Durante muito tempo o método utilizado para resolver problemas que recaem em equações do 2º, baseava-se apenas na técnica desenvolvida pelo matemático hindu Bhaskara. Logo, a partir do século XV até o século XVII, muitos matemáticos se destacaram em desenvolver outros formatos, bem diferente do utilizado até então, na maneira de determinar a resolução da equação do 2° grau.
Muitos desses matemáticos europeus, começaram a produzir muitos resultados e com isso inúmeras contribuições surgiram no campo da matemática. Em uma abordagem sobre métodos desenvolvidos para resolver equações do 2º grau, destacaremos a abordagem dada por Viète e Descartes.
Para conhecermos um pouco melhor a vida de François Viète, vejamos o que Amaral (2016), descreve sobre Viète.
[...] foi um matemático francês que nasceu em Fontenay no ano de 1540 e morreu em Paris no ano de 1603. Na sua juventude, estudou e exerceu Direito e tornou-se membro do parlamento da Bretanha. Não era, portanto, um matemático por profissão; porém o seu lazer era dedicado à Matemática, dentro da qual desempenhou um papel central na transição da época Renascentista para a Moderna. Fez contribuições à Aritmética, Álgebra, Trigonometria e Geometria, mas sem dúvida, foi na Álgebra que ocorreram suas mais importantes contribuições, pois aqui Viète chegou mais próximo das ideias modernas. Em sua obra foi encontrada, pela primeira vez, em Álgebra, uma distinção clara entre o conceito de parâmetro e a ideia de uma quantidade desconhecida (incógnita). Viète utilizou uma vogal para representar uma grandeza ou um número supostamente conhecido ou dado. Na época de Viète a Álgebra árabe já havia sido aperfeiçoada, tanto pela resolução das equações cúbicas e quárticas como por um uso parcial de símbolos. Viète teve uma participação muito efetiva na renovação do simbolismo e na resolução das equações quadráticas, cúbicas e quárticas. Viète desenvolveu novos métodos de solução, percebeu algumas relações entre coeficientes e raízes de uma equação, embora seu trabalho tivesse ficado tolhido por sua recusa em aceitar coeficientes ou raízes negativas." Amaral (2016, p. 18).
Vários estudiosos descrevem, que em seus trabalhos Viète, associava a incógnita a uma letra qualquer maiúscula, de modo que esta letra representava a área, que ele utilizava para desenvolver e obter a solução. Em uma equação do tipo x2 + b =cx, ele abordava está como sendo somas de áreas.
Logo, para compreendermos o método utilizado por Viète, consideremos uma equação do segundo para o caso geral, da forma ax2 + bx + c = 0, com a≠0. Segundo Pedroso
(2010) a técnica utilizada por Viète seria da seguinte forma:
1. Seja x = u + z
2. Então substituindo em ax2 + bx + c = 0, tem-se a(u + z)2 + b(u+z) + c = 0, ou seja,
au2 + (2az +b)u +(az2 + bz + c) = 0. 3.Se 2az + b = 0, tem-se
z= −𝑏 2𝑎 4. Substituindo z= −𝑏
2𝑎 em au
au2 + (𝑏2 4𝑎 - 𝑏2 2𝑎+ c)= 0, ou seja, au 2 = 𝑏2 2𝑎 - 𝑏2 4𝑎- c)= 𝑏2−4𝑎𝑐 4𝑎 , ou ainda, u = ± √𝑏2−4𝑎𝑐 4𝑎 .
5. Finalmente substituindo os valores z= −𝑏
2𝑎 e u = ± √ 𝑏2−4𝑎𝑐 4𝑎 em x = u + z, tem-se x = −𝑏 2𝑎 ± √ 𝑏2−4𝑎𝑐 4𝑎 , ou seja, x = −𝑏 ± √𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 . Pedroso (2010, p. 13 - 14)
Com isso, podemos destacar um aprimoramento e ao mesmo uma nova maneira de chegar a uma formula que permite obter as raízes da equação, sendo elas positivas, como também negativas. O valioso neste processo, são as manipulações algébricas que se realizam, de maneira progressiva e que não são complexas de entender os passos descritos por Viète.
Para visualizarmos melhor, o desenvolvimento do método apresentado acima, consideremos a equação x2 - 6x + 9=0, e aplicaremos o raciocínio de maneira análoga para
obtermos as suas raízes. Solução:
1º Passo: Consideremos, x = u + z. Logo substituindo na equação e realizando as operações
necessárias teremos.(uz)2 6(uz)90, é o mesmo que
0 9 6 6 2 2 2 z u z uz u
2º Passo: Organizando as incógnitas fica: z2(2u6)zu26u90, e pela relação u=
−𝑏 2𝑎 3 2 ) 6 (
u , u=3. (Substituindo o valor de u na equação). z291890, z0.
3º Passo: Pela relação, x = 3 ± 0, temos que, x= 3. Dessa forma, a solução da equação é 3.
Outro importante matemático europeu foi René Descartes, que além de matemático era também filosofo. Muitos fatos históricos estão associados a vida deste ilustre matemático.
Para entendermos um pouco da vida de René Descartes, observamos o que Eves (1995), escreve sobre Descartes.
[...] nasceu perto de Tours em 1596. Aos oito anos de idade foi enviado a uma escola jesuíta em La Fléche. Foi então que desenvolveu (de início devido sua saúde frágil) o hábito que o acompanhou por toda a vida de
ficar até tarde na cama de manhã. Posteriormente Descartes consideraria essas horas matinais de descanso como seus períodos de tempos mais produtivos. Em 1612 deixou a escola e foi para Paris onde, logo depois, passou a dedicar parte do seu tempo ao estudo da matemática. Em 1617, juntando-se ao exército do príncipe Mauricio de Orange, iniciou uma carreira militar de vários anos. Depois de abandonar a vida militar passou quatro ou cinco anos viajando pela Alemanha, Dinamarca, Holanda, Suíça e Itália. Retornando a Paris, onde ficaria uns dois anos, continuou os seus estudos matemáticos e suas contemplações filosóficas e, por algum tempo, dedicou-se a construir instrumentos ópticos. Depois disso resolveu mudar para a Holanda, então no auge de seu poder, onde viveu cerca de vinte anos, consagrando-se filosofia, à matemática e à ciência. Em 1649, relutantemente, foi para a Suécia a convite da rainha Cristina. Poucos meses mais tarde ele contraiu uma infecção pulmonar, vindo a morrer em Estocolmo no início de 1650. EVES (1995, p.383).
Logo, para compreendermos também como se dar o método utilizado por Descartes, destacaremos um exemplo da aplicação deste método, a partir das considerações e entendimento de Pedroso (2010).
Exemplo: Descartes resolveu equações do tipo: x2 = bx + c2, x2 = c2 − bx e x2 = bx – c2, sempre com b e c positivos, consistia no seguinte método: Por exemplo, para resolver equações do tipo x2 = bx + c2, usou o seguinte método:
Traça-se um segmento LM, de comprimento c, e, em L, levanta-se um segmento NL igual
a b
2 e perpendicular a LM. Com centro em N, constrói-se um círculo de raio b
2 e traça-se a reta por M e N, que corta o círculo em O e P.
Figura: Representação geométrico dos europeus para solução a equação do 2º.
Fonte: (FRAGOSO, 2010, p.11)
Então a raiz procurada é o segmento OM. Com efeito, no triangulo MLN, se OM = x, tem-se:
(𝑥 − 𝑏 2) 2 = (𝑏 2) 2 + c2 e daí: x2 – bx = c2
Hoje, sabe-se que a segunda raiz é – OM, mas Descartes não considerava a raiz negativa. (PEDROSO, 2010, p. 10 - 12)
Pelo exposto pelo autor podemos observar, que Descartes desenvolveu um método mais geométrico para a resolução da equação x2 = bx + c2, de modo que este tipo de procedimento outros conhecimentos, que estão alicerçados na geometria. A ótica como Descartes tratava as soluções do tipo de equações de 2º grau, são destaques de seu livro, O Discurso do Método, que consta no capítulo La Geomètrè da obra, ele apresentas resultados de seus estudos, utilizando métodos geométricos para determinar as soluções sempre considerando os valores de b e c positivos.
Pelo que foi destacado, é fato que a matemática a partir dos europeus apresentou outro desdobramento para a maneira de se resolver uma equação de 2º grau. Além de representações algébricas, temos também as representações geométricas que foram enfatizadas aqui, a partir das formulações feitas por Viète e Descartes.
Além do mais, percebemos que os métodos expostos aqui, poderiam ser introduzidos no âmbito da sala de aula, já que atualmente o método apresentado por Bhaskara está difundido na educação básica, como técnica para resolve-las.