Modelos de regressão são de grande utilidade para estatísticos e economistas, dentre outros profissionais, pois permitem fazer previsões e compreender de maneira mais confiável possível o comportamento das variáveis em questão. O coeficiente de cor- relação tem limitação linear justamente por estar ligado aos modelos de regressão linear. Veremos com breve abordagem os elementos de um modelo linear e qual representatividade do coeficiente de correlação linear nestes modelos.
A equação geral de um modelo linear simples é dada por [38]:
Yi = α + βXi+ εi
sendo Yi a variável dependente (explicada por X), e pelo modelo, escrita como
função linear de X;
α o coeficiente linear da reta, valor que intercepta o eixo Y ; β o coeficiente angular da reta, inclinação em relação ao eixo X;
Xi a variável independente (explicativa), fator explicativo da reta de regressão;
εi é uma variável aleatória com variância desconhecida e independente de Xi que
contêm os resíduos e os erros do modelo de regressão.
i∈ {1, 2, . . . , n}
Para encontrar a reta de regressão estimada, usa-se o Método dos Mínimos Qua- drados2, fazendo com que a soma do quadrado dos erros seja a menor possível. Por fim, encontramos as estimativas para α e β são dadas por:
ˆ β = n ∑ i=1 xiyi− ∑n i=1xi ∑n i=1yi n n ∑ i=1 x2i − ( ∑n i=1xi) 2 n ˆ α = ¯Y − ˆβ ¯X = ∑n i=1yi n − ˆβ ∑n i=1xi n
Calculados os valores de ˆα e ˆβ a reta estimada de regressão é representada por Yi = ˆα + ˆβXi
sendo que ∑ni=1ˆei = 0.
O valor que determina se o modelo de regressão é adequado para descrever a relação dos dados é chamado de coeficiente de determinação R2 que indica qual a
proporção (ou porcentagem) da variabilidade de Y o modelo consegue “explicar”. Para calcular o valor de R2, precisamos definir as três somas de quadrados.
Soma total dos quadrados é a soma das diferenças entre cada valor observado e a média amostral. SQT = n ∑ i=1 (yi− ¯y)2 2Veja mais em [13].
Soma dos quadrados dos preditos é a soma das diferenças entre cada valor predito pelo modelo e a média amostral.
SQP = n
∑
i=1
(ˆyi− ¯y)2
Soma dos quadrados dos resíduos é a soma das diferenças entre cada valor predito e observado. SQR = n ∑ i=1 (ˆyi− yi)2
Temos a seguinte igualdade
SQT = SQP + SQR
O valor de R2 e dado por
R2 = SQP SQT = n ∑ i=1 (ˆyi− ¯y)2 n ∑ i=1 (yi− ¯y)2 equivalente a R2 = 1− SQR SQT = 1− n ∑ i=1 (ˆyi− yi)2 n ∑ i=1 (yi− ¯y)2
No caso de regressão linear simples, R2 = r2, ou seja, o coeficiente de deter- minação do ajuste do modelo é o quadrado do coeficiente de correlação linear. O coeficiente 0 ≤ R2 ≤ 1, diferentemente de r que assume valores em −1 ≤ r ≤ 1,
além disso R2 <|r|.
Para modelos de regressão linear múltipla Y é descrito pela combinação linear de duas ou mais variáveis aleatórias independentes, também chamada de regressoras.
O modelo é dado por
Y = α0+ α1X1+ α2X2+· · · + αkXk+ εi
Neste caso, teremos k variáveis regressoras Xi e precisaremos estimar (k + 1)
coeficientes αi, i ∈ {1, 2, . . . , k}. O método para estimação dos coeficientes é si-
milar ao de regressão linear simples. Primeiro estimamos αk, depois αk−1, e assim
sucessivamente até α0. Consulte [38].
Nos modelos de regressão não linear, procuramos um modelo preditor para Y através do teste de funções não lineares como polinomias e exponenciais, os métodos de estimação dos coeficientes, geralmente é o método dos quadrados mínimos. Veja mais em [39].
Capítulo 5
Vida com Qualidade: Alimentação
saudável e atividades físicas
Sinopse
Esta pesquisa foi baseada na aplicação de um questionário para alunos do ensino fundamental (especificamente nas classes em que lecionei no ano de 2013) da Escola Estadual Elvira de Pardo Mêo Muraro, no período da tarde. Participaram da pesquisa alunos que tiveram o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE) assinado pelos responsáveis legais e quiseram responder ao questionário de 13 ques- tões (anexo no fim deste trabalho). O TCLE foi encaminhado e autorizado pela escola e o projeto aprovado pelo Comitê de Ética em Pesquisas (CEP) da Unicamp (vide anexos). O questionário aplicado aos alunos visa analisar os aspectos de uma vida saudável. Dessa forma, foi respondido diretamente pelos alunos e analisado res- peitando o anonimato dos respondentes. Não houve riscos, custos nem remuneração que pudessem decorrer do presente estudo para o participante. Os alunos foram in- formados da pesquisa e dos seus objetivos a fim de responder o questionário de forma precisa e correta. Para evitar que as respostas fossem lidas por colegas, os alunos responderam o questionário em casa com supervisão e orientação dos responsáveis.
O intuito foi que os resultados desta pesquisa contribuissem para uma conscienti- zação dos hábitos alimentares dos alunos e estimular a prática de atividades físicas. Um segundo objetivo do estudo foi ensinar aos alunos como aplicar ferramentas estatísticas em dados reais, nesse caso, concernentes a eles mesmos, propiciando maior envolvimento e motivação do aluno com o conteúdo visto em sala de aula.
Acreditamos que o tema do estudo e a abordagem escolhida permitiram criar uma maior proximidade do aluno com a teoria de estudo, ampliar a competência de extrair informações de dados, desenvolvendo um espírito crítico e despertar o interesse pela pesquisa científica com coleta, organização e análise de informações.
Justificativa
Pretendemos contribuir para a sensibilização dos alunos sobre a importância de uma alimentação saudável, prática de atividades físicas e práticas conscientes de consumo, contribuindo para a formação de um cidadão participativo na sociedade. Também pretendemos oferecer condições para levar o aluno a ser capaz de compre- ender conceitos de estatística e aplicá-los no seu dia-a-dia para assimilar e divulgar informações de diferentes naturezas e abrangências, emitir juízos com informações de natureza social, econômica e política, apresentadas em textos, notícias, propagandas, censos, pesquisas e outros meios.
A necessidade de um direcionamento nesse tópico surgiu após a aplicação do experimento “variáveis antropométricas”. Percebemos, em uma breve análise, que diversos alunos de baixa estatura possuem uma cintura consideravelmente ampla e alunos com grande estatura possuem valores relativamente baixos para a circunfe- rência do quadril.
5.1
Sujeitos e métodos
Este estudo foi baseado na aplicação de questionário para coleta, representação tabular, gráfica e análise de dados referentes a hábitos alimentares e desportivos de alunos de uma escola da rede de ensino público da cidade de Campinas, SP. Participaram deste estudo sessenta e oito alunos matriculados no ensino fundamental do período da tarde. O questionário foi aplicado pelo próprio pesquisador com ciência e concordância da coordenadora pedagógica do ensino fundamental e da diretora da referida escola (Anexo 1), ciência do diretor do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC) da Universidade estadual de Campinas (Unicamp) (Anexo 2). Também foi submetido e aprovado na Plataforma Brasil, base nacional e unificada de registros de pesquisas envolvendo seres humanos para todo o sistema Comitê de Ética em Pesquisa/ Conselho Nacional de Ética em Pesquisa (Anexo 3).
Para minimizar a chance de respostas viesadas ou pouco precisas dos estudantes, conversamos inicialmente sobre os objetivos do estudo e o compromisso de manter o sigilo das respostas, reforçando a não identificação no mesmo.
A teoria matemática necessária foi apresentada ao longo do terceiro bimestre e reforçada no quarto bimestre, através da realização dos experimentos dos capítulos anteriores, sendo ela composta por coleta, tabulação e análise de dados.
A autorização dos responsáveis foi fundamental para a realização da pesquisa, pois a mesma envolveu adolescentes. Entregamos o Termo de Consentimento Li- vre e Esclarecido (TCLE) para ser preenchido dentro de um prazo de quinze dias.
Participaram do estudo somente os alunos com o TCLE assinado e o questionário respondido.