Distribui¸c˜ oes Infinitamente Divis´ıveis

136 CAP´ITULO 8. TEOREMAS LIMITES CENTRAIS

≥lim sup

"

t²

2 −XZ

{|X_nk|<ε}

t²x²

2 dP_nk(x)d_nk(x)

# . Ent˜ao,

1

ε²t² ≥lim sup[1−XZ

{|X_nk|<ε}

x²dP_nk(x)]≥0.

Fa¸ca t → ∞, para obter P R

{|X_nk|<ε}x²dP_nk(x) → 1. Conclui-se que a soma P

k

R

{|X_nk|>ε}x²d_nk(x)→0, pos P

k

R x²dP_nk(x) = 1.

O seguinte teorema foi provado independentemente por Berry (1941) e Esseen (1942). Veja Feller (1966) para uma prova.

Teorema 8.3. (Berry-Esseen) Sejam {X_n, n ≥ 1} v.a’s i.i.d, de m´edia zero e variˆancia σ² e suponha E(|X₁|³) < ∞. Seja Fn a f.d de (X1+. . .+Xn)/(σ√

n) e Φa f.d de uma normal padr˜ao. Ent˜ao,

sup

−∞<x<∞

|F_n(x)−Φ(x)| ≤ 33 4

E(|X₁|³) σ³

√1 n.

O teorema ´e caso particular de um resultado mais geral. Seja ∆n(x) =|F_n(x)− Φ(x)|. Sob as condi¸c˜oes do teorema (suponhaσ = 1), existe uma constante absoluta C₀(δ), para δ∈(0,1], tal que

sup

x

∆_n(x)≤C₀(δ)L^2+δ_n , onde L^2+δ_n = E(|X₁|^2+δ) n^δ/2 .

Observe que o teorema anterior ´e um caso particular paraδ= 1. V´arios trabalhos subsequentes foram provados no sentido de tornar mais preciso o limite superior do resultado. Veja Korolev e Shevtsova (2010) para uma resenha hist´orica.

(c) Suponha que X_n tenha distribui¸c˜ao binomial, com parˆamteros n e p = λ/n, com λ > 0. Ent˜ao, sabemos que Xn

→D P(λ), ou seja, uma Poisson com parˆametro λ, e f.c e^λ(eit−1). Se, para cada n, considerarmos X_n,1, . . . , X_n,n independentes, cada uma Bernoulli, comp=λ/n, ent˜aoX_n∼X_n,1+. . .+X_n,n e teremos Xn,1+. . .+Xn,n

→D P(λ).

Esses exemplo s˜ao instˆancias da seguinte situa¸c˜ao. Temos um arranjo triangular X11

X21, X22

X₃₁, X₃₂, X₃

· · ·

onde, para cada n, X_n1, . . . , X_nn s˜ao i.i.d. Seja S_n =Pn

i=1X_ni. Em cada um dos exemplos acima,Snconverge para alguma v.a. Quais outras vari´aveis aparecem em situa¸c˜oes como essas?

Suponha que Sn

→D X. Seja ϕ f.c de X. Temos que S2n

→D X, mas S2n = (X_2n,1+. . .+X_2n,n) + (X_2n,n+1+. . .+X_2n,2n) =Y_n+Y_n⁰. As v.a’s{Y_n} formam uma fam´ılia fechada, pois P(Y_n > ε)² = P(Y_n ≥ε, Y_n⁰ ≥ ε) ≤P(Y_2n > ε) e como S2nconverge em lei, a fam´ılia ´e fechada. Portanto, usando o Teorema de Prokhorov, existe uma subsequˆencia {n_k} tal que Y_nk converge em lei para Y e Y_n⁰_k converge em lei para Y⁰, e pela independˆencia Yn_k+Y_n⁰_k converge em lei para Y +Y⁰ e como Ynk+Y_n⁰_k converge em lei paraX, temos que X∼Y +Y⁰.

Seja ϕ_Y a f.c de Y. Segue-se que ϕ(t) = [ϕ_Y(t)]². De modo similar, ϕ(t) = [ϕZ(t)]^k,para alguma v.a Z, e cada k.

Defini¸c˜ao 8.1. Uma v.a X diz-se infinitamente divis´ıvel se, para cada n, existe uma f.c ϕ_n, tal queϕ(t) = [ϕ_n(t)]ⁿ, sendo ϕa f.c de X.

De modo equivamente, podemos dizer queX´e infinitamente divi´ıvel se, para cada n, existem v.a’s X_n1, . . . , X_nn, que s˜ao i.i.d e tais queX tem a mesma distribui¸c˜ao queXn1+. . .+Xnn.

Exemplo 8.2. S˜ao infinitamente divis´ıveis as distribui¸c˜oes:

(1) Normal (2) Cauchy (3) Poisson (4) exponencial (5) Gama

Teorema 8.4. X ´e infinitamente divis´ıvel se, e somente se, X for o limite em distribui¸c˜ao de uma soma S_n=X_n1+. . .+X_nn de v.a’s i.i.d.

138 CAP´ITULO 8. TEOREMAS LIMITES CENTRAIS Prova: (⇐) feito acima.

(⇒) ´Obvio, pois se X for infinitamente divis´ıvel, ent˜ao, para cada n, X ∼ X_n1 + . . .+X_nn. .

Teorema 8.5. A classe das distribui¸c˜oes infinitamente divis´ıveis ´e fracamente se-quencialmente fechada (isto ´e, seP_n⇒P, e seP_n for infinitamente divis´ıvel, ent˜ao P tamb´em o ser´a).

Prova: Para cadan, sejamX_n1, . . . , X_nn infinitamente divis´ıveis, tais queP_n

i=1X_ni tenha P_n como sua distribui¸c˜ao. Como P_n ⇒ P, Pn

i=1X_ni →^D X, onde X tem distribui¸c˜ao P. Logo, P ´e infinitamente divis´ıvel, pelo teorema anterior. .

Teorema 8.6. Seja ϕ a f.c de uma distribui¸c˜ao infinitamente divis´ıvel. Ent˜ao, ϕ(t)6= 0, para todot.

Prova: E suficiente mostrar que´ |ϕ(t)|² 6= 0, para todo t. Observe que |ϕ(t)|² ´e, realmente, a f.c de uma distribui¸c˜ao infinitamente divis´ıvel (i.d). De fato, seja X i.d com f.c ϕ e X⁰ independente de X e com a mesma distribui¸c˜ao que X. Ent˜ao, X−X⁰ ´e i.d e sua f.c ´e |ϕ(t)|².

Seja g(t) = |ϕ(t)|² e seja h_n(t) a n-´esima raiz real de g(t): h_n(t) = [g(t)]^1/n. Ent˜ao,h(t) ´e uma f.c e limn→∞h_n(t) existe e ´e igual a zero, se e somente seg(t) = 0 e igual a 1, caso contr´ario. Tamb´em, comog´e uma f.c, existeε >0 tal queg(t)>0, para todo|t|< ε (pois g´e cont´ınua na origem). Segue que limn→∞h_n(t) = 1, para

|t|< ε. Seh(t) ´e o limite, h(t) ´e cont´ınua no zero e portanto ´e uma f.c. Logo, h ´e cont´ınua, dondeh(t) = 1, para todot. Logo, g(t) n˜ao pode ser zero. .

Defini¸c˜ao 8.2. Seja X uma v.a com f.cϕ. Sejam X₀, X₁, . . . v.a’s i.i.d, X_i ∼ X, X0 = 0. Seja N uma v.a independente de Xi, para todo i, tendo distribui¸c˜ao de Poisson, P(λ). Defina Y =P_N

i=0X_i. Dizemos que Y tem distribui¸c˜ao de Poisson composta.

A f.c de Y ´e dada porψ(t) =e^{λ[ϕ(t)−1]}. Al´em disso,Y ´e infinitamente divis´ıvel.

Veja o Problema 2.

Para o resultado a seguir, necessitamos de alguns fatos sobre vari´aveis complexas.

SejaS um espa¸co topol´ogico e f :S → C, cont´ınua. Dizemos que f tem logaritmo cont´ınuo se existir uma fun¸c˜ao cont´ınua g : S → C tal que f = e^g. A fun¸c˜ao g ´e

´

unica sobre cada componente de S, a menos de uma constante da forma 2πim. O resultado vale para S=R ef cont´ınua, n˜ao nula.

Teorema 8.7. X´e infinitamente divis´ıvel se, e somente se,X ´e o limite em distri-bui¸c˜ao de uma sequˆencia de distribui¸c˜oes de Poisson compostas.

Prova: (⇐) Segue do Problema 2 e Teorema 8.5.

(⇒) A f.c de X,ϕ(t) , n˜ao se anula nunca, pois X ´e infinitamente divis´ıvel. Logo

Morettin - mar¸co/2018

ϕ admite um logaritmo cont´ınuo g, ou seja, ϕ(t) = e^g(t). Como ϕ(0) = 1 e como g ´e ´unica a menos de uma constante, 2πim, podemos escolher uma g ´unica com g(0) = 0.

Tamb´em sabemos que ϕ(t) = [ϕ_n(t)]ⁿ, para cada n, onde ϕ_n ´e uma f.c; ϕ_n(t) nunca se anula, logo pelo mesmo argumento, existe um logaritmo cont´ınuo g_n, tal queϕn(t) =e^gn(t) e gn(0) = 0.

Note quee^gn´e uman-´esima raiz deϕ, logo pela unicidade do logaritmo cont´ınuo, obtemos g = ng_n+ 2πim. Como g(0) = g_n(0) = 0, segue-se que m = 0, logo gn(t) =g(t)/n. Portanto,

n→∞lim e^n(ϕn−1)= lim

n→∞e^[eg/n−1]≈e^g,

usando e^x−1≈x. Mas e^n(ϕn−1) ´e a f.c de uma distribui¸c˜ao de Poisson composta.

.

Queremos encontrar a forma geral da f.c de uma distribui¸c˜ao infinitamente di-vis´ıvel. Sabemos que, se X for infinitamente divis´ıvel e ϕ´e a sua f.c, [ϕ_n]ⁿ = ϕ, ent˜ao e^n(ϕn−1) →e^g =ϕ, ou seja, n(ϕn−1)→logϕ. Portanto, podemos escrever

Z

(e^itx−1)·n·dF_n(x)→logϕ(t), ondeF_n´e a f.d correspondente aϕ_n.

Como P{|X_nk| > ε} → 0, as medidas ndFn(x) colocam mais e mais massa no zero, quando n→ ∞. Portanto, considere

n→∞lim Z

(e^itx−1)1 +x² x²

x²

1 +x²ndF_n(x).

Essa integral apresenta uma dificuldade, a saber, o integrando torna-se infinito parax= 0. Logo, consideramos

n→∞lim Z

(e^itx−1− itx

1 +x²)1 +x²

x² dGn(x) +it Z x

x²+ 1ndFn(x),

chamando _1+x^x22ndFn(x) = dGn(x),e notando que o termo entre parˆentesis na pri-meira integral ´e da ordem det²x² perto de zero e a segunda integral ´e aproximada-mente igual aitR

x⁻¹dG_n(x).

O resultado a seguir d´a a representa¸c˜ao da f.c de uma distribui¸c˜ao infinitamente divis´ıvel.

Teorema 8.8. (L´evy-Khintchine) (a) X ´e infinitamente divis´ıvel, com f.c ϕ se, e somente seϕ=e^ψ, onde

140 CAP´ITULO 8. TEOREMAS LIMITES CENTRAIS

ψ(t) =itγ+ Z ∞

−∞

(e^itx−1− itx

1 +x²)1 +x²

x² dG(x), (8.13) ondeγ ´e uma constante eG´e uma fun¸c˜ao crescente e de varia¸c˜ao limitada.

(b) A f.cϕdetermina univocamenteγeG, isto ´e, a representa¸c˜ao de L´evy-Khintchine

´ e ´unica.

Observa¸c˜ao: O integrando em (8.13) ´e definido como−t²/2 emx= 0. SeGcoloca massaσ² em zero, podemos escrever

ψ(t) =itγ−σ²t² 2 +

Z ∞

−∞

(e^itx−1− itx

1 +x²)1 +x²

x² dG(x),ˆ (8.14) onde ˆG´e uma medida sem massa no zero. Outra maneira de escrever ´e

ψ(t) =itγ−σ²t² 2 +

Z ∞

−∞

(e^itx−1− itx

1 +x²)ν(dx), (8.15) ondeν ´e chamadamedida de L´evy.

Se X satisfaz (8.13), escreveremos X∼(γ, G).

Prova do Teorema: (a) (⇒) Seja ϕ a f.c deX, ent˜ao ϕ(t) = [ϕn(t)]ⁿ. Tamb´em, ϕ(t) =e^g, ϕn(t) =e^gn e n[ϕn(t)−1]→g(t).

Defina

h(t) = Z t

−∞

x

1 +x²ndFn(x), na qual F_n ´e a f.d correspondente aϕ_n.

Antes de prosseguir, vamos considerar os seguintes fatos.

[1] Existe uma constante A tal que

nPn{[−a, a]^c} ≤Aa Z 2/a

−2/a

|g(t)|dt, sendo Pn a distribui¸c˜ao de probabilidade deFn.

De fato, usando o Lema 7.4,

nP_n{[−a, a]^c} ≤a Z 2/a

−2/a

n|ϕ_n(t)−1|dt.

Masn[|ϕ_n(t)−1|]→g(t), logo pelo TCD, Z 2/a

−2/a

n[|ϕ_n(t)−1|]dt→ Z 2/a

−2/a

|g(t)|dt.

Morettin - mar¸co/2018

[2] Existe uma constante A tal que Z 1

−1

x²ndF_n(x)≤A, ∀n.

De fato, temos que n[1− Rϕ_n(1)]≥

Z 1

−1

[1−cosx]ndFn(x)≥C Z 1

−1

x²ndFn(x),

sendo que na ´ultima integral usamos a expansa˜ao de Taylos de cosx at´e primeira ordem. Mas n[1− Rϕ_n(1)] → g(1) 6= 0, logo existe uma constante A₁ tal que A₁g(1)≥R1

−1x²ndF_n(x),para todox.

[3] SejaHn(∞) =R

(x²)/(1 +x²)ndFn(x). Por [1] e [2],{H_n(∞), n≥1}´e limitada.

Defina Gn(t) = Hn(t)/Hn(∞), de modo que Gn ´e uma medida de probabilidade.

Ent˜ao, {G_n, n ≥ 1} ´e fechada, por [1] e [2], desde que H_n(∞) seja bounded away from zero, poisG_n{[−a, a]^c} ≤C.aR2/a

−2/a|g(t)|dt, que est´a pr´oxima de|g(0)|, quando a´e grande e g(0) = 0. Logo, pelo Teorema de Prokhorov, existe uma sequˆencia n_k e uma distribui¸c˜ao de probabilidadeGtal queG_nk →Gem pontos de continuidade de G. Podemos escolhernk tal queHnk(∞) =Ank →A.

Portanto, temos que

logϕ(t) =g(t) = lim

nk→∞n[ϕ_n(t)−1] = lim

nk→∞

Z

[e^itx−1]n_kdF_nk(x) =

= lim

nk→∞Ank

Z

e^itx−1− itx 1 +x²

1 +x²

x² dGnk(x) +itγn

.

Como G_nk → G e o integrando ´e cont´ınuo, esse tende para uma integral com dGnk substitu´ıda por dG. ComoAnk →A, uma parte do limite em quest˜ao resulta A{R

[e^itx−1−_1+x^itx₂]^1+x_x2²dG(x)}, logo γ_n→γ, para algum γ.

(⇐) Suponha que x teha f.c. ϕ=e^ψ, com (8.13) v´alida. Mostraremos queX ´e id.

Escreva ψ como um limite de somas da forma ψn=X

k

e^itak−1− ita_k 1 +a²_k

1 +a²_k

a²_k [G(ak)−G(ak−1].

Esse ´e o logaritmo da f.c de uma soma de v.a’s independentes, com distribui¸c˜oes de Poisson compostas. O limite dee^ψn ´e e^ψ, que ´e cont´ınua no zero, logo e^ψ ´e uma f.c. Segue que X ´e id, pois ´e o limite em distribui¸c˜ao de v.a’s i.d’s (uma soma de v.a’s independentes e com distribui¸c˜oes de Poisson compostas ´e i.d.)

142 CAP´ITULO 8. TEOREMAS LIMITES CENTRAIS (b) (Unicidade) Seja ϕ=e^g, ondeg tem a forma canˆonica. Queremos provar queg determinaγ e Gunivocamente. Defina

h(t) = Z t+1

t−1

g(x)dx−2g(t).

Ent˜ao, g determinah univoamente. Defina, agora, H(t) = 2

Z t

−∞

[1−sinx/x](1 +x²)/x²dG(x).

Ent˜ao, h(t) = R

e^itxdH(x), logo h dtermina H univocamente (pois h ´e a trans-formada de Fourie deH). Mas o integrando em H(t) ´e positivo eH(A) = 2R

A[1− sinx/x](1 +x²)/x²dG(x), logo H determina G univocamente. Segue que g deter-mina G e e^{itγ1+R[···]dG1} =e^{itγ2+R[···]dG2},da qual segue G1 =G2 e e^itγ1 =e^itγ2, para todo te finalmenteγ₁=γ₂.

Exemplo 8.3. (a) Se X ∼N(0, σ²), ent˜ao G coloca massa pontual σ² no zero, e γ = 0. SeE(X) =µ, ent˜aoγ =µ.

(b) SeX∼P(λ), ent˜ao Gtem massa pontual de tamanhoλ/2 em 1 eγ =λ/2.

Teorema 8.9. (da continuidade) Seja Xn infinitamente divis´ıvel com parˆametros (γ_n, G_n) e X com parˆametros (γ, G). Ent˜ao, X_n →^D X se, e somente se, γ_n → γ, Gn→G nos pontos de continuidade deG esup_nGn([−a, a]^c)< ε,para todoε >0 e adependendo deε.

Prova: (⇐) Imediata (⇒) SeXn

→D X , ent˜ao ϕn(t)→ ϕ(t), para todot; como ϕn, ϕ n˜ao s˜ao nunca nu-las, temos que logϕn(t) → ϕ(t). Ou seja itγn +R

[· · ·]dG_n converge para itγ + R[· · ·]dG. Argumentando como na prova do teorema anterior, mostra-se que a sequˆencia{G_n(+∞), n≥1}´e limitada e existem uma subsequˆencianke uma medida Gˆ tal que (Gn_k(x))/(Gn_k(∞))→G(x) andˆ An_k(∞)→A. Segue-se que

A_nk Z

[· · ·]dG_nk A_n,k →A

Z

[· · ·]dG,ˆ

pela defini¸c˜ao de convergˆencia fraca, pois o integrando ´e limitado e cont´ınuo . Como, acrescentando-se itγ_n ao primeiro termo da rela¸c˜ao anterior e itγ ao segudo, con-tinuamos a ter convergˆencia, por unicidade devemos ter G = AG, de modo queˆ Gn_k(x) → G(x) nos pontos de continuidade de G. De fato, Gn(x) → G(x) e, por-tanto, γ_n→γ, pois e^itγn →e^itγ, para todot.

No documento T´opicos em Probabilidade Avan¸cada (páginas 141-147)