Exemplos de grupoides Morita equivalentes

1.5 Morfismos generalizados e equival ˆencia de Morita

1.5.3 Exemplos de grupoides Morita equivalentes

Nesta seç ão damos v ários exemplos de grupoides Morita equivalentes.

Exemplo 1.5.31. Sejam G ⇒ X um grupoide transitivo e x ∈ X. Vamos mostrar

que existe um bifibrado G

P '' ww t s Gx X {x}

tal que a aç ão de G em P é principal.

Defina P := s−1{x}. Como G é transitivo, segue que a aplicaç ão t : s−1_{{x} → X}

é uma submers ão sobrejetora. Al ém disso, P é um Gx-fibrado principal à direita. De

fato, P ⊂ G, logo Gx age à direita ao longo de s : P → {x} pela multiplicaç ão do

grupoide G. Esta aç ão é principal, pois a aplicaç ão s−1{x} ×_s _tGx → s−1{x} ×t ts

−1_{x}

´e um difeomorfismo. De fato, se (g, k) ∈ s−1_{{x} ×} t ts

−1_{{x}, temos s(g) = s(k) = {x} e}

t(g) = t(k), assim g−1k ∈ Gxe o difeomorfismo inverso ´e dado por (g, k) 7→ (g, g−1k).

Por outro lado, G age em P à esquerda ao longo de t : P → X tamb ém pela multiplicaç ão do grupoide G. Queremos mostrar que s : P → {x} é G-fibrado principal. Mas é f ácil ver que a aplicaç ão

G ×_s _ts−1{x} → s−1_{{x} ×}

s ss−1{x} = s−1{x} × s−1{x}

(g, h) 7→ (gh, h)

´e um difeomorfismo com inversa (k, h) 7→ (kh−1_{, h).}

Assim, P : G → Gx ´e uma equival ˆencia de Morita entre G ⇒ X e Gx ⇒ {x}. Por-

tanto, um grupoide transitivo ´e Morita equivalente ao grupo de isotropia de qualquer ponto de sua base.

Como consequ ˆencia do exemplo anterior temos o seguinte.

Exemplo 1.5.32. Seja M uma variedade diferenci ´avel e Pair(M ) ⇒ M o grupoide

do par associado a M . Neste caso, temos (s, t) : M × M → M × M , dada por (x, y) 7→ (s(x, y), t(x, y)) = (x, y) é a identidade. Portanto, Pair(M ) é um grupoide transitivo. Seja x ∈ M um ponto na base, ent ão Pair(M )x = {(x, x)}, ou seja, a

isotropia de Pair(M ) num ponto x é o grupoide trivial com um único objeto e uma única flecha {(x, x)} ⇒ {x} e pelo exemplo acima Pair(M) é Morita equivalente a este grupoide trivial.

Exemplo 1.5.33. Suponha que p : N → M é uma submers ão e seja N ×_p _pN ⇒ N o grupoide de submers ão associado. Vamos mostrar que existe um bifibrado

M N (( vv p Id N ×_p _pN zz zz M N De fato, N _Id×_pr

2 (N ×p pN ) → N, dada por (x, (y, x)) 7→ y é uma aç ão à direita do

grupoide submers ão em N ao longo de Id : N → N . Al ém disso, p : N → M é (N ×_p _p N )-fibrado principal com respeito a esta aç ão, pois N _Id×_pr

2 (N ×p p N ) →

N ×_p _p N, dada por (x, (y, x)) 7→ (x, x(y, x)) = (x, y) ´e difeomorfismo com inverso (x, y) 7→ (x, (y, x)).

Por outro lado, M ⇒ M age em N à esquerda ao longo de p : N → M, por (x, y) 7→ y, para todo (x, y) ∈ M ×_s _p N. É claro que, Id : N → N é um M -fibrado principal com respeito a essa aç ão, pois a aplicaç ão M ×_s _pN → N ×_Id _IdN, dada por (x, y) 7→ (xy, y) é difeomorfismo com inverso (z, z) 7→ (p(z), z). Portanto, obtivemos

um bifibrado N : (M ⇒ M) → (N ×p pN ), tal que a aç ão de M à esquerda tamb ém

´e principal. Logo, M ⇒ M e N ×p pN s ˜ao Morita equivalentes.

Exemplo 1.5.34. Dada uma cobertura {Uα}α∈Λ de uma variedade X por abertos,

como no exemplo 1.1.11 temos o grupoide de ˇCech associado F

α,βUα∩ Uβ ⇒ X.

Como caso particular do exemplo anterior, o grupoide de ˇCech ´e Morita equivalente ao grupoide unital X ⇒ X (independentemente da cobertura escolhida).

Exemplo 1.5.35. Suponha que µ : K × N → N é uma aç ão livre e pr ópria do grupo

de Lie K sobre a variedade N . Ent ão, M = N/K tem única estrutura de variedade diferenci ável tal que a projeç ão p : N → N/K é submers ão. Note que a aplicaç ão K n N → N ×p pN, dada por (g, y) 7→ (y, gy) é um isomorfismo de grupoides de Lie.

E pelo exemplo anterior, N ×p pN ´e Morita equivalente a M ⇒ M. Portanto, K n N

Orbifolds

Neste cap´ıtulo introduzimos o conceito de orbifold diferenci ável efetivo segundo as definiç ões dadas em [ALR07, MM03]. Veremos que, grosso modo, orbifolds s ão espaços topol ógicos localmente homeomorfos a abertos de um espaço euclidiano m ódulo a aç ão de um grupo finito de difeomorfismos. Portanto, orbifolds s ão uma generalizaç ão da ideia de variedade diferenci ável. Nas primeiras seç ões ser ão apresentadas as definiç ões b ásicas, uma noç ão de morfismos entre orbifolds e exemplos fundamentais. Nas últimas seç ões, veremos que todo orbifold efetivo –a menos de isomorfismo– é um quociente de uma variedade por uma aç ão quase-livre e efetiva de um grupo de Lie compacto. Al ém disso, ser á apresentada a correspond ência entre orbifolds e grupoides de Lie. Ou seja, exibiremos uma correspond ência biun´ıvoca entre classes de isomorfismos de orbifolds e classes de equival ência de Morita de grupoides de Lie pr óprios, étale e efetivos, demonstrada originalmente em [MP97]. As principais refer ências utilizadas neste cap´ıtulo s ão: [ALR07, Thu80, HB99, MM03, MP97, Moe02]

2.1 Orbifolds: definic¸ ˜ao e exemplos

Nesta seç ão apresentamos a definiç ão formal da noç ão de orbifold efetivo e apresentamos os exemplos b ásicos de tais espaços.

Por completude vamos começar definindo o conceito de aç ão efetiva

Definic¸ ˜ao 2.1.1. Sejam K um grupo e Z um conjunto. Suponha que µ : K × Z → Z

é uma aç ão de K em Z. Ent ão, para cada k ∈ K temos uma bijeç ão µk : Z → Z,

dada por µk(z) = µ(k, z) = kz. Dizemos que a aç ão é efetiva se a aplicaç ão

ψ : K → Bij(Z), dada por ψ(k) = µk ´e injetora, onde Bij(Z) denota o conjunto de

todas as bijeç ões de Z em Z. De forma equivalente, a aç ão é efetiva se dado k ∈ K tal que µk = IdZ, ent ão k = 1K é o elemento neutro do grupo K.

Definiç ão 2.1.2. Sejam Q um espaço topol ógico e n ≥ 0 um inteiro. Uma carta de orbifold em Q é uma tripla ( ˜U , G, ϕ), onde ˜U é um aberto conexo de Rn_{, G é um}

grupo finito que age efetivamente em ˜U por difeomorfismos e ϕ : ˜U → Q é uma aplicaç ão cont´ınua, G-invariante, tal que ϕ( ˜U ) é aberto em Q e a aplicaç ão induzida (tamb ém denotada ϕ) ϕ : ˜U /G → ϕ( ˜U ) é um homeomorfismo.

Observaç ão 2.1.3. Se ( ˜U , G, ϕ) é uma carta de orbifold no espaço topol ógico Q, sempre denotaremos por U o aberto ϕ( ˜U )contido em Q.

Dadas cartas de orbifold ( ˜U , G, ϕ) e ( ˜V , H, ψ), dizemos que λ : ˜U → ˜V ´e um

mergulho entre cartas se λ ´e um mergulho de classe C∞ _{e ψ ◦ λ = ϕ.}

Definiç ão 2.1.4. Seja Q um espaço topol ógico. Um atlas de orbifold em Q é

uma fam´ılia de cartas de orbifold em Q, { ˜Uα, Gα, ϕα}α∈Γque cobre Q e tal que duas

cartas ( ˜Uα, Gα, ϕα)e ( ˜Uβ, Gβ, ϕβ)desta fam´ılia s ˜ao compat´ıveis no seguinte sentido:

Se Uα∩ Uβ 6= ∅ onde Uθ = ϕθ( ˜Uθ)para todo θ ∈ Γ, ent ˜ao para cada p ∈ Uα∩ Uβ

existe um aberto Wp ⊂ Uα∩ Uβ e uma carta de orbifold ( ˜Wp, Gp, ψp)com mergulhos

entre cartas λα : ˜Wp → ˜Uα e λβ : ˜Wp → ˜Uβ.

Dizemos que um atlas { ˜U0 α, G

0 α, ϕ

α}α∈Γ0 ´e um refinamento de { ˜U_α, G_α, ϕ_α}_α∈Γ

se para toda carta ( ˜Uα, Gα, ϕα) existe uma carta ( ˜Uβ0, G 0 β, ϕ 0 β) e um mergulho λ 0 _: ˜ U0

β → ˜Uα. Dizemos tamb ´em que dois atlases s ˜ao equivalentes se eles possuem um

refinamento comum.

Definiç ão 2.1.5. Um orbifold efetivo de dimens ão n é um espaço de Hausdorff e

segundo cont ´avel Q, munido de uma classe de equival ˆencia de um atlas de orbifold n-dimensional em Q.

Os exemplos mais simples de orbifolds que podemos encontrar s ˜ao os seguintes:

Exemplo 2.1.6. Suponha X uma variedade diferenci ´avel, com um atlas ( ˜Uα, ϕα)α∈Γ,

onde ˜Uα ⊂ Rn e ϕα : ˜Uα → X ´e um homeomorfismo sobre um aberto de X. Ent ˜ao,

é f ácil ver que ( ˜Uα, {1}, ϕα)α∈Γ é um atlas de orbifold em X. Assim, toda variedade

pode ser vista como orbifold.

Exemplo 2.1.7. Suponha que ˜U ⊂ Rn _{é um aberto, munido de uma aç ão efetiva}

de um grupo finito G. Ent ão, claramente o espaço quociente ˜U /G tem estrutura de orbifold, pois pode ser coberto por uma única carta de orbifold ( ˜U , G, π : ˜U → ˜U /G). Note que todo orbifold é localmente como um desses.

Definiç ão 2.1.8. Seja X uma variedade diferenci ável munida de uma aç ão de um

grupo G. Dizemos que um aberto S ⊂ X ´e G-est ´avel se satisfaz a seguinte propri-

edade: para todo g ∈ G, tem-se g(S) = S ou g(S) ∩ S = ∅. Se S é G-est ável, vemos que GS := {g ∈ G|g(S) = S} é um subgrupo de G.

Uma classe de exemplos um pouco menos trivial e que cont ém os dois exemplos anteriores é dada pela seguinte proposiç ão:

Proposiç ão 2.1.9. Seja X uma variedade diferenci ável munida de uma aç ão efetiva

de um grupo finito G. Ent ˜ao, X/G tem estrutura de orbifold.

Demonstraç ão: Como G é um grupo finito, podemos cobrir a variedade X por aber-

tos G-est ´aveis Sα, de modo que cada Sα esteja contido em alguma carta ( ˜Uα, ϕα)

de X. Desta forma, temos uma estrutura de orbifold em X/G, com cartas dadas por (Sα, ϕ−1α GSαϕα, π|Sα ◦ ϕα).

Observaç ão 2.1.10. Um orbifold da forma X/G como na Proposiç ão 2.1.9 é cha-

mado deorbifold quociente efetivo global.

Vejamos dois exemplos de quocientes efetivos globais.

Exemplo 2.1.11. Sejam X = B(0, 1) = {z ∈ C||z| < 1} e Cn o grupo c´ıclico de

ordem n, formado pelas ra´ıses n- ´esimas da unidade. Ent ˜ao, Cn age em X por

rotac¸ ˜oes da seguinte forma:

Cn× X → X

(g, z) 7→ m(g, z)

Onde m é a multiplicaç ão de n úmeros complexos. Esta aç ão é efetiva, logo o quociente X/Cn tem estrutura de orbifold efetivo (coberto por uma única carta de

orbifold). Note que topologicamente o quociente é novamente o disco aberto X, por ém a origem é o único ponto com isotropia n ão trivial. Assim, X/Cn é pensado

como um cone, onde o v ´ertice corresponde `a classe de 0 em X/Cn.

Exemplo 2.1.12. Outro exemplo de quociente efetivo global ´e o seguinte. Considere

X = R2 _{e G < Diff(R}2₎_{o subgrupo gerado pela reflex ˜ao}

σ : R2 _{→ R}2

(x, y) 7→ (x, −y)

Ent ão, X/G é um orbifold. Aqui o espaço topol ógico subjacente é H = {(x, y) ∈ R2|y ≥ 0}. Note ainda que podemos generalizar esse exemplo para mostrar que toda variedade com bordo N admite uma estrutura de orbifold. Basta ver que N é o quociente de seu dobro por uma aç ão via reflex ão atrav és do bordo ∂N .

Exemplo 2.1.13. Suponha que X é uma variedade. Ent ão o grupo sim étrico age

em Xn _{via permutac¸ ˜ao de coordenadas. Assim, X}n_/S

n ´e um orbifold quociente

A seguir vamos fazer algumas definiç ões, enunciar e demonstrar alguns resul- tados que ajudar ão a deixar mais claro o que de fato é um orbifold e qu ão longe um orbifold est á de ser uma variedade diferenci ável. O seguinte lema, sobre grupos finitos de difeomorfismos de variedades, é um resultado muito importante para o estudo de quest ões locais em orbifolds. Sua demonstraç ão pode ser encontrada em [MM03].

Lema 2.1.14. Sejam X uma variedade diferenci ´avel, G ≤ Diff(X) um subgrupo

finito de difeomorfismos de X, e π : X → X/G a aplicaç ão quociente can ônica. Se U ⊂ X é um aberto conexo e f : U → X é aplicaç ão diferenci ável tal que π ◦ f = π, ent ão existe um único g ∈ G, tal que f = g|U.

Proposiç ão 2.1.15. Valem as seguintes afirmaç ões:

(i) Dados dois mergulhos λ, µ : ˜U → ˜V entre duas cartas de orbifold ( ˜U , G, ϕ), ( ˜V , H, ψ), existe um ´unico h ∈ H tal que µ = h ◦ λ.

(ii) Como consequ ˆencia do item acima cada mergulho λ : ˜U → ˜V induz um homomorfismo de grupos injetor λ0 : G → H.

(iii) Se h ∈ H ´e tal que λ( ˜U ) ∩ (h ◦ λ)( ˜U ) 6= ∅, ent ˜ao h ∈ Im(λ0) e portanto λ( ˜U ) = h ◦ λ( ˜U ).

(iv) Se as aç ões dos grupos finitos Gα nos abertos ˜Uα s ão livres, ent ão X é local-

mente euclidiano e portanto uma variedade diferenci ´avel.

Demonstrac¸ ˜ao:

(i) Como λ é um difeomorfismo sobre sua imagem, temos λ−1 : λ( ˜U ) ⊂ V → ˜U diferenci ável. Assim, µ ◦ λ−1 : λ( ˜U ) ⊂ V → V é uma aplicaç ão diferenci ável. Por serem mergulhos entre cartas, sabemos que ψ ◦ λ = ϕ e ψ ◦ µ = ϕ. Logo, ψ ◦ µ ◦ λ−1 = ϕ ◦ λ−1 = ψ. Portanto, pelo lema 2.1.14, existe único h ∈ H tal que µ ◦ λ−1 = h, ou equivalentemente µ = h ◦ λ.

(ii) De fato, cada g ∈ G é um difeomorfismo g : ˜U → ˜U, logo λ ◦ g : ˜U → ˜V é um mergulho. Ent ão, pelo item (i) existe único h ∈ H tal que λ ◦ g = h ◦ λ. Defina λ0(g) = h. Assim, λ0 _{é homomorfismo, pois λ ◦ g}

1 = h1 ◦ λ e λ ◦ g2 = h2 ◦ λ

implicam λ◦g1◦g2 = h1◦λ◦g2 = h1◦h2◦λ, o que implica λ0(g1g2) = λ0(g1)λ0(g2).

Por fim, λ0 é injetor, pois λ0(g) = e implica λ(gx) = λ(x) para todo x ∈ ˜U, como λ é injetora, segue gx = x para todo x ∈ ˜U, como a aç ão é efetiva temos que g = e.

(iii) Seja Z = λ( ˜U )∩(h◦λ)( ˜U ). Ent ão, temos uma aplicaç ão diferenci ável λ−1◦h◦λ : λ−1(Z) ⊂ ˜U → ˜U. Note que, ϕ ◦ (λ−1◦ h ◦ λ) = ψ ◦ h ◦ λ = ψ ◦ λ = ϕ. Logo, pelo Lema 2.1.14 existe um único g ∈ G, tal que λ−1_{◦h◦λ = g, ou equivalentemente,}

λ ◦ g = h ◦ λ. Portanto, h = λ0_(g).

Sejam Q um orbifold e x ∈ Q. Considere ( ˜U , G, ϕ) uma carta em torno de x com ϕ(˜x) = xe seja Gx˜ o grupo de isotropia de ˜x. Vamos provar que o grupo G˜x

independe da escolha de uma carta a menos de isomorfismo.

Seja ( ˜V , H, ψ)outra carta em torno de x com ψ(˜y) = x. Pela definic¸ ˜ao de orbifold existe uma carta ( ˜Wx, K, θ)em torno de x, com θ( ˜w) = x, e mergulhos entre cartas

λ1 : ˜Wx → ˜U, λ2 : ˜Wx → ˜V com λ1( ˜w) = ˜x e λ2( ˜w) = ˜y. Pela Proposic¸ ˜ao 2.1.15

existem homomorfismos injetores λ0₁ : K → G, λ0₂ : K → H, satisfazendo λ1(k1z) =

λ0₁(k1)λ1(z)e λ2(k2z) = λ02(k2)λ2(z), ∀k1, k2 ∈ K e para todo z ∈ ˜Wx. Assim, se k ∈

Kw˜, ent ão λ01(k) ∈ G˜x e λ02(k) ∈ Hy˜. Logo, existem as restriç ões (que permanecem

injetoras) λ0₁ : Kw˜ → Gx˜ e λ02 : Kw˜ → Hy˜.

Al ´em disso, dado g ∈ G˜x, temos g ˜x = ˜xe por hip ´otese λ1( ˜w) = ˜x. Da´ı segue que

g ◦ λ1( ˜Wx) ∩ λ( ˜Wx) 6= ∅. E pelo item (iii) da proposiç ão Proposiç ão 2.1.15 temos que

g ∈ Im(λ0₁). Logo, λ0

1 ´e isomorfismo entre Kw˜ e Gx˜. Analogamente λ02 ´e isomorfismo

entre Kw˜ e Hy˜. Portanto, Gx˜ ´e isomorfo a Hy˜. Note que se tomarmos outro ponto

x0, tal que ϕ(x0_{) = x, temos que G} ˜

x e Gx0 s ˜ao subgrupos conjugados e portanto a

escolha de ˜x em ϕ−1(x) n ˜ao altera a classe de isomorfismo de Gx˜. Isto motiva a

seguinte definic¸ ˜ao.

Definic¸ ˜ao 2.1.16. Sejam Q um orbifold, x ∈ Q e ( ˜U , G, ϕ)uma carta de Q ao redor do ponto x. Tome ˜x ∈ ˜U tal que ϕ(˜x) = x. Definimos aisotropia do ponto x como

Gx˜, o grupo de isotropia do ponto ˜x. E definimos ograu de singularidade do ponto

xcomo |Gx˜|, a ordem do grupo Gx˜.

Note que pelas observaç ões do par ágrafo acima, o grupo de isotropia em x est á bem definido a menos de isomorfismo e por este motivo o grau de singularidade de x est á bem definido (n ão depende da escolha da carta ( ˜U , G, ϕ) e nem do ponto escolhido em ϕ−1_(x))

Definiç ão 2.1.17. Seja Q um orbifold. Dizemos que x ∈ Q é um ponto regular se o

seu grau de singularidade é 1, ou seja, se o grupo de isotropia em x é trivial. Caso contr ário o ponto x é ditosingular. Denotaremos por Σ(Q) := {x ∈ Q|Gx˜ 6= {1}} o

conjunto dos pontos singulares do orbifold Q.

Observaç ão 2.1.18. O conjunto de singularidades Σ(Q) é um conjunto fechado em

Qe possui interior vazio. E o complementar deste conjunto, Q \ Σ(Q) tem estrutura de variedade diferenci ´avel.

Vejamos agora um exemplo de quociente efetivo global por uma ac¸ ˜ao num toro.

Exemplo 2.1.19. Seja Tn _{= (S}1₎n_{. O grupo GL}

n(Z) age em Rn levando Zn em

Zn, portanto isto induz uma ac¸ ˜ao de GLn(Z) em Rn/Zn = Tn. Assim, para encon-

trarmos exemplos de orbifolds como quocientes, basta encontrar subgrupos finitos de GLn(Z). Por exemplo, tomando a involuc¸ ˜ao − Id : R4 → R4, temos um orbifold

quociente T4_{/{σ, −σ}, onde}

σ : T4 → T4_{; (e}it1_{, e}it2_{, e}it3_{, e}it4_{) 7→ (e}−it1_{, e}−it2_{, e}−it3_{, e}−it4₎

Este orbifold ´e chamado de superf´ıcie de Kummer e possui 16 pontos singulares isolados.

Definiç ão 2.1.20. Uma aç ão de um grupo de Lie K em uma variedade X é dita quase-livre se, para todo x ∈ X o grupo de isotropia do ponto x, Kx := {g ∈

K|gx = x} ´e finito.

Definiç ão 2.1.21. Suponha que K é um grupo de Lie que age em uma variedade

X via µ : K × X → X. Uma subvariedade mergulhada Sx ⊂ X ´e chamada de slice

no ponto x se satisfaz as seguintes propriedades:

(i) O grupo de isotropia do ponto x preserva Sx, i.e. para todo g ∈ Kx e para todo

s ∈ Sx vale gs ∈ Sx.

(ii) Se g ∈ K é tal que para algum s ∈ Sx, vale gs ∈ Sx, ent ão g ∈ Kx é um

elemento da isotropia.

(iii) O conjunto KSx := {gs ∈ X|g ∈ Kx e s ∈ Sx} ´e um aberto em X.

(iv) A restriç ão da aç ão µ, µ : K × Sx → KSx ⊂ X induz um difeomorfismo

µ : (K × Sx)/Kx → KSx. Aqui (K × Sx)/Kx é o quociente pela aç ão Kx× (K ×

Sx) → (K × Sx), dada por h(g, s) = (gh−1, hs).

A seguir enunciamos o teorema devido a Palais [Pal61] sobre a exist ência de slices para aç ões pr óprias. Uma demonstraç ão acess´ıvel pode ser encontrada em [AB09].

Teorema 2.1.22 (Exist ência de slices). Suponha que µ : K × X → X é uma aç ão

pr ´opria de um grupo de Lie K sobre uma variedade X. Ent ˜ao, para todo x ∈ X, existe um slice Sx no ponto x.

Agora veremos um teorema que nos d á condiç ões suficientes para que o espaço quociente de uma variedade diferenci ável X pela aç ão de um grupo de Lie K seja um orbifold. O teorema a seguir é consequ ência do teorema de exist ência de slices e fornece outra classe de exemplos de orbifolds.

Teorema 2.1.23. Seja K um grupo de Lie que age suavemente numa variedade X,

tal que a aç ão é efetiva, pr ópria e quase-livre. Ent ão, a aç ão induz uma estrutura de orbifold efetivo no quociente X/K.

Definiç ão 2.1.24. Um orbifold X/K obtido como no teorema acima é chamado de orbifold quociente efetivo.

Um fato interessante é que, todo orbifold efetivo Q é isomorfo a um orbifold quociente efetivo (ver 2.2.2 para a definiç ão de isomorfismo entre orbifolds). Veremos uma demonstraç ão deste fato mais adiante.(vide Seç ão 2.3).

Exemplo 2.1.25. Sejam, p, q inteiros primos entre si. Ent ão, temos uma aç ão efetiva

e quase-livre de S1 _{em S}3 _{⊂ C × C, dada por:}

S1× S3 → S3; (w, (z1, z2)) 7→ (wpz1, wqz2)

A aç ão é pr ópria pos S1 _{é compacto. Logo, pelo teorema 2.1.23, segue que S}3

/S1 tem estrutura de orbifold.

Embora todo orbifold seja um quociente efetivo, pode-se mostrar que existem orbifolds quen ˜ao s ˜ao quocientes efetivos globais. Por exemplo, demonstraremos

no cap´ıtulo 3 que qualquer orbifold da forma S3_/S1 _{como no Exemplo 2.1.25 n ˜ao}

é um quociente global, utilizando para isto a noç ão de grupo fundamental de um orbifold.(Ver Exemplo 3.1.21 e Exemplo 3.3.13).

No documento UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ FERNANDO STUDZINSKI CARVALHO ORBIFOLDS COMO GRUPOIDES E O GRUPO FUNDAMENTAL DE UM ORBIFOLD (páginas 34-43)