Para empacotamentos de discos no plano, o primeiro resultado surgiu com Lagrange em 1773, assumindo a restrição de que os centros das esferas formem um reticulado ou a translação deste. Temos então a proposição que se segue.
Proposição 3.2. A maior densidade de um empacotamento reticulado em dimensão dois é ?π
12 e esta só é atingida por reticulados equivalentes ao reticulado hexagonal ou suas translações.
Demonstração: Apresentamos aqui uma prova simples para o resultado de Lagrange usando uma base especial para reticulados, conhecida como base de Minkowski.
3.2. EMPACOTAMENTO BIDIMENSIONAL: LAGRANGE, AXEL THUE E FEJES TÓTH 58
Como a densidade de empacotamento de um conjunto discreto ou de uma translação deste é a mesma, vamos assumir que o conjunto dos centros dos discos seja um reticulado Λ.
Seja α tv1, v2u uma base especial deste reticulado satisfazendo
xv1, v1y ¤ xv2, v2y (3.1)
xv1, v2y ¤
1
2xv1, v1y. (3.2)
Tal base sempre existe e é conhecida como base de Minkowski ((CONWAY J. H.; SLOANE, 2013) Capítulo 15, Seção 10), sendo que necessariamente v1 é um vetor de
norma mínima do reticulado.
Observamos ainda que para tal base temos necessariamente,
| cospθq| xv1, v2y xv1, v1y1{2xv2, v2y1{2 ¤ |xv1, v2y| xv1, v1y ¤ 1 2 como | cospθq| ¤ 1
2 temos que o ângulo θ entre v1 e v2 satisfaz π
3 ¤ θ ¤ 2π
3 . A densidade de empacotamento do reticulado Λ será então:
∆ Área do Círculo de raio
||v1||
2
Área formada por v1 e v2
π ||v1|| 2 2 ||v1|| ||v2|| senθ ¤ π||v1||2 4||v1||2senθ ¤ π 4?3{2 ?π 12
A igualdade ocorrerá se, e somente se, ||v1|| ||v2|| e θ
π
3 ou θ 2π
3 , ou seja se o reticulado é um dilatação/contração e/ou rotação do reticulado hexagonal do Exemplo 1.1.
O problema mais geral, para qualquer arranjo foi resolvido por Axel Thue em 1910 ((THUE, 1910)). Um detalhamento desta demonstração pode ser encontrado em ((HALES, 2012) p. 14).
Uma outra prova mais elegante de que a maior densidade é obtida por reticulados equivalentes ao hexagonal foi feita por Fejes Tóth em 1940 ((TÓTH, 1940)).
Nesta demonstração, que pode ser encontrada na p. 16 do livro (HALES,2012) e foi detalhada em (CHANG; WANG,2010), L. Fejes Tóth, usou o conceito de Triangulação de Delaunay.
Uma triangulação TpCq associada a um conjunto discreto de pontos C no plano é uma subdivisão dos pontos de C como vértices de triângulos, tais que dois a dois possuem um lado em comum.
Uma triangulação de Delaunay DTpCq para um conjunto de pontos C no plano, é uma triangulação tal que nenhum outro ponto do conjunto C está no interior de um círculo que circunscreve qualquer triângulo de DTpCq (Figura23).
Figura 23 –Triangulação de Delaunay de um conjunto de pontos no plano.
A Figura 23ilustra uma triangulação de Delaunay.
Existe sempre uma triangulação de Delaunay para um empacotamento saturado ((HALES,2012) p.15) exceto quando os pontos estão todos alinhados. Um empacotamento esférico no plano C é dito saturado se nenhum ponto pode ser adicionado ao conjunto; de forma a se ter a densidade aumentada (Figura 24).
Esta triangulação pode não ser única, como é o caso de quatro (ou mais) pontos numa circunferência (Figura 25).
Naturalmente se assumirmos que um conjunto discreto do plano tem densidade de empacotamento máxima ele será um conjunto saturado.
Enunciamos a seguir o resultado que estende a Proposição 3.2 para empacota- mentos gerais.
3.2. EMPACOTAMENTO BIDIMENSIONAL: LAGRANGE, AXEL THUE E FEJES TÓTH 60
(a) Empacotamento reticulado saturado o plano.
(b) Empacotamento reticulado não satu- rado no plano.
Figura 24 –Diferença entre empacotamento saturado e não saturado.
Figura 25 – Duas triangulações de Delaunay diferentes para os mesmos quatro pontos em uma circunferência.
Proposição 3.3. O empacotamento mais denso em R2 é dado pelo reticulado hexagonal A2 cuja densidade é π{
?
12 0.9069. Além disso, qualquer empacotamento com esta densidade terá por centro dos discos um conjunto que a menos de movimento rígido ou dilatação é este reticulado.
Demonstração de Fejes Tóth:
Nesta demonstração é considerado um conjunto de pontos saturado em que a distância entre eles seja maior ou igual a 2. Assim cada triângulo de Delaunay em um empacotamento saturado C é circunscrito por uma circunferência de raio no máximo 2.
Afirmação: Seja θ o maior ângulo interno do triângulo 4ABC em uma triangulação Delaunay para um empacotamento saturado C. Então
π
3 ¤ θ ¤ 2π
3 .
É direto ver que o maior ângulo interno de um triângulo é sempre maior ou igual a π{3.
De fato, sejam α, β e θ ângulos internos de 4ABC e θ o maior deles. Suponha que θ π{3 então α π{3 e β π{3, somando as desigualdades temos θ α β π{3 π{3 π{3 π, absurdo pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a π.
Analisando o outro lado da desigualdade, suponhamos que θ ¥ 2π
3 . Seja pA o menor ângulo interno então pA π{3 e senp pAq 1
2. Seja também, R¤ 2 o raio do círculo que circunscreve o 4ABC então BC ¥ 2. Pela lei dos senos temos:
2R BC senp pAq ¥
2
senp pAq ¥ 4 ñ R ¥ 2.
Este resultado implica que o circuncentro O do triângulo 4ABC pode ser adicionado ao conjunto, contradizendo a saturação. Assim θ ¤ 2π
3 .
Cada triângulo de Delaunay contém uma porção de um círculo de raio 1
centrado em cada um dos três vértices. O círculo em A ocupa π Ap 2π
p A
2 de área (setor circular), analogamente para os círculos em B e C, ocupando, respectivamente, Bp
2 e p C
2 de área.
Então a área que cada círculo ocupa é de p A 2 p B 2 p C 2 p A Bp Cp 2 π 2.
Assim a densidade do triângulo de Delaunay é dada por
densidade 4 ABC
π 2
Área do triângulo 4 ABC.
Se mostrarmos que o triângulo tem área de pelo menos ?3, então teremos que a densidade será no máximo pπ{2q{?3 π{?12. O problema então se reduz a calcular a área mínima do triângulo de Delaunay 4ABC.
Para encontrar esta área mínima, vamos tomar o menor lado do triângulo (digamos AB) com lado 2. O terceiro vértice C fica restrito a ter uma distância de no mínimo 2 de A e B, para o triângulo 4ABC ter circunraio no máximo 2. A Figura 26 mostra as possíveis posições para o vértice C.
O triângulo de área mínima que procuramos é determinado pelo ponto C mais próximo do segmento AB. Como vemos na Figura 26, existem quatro destes triângulos possíveis. Cada um com área ?3.
3.3. EMPACOTAMENTO TRIDIMENSIONAL: GAUSS E THOMAS HALES 62
Figura 26 –Possíveis posições para o vértice C de um triângulo com área no mínimo?3.
De fato, a área de um desses triângulos 4ABC é:
área 4 ABC 1 2AB BC senp pBq ¥ 1 2 2 2 ? 3 2 ? 3. (3.3)
Portanto a densidade do triângulo de Delaunay 4ABC é,
densidade 4 ABC π{2 área 4 ABC ¤ π{2 ? 3 π ? 12,
temos assim uma densidade máxima de ?π 12.
A densidade de todo o plano é uma soma ponderada das densidades dos triângulos, cada um das quais é no máximo π{?12. Portanto, a densidade de todo o plano também é no máximo π{?12.
Além disso, a igualdade da equação 3.3 só é válida se AB BC 2 e pB π 3 para todos os triângulos, o que significa que cada triângulo deve ser equilátero mostrando assim que o empacotamento hexagonal é o mais denso em R2.
Outras demonstrações também foram publicadas por Segre e Mahler ((SEGRE; MAHLER,1944)), Davenport ((DAVENPORT, 1964)), e Hsiang ((HSIANG, 1992)).
3.3
Empacotamento Tridimensional: Gauss e Thomas Hales
A história por trás do melhor empacotamento para o espaço tridimensional começa com Thomas Harriot em 1590. Nesta época, Thomas Harriot era o ajudante “matemático” de Sir Walter Raleigh e este lhe propôs o problema de determinar uma fórmula para calcular o número de bolas de canhão empilhadas de maneira regular. Harriot resolveu o problema fazendo somas de quadrados interpretando os números de bolas como as entradas de um triângulo de Pascal. Harriot estava também interessado em problemas
mais gerais do que calcular o número de bolas de canhão, e assim surgiu o problema do empacotamento de esferas.
Em correspondência com Kepler em 2 de dezembro de 1606, Harriot delineou suas opiniões a respeito de ótica. A partir de então, os dois matemáticos passaram a trocar correspondências a respeito de “átomos”, de universo e sobre a natureza. Harriot tentava entender a reflexão e refração da luz em termos atômicos enquanto Kepler defendia uma idéia mais clássica. Apesar da relutância inicial de Kepler em adotar uma teoria “atômica”, ele acabou sendo influenciado.
Em 1611, Johannes Kepler publicou um ensaio dessas ideias intitulado “On the Six-cornered Snowflake” (Traduzido para o inglês e publicado em (KEPLER, 1966)). Surpreendendo Harriot, neste ensaio Kepler explora as consequências de uma teoria da matéria composta de pequenas partículas esféricas. Além disso, descreve o empacotamento FCC e afirma: “The packing will be the tighest possible, so that in no other arrangement could more pellets be stuffed into the same container” - O empacotamento será o mais denso possível, de modo que em nenhum outro arranjo mais bolas possam ser colocadas num mesmo recipiente - em tradução livre. Esta afirmação deu origem à Conjectura de Kepler que, em 1900, foi destacada como o 18o problema de Hilbert no ICM-1900 em Paris.
Conjectura (Conjectura de Kepler). Nenhum empacotamento de esferas de mesmo raio em três dimensões tem densidade maior que o empacotamento cúbico de face centrada (FCC) (Exemplo 1.13).
Neste mesmo ensaio Kepler fez afirmações interessantes relacionando a ma- temática aos fenômenos da natureza. Uma delas é acerca das sementes de romã e os empacotamentos:
“A romã quer encaixar o máximo possível de sementes dentro da película. Em outras palavras, ela está realizando um problema de empacotamento de esferas. Se acreditarmos que a natureza faz o serviço da melhor maneira possível, então essas esferas devem ser arranjadas da forma mais densa possível. Kepler argumentou que o empacotamento mais compacto possível era obtido da maneira a seguir. Começamos com uma camada plana de sementes, arrumadas num padrão regular como:
3.3. EMPACOTAMENTO TRIDIMENSIONAL: GAUSS E THOMAS HALES 64
Figura 27 – Organização da primeira camada de sementes em uma romã, proposto por Kepler.
A camada seguinte vai ter exatamente a mesma aparência que esta, só que colocada, astuciosamente, para que cada semente fique assentada no pequeno vão triangular formado pelas três sementes abaixo dela. Outras camadas se adicionam da mesma maneira. Aqui é bom ter um pouco de cuidado: apenas metade dos vãos vai sustentar esferas da camada acima, e em cada estágio você tem a opção de qual metade de vãos deseja preencher. À medida que crescem as sementes da romã, raciocinou Kepler, cada uma se pressiona contra suas doze vizinhas, achatando sua superfície perto do ponto de contato e produzindo as figuras observadas de doze lados.”(ELLENBERG, 2015).
Como vemos nesta observação, não é por coincidência que as regiões de Voronoi do FCC são formadas por dodecaedros rômbicos.
O reticulado FCC, como próprio nome - Cúbico de Face Centrada - diz, pode ser obtido a partir do reticulado cúbico inserindo uma bola em cada vértice e outra em cada centro das faces (Capítulo 1 - Figura 3). Tomando como lado do cubo 2, como no Exemplo 1.3 temos que a diagonal de cada face é ?8 podemos centrar esferas em cada ponto do reticulado FCC de raio ?2{2 e formar o empacotamento reticulado FCC. Nos Exemplos1.3e1.13descrevemos este reticulado a partir de uma de suas bases e calculamos sua densidade de empacotamento.
Podemos também calcular a densidade deste empacotamento encontrando a densidade de uma célula unitária (Figura 28).
Calculamos novamente a seguir a densidade de empacotamento do FCC usando, desta vez, a região de Voronoi.
O volume do cubo é dado por 23 8 e o volume ocupado pelo empacotamento é o volume de 4 esferas (6 metades de cada face e 8 partes dos vértices) com raio ?2{2, isto é, 4 4π{3. Assim a densidade é dada por
4p4π{3qp?2{2q3 8 16π 2?2 3 8 8 π?2 6 π ? 18.
Figura 28 –Célula unitária FCC
Observamos que as regiões de Voronoi do FCC são dadas por dodecaedros rômbicos.
Para encontrar os vértices que formam uma região de Voronoi, primeiramente fixamos um ponto do reticulado e procuramos as intersecções de planos equidistantes dos pontos vizinhos. A interseção destes planos resulta em um ponto que é vértice da região de Voronoi. Para o reticulado FCC do Exemplo 1.3, temos que os vérti- ces da região de Voronoi do ponto p0, 0, 0q são dados pelos pontos p1, 0, 0q, p0, 1, 0q, p0, 0, 1q, p1, 0, 0q, p0, 1, 0q, p0, 0, 1q, p1{2, 1{2, 1{2q, p1{2, 1{2, 1{2q, p1{2, 1{2, 1{2q, p1{2, 1{2, 1{2q, p1{2, 1{2, 1{2q, p1{2, 1{2, 1{2q, p1{2, 1{2, 1{2q e
p1{2, 1{2, 1{2q (Figura 29).
Figura 29 – Dodecaedro rômbico: Região de Voronoi do reticulado FCC
O volume do dodecaedro rômbico é dado por 16 ?
3 a3
9 e a aresta da região de Voronoi do reticulado FCC com lado do cubo igual a 2 é a?3{2, temos que o volume da região é dado por
16?3 p?3{2q3
3.3. EMPACOTAMENTO TRIDIMENSIONAL: GAUSS E THOMAS HALES 66
Isto já era esperado, pois, como sabemos, a região de Voronoi tem o mesmo volume da região fundamental, como foi calculado no Exemplo 1.13.
A densidade pode ser calculada como a razão entre o volume de uma bola de empacotamento e o volume da região de Voronoi:
4π{3p?2{2q3 2 4π 3 2?2 8 1 2 π ? 18,
como já foi visto.
A primeira demonstração “parcial” que se tem conhecimento da conjectura de Kepler é atribuída a Gauss em 1831. Gauss mostrou que, no espaço euclidiano tridimensi- onal, o empacotamento FCC é o melhor empacotamento quando comparado a todos os outros empacotamentos reticulados. A prova usa fortemente a estrutura geométrica dos reticulados.
Proposição 3.4. Dentre todos arranjos reticulados, a melhor densidade do espaço tridi- mensional R3 é dada pelo reticulado FCC.
Demonstração de Gauss:
Esta demonstração é descrita em (HALES, 2012) p. 13.
Vamos tomar os centros das esferas em um arranjo reticulado arbitrário Λ com distância entre dois pontos no mínimo 2. Se as esferas centradas nos pontos do reticulado não tocassem em nenhuma outra deste empacotamento, então poderíamos “contrair” Λ e obter um empacotamento reticulado com densidade maior. Assim, por periodicidade, as esferas no empacotamento são dispostas como centradas em linhas paralelas, de tal forma que as esferas vizinhas em cada linha se tocam duas a duas (Figura 30).
Figura 30 – Esferas dispostas como linhas paralelas
Se as esferas em linhas diferentes não se tocam, então, novamente, ajustando as linhas adequadamente com três esferas se tocando em pares de forma que duas estão em uma linha e a terceira em outra linha, obtemos um empacotamento reticulado com
densidade maior. E, podemos então organizar as linhas em camadas paralelas, onde, em cada camada, as linhas vizinhas se tocam.
Em uma camada, as esferas de cada camada vizinha devem encaixar nos espaços formados por três esferas da primeira camada e tocar as três, dessas, duas estão em uma linha e a terceira em uma linha vizinha. Assim, obtemos três esferas, tocando em pares: dessas três, duas são vizinhas em uma mesma linha na primeira camada e uma é de uma camada vizinha paralela (Figura 31).
Figura 31 –Formação das camadas do empacotamento reticulado mais denso.
Agora, mudamos nosso ponto de vista. Pela periodicidade, podemos supor três esferas com centros em A, B, C P Λ onde estes pontos formam um triângulo equilátero. As esferas com centros no “sub-reticulado” bidimensional de Λ gerado pelos vetores v0, v1,
com v0 o vetor que vai de O p0, 0, 0q na direção de B e o vetor v1 de O na direção de C
formam uma camada na qual as esferas são dispostas hexagonalmente (Figura 32).
(a) Triângulo equilátero (b) Primeira camada com esferas dis- postas hexagonalmente
Figura 32 – Outro ponto de vista da formação das camadas do empacotamento reticulado mais denso.
As esferas em cada camada vizinha paralela devem encaixar novamente nos espaços formados por três esferas que se tocam em pares na camada anterior. Isso mostra que Λ é gerado pelos vetores v0, v1, v2, com v2 o vetor que vai de O na direção de A tal
3.3. EMPACOTAMENTO TRIDIMENSIONAL: GAUSS E THOMAS HALES 68
Figura 33 –Tetraedro regular formado pelos pontos v0, v1, v2, v3
A configuração obtida é o empacotamento do reticulado com base tp2R, 0, 0q, pR,?3R, 0q, pR,
? 3 3 ,
2R?2
3 qu que é equivalente ao FCC, mostrando que este é o empaco- tamento reticulado mais denso em R3.
É natural imaginar que reticulados equivalentes ao FCC ou suas translações sejam os únicos empacotamentos que possuam esta densidade. Mas ao contrário do que ocorre em dimensão 2, onde apenas reticulados equivalentes ao hexagonal ou suas transla- ções determinam a melhor densidade, o FCC é apenas o mais simétrico de uma família de empacotamentos igualmente densos, apresentadas pelo cristalógrafo Inglês, William Barlow (1845-1934) em (BARLOW, 1883). Exibiremos aqui o HCP - Empacotamento Hexagonal Fechado, que pertence a esta família e possui a mesma densidade do FCC.
Para construir um empacotamento de Barlow começaremos com um plano de esferas organizadas de acordo com o empacotamento hexagonal bidimensional. Existem duas formas de empilhar outra camada sobre esta primeira: ajustando-as a qualquer um dos dois conjuntos de “furos” que sobram. Este processo pode ser repetido para a terceira camada e assim teremos novamente dois conjuntos de “furos”. A cada camada sempre teremos duas escolhas para a próxima podendo produzir assim uma incontável quantia de empacotamentos de esferas (exatamente com a mesma densidade). Desta construção apenas dois são “uniformes” o FCC e o HCP.
Da forma que o empacotamento é construído, podemos rotular cada camada como A, B e C (Ver Figura 34).
Cada camada é construída sobre uma rotulação diferente da camada imediata- mente abaixo dela. No empacotamento FCC as camadas sucessivas são A, B, C, A, B, C, e assim por diante. No empacotamento HCP, as camadas sucessivas são A, B, A, B, A, B (ou A, C, A, C, A, C) e assim por diante.
Figura 34 – Arranjo de esferas dispostas no empacotamento hexagonal bidimensional
Figura 35 – Na primeira imagem aparece a configuração do HCP e do FCC por camadas, a segunda imagem mostra a vista superior dos empacotamentos e a terceira imagem mostra uma unidade da configuração final dos empacotamentos no espaço.
3.3. EMPACOTAMENTO TRIDIMENSIONAL: GAUSS E THOMAS HALES 70
superior e inferior são compostas por seis esferas que se encontram em torno de uma esfera central. Entre as faces superior e inferior temos três esferas adicionais que possuem como vizinhos mais próximos as esferas das faces adjacentes.
Em cada célula unitária (Figura 36) temos 6 esferas inteiras formadas da união de um sexto de cada uma das 12 esferas nas faces superior e inferior, metade de cada uma das duas esferas centrais das faces e as três esferas interiores inteiras no plano intermediário.
Figura 36 – Célula unitária HCP
Se a e h são as arestas da base e lateral da célula unitária, respectivamente, temos a seguinte relação:
a2 a ? 3 2 h 2 2 a2 a 2 3 h2 4 h a c 8 3.
O volume do prisma de base hexagonal é dado por 3 ? 3p2Rq2 2 2R c 8 3 24R3?2, enquanto o volume das esferas é dado por 8πR3. Logo a densidade é dada por:
8πR3 24R3?2 π ? 18, a mesma densidade do FCC.
Assim, o desafio de encontrar a melhor densidade para o espaço tridimensional não possui uma única solução. Portanto, foi preciso mostrar que, mesmo não sendo único, nenhum outro arranjo de esferas pode ter densidade maior que ?π
18.
Em 1953, L. Fejes Tóth propôs um programa para provar a conjectura de Kepler (TÓTH, 1954). Neste texto ele procurava provar que nenhuma região de Voronoi pode fornecer uma fronteira de empacotamento melhor que a do dodecaedro rômbico. Assim, considerando médias ponderadas dos volumes de coleções de regiões de Voronoi poderia se mostrar que, se uma média ponderada de volumes é maior que o volume do dodecaedro rômbico, então a conjectura de Kepler seria verdadeira.
Este argumento de ponderação média de L. Fejes Tóth foi a primeira indicação de que seria possível reduzir a conjectura de Kepler a um problema em um número finito de variáveis.
Em uma outra sugestão importante L. Fejes Toth em (TÓTH, 1964) sugeriu o uso de computadores para a solução da conjectura de Kepler.
"Assim, parece que o problema pode ser reduzido à determinação do mínimo de uma função de um número finito de variáveis, fornecendo um programa realizável em princípio.
Em vista da complexidade desta função, estamos longe de tentar determinar o mínimo exato. Mas, tendo em mente o rápido desenvolvimento de nossos computadores, é possível imaginar que o mínimo possa ser aproximado com grande exatidão ".
Uma tentativa de solução amplamente divulgada sobre a prova da conjectura de Kepler foi a de Wu-Yi Hsiang (HSIANG,1993b), (HSIANG,1993a), (HSIANG,1995). Em sua abordagem, Hsiang propôs uma continuação e extensão do programa de L. Fejes Toth, porém com lacunas e erros, apontados em (CONWAY et al., 1994). Uma discussão dos argumentos feita entre ele e Thomas Hales foi publicada pelo “Mathematical Intelligencer”, (HALES, 1994), (HSIANG, 1995).
Outras fontes, além de Thomas Hales também se pronunciaram a respeito da demonstração feita por Hsiang, por exemplo, G. Fejes Tóth achava que “a maior parte do trabalho ainda precisa ser feita” (TÓTH, 1995) e K. Bezdek fez um extenso estudo do trabalho de Hsiang, e concluiu que “seu trabalho está longe de ser completo e correto em todos os detalhes” (BEZDEK, 1997). Portanto, a demonstração não foi aceita pela comunidade matemática.
Em 1992, Thomas Hales iniciou um projeto que pretendia analisar todos os casos propostos por L. Fejes Tóth e, junto com seu estudante de doutorado Samuel Ferguson, começou a analisar todos os problemas através de programação linear.
A prova era prevista para ficar pronta em 1994, mas só foi completada em 1998 e foi dividida em 5 etapas intituladas “Sphere Packings I” (HALES,2011), “Sphere Packings II”(HALES, 1997), “Sphere Packings III. Extreme cases” (HALES, 2006a), “Sphere Pac- kings IV”(HALES, 2006b), “Sphere Packings V”(Tese de Samuel Ferguson)(FERGUSON, 1998) além de “Kepler Conjecture”(HALES, 1998), esta última é continuação de “Sphere Packings IV” pois o programa desenvolvido foi considerado mais difícil que as outras etapas. A demonstração completa pode ser encontrada na publicação (HALES,2004). Esta última publicação citada tem, de acordo com T. Hales a seguinte origem:
Em 1996, ficou claro que o progresso do problema exigia alguns ajustes no principal problema de otimização não-linear de "Sphere Packings I"e "II". Como o manuscrito
3.3. EMPACOTAMENTO TRIDIMENSIONAL: GAUSS E THOMAS HALES 72
original de 1996 colocou, "Existem infinitos esquemas de pontuação que deveriam levar a uma prova da conjectura de Kepler. O problema é formular o esquema que torna a conjectura de Kepler o mais acessível possível "(de A reformulation of the Kepler Conjecture, não publicado 11/96).
A primeira parte da demonstração publicada fornece a estrutura da prova da conjectura de Kepler, incluindo conceitos básicos para entender o problema que será