Espa¸cos de Sobolev - CURITIBA-PR2008 ComportamentoAssintóticodeumaEqua¸cãodeOndaNão-linearc

u, ϕ⁰

=− Z ∞

ϕ⁰(x)dx=ϕ(0) = δ₀, ϕ

∀ϕ ∈ D(R),

logo u⁰ = δ₀ n˜ao pertence a L¹_loc(R). Este fato motiva a defini¸c˜ao dos espa¸cos de Sobolev, uma classe de espa¸cos de Banach muito importante no estudo que segue deste trabalho.

1.4 Espa¸ cos de Sobolev

Nesta se¸cão introduzimos os espa¸cos de Sobolev, e algumas propriedades que serão usadas posteriormente. Como visto na se¸cão anterior, seu∈L^p(Ω), 1≤p≤ ∞, então u possui derivada de todas as ordens no sentido das ditribui¸cões, porém sua derivada também chamada de derivada fraca, não é em geral uma distribui¸cão definida por uma fun¸cão de L^p(Ω). Representamos por W^1,p(Ω) o espa¸co de Sobolev das fun¸cões u∈L^p(Ω) tal que a derivada fraca Du∈L^p(Ω), ou ainda:

Defini¸c˜ao 1.5 Seja 1≤p≤ ∞. Define-se o espa¸co de Sobolev W^1,p(Ω) = {u∈L^p(Ω); Du∈L^p(Ω)}

= {u∈L^p(Ω); ∃v₁, v₂, ..., v_n ∈L^p(Ω); tal que Z

Ω

u∂ϕ

∂x_i dx=− Z

Ω

v_iϕ dx

∀ϕ ∈ D(Ω) ∀i= 1,2, ..., n}.

No caso em que u∈W^1,p(Ω), temos v_i = ∂u ou da norma equivalente

kuk_W^1,p = kuk^p_p+ Demonstra¸c˜ao: Veja [3] p´agina 150.

Defini¸c˜ao 1.6 (O espa¸co W₀^1,p(Ω)) Seja 1≤p <∞; definimos W₀^1,p(Ω) :=C₀^∞(Ω) em W^1,p(Ω).

Denotamos com H₀¹(Ω) =W₀^1,2(Ω).

Teorema 1.6 Suponha Ω de classe C¹, tal que

u∈W^1,p(Ω)∩C(Ω), com 1≤p <∞, então são equivalentes as seguintes afirma¸cões:

(i) u= 0 sobre ∂Ω;

(ii) u∈W₀^1,p(Ω).

Ou seja, de maneira “grosseira”podemos considerar que os elementos de W₀^1,p(Ω), s˜ao as fun¸c˜oes de W^1,p(Ω) que se anulam na fronteira de Ω.

Demonstra¸c˜ao: Veja [3] p´agina 171.

Teorema 1.7 Seja Ω de classe C¹. Se u ∈ L^p(Ω) com 1 < p < ∞. Ent˜ao as seguintes propriedades s˜ao equivalentes:

(i) u∈W₀^1,p(Ω);

(ii) Existe uma constante C ≥0, tal que

Ω

u∂ϕ

∂x_i dx

≤Ckϕk_p⁰ ∀ϕ ∈ D(Ω), ∀i= 1, ..., n;

(iii) A fun¸c˜ao u(x) =







u(x) se x∈Ω 0 se x∈Rⁿ\Ω

, pertence a W^1,p(Rⁿ) e neste caso ∂u

∂x_i = ∂u

∂x_i .

Demonstra¸c˜ao: Veja [3] p´agina 172.

Como conseqüência deste teorema, temos um resultado muito importante, que será utilizado com freqüência neste trabalho.

Corolário 1.1 (Desigualdade de Poincaré) Seja Ω aberto e limitado em Rⁿ. Então existe uma constante C (dependendo somente de Ω e p) tal que

kuk_p ≤Ck∇uk_p ∀u∈W₀^1,p(Ω) (1≤p <∞).

A express˜ao k∇uk_p define uma norma para W₀^1,p(Ω), e para H₀¹(Ω) definimos o seguinte produto interno

(u, v)_H¹

0 :=

Ω

∇u∇v dx .

Os Espa¸ cos W

^m,p

(Ω)

Seja m≥2 inteiro e 1≤p≤ ∞. Definimos por recorrˆencia os espa¸cos de Sobolev W^m,p(Ω) =

u∈W^m−1,p(Ω); ∂u

∂x_i ∈W^m−1,p(Ω) ∀i= 1,2, ..., n

u∈L^p(Ω); ∀α ∈Nⁿcom|α| ≤m, ∃v_α ∈L^p(Ω), tal que Z

Ω

uD^αϕ dx= (−1)^|α|

Ω

v_αϕ dx, ∀ϕ∈ D(Ω) . Denotamos por v_α =D^αu. O espa¸coW^m,p(Ω), munido da norma

kuk_W^m,p =



 X

|α|≤m

Ω

|D^αu(x)|^pdx





1 p

se 1≤p < ∞, ou

kuk_W^m,∞ = X

|α|≤m

sup

x∈Ω

ess|D^αu(x)|, se p=∞

e um espa¸co de Banach. Quando p= 2 temos o espa¸co de Hilbert H^m(Ω).

Imers˜ oes de Espa¸ cos de Sobolev

Estamos interessados aqui na imersão dos espa¸cos de Sobolev W^m,p(Ω). Temos três casos a considerar, mp < n, mp > n, e mp =n. Verifica-se então que W^m,p(Ω) está imerso continuamente em L^q^∗(Ω), para um q^∗ especial, visto a seguir.

Teorema 1.8 Seja m≥1 e 1≤p < ∞. Se n ≥2, verifica-se:

• Se mp < n, ent˜ao W^m,p(Rⁿ)⊂L^q(Rⁿ) para p≤q≤q^∗ onde 1 q^∗ = 1

p− m n;

• Se mp =n, ent˜ao W^m,p(Rⁿ)⊂L^q^∗(Rⁿ) ∀q^∗ ∈[p,∞) ;

• Se mp > n, ent˜ao W^m,p(Rⁿ)⊂L^∞(Rⁿ).

com imers˜oes cont´ınuas.

Demonstra¸c˜ao: Ver [3] p´agina 168.

No caso em que Ω ⊂Rⁿ ´e um aberto de classe C¹, com fronteira∂Ω limitada tem-se:

Corol´ario 1.2 Seja 1≤p≤ ∞. Ent˜ao

• Se 1≤p < n, ent˜ao W^1,p(Ω)⊂L^q(Ω) para p≤q≤q^∗ onde 1 q^∗ = 1

p− 1 n;

• Se p=n, ent˜ao W^1,p(Ω)⊂L^q^∗(Ω) ∀q^∗ ∈[p,∞) ;

• Se p > n, ent˜ao W^1,p(Ω)⊂L^∞(Ω).

com imers˜oes cont´ınuas.

Demonstra¸c˜ao: Ver [3] p´agina 168.

No caso em que n = 1, temos uma melhor regularidade para as fun¸cões de W^m,p. Para I ⊆Ré válida a inclusão

• W^m,p(I)⊂C^m−1(I) com imers˜ao cont´ınua (Veja [3] p´agina 132).

Observa¸cão: Usaremos a nota¸cãoY ,→X para designar que o espa¸coY está imerso continuamente em X.

Seja X um espa¸co de Hilbert real e separ´avel.

Defini¸cão 1.7 O espa¸co L^p(0, T;X), com 1 ≤ p < ∞, consiste nas fun¸cões men-suráveis ω : [0, T]−→X, tal que

kωk_L^p_(0,T,X)= Z T

kω(t)k^p_X ¹_p

<∞.

Para p=∞ temos

kωk_L^∞_(0,T,X) = sup

0≤t≤T

esskω(t)k_X <∞.

Defini¸cão 1.8 (Distribui¸cão Vetorial) Uma distribui¸cão vetorial sobre(0, T), com valores em X, é uma aplica¸cão linear cont´ınua sobre D(0, T)com valores em X. De-notamos o espa¸co das distribui¸cões vetoriais com L(D(0, T), X).

Exemplo 1.5 Semelhante ao Exemplo 1.2, dadav ∈L^p(0, T;X), a aplica¸c˜ao definida por

T_v, ϕ

= Z T

v(s)ϕ(s)ds, ∀ϕ ∈ D(0, T),

e uma distribui¸c˜ao vetorial.

Analogamente a Defini¸c˜ao 1.4, dada S ∈ L(D(0, T), X) definimos sua derivada de orden n por

dⁿS dtⁿ, ϕ

= (−1)ⁿ S,dⁿϕ

dtⁿ

, ∀ϕ ∈ D(0, T), sendo dⁿS

dtⁿ tamb´em uma distribui¸c˜ao vetorial. Dizemos queS_i −→SemL(D(0, T), X) quando:

S_i, ϕ

−→

S, ϕ

, ∀ϕ ∈ D(0, T).

Defini¸c˜ao 1.9 Seja ω∈L^p(0, T, X). Se existe ψ ∈L^p(0, T, X) tal que Z T

ω(t)ϕ⁰(t)dt=− Z T

ψ(t)ϕ(t)dt ∀ϕ∈ D(0, T).

Então temos a derivada fraca ω⁰ =ψ(derivada no sentido das distribui¸cões vetoriais) e definimos o espa¸co de Sobolev W^1,p(0, T, X), das fun¸cões ω ∈ L^p(0, T, X) tal que ω⁰ ∈L^p(0, T, X), munido da seguinte norma

kωk_W^1,p_(0,T;X) :=

Z T 0

kω(t)k^p_X +kω⁰(t)k^p_Xdt

1 p

se 1≤p <∞, kωk_W^1,∞_(0,T_;X₎:= sup

1≤t≤T

ess(kω(t)kX +kω⁰(t)kX) se p=∞.

Teorema 1.9 Seja u∈W^1,p(0, T;X) para 1≤p≤ ∞. Ent˜ao

• u∈C([0, T];X),

• sup

0≤t≤T

ku(t)k_X ≤Cku(t)k_W^1,p_(0,T_;X₎ onde a constante C depende somente de T.

Demonstra¸c˜ao: Veja [4] p´agina 286.

Existˆ encia e Unicidade

O objetivo deste cap´ıtulo é mostrar que existe uma única fun¸cão u, solu¸cão fraca do problema da equa¸cão de onda não-linear, dado pelo seguinte modelo:

u_tt−∆u+a(1 +|u_t|^m−2)u_t=bu|u|^p−2, x∈Ω, t >0, u(x, t) = 0, x∈∂Ω, t≥0,

u(x,0) = ϕ(x), u_t(x,0) =ψ(x), x∈Ω,

(2.1)

em um dom´ınio Ω⊂Rⁿ, limitado com fronteira ∂Ω suave, sendoa, b >0 e m, p >2, constantes. Provaremos a existência e unicidade de uma solu¸cão local do problema (2.1), e no próximo cap´ıtulo, para dados iniciaisϕ e ψ pequenos, a existência global.

Usaremos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao do seguinte problema auxiliar:

u_tt−∆u+a(1 +|u_t|^m−2)u_t=h, x∈Ω, t∈(0, T), a >0 e m >2, u(x, t) = 0, x∈∂Ω, t≥0,

u(x,0) = u₀(x), u_t(x,0) =u₁(x), x∈Ω.

(2.2)

Teorema 2.1 Seja T >0. Se h, u₀ e u₁ s˜ao fun¸c˜oes dadas, tal que h∈L²(0, T;H₀¹(Ω)), ∂h

∂t ∈L²(0, T;L²(Ω));

u₀ ∈H²(Ω)∩H₀¹(Ω), u₁ ∈H₀¹(Ω)∩L^2(m−1)(Ω);

com Ω⊂Rⁿ limitado de fronteira ∂Ω suave. Então existe uma única solu¸cão u(x, t) do problema (2.2), tal que

u∈L^∞(0, T;H²(Ω)∩H₀¹(Ω)), ut∈L^∞(0, T;H₀¹(Ω))∩L^m(Ω×(0, T)),

u_tt ∈L^∞(0, T;L²(Ω)).

Demonstra¸cão: A prova deste teorema é semelhante a do Teorema 3.1 de [8] página 38, a qual omitiremos aqui.

Quando não houver confusão usaremos a nota¸cãou(t), ou simplesmenteuno lugar deu(x, t), também u⁰ eu⁰⁰ ao invés deu_t eu_tt. Para simplificar e facilitar a leitura do texto, muitas vezes denotaremos com o mesmo s´ımbolo várias constantes diferentes, quando estas não interfirirem no resultado procurado.

2.1 Formula¸ c˜ ao variacional

A fim de introduzir um conceito de solu¸c˜ao fraca do problema (2.1) multiplicamos a equa¸c˜ao

u_tt−∆u+a(1 +|u_t|^m−2)u_t=bu|u|^p−2 (2.3) por κ∈H₀¹(Ω)∩L^m(Ω), e integrando em Ω chegamos `a

dt(u_t, κ)₂+ (∇u,∇κ)₂+ (au_t+au_t|u_t|^m−2, κ)₂ = (bu|u|^p−2, κ)₂,

onde esta igualdade variacional consiste em “substituir”a igualdade pontual (2.3).

Chamaremos de solu¸c˜ao fraca do problema (2.1), toda fun¸c˜aou que satisfaz d

dt(u_t, κ)₂+ (∇u,∇κ)₂+ (au_t+au_t|u_t|^m−2, κ)₂ = (bu|u|^p−2, κ)₂, u(x, t) = 0, x∈∂Ω, t ≥0,

u(x,0) =ϕ(x), u_t(x,0) =ψ(x), x∈Ω.

(2.4)

para toda κ em H₀¹(Ω)∩L^m(Ω).

Consideremos o espa¸co energia H = H₀¹(Ω) ×L²(Ω) munido do seguinte produto interno

(U, V)H = (∇u1,∇v1)2+ (u2, v2)2,

e a norma associada

Teorema 2.2 (Existˆencia e Unicidade) Sejam m >2 e p >2 quando n ≤2 ou 2< p ≤2n−1

para um T suficientemente pequeno.

Antes de provar o teorema acima, usaremos a equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao abstrata do pro-blema (2.1) no seguinte sentido: Seja

U =

o problema (2.1) pode ser escrito da seguinte forma:

∂tU −AU+g(U) =f(U), U(0) = Provaremos primeiro a seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸cão 2.1 Suponha que as condi¸cões(2.5)e(2.6)do Teorema2.2sejam válidas.

Então dado U ∈C([0, T];H), existe um único V ∈YT solu¸cão fraca de

∂_tV −AV +g(V) =f(U), V(0) =



 ϕ ψ



, (2.7)

onde

V =



 v v_t



, e vale a seguinte identidade de energia

2kV(t)k²_H − 1

2kV(0)k²_H + Z t

(g(V), V)_Hdτ = Z t

(f(U), V)_Hdτ.

Demonstra¸cão: Por defini¸cão H₀¹(Ω) := C₀^∞(Ω) em H¹(Ω), e como C₀^∞(Ω) é denso em L²(Ω) temos que

H=C₀^∞(Ω)^H

× C₀^∞(Ω)^L

=C₀^∞(Ω)²^H,

logo para os dados iniciais (ϕ, ψ)∈H, existe uma seq¨uˆencia ((ϕ_i, ψ_i))i∈N⊂ C₀^∞(Ω)², tal que

(ϕ_i, ψ_i)−→(ϕ, ψ) em H.

Do Teorema 1.2 do Cap´ıtulo 1, para cada elemento U ∈ C([0, T];H), existe uma seq¨uˆencia (Uⁱ)i∈N ⊂C¹([0, T];C₀^∞(Ω)²), tal que

Uⁱ −→U em C([0, T];H).

Usaremos daqui em diante a nota¸cãouⁱ para designar o ´ındice da seqüência (uⁱ)i∈N e não o expoente da fun¸cão u.

Para cada i∈N, consideremos o problema

v_ttⁱ −∆vⁱ +a(1 +|v_tⁱ|^m−2)v_tⁱ =buⁱ₁|uⁱ₁|^p−2, x∈Ω, t >0, vⁱ(x, t) = 0 x∈∂Ω, t≥0,

vⁱ(0) =ϕⁱ ∈ C₀^∞(Ω) e vⁱ_t(0) =ψⁱ ∈ C₀^∞(Ω),

(2.8)

e Uⁱ =



 uⁱ₁ uⁱ₂



 a seq¨uˆencia que aproxima U em C([0, T];H).

Verifiquemos que u₀ = ϕⁱ, u₁ = ψⁱ e h = buⁱ₁|uⁱ₁|^p−2 satisfazem as hipóteses do Teorema 2.1, e portanto existe um único vⁱ solu¸cão de (2.8) com as seguintes carac-ter´ısticas

vⁱ ∈L^∞(0, T;H²(Ω)∩H₀¹(Ω)), v_tⁱ ∈L^∞(0, T;H₀¹(Ω))∩L^m(Ω×(0, T)),

vⁱ_tt∈L^∞(0, T;L²(Ω)), ou seja, existe um ´unico Vⁱ =



 vⁱ v_tⁱ



 solu¸c˜ao do problema abstrato

∂_tVⁱ−AVⁱ+g(Vⁱ) = f(Uⁱ), Vⁱ(0) =



 ϕⁱ ψⁱ



. (2.9)

De fato, temos que ϕⁱ, ψⁱ ∈ C₀^∞(Ω), portanto ϕⁱ ∈ H²(Ω)∩H₀¹(Ω) e ψⁱ ∈ H₀¹(Ω)∩ L^2(m−1)(Ω). Verifiquemos ent˜ao que

h=buⁱ₁|uⁱ₁|^p−2 ∈L²(0, T;H₀¹) e h⁰ =b(p−1)|uⁱ₁|^p−2(uⁱ₁)⁰ ∈L²(0, T;L²(Ω)).

Como a fun¸c˜ao G(s) =bs|s|^p−2 ∈ C¹(R) e uⁱ₁(t)∈ C₀^∞(Ω), temos que G◦uⁱ₁(t) =buⁱ₁(t)|uⁱ₁(t)|^p−2 ∈ C₀¹(Ω),

ent˜ao, h = buⁱ₁|uⁱ₁|^p−2 ∈ C([0, T];C₀¹(Ω)) ⊂ L²(0, T,C₀¹(Ω)). Por outro lado, como C₀¹(Ω)⊂H₀¹(Ω), segue que h∈L²(0, T;C₀¹(Ω))⊂L²(0, T;H₀¹(Ω)).

Observe agora que G⁰(s) = (p−1)b|s|^p−2 ∈ C(R), ent˜ao

[G◦uⁱ₁(t)]⁰ =G⁰(uⁱ₁(t))(uⁱ₁(t))⁰ = (p−1)b|uⁱ₁(t)|^p−2(uⁱ₁(t))⁰ ∈ C₀(Ω).

Portanto h⁰ = (p − 1)b|uⁱ₁|^p−2(uⁱ₁)⁰ ∈ C([0, T];C0(Ω)) ⊂ L²(0, T;C0(Ω)). Como C₀(Ω)⊂L²(Ω), segue que h⁰ ∈L²(0, T;C₀(Ω))⊂L²(0, T;L²(Ω)).

Então, para cada i ∈ N existe uma única solu¸cão Vⁱ do problema abstrato (2.9).

Mostraremos que esta “ seqüência de solu¸cões ” (Vⁱ)i∈N do problema (2.9), converge em YT para uma solu¸cão fraca V de (2.7).

(V

ⁱ

)

_i∈_N

converge para alguma V em Y

Verifiquemos queVⁱ ∈Y_T para cadai∈N. Comovⁱ ∈L^∞(0, T;H²(Ω)∩H₀¹(Ω))⊂ L^∞(0, T;H₀¹(Ω)) e v_tⁱ ∈ L^∞(0, T;H₀¹(Ω)), temos que vⁱ ∈ W^1,∞(0, T;H₀¹(Ω)), ent˜ao pelo Teorema 1.9 do cap´ıtulo 1, concluimos que vⁱ ∈ C([0, T], H₀¹(Ω)). Analoga-mente vⁱ_t ∈ L^∞(0, T;H₀¹(Ω)) ⊂ L^∞(0, T;L²(Ω)) e vⁱ_tt ∈ L^∞(0, T;L²(Ω)), ent˜ao vⁱ_t ∈ W^1,∞(0, T;L²(Ω)), logo vⁱ_t ∈ C([0, T], L²(Ω)), e como v_tⁱ ∈ L^m(Ω× (0, T)) segue que Vⁱ ∈YT. Definimos uma norma para YT da seguinte forma

kUk_Y_T =kUk_C([0,T_];H)+ku₂k_L^m_(Ω×(0,T₎₎, para todo U =



 u₁ u2



∈Y_T. O espa¸co Y_T munido desta norma ´e um espa¸co de Banach. Ent˜ao para provar que (Vⁱ)i∈N converge para algum V em YT, basta que (Vⁱ)i∈N seja de Cauchy em C([0, T];H) e (vⁱ_t)i∈N seja de Cauchy em L^m(Ω×(0, T)).

(V

ⁱ

)

_i∈_N

´ e uma seq¨ uˆ encia de Cauchy em C([0, T ]; H )

Denotemos por W =Vⁱ−V^j, ondeVⁱ e V^j são solu¸cões de (2.9), então

∂_tW −AW +g(Vⁱ)−g(V^j) = f(Uⁱ)−f(U^j), W(0) =





ϕⁱ−ϕ^j ψⁱ−ψ^j



. Portanto

(∂_tW, W)_H −(AW, W)_H + (g(Vⁱ)−g(V^j), W)_H = (f(Uⁱ)−f(U^j), W)_H. (2.10) Estudaremos separadamente cada termo da equa¸c˜ao acima. Observe que

∂_tW =∂_t





vⁱ−v^j v_tⁱ−v_t^j



=





v_tⁱ−v_t^j v_ttⁱ −v_tt^j





ent˜ao, integrando 0 `a t, obtemos

• Verifiquemos que (g(Vⁱ)−g(V^j), W)_H ≥0.

De fato, a fun¸cão real f(s) = s|s|^m−2 para m >2 é crescente em R, então (s|s|^m−2−r|r|^m−2)(s−r) = (f(s)−f(r))(s−r)≥0, ∀s, r ∈R, logo, é válida a seguinte expressão

(v_tⁱ(x, t)|v_tⁱ(x, t)|^m−2−v_t^j(x, t)|v^j_t(x, t)|^m−2)(v_tⁱ(x, t)−v_t^j(x, t))≥0,

Ent˜ao, em (2.13) temos que Z t onde C ´e uma constante que depende de Ω. De fato, sejam

U =

Considerando a≤b, pelo Teorema Fundamental do C´alculo, temos b|b|^p−2−a|a|^p−2 =

Z b a

(p−1)|s|^p−2ds≤(p−1)(b−a)(|a|^p−2+|b|^p−2), ent˜ao, para quaisquer a, b∈R vale a seguinte rela¸c˜ao

b|b|^p−2−a|a|^p−2

≤(p−1)|b−a|(|a|^p−2+|b|^p−2), usando esta desigualdade, obtemos que

(f(U)−f(U), V −V)_H Neste ponto, suponhamos que n(p−2)≥ 1. Assim, fazendo uso da desigualdade de H¨older em cada integral de (2.16), tem-se

Assim, da express˜ao (2.16) chegamos `a

|(f(U)−f(U), V −V)_H| ≤cku₁−u₁k ²ⁿ

n−2kv₂−v₂k₂(ku₁k^p−2_n(p−2)+ku₁k^p−2_n(p−2))(2.18) onde c= (p−1)b.

Se n > 2, temos que H¹(Ω) ,→ L^q(Ω) para 2 ≤ q ≤ q^∗, onde q^∗ = 2n

n−2. Usando estas imers˜oes concluimos que

ku₁−u₁k ²ⁿ

n−2 ≤C^∗ku₁−u₁k_H¹_(Ω). Como u1, u1 ∈H₀¹(Ω), da desigualdade de Poincar´e temos

ku₁−u₁k ²ⁿ

n−2 ≤C^∗ku₁−u₁k_H¹_(Ω) ≤ Ck∇(u₁−u₁)k₂

≤ C(k∇ u₁−u₁)k²₂+ku₂−u₂k²₂¹₂

= CkU −Uk_H (2.19)

Agora, estimaremos a norma k · kn(p−2) em rela¸cão a norma k · k_H. Caso tenhamos n(p−2)≥2, então da hipótese p≤2n−1

n−2 se n≥3, implica que n(p−2)≤ 2n n−2, e se n≤2 basta que n(p−2)≥2. Então das imersões de espa¸cos de Sobolev temos que H¹(Ω),→L^n(p−2)(Ω). Cason(p−2)<2, como Ω é limitado sua medida é finita, então L²(Ω) ,→ L^n(p−2), porém H¹(Ω) ,→ L²(Ω), então também é válida a imersão H¹(Ω) ,→L^n(p−2)(Ω). Assim, usando racioc´ınio semelhante à (2.19), segue que

ku₁kn(p−2) ≤CkUk_H e ku₁kn(p−2) ≤CkUk_H. E destas desigualdades acima, atrav´es de c´alculos simples, obtemos

ku₁k^p−2_n(p−2)+ku₁k^p−2_n(p−2) ≤C(kUk_H +kUk_H)^p−2. (2.20) Também é válida a seguinte desigualdade

kv₂−v₂k₂ ≤ kV −Vk_H. (2.21) Portanto, substituindo (2.19)−(2.21) em (2.18) obtemos (2.15).

Observa¸cão: Caso se tenha 0 < n(p−2) < 1, não faz sentido trabalhar com a norma k · kn(p−2) em (2.17), porém observe que a idéia usada no processo foi majorar a integral

Ω

|u₁|^n(p−2)dx _n¹

em rela¸cão à normakUk^p−2_H (veja 2.18 e 2.20). Verifiquemos que é poss´ıvel obter esta majora¸cão sendo α :=n(p−2)<1. De fato, temos que q= 1

α >1, q⁰ = 1

1−α >1 e 1

q + 1

q⁰ = 1, logo pela desigualdade de Hölder Z onde C^∗ é uma constante envolvendo a medida finita do conjunto Ω. Por outro lado, das imersões de espa¸cos de Sobolev, temos que H¹(Ω),→L^q(Ω) para 2≤q ≤ 2n

n−2 caso n ≥ 3, ou simplesmente q ≥ 2 quando n ≤ 2. Como Ω é limitado tem-se que L^q(Ω),→L¹(Ω), donde concluimos que H¹(Ω) esta imerso continuamente emL¹(Ω), isto é, existe uma constante C ≥ 0 tal que ku₁k₁ ≤ Cku₁k_H¹, portanto usando esta estimativa em (2.22) chegamos à

Z Ent˜ao desta desigualdade e observando (2.19) segue que a integral

o racioc´ınio ´e idˆentico.

Observe também que se n ≤ 2 em (2.17), não faz sentido a expressão ku₁−u₁k ²ⁿ

ent˜ao, usando a estimativa (2.15) em (2.14), temos que kW(t)k²_H ≤ kW(0)k²_H + 2

Z t 0

(f(Uⁱ)−f(U^j), W)_Hdτ

≤ 2C Z t

(kUⁱ(τ)k_H +kU^j(τ)k_H)^p−2kUⁱ(τ)−U^j(τ)k_HkW(τ)k_Hdτ

+ kW(0)k²_H

≤ kW(0)k²_H +C_R Z t

kUⁱ(τ)−U^j(τ)k_HkW(τ)k_H. (2.23) Pelo Lema 1.2 do Cap´ıtulo 1, obtemos

kW(t)k_H ≤ kW(0)k_H + C_R 2

Z t 0

kUⁱ(τ)−U^j(τ)k_Hdt

≤ kW(0)k_H + C_R

2 TkUⁱ−U^jk_C([0,T_];H).

Observe que o lado direito da desigualdade acima n˜ao depende de t, ent˜ao sup

0≤t≤T

kW(t)k_H ≤ kW(0)k_H +C_R

2 TkUⁱ−U^jk_C([0,T];H₎,

como as seqüências (Uⁱ)i∈N e (Vⁱ(0))i∈N convergem em C([0, T];H) e H respectiva-mente, da desigualdade acima concluimos que (Vⁱ)i∈N é uma seqüência de Cauchy em C([0, T];H).

(v

ⁱ_t

)

_i∈_N

´ e uma seq¨ uˆ encia de Cauchy em L

(Ω × (0, T ))

Do Lema 1.3, vimos que existe 0< c < 1

2^m−2 tal que ∀α, β ∈R e tem-se (α+α|α|^m−2−β−β|β|^m−2)(α−β)≥c|α−β|^m.

Usando a desigualdade acima, temos que

vⁱ_t(t) +vⁱ_t(t)|vⁱ_t(t)|^m−2−v_t^j(t)−v^j_t(t)|v_t^j(t)|^m−2

v_tⁱ(t)−v_t^j(t)

≥c|v_tⁱ(t)−v_t^j(t)|^m.

Integrando em Ω a express˜ao anterior resulta

ckv_tⁱ(t)−v_t^j(t)k^m_m ≤ (v_tⁱ+v_tⁱ|v_tⁱ|^m−2−v^j_t −v_t^j|v_t^j|^m−2, vⁱ_t−v_t^j)2

= (g(Vⁱ)−g(V^j), Vⁱ−V^j)H, em seguida, integrando de 0 `a T e multiplicando por 1

c =C, de (2.13) obtemos L^p(0, T;H₀¹(Ω)), logo podem ser representados por uma distribui¸c˜ao vetorial sobre (0, T). Uma vez quevⁱ −→v1 em L(D(0, T), H₀¹(Ω)) o que implica que

vⁱ_t −→v₁⁰ em L(D(0, T), H₀¹(Ω))⊂ L(D(0, T), L²(Ω)).

Por´em

v_tⁱ −→v2 em C([0, T];L²(Ω))⊂ L(D(0, T), L²(Ω)).

Da unicidade do limite, v₁⁰ =v₂ no sentido das distribui¸c˜oes vetoriais.

Solu¸ c˜ ao fraca

Vejamos quev dado por (2.24) é a solu¸cão fraca de (2.7) no sentido dado por (2.4), isto é,∀κ∈H₀¹(Ω)∩L^m(Ω) vale

dt(v_t, κ)₂+ (∇v,∇κ)₂+ (av_t+av_t|v_t|^m−2, κ)₂ = (bu₁|u₁|^p−2, κ)₂, (2.25) sendo esta igualdade no sentido de D⁰(0, T). De fato, para cadai∈Nvimos em (2.8) que existe um ´unicovⁱ solu¸c˜ao de

v_ttⁱ −∆vⁱ +a(1 +|v_tⁱ|^m−2)v_tⁱ =buⁱ₁|uⁱ₁|^p−2.

Multiplicando a equa¸c˜ao acima por κ∈H₀¹(Ω)∩L^m(Ω) e integrando em Ω teremos Z

Ω

κvⁱ_ttdx− Z

Ω

κ∆vⁱdx+a Z

Ω

κ(1 +|v_tⁱ|^m−2)v_tⁱdx=b Z

Ω

κuⁱ₁|uⁱ₁|^p−2dx, como κ∈H₀¹(Ω), temos que

Ω

κ∆vⁱdx= Z

∂Ω

κ ∂

∂νvⁱdx− Z

Ω

∇κ∇vⁱdx=− Z

Ω

∇κ∇vⁱdx, onde ν é a normal unitária, externa à∂Ω. Portanto,

dt(v_tⁱ, κ)₂ + (∇vⁱ,∇κ)₂+ (av_tⁱ+av_tⁱ|v_tⁱ|^m−2, κ)₂ = (buⁱ₁|uⁱ₁|^p−2, κ)₂. (2.26) Analisaremos separadamente a convergˆencia dos termos da equa¸c˜ao acima.

• d

dt(vⁱ_t, κ)₂ −→ d

dt(v_t, κ)₂ no sentido deD⁰(0, T).

De fato, da desigualdade de Schwarz

(v_tⁱ(t)−vt(t), κ)2

≤ kvⁱ_t(t)−vt(t)k2kκk2, temos para cada t∈[0, T] a seguinte convergˆencia (v_tⁱ(t), κ)₂ −→(v_t(t), κ)₂. Como a fun¸c˜ao

t 7−→ (vⁱ_t(t), κ)₂ ∈ L¹(0, T), ela pode ser representada por uma distribui¸cão sobre (0, T). Então da convergência em D⁰(0, T)

(v_tⁱ, κ)₂, ϕ

−→

(v_t, κ)₂, ϕ

∀ϕ∈ D(0, T), segue que

− d

dt(v_tⁱ, κ)₂, ϕ

(v_tⁱ, κ)₂, ϕ⁰

−→

(v_t, κ)₂, ϕ⁰

=− d

dt(v_t, κ)₂, ϕ

∀ϕ∈ D(0, T), portanto

dt(v_tⁱ, κ)₂ −→ d

dt(v_t, κ)₂ em D⁰(0, T).

• (∇vⁱ,∇κ)₂ −→(∇v,∇κ)₂.

Basta observar a seguinte express˜ao |(∇vⁱ − ∇v,∇κ)₂| ≤ k∇vⁱ − ∇vk₂k∇κk₂, e o fato de vⁱ −→v em C([0, T];H₀¹(Ω)).

• (buⁱ₁|uⁱ₁|^p−2, κ)2 −→(bu1|u1|^p−2, κ)2. Seja K =



 0 κ



, ent˜aoK ∈H e usando (2.15), teremos (buⁱ₁|uⁱ₁|^p−2 −bu₁|u₁|^p−2, κ)₂

(f(Uⁱ)−f(U), K)_H

≤ C(kUⁱk_H +kUk_H)^p−2kUⁱ−Uk_HkKk_H, e desta express˜ao obtendo a convergˆencia desejada.

• (avⁱ_t+avⁱ_t|v_tⁱ|^m−2, κ)₂ −→(av_t+av_t|v_t|^m−2, κ)₂.

(avⁱ_t+avⁱ_t|v_tⁱ|^m−2−av_t−av_t|v_t|^m−2, κ)₂

≤ a

(vⁱ_t−vt, κ)2

(v_tⁱ|v_tⁱ|^m−2−vt|vt|^m−2, κ)2

≤ a Z

Ω

|(v_tⁱ−vt)κ|dx+a Z

Ω

(v_tⁱ|v_tⁱ|^m−2−vt|vt|^m−2)κ

dx. (2.27)

Estudemos separadamente as integrais do lado direito da desigualdade anterior. Ob-serve que

Ω

|(v_tⁱ−v_t)κ|dx≤ kvⁱ_t−v_tk₂kκk₂,

por outro lado, com o mesmo racioc´ınio usado em (2.16), teremos Z

Aplicando a desigualdade de H¨older com q = m

m−2 >1 e q⁰ = m Logo, usando estas majora¸c˜oes em (2.27), chegamos `a

(avⁱ_t+av_tⁱ|v_tⁱ|^m−2−av_t−av_t|v_t|^m−2, κ)₂

≤akvⁱ_t−vtk2kκk2+a(m−1)kv_tⁱ−vtkmkκkm(kvtk^m−2_m +kvⁱ_tk^m−2_m ),

o que implica a convergˆencia desejada. Portanto quando i−→ ∞em (2.26) obtemos (2.25).

Unicidade

Mostramos que para cada U ∈C([0, T];H), existe V ∈YT solu¸c˜ao fraca de

∂_tV −AV +g(V) = f(U) V(0) =



 ϕ ψ



, (2.28)

onde V é o limite em Y_T de uma seqüência (Vⁱ)i∈N de solu¸cões do problema abstrato

∂_tVⁱ−AVⁱ+g(Vⁱ) = f(Uⁱ) Vⁱ(0) =



 ϕⁱ ψⁱ



, (2.29)

com

vⁱ ∈L^∞(0, T;H²(Ω)∩H₀¹(Ω)), (2.30) v_tⁱ ∈L^∞(0, T;H₀¹(Ω))∩L^m(Ω×(0, T)). (2.31) Mostraremos a unicidade da solu¸cão no sentido do método aproximativo construido na prova de existência. Sejam U e U ∈ C([0, T];H) em (2.28), então existem V e V ∈ Y_T solu¸cões fracas de (2.28) no sentido dado acima, isto é, existem seqüências (Vⁱ)_i∈_N e (Vⁱ)_i∈_N satisfazendo as condi¸cões (2.29)−(2.31) para cada i ∈ N, tal que Vⁱ −→V e Vⁱ −→V em Y_T. Considere Wⁱ =Vⁱ−Vⁱ, então

∂_tWⁱ−AWⁱ+g(Vⁱ)−g(Vⁱ) =f(Uⁱ)−f(Uⁱ), Wⁱ(0) =





ϕⁱ −ϕⁱ ψⁱ −ψⁱ





portanto faz sentido a seguinte express˜ao

(∂_tWⁱ, Wⁱ)_H −(AWⁱ, Wⁱ)_H + (g(Vⁱ)−g(Vⁱ), Wⁱ)_H = (f(Uⁱ)−f(Uⁱ), Wⁱ)_H. Como (g(Vⁱ)−g(Vⁱ), Wⁱ)_H ≥0, e com o mesmo racioc´ınio usado em (2.11) e (2.12), chegamos `a

2∂_tkWⁱ(t)k²_H ≤(f(Uⁱ)−f(Uⁱ), Wⁱ)_H.

Integrando de 0 `a t obtemos 1

2kWⁱ(t)k²_H ≤ Z t

(f(Uⁱ)−f(Uⁱ), Wⁱ)_Hdτ +1

2kWⁱ(0)k²_H

≤ C Z t

(kUⁱ(τ)k_H +kUⁱ(τ)k_H)^p−2kUⁱ(τ)−Uⁱ(τ)k_HkWⁱ(τ)k_Hdτ

+ 1

2kWⁱ(0)k²_H,

ent˜ao, da express˜ao acima quando i−→ ∞, teremos 1

2kW(t)k²_H ≤ C Z t

(kU(τ)k_H +kU(τ)k_H)^p−2kU(τ)−U(τ)k_HkW(τ)k_Hdτ

≤ C_R Z t

kU(τ)−U(τ)k_HkW(τ)k_Hdτ, (2.32) onde W =V −V, e usando o Lema 1.2 do cap´ıtulo 1, concluimos que

kW(t)k_H ≤C_R Z t

kU(τ)−U(τ)k_Hdτ, logo

kW(t)kH ≤CRTkU −UkC([0,T];H).

Segue que, se U = U ent˜ao V = V, ou seja, para cada U ∈ C([0, T];H), existe um

unico V solu¸c˜ao fraca de (2.7). 2

Identidade de energia

Vimos que para cada i∈N, existe um ´unico Vⁱ solu¸c˜ao do problema

∂_tVⁱ−AVⁱ+g(Vⁱ) =f(Uⁱ) Vⁱ(0) =



 ϕⁱ ψⁱ



, e temos que é válida a seguinte expressão

1 2

dtkVⁱ(t)k²_H + (g(Vⁱ), Vⁱ)_H = (f(Uⁱ), Vⁱ)_H,

então, integrando de 0 àt a identidade acima, obtemos Usando o fato de Vⁱ convergir para V em Y_T (V solu¸cão fraca de (2.7)), analisemos separadamente a convergência dos termos de (2.33). ComoVⁱ(t) e (ϕⁱ, ψⁱ) convergem para V(t) e (ϕ, ψ) em H respectivamente, obtemos

kVⁱ(t)k²_H −→ kV(t)k²_H e kVⁱ(0)k²_H −→ kV(0)k²_H

De fato, observe que

também v_tⁱ −→ v_t em L^m(Ω×(0, T)), logo da expressão (2.34) temos o resultado Usando a desigualdade de Hölder, da expressão acima temos:

Z imersões de espa¸cos de Sobolev e da desigualdade de Poincaré chegamos à

kuⁱ₁k_2(p−1) ≤C^∗k∇uⁱ₁k₂ ≤CkUⁱk_H. (2.36) Logo, teremos a seguinte majora¸c˜ao

Ω

(vⁱ_t−v_t)uⁱ₁|uⁱ₁|^p−2

dx ≤ CkVⁱ−Vk_HkUⁱk^p−1_H . (2.37)

Ainda da desigualdade (2.35), com o mesmo racioc´ınio usado na obten¸c˜ao da estima-tiva (2.15) (Veja desigualdade (2.16)), obtemos

Ω

(uⁱ₁|uⁱ₁|^p−2−u₁|u₁|^p−2)v_t

dx ≤ C(kUⁱk_H +kUk_H)^p−2kUⁱ−Uk_HkVk_H, (2.38) portanto substituindo (2.37) e (2.38) em (2.35), obtemos a seguinte express˜ao

(f(Uⁱ), Vⁱ)_H −(f(U), V)_H onde C_R denota uma constante que depende de R, j´a que sup

0≤t≤T

kUⁱk_H ≤ R, para todo i∈N. Assim temos que o lado direito da express˜ao acima tende a zero quado i tende ao infinito. Por fim, para obter a convergˆencia procurada, basta observar que

Ent˜ao, quando i−→ ∞em (2.33) obtemos a seguinte identidade 1

No documento CURITIBA-PR2008 ComportamentoAssintóticodeumaEqua¸cãodeOndaNão-linearcomAmortecimentoCleberdeMedeira UNIVERSIDADEFEDERALDOPARANÁSETORDECIÊNCIASEXATASPÓS-GRADUAÇÃOEMMATEMÁTICAAPLICADA (páginas 20-47)