Uma esfera está inscrita em um cilindro (ou em um cone) se, e somente se, tangencia todas as geratrizes e as bases do cilindro (ou a base do cone). Nesse caso se diz, também, que o cilindro (ou o cone) está circunscrito à esfera.
Uma esfera está circunscrita a um cilindro circular reto se, e somente se, as circunferências das bases do cilindro estão contidas na superfície da esfera. Nesse caso se diz, também, que o cilindro está inscrito na esfera.
Uma esfera está circunscrita a um cone se, e somente se, o vértice e todos os pontos da circunferência da base do cone pertencem à superfície da esfera. Nesse caso se diz, também, que o cone está inscrito na esfera.
Esfera inscrita em um cilindro circular reto
g
r
T
O R M
V
g – R h – r
h
O’ r
h
r O O’
R V
O
O’
h
r V
V’
2R
2R – h 2r
r
O
r O’ r r
O
secção plana
h
O’
R O
r
O’
secção r R
R O
r h
r2 5 h(2R 2 h) (2R)2 5 (2r)2 1 h2
Esfera inscrita em um cone circular reto
Esfera circunscrita em um cone circular reto Esfera circunscrita em um cilindro circular reto
h 5 2r
g ______
h 2 r 5 __ R
r 5 ______ h g 2 R
332
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
151
Geometria métrica: corpos redondos NO VESTIBULAR
No Vestibular
Geometria métrica: corpos redondos
1. (Fuvest-SP) No jogo de bocha, disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de raio 4.
Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura abaixo. A distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão, é:
Considere a figura abaixo, que representa uma secção meridiana das esferas:
O volume, em centímetro cúbico, do sólido obtido com a rotação de 360w da região hachurada é igual ao volume de um cone de raio da base 3 cm e altura 4 cm adicionado ao volume de um cilindro circular reto de raio da base 3 cm e altura 3 cm, adicionado ao volume de uma semiesfera de raio 3 cm, ou seja:
1 __
Com a sobreposição da semiesfera no cone, o volume S1
é: 1 __
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo em destaque, temos:
AB2 1 42 5 (8 1 4)2 ] AB 5 8 dll 2 Alternativa c.
Exercício 1Exercício 2Exercício 3
2. (UFPel-RS) Todo sólido obtido através do movimento de rotação completa de uma região plana em torno de uma reta, sendo ambas no mesmo plano, é chamado sólido de revolução.
Um giro completo na região destacada, em torno da reta r, determina um só-lido de revolução. É correto afirmar que o volume desse sólido é:
a) 75s cm3
Se os volumes desses sólidos são representados, respec-tivamente, por Vol(S1) e Vol(S2), é correto afirmar que:
a) Vol(S1) 5 Vol(S2) se, e somente se, h 5 2r
3. (Udesc) Um cilindro circular reto e um cone reto possuem a mesma altura h e o mesmo raio r da base. Uma semiesfera é retirada do interior do cilindro e é acrescentada no topo do cone, gerando os sólidos S1 e S2, conforme a figura a
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
4. (Unifesp) A figura indica algumas das dimensões de um bloco de concreto formado a partir de um cilindro circular oblíquo, com uma base no solo, e de um semi-cilindro.
Dado que o raio da circunferência da base do cilindro oblíquo mede 10 cm, o volume do bloco de concreto, em cm3, é:
a) 11.000s b) 10.000s c) 5.500s d) 5.000s e) 1.100s
5. (Unesp) Uma quitanda vende fatias de melancia embala-das em plástico transparente. Uma melancia com forma esférica de raio de medida R cm foi cortada em 12 fatias iguais. Cada fatia tem a forma de uma cunha esférica, como representado na figura.
7. (UFJF-MG) Uma taça em forma de um cone circular reto estava cheia de vinho até a borda. Depois de se ter toma-do metade toma-do vinho, a figura que melhor representa a quantidade de bebida que restou na taça é:
Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio R cm é 4sR2 cm2, determine, em função de s e de R:
a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esfé-rico);
b) quantos cm2 de plástico foram necessários para em-balar cada fatia (sem nenhuma perda e sem sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área da super-fície total de cada fatia.
6. (UFU-MG) O cone maior da figura a seguir tem raio da base e altura iguais a 10 cm.
R
8. (Unifor-CE) Um funil tem a forma de um cone reto cuja planificação da superfície lateral corresponde a um setor circular de 216w e 9 cm de raio. O volume desse funil, em centímetros cúbicos, é:
a) 65,384s b) 67,256s c) 69,984s d) 72,586s e) 74,254s
9. (UFV-MG) Um círculo está inscrito em um quadrado e ambos são submetidos a uma rotação de 180w, em torno de uma das diagonais do quadrado. Sejam Vc e Vq os vo-lumes dos sólidos gerados pelo círculo e pelo quadrado, respectivamente. O valor da expressão
@
___ VVqc
#
2 é:a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
10. (UFBA) Considere um recipiente de vidro com a forma de dois cones congruentes de altura H, raio da base R e vértice comum.
Sabe-se que, inicialmente, um dos cones está comple-tamente cheio de areia, e o outro, totalmente vazio. A areia é então redistribuída, de modo a formar, na parte superior do recipiente, um cone de altura __ H
2 e, na parte inferior, outro cone, de altura h e raio da base R, conforme
a figura.
Com base nessas informações, determine a razão __ h H .
Determine a altura h de forma que o volume do tronco de cone de altura h seja igual à metade do volume do cone maior.
h
0 cm 4 cm 8 cm
a) b) c) d) e)
1,2 m
solo
1,0 m
H
h
R H 2
334
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
154
Suplemento de revisão MATEMÁTICASendo Be a base do cilindro retirado; h a altura do cone
Sendo k a razão de semelhança entre os cones menor e maior, temos: k2 5 1 __ A altura do cilindro é dada por:
15 2 h 5 15 2 15k 5 5
@
3 2 dll 3#
Assim, os volumes, em centímetro cúbico, são:
Vcone maior 5 1 __ cilindros sobrepostos. Os cilindros têm a mesma altura, 4 cm, e raios das bases R e r, respectivamente.
12. (Fuvest-SP) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (figura 1).
Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da figura 2.
Se o volume V(x) de um líquido que atinge a altura x da garrafa se expressa segundo o gráfico a seguir, quais são os valores de R e r?
Sabe-se que o preço de 1 cm3 de parafina transparen-te é o dobro do preço de 1 cm3 de parafina vermelha.
Sejam T o custo com parafina transparente e V o custo com parafina vermelha para fabricar uma dessas velas.
Assim, é correto afirmar que:
a) __ T
O volume do cilindro circular reto de raio maior é s 3 R2 3 x, com 0 < x < 4.
Pela análise do gráfico, para a altura 2 cm, o volume do cilindro circular reto de raio maior é 18s cm3. Logo:
s3 R23 2 5 18 3s ] R 5 3
Para 4 < x < 8, o volume de líquido na garrafa é igual ao volume de um cilindro circular reto de raio da base 3 cm e altura 4 cm somado com o volume de um cilindro circular reto de raio da base r e altura (x 2 4) cm. Pela análise do gráfico, para a altura 6 cm, o volume de líquido é 44s cm3. Logo:
Logo, o volume da vela feita com parafina transparente é dado por:
(96s2 36s) cm35 60s cm3
Assim, sendo x o preço da parafina vermelha, temos:
T __ com a forma de cone circular reto, de altura 8 cm e raio da base 6 cm. Uma parte da vela será feita com parafina transparente, e a outra com parafina vermelha. A parte vermelha será uma esfera inscrita no cone, como indicado na figura, feita fora de escala.
4 cm
GEOMETRIA MÉTRICA:
POLIEDROS LP
Organizador da obra
Caderno de Revisão MATEMÁTICA Editor(es) responsável(eis)
Juliane Matsubara Barroso, Angélica Pizzutto Pozzani
Parte da Obra:
Elaboração de originais da obra original: Fábio Marson Ferreira
Crédito das imagens:
339
136
Suplemento de revisão MATEMÁTICAReprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.