Escalas de medida

Em termos gerais, a mensuração de uma característica ou propriedade de uma unidade é a representação dessa característica por números que apresentem entre eles as mesmas relações relevantes referentes à característica que representam. Assim, medir uma característica significa assinalar números às unidades como um meio de representar essa característica.

A mensuração de uma característica é uma tentativa de encontrar uma correspondência um a um entre as alternativas da característica e números de um determinado conjunto que leve em conta as relações entre essas alternativas e as operações que podem ser efetuadas sobre elas. Correspondência completa raramente pode ser obtida; usualmente, obtém-se uma correspondência parcial. A regra de correspondência estabelecida determina a representação da característica, ou seja, uma função numérica (ou seja, de valores numéricos) definida no conjunto de alternativas da característica, denominada variável.

A passagem aparentemente simples de uma propriedade das unidades para uma variável que a represente pode ser enganosa. Uma variável deve ser definida clara e exatamente. Uma característica pode ser vaga, inexata ou não observável diretamente. Nessas circunstâncias, sua representação por uma variável raramente é completa. Ademais, uma variável deve ser válida, ou seja, deve ser uma representação relevante ou apropriada da característica que ela deve representar. Por exemplo, uma variável cujos valores são determinados pela medida do peso do cordeiro, em kg, não é uma representação válida da saúde do cordeiro.

A regra de correspondência entre as alternativas de uma característica e números de um conjunto numérico que define uma variável determina uma escala de medida. A definição da escala depende das pressuposições referentes às regras dessa transformação.

O termo "escala de medida" é usualmente relacionado com instrumentos como régua, balança, copos de medida, utilizados para determinar comprimento, peso, volume, etc. Ou seja, comumente tende-se a associar a mensuração com um processo de medida física com escala bem definida que possui uma origem ou ponto zero natural e uma unidade de medida constante. Freqüentemente, entretanto, características devem ser representadas por escalas menos informativas, que não possuem as propriedades associadas com a

4. DELINEAMENTO DA RESPOSTA 111

maioria das medidas físicas. Por exemplo, a característica sexo dos cordeiros de um rebanho com duas alternativas - macho e fêmea - pode ser representada por uma variável com dois valores numéricos - 0 e 1, respectivamente, cuja média - 0,5 - não faz sentido.

As escalas de medida podem ser classificadas nas seguintes principais categorias: a) nominal, b) ordinal, c) intervalar e d) racional. Cada uma dessas escalas possui seu próprio conjunto de pressuposições referentes à correspondência de números com entidades do mundo real e ao significado da realização das várias operações matemáticas sobre esses números.

A escala nominal é a menos restritiva. Neste tipo de escala os números servem apenas como rótulos para identificar ou classificar as unidades quanto à característica. Por exemplo, podem-se assinalar números para identificar os animais de um rebanho. Cada animal recebe um número diferente (qualquer número pode ser apropriado), e se estabelece uma regra simples para relacionar cada rótulo numérico com um animal particular. Ou seja, estabelece-se uma correspondência um a um entre números e animais do rebanho, com o cuidado de que cada animal receba apenas um número e cada número identifique apenas um animal. Operações aritméticas sobre esses números não têm qualquer significado com respeito aos objetos do mundo real que eles identificam.

Suponha-se uma propriedade com diversos rebanhos, um rebanho de cada raça, em que o processo de identificação numérica dos animais compreenda duas partes, a primeira para identificar o rebanho e a segunda, o animal dentro do rebanho. Cada animal de um rebanho particular recebe o mesmo rótulo numérico do prefixo (primeira parte da identificação) e um rótulo numérico específico da segunda parte que o individualiza dos outros animais do mesmo rebanho. Nesse caso, consideram-se classes de unidades. Todos os membros de uma classe são "iguais" com relação a essa propriedade. O prefixo da identificação pode ser usado para distinguir esta classe de animais das demais classes.

A igualdade ou equivalência de classes é caracterizada pelas seguintes três propriedades: 1) reflexividade: cada unidade em uma classe é igual a ela própria; 2) simetria: para cada duas unidades em uma mesma classe, sejam A e B, A=B implica B=A; 3) transitividade: para quaisquer três unidades em uma classe, sejam A, B e C, A=B e B+C implica A=C.

Observe-se que todos os animais de uma mesma raça são "iguais" apenas no sentido de possuírem essa propriedade comum. Eles diferem, naturalmente, quanto a outras características, como idade e peso. Eles retêm a identificação de suas individualidades por sufixo numérico.

A escala nominal permite apenas algumas operações aritméticas mais elementares. Pode-se contar o número de animais de cada classe (raça) e determinar a classe mais numerosa, ou seja, a moda da distribuição. Podem-se efetuar testes de hipóteses estatísticas referentes à distribuição das unidades da população nas classes. Entretanto, como uma escala nominal apenas classifica unidades, mas não infere grau ou quantidade, as várias classes não podem ser manipuladas matematicamente (por exemplo, por adição ou subtração de equivalentes numéricos daquelas classes). Conseqüentemente, a maioria das estatísticas usuais, como média e desvio padrão não têm sentido, pois as operações para sua determinação não são permissíveis.

A escala ordinal é uma escala de ordenação. Esta escala designa a posição relativa das classes (ou das unidades classificadas) segundo uma direção. Por exemplo, os animais de um rebanho podem ser ordenados segundo o grau de infestação de carrapato, pela assinalação do número zero para indicar a ausência de infestação e dos números 1, 2 e 3 para indicar níveis crescentes de infestação, ou seja, infestação baixa, média e elevada. Observe-se, entretanto, que a ordenação dos animais não permite a comparação de "diferenças" entre animais com respeito ao grau de infestação; por exemplo, não se pode saber se a diferença entre os níveis de infestação de dois animais com os graus de infestação 1 e 2 é menor, igual ou maior que a diferença entre os níveis de infestação de dois animais com graus de infestação 2 e 3. Isso significa que qualquer conjunto de quatro números que preserve a relação de ordem é igualmente apropriado para essa mesma mensuração do grau de infestação dos animais. Dessa forma a escala ordinal é invariante sob transformações que preservem a ordem. Ou seja, uma escala ordinal pode ser transformada em outra escala ordinal.

A escala ordinal mantém a propriedade da equivalência de classes da escala nominal, no sentido de que unidades equivalentes recebem a mesma ordem. Além da propriedade de simetria da escala nominal, a escala ordinal tem a propriedade de assimetria. Isso significa que classes podem ser designadas não apenas como equivalentes a outras classes, mas também como não equivalentes. Assim, por exemplo, uma escala ordinal pode designar que a classe A é maior do que a classe B e, portanto, que a classe B é menor que a classe A. A propriedade de transitividade é preservada na escala ordinal: se a classe A é maior ou mais elevada que a classe B, qualquer unidade particular da classe A é maior ou mais elevada que qualquer unidade específica da classe B.

Essas propriedades adicionais caracterizam a superioridade da escala ordinal em relação à escala nominal. Entretanto, as descrições estatísticas ainda são limitadas. As medidas de posição restringem-se à mediana, quartil, percentil e outras medidas que tratem com ordens. Isso porque as operações aritméticas usuais não podem ser efetuadas com símbolos que caracterizam apenas ordem e designam quantidade vagamente. Em particular, a prática de calcular índices de ordem globais, como a ordem ponderada dos animais de cada rebanho para comparação dos graus de infeção dos rebanhos, é suspeita. Alguns procedimentos estatísticos são especificamente apropriados para dados de ordem, como o teste do sinal e o teste de corrida ("run test").

A escala de intervalo (ou escala intervalar) aproxima-se da concepção comum de medida, já que possui uma unidade de medida constante. Entretanto, a origem ou ponto zero desta escala é arbitrário. Os exemplos mais comuns de escala de intervalo são as escalas Celsius e Fahrenheit usadas para medir a temperatura. Cada uma dessas escalas assinala um zero arbitrário e diferenças de temperatura iguais são determinadas pela identificação de volumes iguais de expansão no líquido usado no termômetro. Dessa forma, a escala de intervalo permite inferências referentes a diferenças entre unidades a serem medidas; por exemplo, a mensuração da temperatura dos animais de um rebanho permite determinar quanto um animal é mais quente do que outro. Entretanto, não se pode dizer que um valor em um intervalo específico da escala seja um múltiplo de outro. Por exemplo, não é correto dizer que um objeto com 30°C é duas vezes mais quente que um com temperatura de 15°C. Segundo a fórmula de conversão de graus Celsius para graus Fahrenheit,

4. DELINEAMENTO DA RESPOSTA 113

T

_F

=

9

T

_C

+

5

32

, essas correspondentes temperaturas expressas em graus Fahrenheit são, respectivamente 86°F e 59°F que não estão na razão 2:1. Pode-se dizer, entretanto, que uma diferença entre dois valores em uma escala é um múltiplo de uma diferença entre dois outros valores. Por exemplo, a diferença 30°C - 0°C é o dobro da diferença 15°C - 0°C. As correspondentes diferenças na escala Fahrenheit são 86°F - 32°F e 59°F - 32°F, que estão na mesma razão 2:1.

A escala de intervalo é invariante sob transformações lineares positivas (ou seja, transformações da forma y = a+bx, b>0). Isso significa que uma escala de intervalo pode ser transformada em outra por meio de uma transformação linear positiva.

A maioria das medidas estatísticas descritivas, tais como média, desvio padrão, coeficiente de correlação requerem apenas escala de intervalo. Por exemplo, se a temperatura média de uma cidade em um mês é determinada em graus Celsius ou em graus Fahrenheit, os dias do mês de temperatura superior à média são os mesmos sob cada uma destas duas escalas. Entretanto, algumas medidas estatísticas, como o coeficiente de variação, podem ser enganosas quando aplicadas a dados de variável de escala intervalar.

A escala de razão, ou escala racional, é a mais elaborada das escalas de medida, no sentido de que permite todas as operações aritméticas. Essa escala possui um ponto zero único, além de unidade de medida constante. É a escala de medida mais comum nas ciências físicas, tais como as escalas para a medida de comprimento, peso, etc. Como a designação sugere razões iguais entre valores da escala racional correspondem a razões iguais entre as unidades mensuradas. Dessa forma, escalas de razão são invariantes sob transformações de proporção positivas, ou seja, transformações da forma y= cx, c>0. Por exemplo, se uma planta tem 3m e a outra 1m, pode-se dizer que a primeira planta tem altura três vezes superior a da segunda. Isso porque, se as alturas das duas plantas forem transformadas em centímetros, suas medidas serão, respectivamente, 30 cm e 10 cm, que estão na mesma razão 3:1. Pode-se efetuar a transformação das medidas de uma escala racional para outra escala racional meramente pela multiplicação por uma constante apropriada.

A escala racional contém toda a informação das escalas de ordens mais baixa, ou seja, igualdade de classe, ordem e igualdade de diferenças, e mais ainda. Todas as estatísticas descritivas podem ser determinadas para dados de uma variável expressa em escala racional.

Variáveis com escala de medida nominal ou ordinal são usualmente designadas variáveis categóricas, já que seus valores designam categorias, ou classes. Essas variáveis são, por definição, discretas e finitas, ou seja, assumem valores numéricos isolados e em número finito. Variáveis com escala de medida intervalar ou racional podem ser discretas, com número de distintos valores finito ou infinito, ou contínuas. Por exemplo, a variável que exprime a quantidade de frutos em uma árvore ou a quantidade de leitões nascidos de uma porca é uma variável discreta finita; a variável que exprime o peso ou a altura de um animal ou de planta é uma variável contínua.

Observe-se que a mensuração por meio de uma escala intervalar ou racional pode ser considerada como uma forma refinada de classificação. Se cordeiros de um rebanho são pesados com uma balança com aproximação de gramas, o resultado é a distribuição dos animais entre categorias discretas de peso, que diferem por uma grama das categorias vizinhas. Se a pesagem é efetuada em uma balança com aproximação de miligramas, o número de categorias possíveis cresce consideravelmente, mas o princípio permanece o mesmo. Dessa forma, na prática, o processo de mensuração, mesmo de variáveis conceitualmente contínuas, constitui numa classificação de unidades.

Para algumas características a escolha da escala de medida é limitada por natureza. Por exemplo, o sexo e a raça de um animal são necessariamente expressos em escala nominal. Mais freqüentemente, entretanto, uma mesma característica pode ser expressa por diferentes variáveis com escalas de medida de diferentes níveis de mensuração. Assim, por exemplo, o tamanho das sementes de uma cultivar pode ser expresso por uma variável nominal de dois níveis: 0 - anormal, 1 - normal; ou uma variável ordinal: 1 - muito pequena, 2 - pequena, 3 - média, 4 - grande e 5 - muito grande; ou uma variável racional cujos níveis são os números reais de um determinado intervalo.

A escolha da escala de medida deve levar em considerações de ordem teórica e de ordem prática. Sob o ponto de vista teórico, o pesquisador deveria utilizar, sempre, a escala de medida de nível mais elevado, ou seja, a escala racional. Entretanto, considerações de ordem prática também devem ser levadas em conta, particularmente a disponibilidade de recursos, como instrumentos de mensuração e pessoal habilitado para sua execução. Considerações estatísticas também são importantes, já que os dados originados da pesquisa terão que ser submetidos à análise. De modo geral, a metodologia estatística está mais desenvolvida e popularizada para variáveis de distribuição normal, que são variáveis contínuas com escala racional.

Em muitas pesquisas, características intrinsecamente quantitativas são expressas por variáveis de escala ordinal cujos níveis são atribuídos subjetivamente por um avaliador. Esse é freqüentemente o caso de características que compreendem o grau ou intensidade de alguma propriedade mensuradas por avaliação visual, como grau de infeção de alguma doença ou infestação de alguma praga. Para representar tal característica é freqüente definir uma variável com o nível mais baixo igual a zero para exprimir o grau ou intensidade nula, como ausência do sintoma; intensidades crescentes são expressas pelos números inteiros seguintes, ou seja, 1, 2,... ; por exemplo, 0 - sem infeção, 1 - infeção fraca, 2 - infeção média, 3 - infeção elevada e 4 - infeção muito elevada.

Tais variáveis são geralmente inconvenientes, por exprimirem uma característica contínua de modo muito impreciso e pelas dificuldades que decorrem para os procedimentos de inferência estatística.

Sempre que possível, características contínuas devem ser expressas por variável contínua, mesmo em mensurações subjetivas. Assim, por exemplo, a avaliação da intensidade de infeção de ferrugem em folhas de trigo é feita em percentagem, com uma escala de medida contínua de valores entre 0 e 100, utilizando como padrões figuras de folhas com intensidades de infeção correspondentes a pontos arbitrários dessa escala. Intensidades de infeção de amostras de folhas são mensuradas por meio de comparação do aspecto da folha com esses padrões e interpolação nessa escala contínua.

4. DELINEAMENTO DA RESPOSTA 115

Exercícios 4.1

1. Considere as características respostas listadas para cada um dos seguintes experimentos cujos objetivos são indicados pelos respectivos títulos:

A - "Estudo da eficácia de fungicidas no tratamento de semente de cebola". Características respostas: peso do bulbo, número de bulbos, peso médio do bulbo, grau de infecção da planta.

B - "Estudo do efeito do hormônio estradiol sobre o desenvolvimento corporal de suínos da raça Landrace". Características respostas: tempo para o abate, ganho médio diário de peso, peso ao abate, peso de carcaça fria, consumo de ração, conversão alimentar, rendimento de carcaça, comprimento de carcaça, área do olho de lombo.

C - "Efeito da adubação foliar sobre a produção de uva da cultivar Itália". Características respostas: peso dos cachos, número de cachos, peso médio do cacho, brix, acidez.

D - “Efeito do controle de nematóides gastrointestinais pelo uso do anti-helmíntico HCG 8117 sobre a produção de carne de ovelhas de descarte da raça Ideal”. Características respostas: peso corporal a cada 28 dias do período experimental, peso de carcaça quente, peso de carcaça fria, rendimento de carcaça, número de ovos nas fezes, número de vermes nas vísceras.

Classifique as características respostas de cada um desses experimentos nas categorias correspondentes aos dois seguintes critérios:

a) característica resposta primária, característica resposta secundária e característica resposta intermediária;

b) característica resposta original ou pura, característica resposta derivada e característica resposta substituta.

2. Classifique as características respostas de cada um dos Exemplos 3.1, 3.2 e 3.3 da

Seção 3.5 segundo os dois critérios considerados na questão anterior.

3. Ilustre, por meio de um exemplo, uma característica resposta que possa ser expressa, alternativamente, por variáveis de três diferentes níveis de precisão. Comente sobre a conveniência e inconveniência de cada uma dessas três variáveis.

4. Ilustre o processo de definição ou construção de uma variável para expressão de uma característica.

5. Explique e ilustre o significado de escala de medida.

6. Conceitue e exemplifique cada uma das quatro escalas de medida: nominal, ordinal, intervalar e racional.

7. Caracterize as quatro escalas de medida quanto às operações aritméticas que permitem.

8. Suponha que uma característica é representada por uma variável de cada uma das quatro escalas de medida. Como se ordenam essas variáveis quanto à precisão propiciada para a expressão dessa característica?

9. O que distingue escala de medida ordinal de escala de medida nominal?

10. Variáveis são muito freqüentemente classificadas em duas categorias: qualitativas e quantitativas. Classifique nessas duas categorias as variáveis expressas nas escalas nominal, ordinal, intervalar e racional.

11. Variáveis também são freqüentemente classificadas em discretas e contínuas. Explique e ilustre esses conceitos.

12. Variáveis que exprimem contagem (número de frutos em árvores, número de vermes nas vísceras de animais, por exemplo) são expressas em que escala de mensuração?

No documento ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL (páginas 120-126)