Exemplos

  1 0 0_{0 1 0 −2}3 0 0 1 2  , temos pc = pa = 3. Ent˜ao m = 3, n = 3 e p = 3 ∴ SP D com solu¸c˜ao x1= 3, x2 = −2 e x3 = 2. X Exemplo 6.5.7 Em µ 1 0 7 −10 0 1 5 −6 ¶ , temos pc = pa = 2. Ent˜ao m = 2, n = 3 e p = 2 ∴ SP I com grau de liberdade 1 e solu¸c˜ao

x1 = −10 − 7x3, x2 = −6 − 5x3. X Exemplo 6.5.8 Para   1 0 7 −10_{0 1 5 −6} 0 0 0 2  : pc = 2, pa = 3, m = 3 e n = 3 ∴ SI. X Exemplo 6.5.9 Em   1 0 −10 −2 −10_{0 1 7 1 4} 0 0 0 0 0  , temos p = 2, m = 3

e n = 4 ∴ SP I com grau de liberdade 2 e solu¸c˜ao x1 = −10 + 10x3+ 2x4 e

x2 = 4 − 7x3− x4. X

Observa¸c˜ao 6.5.10 Pelos exemplos, pode-se dizer que o posto de uma

matriz ´e o n´umero de linhas “independentes” desta. Uma linha ser´a “de- pendente” de outras (i.e., ser´a igual a zero no final do escalonamento) se ela puder ser escrita como soma de produtos destas outras linhas por constantes. Tecnicamente, diz-se que esta linha ´e combina¸c˜ao linear das outras.

Observa¸c˜ao 6.5.11 Vimos, portanto, que o pa do sistema nos d´a o n´umero de equa¸c˜oes independentes e que a nulidade nos d´a o grau de liber- dade do sistema.

Observa¸c˜ao 6.5.12 Os recursos computacionais muitas vezes detectam

sistemas lineares imposs´ıveis corretamente, mas podem, `as vezes, ser enga- nados e concluir que um sistema possıvel ´e imposs´ıvel ou vice-versa. Isto ocorre tipicamente quando alguns dos n´umeros que aparecem nas contas s˜ao t˜ao pequenos que os erros de arredondamento tornam dif´ıcil para o software determinar se eles s˜ao zero ou n˜ao.

Na disciplina de M´etodos Num´ericos abordaremos quest˜oes como esta e como resolvˆe-las.

6.6

Exerc´ıcios

de

Fixa¸c˜ao

e

Problemas

de

Aplica¸c˜ao

Exerc´ıcio 6.6.1 Classificar e resolver:    x +1₂y −1₄z = 1₄ y + 3z = 8 z = 1.

Exerc´ıcio 6.6.2 Classificar e resolver o sistema linear

½

a + 2b − c + d = 1 b + c − d = 2.

Exerc´ıcio 6.6.3 Determinar as solu¸c˜oes (α, β, γ) do sistema

½

x + y + 2z = 1

y − z = 5 tais que βγ = 14.

Exerc´ıcio 6.6.4 Torne a resolver o exemplo 6.1.1.

Exerc´ıcio 6.6.5 Escalonar, classificar e dar o conjunto solu¸c˜ao do sis-

tema    x + y + 2z = 4 4x − 2y + z = 8 5x − y + 2z = 10.

Exerc´ıcio 6.6.6 Escalonar, classificar e dar o conjunto solu¸c˜ao do sis-

tema    2x + 3y + z = 2 x + y + 2z = 1 4x + 5y + 5z = 6.

Exerc´ıcio 6.6.7 Escalonar, classificar e dar o conjunto solu¸c˜ao do sis-

tema    3x + 4y + 5z = 1 2x + 3y + 3z = 0 5x + 7y + 8z = 1.

Exerc´ıcio 6.6.8 Escalonar, classificar e dar o conjunto solu¸c˜ao do sis-

tema    x + 2y = 1 3x + 7y = 5 2x + y = −4.

Exerc´ıcio 6.6.9 Um latic´ınio vai misturar dois tipos de leite: um que

tem 1% de gordura e outro que tem 6%. Quantos litros de cada tipo dever˜ao ser misturados para que se obtenham 1.000 litros de leite com 3% de gordura?

Exerc´ıcio 6.6.10 Um comerciante possui duas lojas de cal¸cados. Numa

sexta-feira as duas lojas venderam um total de 500 pares. No s´abado, uma das lojas vendeu 10% a mais do que vendera na sexta-feira; a outra loja vendeu 20% a mais do que havia vendido na sexta-feira. Se no s´abado as duas lojas venderam um total de 570 pares, quantos pares cada loja vendeu na sexta-feira? E no s´abado?

Exerc´ıcio 6.6.11 Um combust´ıvel para autom´oveis tem 10% de ´alcool

e o restante de gasolina. Outro combust´ıvel tem 4% de ´alcool e o restante de gasolina. Quanto devemos juntar de cada um desses combust´ıveis para obter

90 litros de combust´ıvel que tenha 6% de ´alcool e o restante de gasolina? Exerc´ıcio 6.6.12 Um revendedor tem em sua loja cem autom´oveis de

trˆes tipos: simples de luxo e executivo. A soma do n´umero de carros de luxo com o dobro do n´umero de carros executivos ´e 40; o triplo do n´umero de carros executivos d´a 30. Quantos carros h´a de cada tipo?

Exerc´ıcio 6.6.13 As moedas de um determinado pa´ıs s˜ao de trˆes tipos:

de 3g, que vale $10 u.m; de 5g, que vale $20, 00 u.m.; e de 9g, que vale

$50, 00 u.m.. Uma pessoa tem cem moedas, num total de 600g, somando $2800, 00 u.m.. Quantas moedas ela tem de cada tipo?

Exerc´ıcio 6.6.14 Certa quantidade de sacos precisa ser transportada

e para isso disp˜oe-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada ju- mento, sobram 13 sacos; se colocarmos 3 sacos em cada jumento, sobram 3 jumentos. Quantos s˜ao os sacos? Quantos s˜ao os jumentos?

Exerc´ıcio 6.6.15 Maria resolve organizar uma festa de anivers´ario

para seu filho e encomenda: 107 refrigerantes, 95 sandu´ıches e 151 doces. Servir´a a cada homem 3 refrigerantes, 3 sandu´ıches e 3 doces; a cada mulher

2 refrigerantes, 2 sandu´ıches e 4 doces e a cada crian¸ca 2 refrigerantes, 1

sandu´ıches e 4 doces. Qual o n´umero de pessoas convidadas, sabendo que n˜ao sobrou nem faltou nada?

Exerc´ıcio 6.6.16 Um litro de ´alcool custa R$1, 20 e um litro de gasolina

custa R$1, 60. Se o litro de uma mistura de ´alcool e gasolina custa R$1, 50, quanto de ´alcool e de gasolina cont´em um litro dessa mistura?

Exerc´ıcio 6.6.17 Suponha que vocˆe v´a fazer um lanche, constando de

iogurte, pastel e chocolate e que disponha de R$1, 80. Segundo os nutricio- nistas, um lanche deve conter 1350 calorias e 66 gramas de prote´ınas. Para cada 100g dos alimentos acima temos:

100 g calorias prote´ınas (g) custo (R$)

Iogurte 50 4 0,20

Chocolate 600 24 0,60

Pastel 200 28 0,80

Tabela 6.1: Nutrientes em 100 g de lanche

Quais as quantidades de cada alimento satisfazem exatamente as condi¸c˜oes acima?

Exerc´ıcio 6.6.18 Uma loja vende certo componente eletrˆonico, que ´e

fabricado por trˆes marcas diferentes: A, B e C. Um levantamento sobre as vendas desse componente, realizado durante trˆes dias consecutivos, revelou que: no primeiro dia, foram vendidos dois componentes da marca A, um da marca B e um da marca C, resultando num total de vendas igual a R$150, 00; no segundo dia, foram vendidos quatro componentes da marca A, trˆes da marca B e nenhum da marca C, num total de R$240, 00; no ´ultimo dia, n˜ao houve vendas da marca A, mas foram vendidos cinco da marca B e trˆes da marca C, totalizando R$350, 00.

Qual ´e o pre¸co do componente fabricado por A? E por B? E por C?

Exerc´ıcio 6.6.19 Seu Mathias, acompanhado do filho Bol˜ao, estacio-

deles, estavam no carro o cachorro Dog˜ao e o gato Teco. Bem em frente ao local onde seria feita a vistoria havia uma balan¸ca. Bol˜ao desceu. O cachorro e o gato o seguiram. O menino queria saber quantos quilos tinha seu gato, seu cachorro e ele pr´oprio. O guarda sorriu com a pretens˜ao do garoto, tendo em vista que a sensibilidade daquela balan¸ca s´o era confi´avel para cargas com mais de 50Kg, e nem Bol˜ao pesava isto, muito menos o gato e o cachorro. Ent˜ao o guarda resolveu dar uma ajuda e, sob sua ori- enta¸c˜ao, o menino fez o seguinte: subiu na balan¸ca com o cachorro, sem o gato - ela registrou 95Kg; subiu, em seguida, com o gato, sem o cachorro - a balan¸ca acusou 54Kg; por ´ultimo, ele colocou o cachorro e o gato na balan¸ca - ela marcou 51Kg.

Exerc´ıcio 6.6.20 Os alunos do Ensino M´edio de uma escola do inte-

rior organizaram uma festa junina no p´atio da escola. Havia v´arias op¸c˜oes de divertimento: quadrilhas, bingo, gincanas, etc. Trˆes barracas, A, B e C, distribu´ıdas no p´atio, ofereciam exatamente as mesmas op¸c˜oes de ali- menta¸c˜ao: churrasco, quent˜ao e pastel: cada uma das trˆes op¸c˜oes tinha o mesmo pre¸co nas trˆes barracas. Ao final da noite, encerrada a festa, fez- se um balan¸co sobre o consumo nas barracas e verificou-se que: na barraca A foram consumidos 28 churrascos, 42 quent˜oes e 48 past´eis, arrecadando um total de R$102, 00; na barraca B foram consumidos 23 churrascos, 50 quent˜oes e 45 past´eis, arrecadando um total de R$95, 00; na barraca C foram consumidos 30 churrascos, 45 quent˜oes e 60 past´eis, arrecadando um total de R$117, 00.

Qual ´e o pre¸co de um churrasco? E de um quent˜ao? E de um pastel?

Exerc´ıcio 6.6.21 Na feira, uma das barracas de frutas estava vendendo

embalagens com 10 pˆeras, 5 ma¸c˜as e 4 mangas por 11 reais; outra barraca vendia um pacote contendo 8 pˆeras, 6 ma¸c˜as e 4 mangas por 10 reais e uma terceira vendia 6 peras e 12 ma¸c˜as por 9 reais. Na verdade, s´o havia mudan¸ca na quantidade de cada pacote porque o pre¸co de cada esp´ecie de fruta era o mesmo nas trˆes barracas. Qual o pre¸co a se pagar por 3 pˆeras, 2 ma¸cˆas e 2 mangas em qualquer dessas barracas?

Exerc´ıcio 6.6.22 Um agricultor disp˜oe de 12 hectares para o plantio

de arroz, milho e batata. O investimento para o arroz ´e de R$200, 00 por hectare; para o milho R$100, 00 por hectare e para a batata R$300, 00 por hectare. O rendimento para o arroz ´e de R$300, 00 por hectare; para o milho R$200, 00 por hectare e para a batata R$400, 00 por hectare. O agricultor quer investir R$2000, 00 e obter um rendimento de R$3200, 00 por hectare.

Quantos hectares dever´a plantar de milho, de arroz e de batata?

Exerc´ıcio 6.6.23 Observe a tabela

Um avicultor que preparar ra¸c˜ao com os alimentos A, B e C de tal forma que o pre¸co da unidade de ra¸c˜ao seja R$14, 00; que a quantidade de prote´ınas da unidade de ra¸c˜ao seja 4, 1 kg e que a quantidade de vitaminas seja 20 kg. Calcular a quantidade de alimentos A, B e C que o avicultor deve preparar.

Alimento Pre¸co/Kg Prote´ına/Kg Unid. Vitamina/Kg

A 2 0,5 1

B 3 0,6 2

C 1 0,4 3

Tabela 6.2: Composi¸c˜ao de ra¸c˜ao para aves

Exerc´ıcio 6.6.24 Numa lanchonete, M´arcio come trˆes past´eis e toma

um refrigerante, e sua amiga Marta come dois past´eis e toma dois refrige- rantes. Cada um paga a sua despesa. Ele paga R$3, 60, e ela R$4, 00. Na mesa ao lado, um grupo de estudantes come 15 past´eis e toma 8 refrigeran- tes. Qual o valor desta despesa?

Exerc´ıcio 6.6.25 Durante uma semana o Shopping Ubirama reservou

uma ´area para as crian¸cas brincarem sobre rodas e colocou `a disposi¸c˜ao bicicletas (2 rodas), triciclos (3 rodas) e carrinhos (4 rodas). Ao final da promo¸c˜ao, devido ao desgaste, tiveram que trocar todos os pneus. Entre bicicletas e triciclos foram trocados 90 pneus; entre bicicletas e carrinhos, 130; e entre triciclos e carrinhos, 160. Quantas eram as bicicletas que estiveram `a disposi¸c˜ao das crian¸cas?

Exerc´ıcio 6.6.26 Uma f´abrica de refrigerante possui 270 litros de um

xarope x e 180 litros de um xarope y. Cada unidade de um refrigerante A cont´em 500 ml de x e 200 ml de y e cada unidade de um refrigerante B cont´em 300 ml de x e 300 ml de y. Quantas unidades de A e B podem ser produzidas se for usado todo o estoque dos xaropes x e y?

Exerc´ıcio 6.6.27 Dona Elza deu R$13, 50 para sua filha comprar tantos

sabonetes e tantas pastas dentais. Nem precisou falar de que marca, pois isso a menina j´a sabia. S´o recomendou que ela n˜ao se esquecesse de pegar o troco. No supermercado, a menina pegou 4 sabonetes e 6 pastas. Quando a mo¸ca do caixa avisou que faltavam R$0, 30, ela pensou: “Se o dinheiro n˜ao deu para comprar 4 sabonetes e 6 pastas, ent˜ao minha m˜ae deve ter pedido 6 sabonetes e 4 pastas”. E fez a troca. Voltando ao caixa, recebeu R$0, 30 de troco.

Qual era o pre¸co de cada sabonete comprado?

Exerc´ıcio 6.6.28 Examinando os an´uncios abaixo, conclua o pre¸co de

cada faca, garfo e colher, onde 1 faca + 2 colheres + 3 garfos custam R$23, 50; 2 facas + 5 colheres + 6 garfos custam R$50, 00; 2 facas + 3 colheres + 4 garfos custam R$36, 00.

6.7

Respostas

dos

Principais

Exerc´ıcios

do

Cap´ıtulo

6.6.1 SPD e S = {(−2, 5, 1)}

6.6.3 S = {(−10, 7, 2)} e S = {(17, −2, −7)} 6.6.5 S = {(1, −1, 2)} 6.6.6 S = ∅ 6.6.7 S = {(3 − 3z, z − 2, z), z ∈ R} 6.6.8 S = {(−3, 2)} 6.6.9 ½ x + y = 1000

0, 01x + 0, 06y = 0, 03 · 1000 , donde resultam 600 ml de um tipo de leite e 400 ml do outro tipo

6.6.10 Sexta-feira uma loja vendeu 300 pares e a outra 200 pares; no s´abado uma vendeu 330 pares e a outra 240 pares

6.6.11 30 litros de combust´ıvel e 60 litros de outro: x = Tipo 1, y = Tipo 2, ent˜ao

½

0, 1x + 0, 004y = 0, 06 · 90

x + y = 90

6.6.12 Simples= 70; Luxo= 20; Executivo= 10

6.6.13 10 moedas de $10, 00 u.m.; 60 moedas de $20, 00 u.m.; 30 moedas de $50, 00 u.m.

6.6.14 57 sacos e 22 jumentos: ½

2j + 13 = s 3(j − 3) = s

6.6.15 21 homens, 10 mulheres e 12 crian¸cas, num total de 43 convidados 6.6.16 1 4 l de ´alcool e 34 l de gasolina 6.6.17    50x + 600y + 200z = 1350 4x + 24y + 28z = 66 0, 20x + 0, 60y + 0, 80z = 1, 80

, donde resultam 100 g de io- gurte, 200 g de chocolate e 50 g de pastel

6.6.18 A = 30, B = 40, C = 50

6.6.19 Menino=49Kg; Cachorro=46Kg; Gato=5Kg.

6.6.20 Churrasco custa R$1, 50; Quent˜ao custa R$0, 40; Pastel custa R$0, 90 6.6.21 O pre¸co ser´a de R$3, 90.

6.6.22 Indeterminado: S = {(8 − 2α, 4 + α, α) | α ∈ R}, mas como preci- samos tamb´em que 0 < 8 − 2α < 12, 0 < 4 + α < 12 e 0 < α < 12, resulta que 0 < α < 4

6.6.23 A = 3; B = 1; C = 5

6.6.24 O valor da despesa ser´a R$21, 60 6.6.25 15 bicicletas

6.6.26 ½

5A + 3B = 2700

2A + 3B = 1800 , donde resultam: Refrigerante A = 300 uni- dades; Refrigerante B = 400 unidades

6.6.27 O pre¸co de cada sabonete era R$1, 20

6.6.28 Faca=R$5, 50; Colher=R$3, 00; Garfo=R$4, 00

CH

Determinante e Matriz

Inversa

7.1

Breve Relato Hist´orico

J

´a em 250 a.C. havia exemplos da utiliza¸c˜ao de matrizes na resolu¸c˜ao de sistemas lineares (ver livro Nove Cap´ıtulos sobre a Arte Matem´atica, de

autor desconhecido). Na China antiga, j´a eram conhecidas algumas no¸c˜oes

ligadas a determinantes.

No ocidente, o assunto determinantes s´o come¸cou a ser tratado, de forma espor´adica, a partir do s´eculo XVII, com os trabalhos de G.W. Leibniz (1646-1716), de G. Cramer (1704-1752), de C. Maclaurin (1698-1746) e de J.L. Lagrange (1736-1813).

S´o no s´eculo XIX passou-se a estudar determinantes com maior ˆenfase, iniciando com um longo tratado de A.L. Cauchy (1789-1857) em 1812, com seq¨uˆencia nos trabalhos de C.G. Jacobi (1804-1851).

A partir de ent˜ao, o uso de determinantes difundiu-se muito e este con- ceito de um n´umero associado a uma matriz quadrada tornou-se muito ´util para caracterizar situa¸c˜oes como a de saber se uma matriz ´e invert´ıvel, ou se um sistema admite ou n˜ao solu¸c˜ao.

7.2

Conceitos

Consideremos o sistema ax = b, com a 6= 0. A solu¸c˜ao deste sistema ´e

x = b

a. Note que o denominador est´a associado `a matriz dos coeficientes do

sistema, ou seja, [a]. Num sistema 2×2:

½

a₁₁x₁+ a₁₂x₂ = b₁

a21x1+ a22x2 = b2 , em que ´e poss´ıvel resolver

as opera¸c˜oes elementares (i.e., a11a22− a12a216= 0), encontramos x1= _ab1a22− b2a12

11a22− a12a21 e x2=

b2a11− b1a21 a11a22− a12a21.

Os denominadores s˜ao iguais e est˜ao associados `a matriz dos coeficientes µ a11 a12 a21 a22 ¶ . Num sistema 3×3:    a11x1+ a12x2+ a13x3 = b1 a21x1+ a22x2+ a23x3 = b2 a₃₁x₁+ a₃₂x₂+ a₃₃x₃ = b₃

, em que ´e poss´ıvel resolver as opera¸c˜oes elementares, ao procurarmos os valores de x₁, x₂ e x₃, vemos que eles tˆem o mesmo denominador

a₁₁a₂₂a₃₃− a₁₁a₂₃a₃₂− a₁₂a₂₁a₃₃+ a₁₂a₂₃a₃₁+ a₁₃a₂₁a₃₂− a₁₃a₂₂a₃₁,

que tamb´em est´a associado `a matriz dos coeficientes do sistema 

 a_a11₂₁ a_a12₂₂ a_a13₂₃

a31 a32 a33

 .

Os n´umeros que aparecem nos denominadores associados `as matrizes (quadradas) s˜ao casos particulares do que chamamos de determinante de uma matriz quadrada.

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