2.4 Conclus˜ oes
3.1.3 Estudo simulado com popula¸c˜ ao real
A fim de ilustrar a eficiˆencia do modelo em (3.1), ser´a feita a seguir uma compara¸c˜ao do estimador obtido do ajuste de tal modelo com o estimador de Horvitz-Thompson modificado, dado em (2.4), obtido com base no desenho amostral adaptativo por conglomerados. Al´em disso, ambos ser˜ao comparados `a amostragem aleat´oria simples sem reposi¸c˜ao. Esta ilustra¸c˜ao ser´a feita a partir de sorteios de repetidas amostras de uma popula¸c˜ao verdadeira. Tal popula¸c˜ao constitui-se de marrecos da asa azul na regi˜ao da Fl´orida, nos Estados Unidos, no ano de 1992. Em particular, esta ´e uma esp´ecie rara de aves aqu´aticas com um comportamento agrupado. Esta mesma popula¸c˜ao e outras duas esp´ecies, as quais apresentam diferentes graus de agrupamento, foram usadas para compara¸c˜ao da eficiˆencia da amostragem adaptativa com rela¸c˜ao a outros planos amostrais em Smith et al. (1995).
A Figura 3.2 corresponde `a ´area de estudo, dada em Smith et al. (1995), a qual foi subdividida em N = 200 unidades de uma grade regular, tal que cada unidade apresenta o n´umero de indiv´ıduos da popula¸c˜ao de marrecos da asa azul naquela regi˜ao. Observe que esta popula¸c˜ao caracteriza-se com um aspecto raro e extremamente agrupado. Al´em disso, usando as express˜oes em (2.5) e (2.6) para avaliar numericamente estas propriedades na popula¸c˜ao, obteve-se P R = 0.11 e V IR = 0.71, o que tamb´em indica que a popula¸c˜ao em estudo tem estas caracter´ısticas, justificando assim o uso do plano amostral adaptativo.
Para avaliar a eficiˆencia dos m´etodos de amostragem citados, para esta particular popula¸c˜ao, foram sorteadas 100 amostras e para cada amostra obtivemos uma estimativa
5 3 20 4 2 12 10 103 3 3 150 7144 1 6 6399 2 2 14 122 114 60 3 2
Figura 3.2: Popula¸c˜ao real de marrecos da asa azul na regi˜ao da Fl´orida, nos Estados Unidos, no ano de 1992, disposta numa grade regular de tamanho N = 200.
do total populacional T . Tal estimativa foi obtida com base no estimador n˜ao viesado para o total sob os planos adaptativo e aleat´oria simples, e no caso do ajuste do modelo Bayesiano em (3.1) s˜ao obtidas amostras da distribui¸c˜ao a posteriori, e tal estimativa pontual ´e dada pela m´edia a posteriori de T .
Em cada uma das 100 amostras, sorteia-se aleatoriamente e sem reposi¸c˜ao n1 unidades
iniciais na grade e, se pelo menos um marreco da asa azul ´e observado, as unidades vizinhas, ou seja, as de lado cont´ıguo, s˜ao inclu´ıdas na amostra, e o procedimento ´e repetido at´e o momento em que uma unidade de borda, ou seja, sem qualquer marreco de asa azul, ´e obtida. Dessa forma, cada amostra adaptativa possui n unidades divididas em m redes (m ≤ n1). E com base nestas n unidades, estimamos o total populacional
a partir do estimador em (2.4) e no modelo (3.1). Al´em disso, tamb´em foram obtidas estimativas para T considerando amostras aleat´orias simples de tamanho n, com base no estimador ˆTAAS = N ¯y.
A mesma distribui¸c˜ao a priori descrita anteriormente para o modelo (3.1) foi utilizada neste estudo, exceto a distribui¸c˜ao de γ, para o qual foram usados aγ = 5 e bγ =
2, como recomendado em Rapley e Welsh (2008) para a maioria dos casos. Notou- se que ao atribuir distribui¸c˜oes para γ com alta massa de probabilidade em valores
maiores, surgiram problemas de superestima¸c˜ao do total populacional, devido `as amostras coletadas conterem na sua maioria a rede de maior tamanho, a qual apresenta maiores valores de Y , diferente dos dados artificiais que eram gerados de um modelo que sup˜oe homogeneidade entre as unidades.
Na Tabela 3.2 temos a eficiˆencia de cada estimador para alguns tamanhos de amostra iniciais. A eficiˆencia de um estimador ´e dada pela raz˜ao entre as variˆancias para cada estimador em quest˜ao, logo se esta raz˜ao ´e maior que 1 significa que, em termos de precis˜ao, o estimador do denominador ´e mais eficiente do que o outro. Em particular, defina, ef( ˆTHTAAS∗) a eficiˆencia do estimador da amostragem aleat´oria simples com rela¸c˜ao ao
estimador de Horvitz-Thompson modificado descrito pela express˜ao em (2.4), ef( ˆTAAS
B )
a eficiˆencia do estimador da amostragem aleat´oria simples com rela¸c˜ao ao estimador Bayesiano e ef( ˆTHT∗
B ) denota a eficiˆencia do estimador de Horvitz-Thompson modificado
com rela¸c˜ao ao estimador Bayesiano. Al´em disso, E(n) denota o valor esperado do tamanho final da amostra adaptativa utilizando as 100 amostras geradas, portanto, ´e o tamanho m´edio das amostras aleat´orias simples selecionadas para a compara¸c˜ao.
Observe que, para qualquer tamanho de amostra, as duas abordagens que usam o plano amostral adaptativo s˜ao mais eficientes que a amostragem aleat´oria simples. Exceto para n1 = 4, em que a conclus˜ao se inverte quando compara-se ˆTAAS com rela¸c˜ao a
ˆ
THT∗. Quando comparados entre si, o modelo em (3.1) apresenta maior eficiˆencia que a
estima¸c˜ao com base no desenho amostral adaptativo.
Portanto, conclui-se que o modelo (3.1) ´e eficiente e apresenta vantagens quando comparado com as outras metodologias. Com base nesta conclus˜ao, o interesse agora ´
e estender este modelo para outros contextos usuais. Na pr´oxima se¸c˜ao ´e proposta uma extens˜ao do modelo (3.1) para popula¸c˜oes que apresentam constante mobilidade, incorporando esta caracter´ıstica ao pr´oprio modelo.
Vale ressaltar que um modelo inflacionado de zeros poderia ser uma alternativa para previs˜ao nestas popula¸c˜oes raras, devido ao excesso de zeros. Esta classe de modelos ganhou destaque com Lambert (1992). A ideia geral desta classe de modelos ´e baseada na inclus˜ao de massa de probabilidade no ponto zero, inflacionando suas possibilidades de existir no modelo, por meio de uma mistura de distribui¸c˜oes. No entanto, neste
Tabela 3.2: Estudo simulado com a popula¸c˜ao de marrecos da asa azul: eficiˆencia relativa para o estimador do total populacional com base no desenho amostral adaptativo (estimador de Horvitz-Thompson modificado) e no ajuste do modelo (3.1), com rela¸c˜ao `a amostragem aleat´oria simples de tamanho n. A eficiˆencia do estimador Bayesiano com rela¸c˜ao ao estimador de Horvitz-Thompson tamb´em ´e apresentada na ´ultima coluna.
n1 E(n) ef( ˆTHTAAS∗) ef( ˆTBAAS) ef( ˆTHT ∗ B ) 4 16.74 0.44 14.37 33.33 10 25.23 1.68 12.36 7.14 20 39.91 2.60 7.12 2.70 40 66.63 3.19 4.30 1.35
trabalho o objetivo ´e fazer previs˜ao acerca de uma popula¸c˜ao dividida em redes, as quais por defini¸c˜ao s˜ao unidades n˜ao vazias, portanto n˜ao ´e contemplada a possibilidade de ser zero. A amostragem adaptativa por conglomerados ´e portanto uma abordage, totalmente cab´ıvel a esta situa¸c˜ao e n˜ao fornece informa¸c˜oes sobre as unidades vazias, apenas sobre as n˜ao vazias. Por isso o modelo de Rapley e Welsh (2008) ´e formulado apenas para as redes n˜ao vazias.