diretamente aplicando-se a transformação nos limites do intervalo. Para o caso da aproximação quadrática, a volta para a parametrização original pode ser feita pelo método Delta. Desta forma é possível manter as inter-pretações desejadas em termos dos parâmetros de interesse do modelo.
Vimos neste exemplo também, que mesmo em situações simples os in-tervalos baseados na funçãodeviancesão de difícil obtenção e requerem al-goritmos numéricos para sua obtenção. Porém de forma geral são mais re-alistas, no sentido de representar melhor a incerteza associada a estimação do parâmetro e possuírem propriedades ótimas.
2.9 Exemplo - Modelo AR1
Nos exemplos anteriores consideramos observações independentes e a verossimilhança é portanto dada pelo produto das densidades. Vamos con-siderar agora um modelo simples, porém com observações correlacionadas.
Tomamos o caso de um modelo AR1 (autoregressivo de ordem 1) para da-dos gaussianos que é um modelo básico em séries temporais. Um texto de referência na área é Toloi (2004). Vamos considerar uma versão simplifi-cada deste modelo assumindo que o processo possui média zero e variância unitária. Desta forma, o modelo é definido por:
yy+1=ρyt+et+1 (2.6)
et∼N(0,σ2=1) com|ρ|<1
Decorre deste modelo que
[Yi|Yi−1]∼N(ρy[i−1], 1) ; i=2, . . . ,n, [Y1]∼N(0, 1/(1−ρ2)) ; i=2, . . . ,n
Uma simulação da série fixando os valores necessários é feita nos co-mandos a seguir. Definimoms o valor do parâmetroρ=0,7 e o número de observaçõesn=100. A série simulada é mostrada na Figura 2.8.
set.seed(1242) rho <- 0.7 ; n <- 100
y <- numeric(n) ## cria vetor com elementos nulos y[1] <- rnorm(1, m=0, sd=sqrt(1/(1-rho^2))) for(i in 2:n)
y[i] <- rho * y[i-1] + rnorm(1)
A expressão da função de verossimilhança dada por 2.4 é equivalente à distribuição conjunta para asnobservações, uma distribuição gaussiana multivariada neste caso. Vamos explorar aqui algumas formas alternativas de escrever esta função.
0 20 40 60 80 100
−3024
Index
y
Figura 2.8: Valores da série simulada
Podemos escrever a distribuição conjunta com a expressão da distri-buição multivariada gaussiana de[Y1,Y2, . . . ,Yn]induzida pelo modelo ou pelo produto de distribuições condicionais univariadas. No caso do modelo AR1 as distribuições univariadas dependem apenas da observação anterior e temos então que a expressão da verossimilhança é:
L[ρ]≡[Y1,Y2, . . . ,Yn] = [Y1][Y2|Y1]. . .[Yn|Yn−1] = [Y1]
∏
n i=2[Yi|Yi−1] Uma verosimilhança aproximada é obtida ignorando-se a contribuição da primeira observação, ou seja pela distribuição condicional à primeira observação.
LA[ρ] =
∏
n i=2[Yi|Yi−1].
É possível encontrar o estimador do parâmetro em forma fechada com LA[ρ] mas métodos numéricos são necessários para maximizarL[ρ]. En-tretanto, no que se segue vamos sempre utilizar métodos numéricos uma vez que o foco aqui não é discutir este modelo em particular mas sim ilus-trar implementações que possam ser adaptadas para modelos que possuam estrutura similar.
Começamos definindo no código 2.15 a função de verossimilhança apro-ximada. Por conveniência definimos também uma versão vetorizada da função que é útil para processar diversos valores do parâmetro de uma só vez como, por exemplo, quando fazemos gráficos da função.
Código 2.15: Função de log-verossimilhança (aproximada) para modelo AR1 comµ=0 eσ=1.
llAR1.a <- function(par, sigma=1, dados){
n <- length(dados)
sum(dnorm(dados[2:n], mean=par*dados[1:(n-1)], sd=sigma, log=TRUE))
}
llAR1.a.V <- Vectorize(llAR1.a, "par")
2.9. EXEMPLO- MODELOAR1 47
Com o comando a seguir obtém-se, por algorítimos numéricos, a esti-mativa do parâmetroρque maximiza a função de verossimilhança aproxi-mada.
unlist(rho.est.a <- optimize(llAR1.a, int=c(0, 1), dados=y, maximum=TRUE)) maximum objective
0.7270684 -137.6080152 (rho.a <- rho.est.a$maximum) [1] 0.7270684
No código 2.16 a seguir definimos a verossimilhança completa que in-clui a distribuição da primeira observação, e a respectiva forma vetorizada da função.
[Y1]∼ N(0, 1/(1−ρ2)).
Código 2.16: Função de verossimilhança (completa) para modelo AR1 com µ=0 eσ=1.
llAR1 <- function(par, sigma = 1, dados){
n <- length(dados)
dnorm(dados[1], mean=0, sd=sigma*sqrt(1/(1-par^2)), log=TRUE) + sum(dnorm(dados[2:n],mean=par*dados[1:(n-1)],sd=sigma,log=TRUE)) }
llAR1.V <- Vectorize(llAR1, "par")
Com esta função obtemos uma estimativa que, neste caso, é bem pró-xima à obtida com a verossimilhança apropró-ximada.
unlist(rho.est <- optimize(llAR1, c(0,1), dados=y, maximum=TRUE)) maximum objective
0.720074 -138.933886
(rho.emv <- rho.est$maximum) [1] 0.720074
A seguir vamos traçar gráficos das funções de verossimilhança. Inici-almente vamos definir uma função deviance que é genérica no sentido de que pode ser calculada uma dada verossimilhança.
Código 2.17: Função deviance.
devfun <- function(par, llfun, est, ...) 2*(llfun(est, ...) - llfun(par, ...))
Os gráficos das funções de verossimilhança e deviance aproximadas e completas para os dados simulados são mostrados na Figura 2.9. Para a primeira consideramos valores em todo o espaço paramétrico enquanto que para segunda tomamos apenas valores ao redor da estimativa de máxima
verossimilhança (completa). O intervalo de confiança foi definido aqui pela a faixa de valores para ρ cuja verossimilhança seja de ao menos 10% da verosimilhança maximizada (r = 0,10). Para isto encontramos o valor de corte correspondente na função deviancecD =−2 log(r) =4.61 e usamos a funçãouniroot.all()do pacoterootSolvepara encontrar os limites do intervalo.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
−190−180−170−160−150−140
ρ
l(ρ)
0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85
012345
ρ
D(ρ)
ρ^=0.72 (0.569, 0.869)10%
Figura 2.9: Função de verossimilhança (esquerda) edeviance(direita) apro-ximada (vermelha) e completa (preta) com estimativas pontual e intervalar do parâmetroρpara os dados simulados do modelo AR1.
require(rootSolve)
ICdev <- function(par, devfun, cD, ...) devfun(par, ...) - cD
(IC.rel10 <- uniroot.all(ICdev, c(0,1), devfun=devfun, cD=-2*log(0.1), llfun=llAR1.V, est=rho.emv, dados=y))
[1] 0.5694386 0.8687540
Em implementações que visam eficiência a funçãollAR1()pode ser re-escrita evitando o uso dednorm()e utilizando a expressões das densidades escritas em função de estatísticas suficientes. Isto reduz o tempo compu-tacional em procedimentos interativos e/ou que avaliam a função muitas vezes.
Passamos agora a outra forma de escrever a verossimilhança utilizando a expressão da densidade conjunta (multivariada).
[Y1, . . . ,YN]∼N(0,Σ), (2.7) em que os elementos deΣsãoΣij = ρ|i−j|(1/(1−ρ2)). Os elementos da matriz são portanto função da distância |i−j| entre as observações. No comando a seguir ilustramos como montar esta matriz calculando as dis-tâncias entre pares de pontos e depois calculando os valores paraρ=0,70.
2.9. EXEMPLO- MODELOAR1 49
n <- length(y)
{S <- diag(n) ; S <- abs(row(S)-col(S))}
S <- 0.7^S * (1/(1-0.7^2))
A expressão da (log)verossimilhança é obtida pela a densidade da gaus-siana multivariada, sendo então:
l(θ) =l(σ,ρ) =−n
2log(2π)−1
2log(|Σ|)−exp{1
2y0Σ−1y}. (2.8) Os três comandos a seguir mostram diferentes formas de avaliar esta densi-dade que produzem os mesmos resultados porém com tempos de execução distintos. Para ilustrar comparamos os tempos de execução de 100 avali-ações destas funções. Os valores dos tempos não são relevantes e podem variar de um computador para outro. O relevante aqui é a comparação dos tempos, por exemplo tomando suas razões.
system.time(replicate(100, mvtnorm::dmvnorm(y,rep(0,n),S,log=T))) user system elapsed
0.136 0.116 0.092
system.time(replicate(100, (n/2) * log(2*pi)
-determinant(S,log=T)$mod/2 - 0.5*mahalanobis(y,center=0,cov=S))) user system elapsed
3.200 1.308 1.579
system.time(replicate(100, {Schol <- chol(S);
(n/2) * log(2*pi) sum(log(diag(Schol))) -0.5*crossprod(backsolve(Schol, y, transpose=T))})) user system elapsed
0.044 0.080 0.041
O custo computacional é determinado pelas operações que envolvem a matriz de covariância. A primeiro utiliza a implementação do pacote mvt-norm. A segunda forma é a mais lenta pois acaba fazendo contas redun-dantes na cálculo do determinante e a forma quadráticay0Σ−1y. A terceira forma é a mais eficiente pois tem o custo associado ao cálculo da decom-posição de Choleski deΣ que, uma vez calculado, é usado para calcular de forma computacionalmente barata o tanto determinante quanto a forma quadrática. Estas diferenças podem ser muito relevantes em modelos que possuem alguma estrutura de covariância quando avalia-se a função várias vezes, como algoritmos de maximização ou de inferência por simulação.
As diferenças serão maiores com o aumento do número de dados.
Mas, para o caso considerado aqui, ganhos adicionais de tempo com-putacional ainda podem ser obtidos. Em certos casos, resultados analíticos podem ser usados ao escrever as funções. No modelo AR1 considerado aqui a matrizΣtem inversa de forma conhecida. e o código pode ser es-crito de forma mais eficiente evitando inversão de matriz (ou solução de
sistema). Os elementos deΣ−1são:
Σ−1i,i =1 parai=1 ei=n Σ−1i,i =1+ρ2 para 1<i<n Σ−1i,j =−ρ para|i−j|=1 Σ−1i,j =0 para|i−j|>1
A matriz para os dados simulados poderia ser montada da forma como mostrado a seguir onde exibimos as cinco primeiras linhas e colunas.
iS <- diag(1+0.7^2, n)
diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1 iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -0.7 iS[1:5, 1:5]
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1.0 -0.70 0.00 0.00 0.00 [2,] -0.7 1.49 -0.70 0.00 0.00 [3,] 0.0 -0.70 1.49 -0.70 0.00 [4,] 0.0 0.00 -0.70 1.49 -0.70 [5,] 0.0 0.00 0.00 -0.70 1.49
Desta forma o código pode ser escrito de forma mais eficiente evi-tando inversão de matriz (ou solução de sistema) no cálculo da forma quadrática. Além disto, o determinante deΣpossui expressão conhecida det(Σ) = 1/(1−ρ2). Com estes resultados o cálculo da verossimilhança pode ser ainda substancialmente acelerados em comparação com os códi-gos anteriores.
Usando tais resultados pode-se obter tempos cumputacionais ainda mais rápidos que os anteriores.
system.time(replicate(100, {iSchol <- chol(iS) (n/2) * log(2*pi) + sum(log(diag(iSchol)))
-0.5*drop(crossprod(iSchol %*% y))})) user system elapsed
0.032 0.020 0.018
system.time(replicate(100, 0.5*(n*log(2*pi) + log(10.7^2) -mahalanobis(y, center=0, cov=iS, inverted=TRUE)))) user system elapsed
0.028 0.008 0.013
system.time(replicate(100, 0.5*(n*log(2*pi) + log(10.7^2) -drop(crossprod(y, iS %*% y)))))
user system elapsed 0.008 0.012 0.007
Finalmente vamos comparar com o tempo para o cálculo utilizando a forma fatorada da verossimilhança, com produto de distribuições univari-adas.
system.time(replicate(100, llAR1(0.7, dados=y))) user system elapsed
0.004 0.000 0.002
2.9. EXEMPLO- MODELOAR1 51
E ainda há outras melhorias possíveis! A matriz inversaΣ−1é esparsa (muitos elementos iguais a zero) e algorítmos e funções específicas como os do pacoteMatrixpodem ser utilizados não só para eficiência mas também para reduzir o uso de memória para armazenar tais matrizes. Deixamos tal implementação como sugentão ao leitor.
No código 2.18 implementamos a função de verossimilhança que é de-pois maximizada para obter a estimativa do parâmetroρ.
Código 2.18: Função de verossimilhança escrita como densidade multivari-ada para modelo AR1 comµ=0 eσ=1.
llAR1mv <- function(par, sigma = 1, dados){
n <- length(dados) iS <- diag(1+par^2, n)
diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1 iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -par
return(0.5*(n*log(2*pi) 2*n*log(sigma) + log(1par^2) -drop(crossprod(dados, iS %*% dados))/sigma^2)) }
unlist(optimize(llAR1mv, c(0,1), dados=y, maximum=TRUE)) maximum objective
0.720074 -138.933886
Vamos agora não mais fixar o valor para a variânciaσ2 e considerá-la um parâmetro também a ser estimado. Neste caso os elementos da ma-trix de covariância em 2.7 sãoΣij = ρ|i−j|(σ2/(1−ρ2)). A função de log-verossimilhançal(θ) = l(σ,ρ)fica como a seguir. A implementação supõe que o primeiro argumento da função é um vetor de comprimento dois com os valores paraσeρ, nesta ordem.
Nesta parametrização dos parãmetros do modelo AR1 temos que o es-paço paramétrico é restritoσ>0 e|ρ|<1. Uma possível reparametrização para qual o espaço paramétrico é o<2é adotarτ=log(σ)e a transforma-ção de Fisherϕ= 12log1+ρ
1−ρ
. Esta opção é implementada pelo argumento
reparna função de verossimilhança definida em 2.19. Desta forma as três chamadas a seguir produzem o mesmo valor.
c(llAR1mv(0.7, dados=y), llAR1mv2(c(1, 0.7), dados=y),
llAR1mv2(c(log(1), 0.5*log((1+0.7)/(1-0.7))), dados=y, repar=TRUE)) [1] -138.975 -138.975 -138.975
O código para obter as estimativas dos parâmetros por maximização numérica para os casos sem e com reparametrização é dado a seguir. No primeiro caso é necessário utilizar o métodoL-BFGS-Bpara poder delimitar o espaço paramétrico com os argumentoslowereupper. No segundo isto
Código 2.19: Função de log-verossimilhançal(σ,ρ)para modelo AR1 com µ=0.
llAR1mv2 <- function(par, dados, repar=FALSE){
## par: vetor com valores de (sigma, rho), nesta ordem n <- length(dados)
if(repar){
sigma <- exp(par[1])
rho <- (exp(2*par[2])-1)/(exp(2*par[2])+1) }
else{ sigma <- par[1]; rho <- par[2]}
iS <- diag(1+rho^2, n)
diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1 iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -rho
return(0.5*(n*log(2*pi) 2*n*log(sigma) + log(1rho^2) -drop(crossprod(dados, iS %*% dados))/sigma^2)) }
não é necessário uma ver que o espaço paramétrico para o modelo repa-rametrizado é irrestrito. Pelo princípio da invariância tem-se que os valo-res maximizados das verossimilhanças são iguais. Eventuais diferenças, se houverem devem ser pequenas e devidas a "erros" numéricos. Mostramos ainda como os valores das estimativas no segundo caso, quando transfor-mados de volta, produzem os mesmo valores primeiro.
opar <- optim(c(1, 0.7), fn=llAR1mv2, dados=y, method="L-BFGS-B", lower=c(0, -1), upper = c(Inf, 1),
control=list(fnscale=-1), hessian=TRUE) unlist(opar[1:2])
par1 par2 value
0.9661656 0.7205617 -138.8181162
rpar <- optim(c(log(1), 0.5* log((1+0.7)/(1-0.7))), fn=llAR1mv2, dados=y, repar=TRUE, control=list(fnscale=-1), hessian=TRUE) unlist(rpar[1:2])
par1 par2 value
-0.03448743 0.90889025 -138.81811683
c(exp(rpar[[1]][1]), (exp(2*rpar[[1]][2])-1)/(exp(2*rpar[[1]][2])+1)) [1] 0.9661005 0.7205992
A Figura 2.10 mostra as superfícies de verossimilhança para ambas pa-rametrizações. Neste caso, a parametrização original produziu contornos mais próximos de um comportamento quadrático. Outro fato relevante re-velado na figura é a quase ortogonalidade entre os parâmetros que pode ser observada em ambos os casos. Isto pode ser verificado numericamente na matriz de covariância dos estimadores obtida pela inversa da matriz de ob-servação. Temos aqui que os elementos fora da diagonal possuem valores pequenos em comparação com os da diagonal, ou seja a matriz é proxima de uma matriz diagonal.
2.9. EXEMPLO- MODELOAR1 53
Figura 2.10: Superfícies de deviance para o modelo AR1 para parâmetros originais (esquerda) e transformados (direita).
-solve(opar$hessian)
Vamos focar agora na inferência sobre o parâmetro ρ neste modelo de dois parâmetros, ou seja, o parâmetroσ2 é consideradonuisance. No modelo definido em 2.7 e matriz de covariâncias pode ser reescrito como Σ = σ2Rρ destacando que a matriz de correlaçãoRρ tem seus termos de-pendendo apenas do parâmetro ρ. A função de verrosimilhança 2.8 fica equivalente a Tomando-se a derivada em relação àσ2e igualando à zero obtém-se o esti-mador deste parâmetro em relação àρ,
ˆ σρ2= y
0R−1ρ y n .
A verossimilhança concentrada ou perfilhada de ρ é então obtida substituindo-seσ2por ˆσρ2em 2.9 e temos então:
Esta função é implementada em 2.20 e retorna dois valores: o da verossi-lhançal(ρ,σρ2)e deσρ2, a estimativa deσρ2ao valor deρ.
A implementação da função de verossimilhança perfilhada é simples.
Tomamos a verossilhança que tem apenasρ como parâmetro e adiciona-mos a opção para que se σ não for fornecido seja calculado para o valor corrente de ρ Se o valor de σ for fonecido é tomado como constante e a verossimilhança condicional à este valor é calculada.
Código 2.20: Função para cálculo da verossimilhança perfilhadal(ρ|σρ) e condicionall(ρ|σ)para o modelo AR1 comµ=0.
llAR1.rho <- function(rho, sigma, dados){
n <- length(dados) iS <- diag(1+rho^2, n)
diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1 iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -rho if(missing(sigma))
sigma2 <- drop(crossprod(dados, iS %*% dados)/n) else sigma2 <- sigma^2
return(0.5*(n*log(2*pi) n*log(sigma2) + log(1rho^2) -drop(crossprod(dados, iS %*% dados))/sigma2)) }
O gráfico da deviance perfilhada é visualizado à direita na Figura 2.11.
Também é traçada a verossimilhança condicional na qual o valor de σ2 é fixado em sua estimativa de máxima verossimilhança
ˆ
σ2=σˆρ2ˆ = y
0Rˆ−1ρˆ y n .
As funções diferem considerando uma maior região do espaço paramétrico conforme mostrado no gráfico do centro. Entretanto, na região do espaço paramétrico relevante para inferências no entorno do ponto de máximo as funções são quase indistinguíveis. Isto é mais um reflexo da quase ortogo-nalidade entre os parâmetros ao redor do máximo da função. No gráfico da deviance mostrada à esquerda e linhas indicam os cortes para obtenção das perfilhadas e condicionais.
Para finalizar consideramos o modelo AR1 mais geral, que inclui um termo para descrever a média do processo. Uma forma de escrever tal mo-delo é:
yy+1=α+ρyt+et+1 (2.10) et+1∼N(0,σ2)
A média do processo é dada por:
E[yt] =µ= α 1−ρ,
2.9. EXEMPLO- MODELOAR1 55
Figura 2.11: Superfície de deviance (esquerda) com indicações dos cortes para obtenção das perfilhadas e condicionais. Deviances perfi-lhadas e condicionais para o parâmetroρdo modelo AR1 com µ=0.
e o modelo acima pode ser então reescrito na forma:
yy+1= (1−ρ) +ρyt+et+1. (2.11) Para a expressão da verossimilhança, simplesmente acrescenta-se o termo de média a 2.8 que fica: O código retornando o negativo da função de verossimilhança é imple-mentado em 2.22 e a seguir são mostradas as estimativas para os dados aqui considerados.
Código 2.21: Função de verossimilhança para o modelo AR1.
llAR1mv3 <- function(par, dados){
## par: vetor com valores de (mu, sigma, rho), nesta ordem n <- length(dados)
mu <- par[1]; sigma <- par[2]; rho <- par[3]
iS <- diag(1+rho^2, n)
diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1 iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -rho ymu <- dados - (1-rho)*mu
return(0.5*(n*log(2*pi) 2*n*log(sigma) + log(1rho^2) -drop(crossprod(ymu, iS %*% ymu))/sigma^2)) }
par3 <- optim(c(0,1,0.5), llAR1mv3, dados=y) unlist(par3[1:2])
par1 par2 par3 value
1.7118165 0.9499772 0.6633920 137.0519734
Existem pacotes e funções específicas para ajustar modelos de séries temporais noR, descritos naTime Series Task View1As funçõesar()earima() estão entre as disponíveis e produzem resultados como mostrado a seguir, que diferem dos anteriores pois incluem a média na estimação o modelo com três parâmetros(µ,σ,ρ).
(fit.ar <- ar(y, order.max=1, method="mle")) Call:
ar(x = y, order.max = 1, method = "mle") Coefficients:
1 0.6635
Order selected 1 sigma^2 estimated as 0.9025 with(fit.ar, x.mean)
[1] 0.57605
(fit.arima <- arima(y, order=c(1,0,0), method="ML")) Call:
arima(x = y, order = c(1, 0, 0), method = "ML") Coefficients:
ar1 intercept 0.6635 0.5761 s.e. 0.0734 0.2769
sigma^2 estimated as 0.9025: log likelihood = -137.05, aic = 280.1
Note que enquanto nosso código retorna as estimativas de(µ,σ,ρ)na parametrização definida em 2.11 as funçõesar()earima() retornam esti-mativas de(α,σ2,ρ)definida em 2.10.
0.5761=αˆ = (1−ρˆ)µˆ= (1−0.6634)·1.7118=0.5762 0.9025=σˆ2=0.952=0.9025
Aproveitamos esta última função para ilustrar e funcionalidade do pa-cotebbmlee de função genérica de ajuste de modelos mle2(). A função recebe o negativo da log-verossimilhança do modelo desejado, tal como em 2.22 neste exemplo. Internamente a funçãooptim()é utilizada por de-faultna otimização e outras podem ser selecionadas. Entretando a função
"envoltório"mle2()prepara os resultados de forma que várias explorações do ajuste tais como intervalos de confiança e verossimilhnaças perfilhadas podem ser facilmente obtidas, sem a necessidade de programações adicio-nais.
O ajuste produz os mesmos resultados obtidos anteriormente por outros métodos.
1http://cran.r-project.org/web/views/TimeSeries.html