, e estrutura de preparo complexa, quando o custo de preparo é dependente da sequência de produção.

Se no modelo descrito por (2.1) - (2.3) acrescentarmos uma restrição que garanta que o custo ou tempo de preparação seja contado somente quando houver produção, obtémse o Modelo de Dimensionamento de Lotes sem restrição de Capacidade (ULSP

-2.1 Dimensionamento de Lotes 35

Uncapacitated lotsizing Problem), descrito pelas expressões (2.4) - (2.7) a seguir:

Min Z =

∑T

t=1

(hI_t+sty_t) (2.4)

sujeito a:

I_t−1+x_t−I_t=d_t, t= 1, . . . , T; (2.5) x_t≤M y_t, t= 1, . . . , T; (2.6) xt;It≥0 yt ∈ {0, 1}, t= 1, . . . , T. (2.7) As restrições (2.6) garantem que só vai haver produção se houve preparo da máquina e M é um número suficientemente grande que evita a limitação da produção. Substituindo-se M pela capacidade de produção da máquina no período t, K_t, obtemos um modelo de dimensionamento de lotes com restrição de capacidade para um item.

Alguns modelos permitem atrasos na produção, ou seja, permite-se satisfazer a de-manda após o período em que ela foi requisitada. Neste caso, devemos substituir a variável It pelas variáveis I_t⁺ e I_t⁻, que representam respectivamente as quantidades em estoque e em atraso no fim do período t, e acrescentar na função objetivo o custo g pelo atraso na produção de uma unidade do produto de um período próximo. O modelo matemático para representar esta situação é dado por:

Min Z =

∑T

t=1

hI_t⁺+gI_t⁻+sty_t (2.8)

sujeito a:

I_t−1⁺ −I_t−1⁻ +x_t−I_t⁺+I_t⁻=d_t, t= 1, . . . , T; (2.9) x_t ≤M y_t, t= 1, . . . , T; (2.10) x_t;I_t⁺;I_t⁻ ≥0y_t∈ {0, 1}, t= 1, . . . , T. (2.11) Para estender o modelo (2.4) - (2.7) para considerar a produção de vários itens, basta incluir o índice dos itens nas variáveis e ampliar o conjunto de restrições para cada item.

A seguir tem-se um modelo sem restrição de capacidade, mono-estágio (ou único nível), multi-item com demanda dinâmica, o modelo ULSP multi-item é descrito pelas inequações

(2.12) - (2.15): Para considerar a capacidade de produção em um problema mono-estágio, multi-item com demanda dinâmica, é necessário incluir as restrições (2.16), no quala_j é a capacidade de tempo necessária para produzir uma unidade do produtoj:

∑J

j=1

a_jx_jt ≤K_t, t = 1, . . . , T. (2.16)

As restrições (2.16) garantem que o tempo total gasto na produção dos itens no período t não ultrapasse a capacidade da máquina neste período. O modelo CLSP (Capacitated Lotsizing and Scheduling Problem) é dado por:

Min Z = Uma variação da restrição de capacidade ocorre quando os tempos de preparo, ρ_jt, são considerados, o problema de dimensionamento de lotes com restrição de capacidade e

2.1 Dimensionamento de Lotes 37

com tempo de preparo pode ser formulado como:

Min Z = Alguns autores consideram que os tempos de preparo já estão embutidos nos custos de preparo, não sendo necessário considerá-los explicitamente. Billington et al. (1994) destacam que o tempo de preparo pode ser ignorado em algumas indústrias, mas em vários sistemas com restrições de capacidade, um dos fatores mais críticos do problema de dimensionamento de lotes é o tempo de preparação, e não seu custo. Trigeiroet al. (1989) discute esta questão e mostra exemplos de problemas que não devem ser formulados sem tempos de preparo.

Araujo e Arenales (2000) discutem que a inclusão de tempos de preparação, aumenta bastante o grau de complexidade do problema. Florian et al. (1980) mostraram que, para problemas com recursos de produção limitados e custos de preparação, encontrar a solução ótima para o problema com um único item é um problema NP-Hard. Bitran e Yanasse (1982) mostraram que vários casos de problemas com um único item, podem ser resolvidos em tempo polinomial, tornando-se NP-Hard quando um segundo item é introduzido. Quando se considera tempo de preparação, o problema de encontrar uma solução factível é NP-Completo (Maes et al. (1991)).

Se o tempo de preparação é independente da sequência, ele é denotado por ρ_j, e basta definir um tempo para a execução da tarefa j. Quando o tempo de preparação é dependente da sequência, temos o parâmetro,b_ij, que representa o tempo de preparação da máquina para processar a tarefaj imediatamente após a tarefai, que podemos denominar como tempo de troca. Logo é necessário também definir o custo de troca,s_ij que é incluído na função objetivo com a variável bináriaz_ijt, que recebe 1 se há troca do item i para o item j no períodot e 0 caso contrário.