Exploração de variáveis consistentes e fortemente determinadas

Variáveis consistentes em PIM 0–1 são aquelas que recebem um valor particular em uma pro- porção significativa de soluções de um conjunto Y = ©x1_{, . . . , x}fª_{escolhido. Variáveis fortemente}

determinadas são aquelas que apresentam grande deterioração no valor da função objetivo ou infacti- bilidade se o seu valor for alterado para as soluções do conjunto Y . É importante que os elementos do conjunto Y apresentem uma qualidade razoável e nas discussões que seguem, Y = R ou Y = R (k). Seja Yj γ = © xi _{∈ Y |x}i j = γ ª

o subconjunto de Y cujas soluções xi _{apresentam x}i

j = γ. A freqüência

de residência de uma variável xj ao assumir um valor γ ∈ {0, 1} no conjunto Y pode ser definida por

(3.23) e o valor preferencial da variável xj pode ser encontrado com (3.24). Como é sempre escolhida

uma cardinalidade ímpar para Y , não ocorrem empates, ou seja, freqRes0(j) 6= freqRes1(j).

freqResγ(j) = ¯ ¯Yj γ ¯ ¯ _(3.23) pref (j) = ( 0 se freqRes1(j) ≤ freqRes0(j) 1 se freqRes1(j) > freqRes0(j) (3.24)

O algoritmo da Figura 3.9 aqui proposto, cujas variáveis estão elencadas na Tabela 3.5 e os parâ- metros na Tabela 3.6, procura por variáveis consistentes e fortemente determinadas num conjunto Y e as fixa no PL’ atual. No Passo 1, as variáveis que não estão fixadas (nãoFixadas) são ordenadas em ordem não-crescente do máximo de suas freqüências de residência. No Passo 2, uma porcentagem (maxAnalisar) do número total das variáveis binárias é escolhida para ser analisada quanto à degra- dação na função objetivo. Essa fração envolve as variáveis com maiores valores de freqüência de residência. Para cada variável xj selecionada, um PL’j, criado a partir da fase II do PL’ atual, é otimi-

zado com a variável xj sendo fixada no oposto do seu valor preferencial, ou seja, xj = 1 − pref (j).

Assim a degradação na função objetivo, ∆j = xPL’0 j − xPL’0 , pode ser computada em relação ao PL’ atual. Reotimizações muito longas são evitadas ao limitar a execução em no máximo γ2 iterações simplex. Na presença de infactibilidade, adota-se ∆j = ∞. As variáveis analisadas no Passo 2 que

apresentarem maior deterioração ∆j são escolhidas para o tratamento do Passo 3, usando para esse

fim uma fração maxFix ≤ maxAnalisar do número total das variáveis binárias n. Uma fase I au-

xiliar, do PL de duas fases é criada para avaliar de forma paramétrica se as variáveis escolhidas no Passo 3 podem, de fato, ser fixadas. Cada xj com pref (j) = 1 recebe uma meta UP e cada xj com

3.2 Estratégias de longo prazo 83

pref (j) = 0 recebe uma meta DN. Variáveis que no PL’ já estavam fixadas, também são fixadas

na fase I auxiliar. Após a otimização da fase I auxiliar, somente as variáveis que tiverem as metas atendidas podem ser fixadas no PL’ atual e é claro que se nenhuma variável puder ser fixada, então o algoritmo falhou. No conjunto Y não podem restar elementos que reflitam a situação oposta de uma variável que foi fixada, assim se uma variável foi fixada tal que xj = γ, então os elementos do

conjunto Y que apresentarem xi

j = 1 − γ, são removidos. Os parâmetros a serem calibrados são

maxAnalisar e maxFix.

Tab. 3.5: Variáveis do algoritmo da Figura 3.9.

nãoFixadas Variáveis binárias que não foram fixadas no PL’ por execuções anteriores do_algoritmo. totAnalisar Número de variáveis que serão analisadas pelo algoritmo.

totFix Número máximo de variáveis que serão fixadas pelo algoritmo.

Tab. 3.6: Parâmetros do algoritmo da Figura 3.9.

maxAnalisar Porcentagem das n variáveis binárias que serão analisadas pelo algoritmo. maxFix Porcentagem máxima das n variáveis que serão fixadas pelo algoritmo.

γ2 Número máximo de iterações simplex permitido na reotimização do PL’_j.

Quando um algoritmo progressivamente restringe as variáveis consistentes e fortemente determi- nadas aos seus valores preferenciais, novas variáveis dentre as remanescentes apresentarão avaliações que as qualificam mais decisivamente como fortemente determinadas e consistentes. Assim, o al- goritmo FixaVars da Figura 3.9 não deve ser aplicado uma única vez, mas deve estar subordinado a um algoritmo Coordenador que controla o número máximo de variáveis que podem ser fixadas e como são compostos os conjuntos Y passados para FixaVars. Quando o número de variáveis fi- xadas for muito grande, o algoritmo deve retroceder a estágios anteriores em que menos variáveis estavam fixadas. Ao utilizar uma outra seqüência de conjuntos Y , embute-se um efeito diversificador na classificação das variáveis consistentes e fortemente determinadas, favorecendo a exploração do espaço de busca de modo eficiente. Imediatamente antes da aplicação de uma fase de intensificação definida nos moldes da Subseção 3.2.2, o algoritmo Coordenador assume o controle e o seu compor- tamento dinâmico está representado na Figura 3.10. No nível 0, quando nenhuma variável foi ainda fixada, a partir do conjunto de referência R0, maxRk conjuntos R (k) são criados, observando-se que para o exemplo foi estabelecido maxRk=3. Adota-se Y = R0,1(k) sobre o qual é aplicado o algoritmo FixaVars enquanto R0,2(k) e R0,3(k) são guardados para serem tratados no futuro. Com

84 Extensões e Uso de Memória de Longo Prazo

Passo 1 Usando o conjunto Y , ordene as variáveis do conjunto nãoFixadas em ordem não-crescente de max {freqRes0(j) , freqRes1(j)}.

Passo 2 1. totAnalisar := min(nãoFixadas, maxAnalisar × n).

2. Selecione as primeiras totAnalisar variáveis ordenadas no Passo 1. Para cada uma dessas variáveis xj, reotimize o PL’j por até γ2 iterações simplex fixando a variável xj no valor 1 − pref (j). Calcule a degradação ∆j = xPL’0 j− xPL’0 . Se o PL’j for infactível, ∆j = ∞.

Passo 3 1. Crie uma fase I do PL de duas fases (fase I auxiliar), estabelecendo metas para as totFix := min(totAnalisar, maxFix × n) variáveis com maiores valores de degradação encontradas no Passo 2. Cada xj com pref (j) = 1 recebe uma meta

UP e cada xj com pref (j) = 0 recebe uma meta DN. Variáveis que no PL’ já

estavam fixadas, também são fixadas nessa fase I auxiliar. 2. Otimize a fase I auxiliar.

Passo 4 Fixe no PL’ atual todas as variáveis que tiveram suas metas atendidas na fase I auxiliar do Passo 3. Para cada variável fixada, xj = γ, remova do conjunto Y

cada elemento xi_{tal que x}i

j = 1 − γ . Se nenhuma variável foi fixada, o

algoritmo termina com insucesso, caso contrário termina com sucesso.

Fig. 3.9: FixaVars - Algoritmo de descoberta de variáveis consistentes e fortemente determinadas.

o progresso da busca, R0,1(k) receberá novos elementos evoluindo para R1,1. Quando uma nova fase de intensificação for iniciar, a mesma seqüência de operações aplicada em R0 é reaplicada em

R1,1, gerando os conjuntos R1,1,1(k),R1,1,2(k) e R1,1,3(k). Os conjuntos R1,1,2(k) e R1,1,3(k) são guardados para análise futura e adota-se Y = R1,1,1(k) sobre o qual é aplicado o algoritmo Fixa- Vars. Há um limite nivelMax a partir do qual as ramificações pela geração de conjuntos R (k) são interrompidas. No exemplo, nivelMax=1, então a partir do nível 2, não são mais gerados conjuntos e adota-se Y = R2,1,1, Y = R3,1,1e assim sucessivamente, fixando mais e mais variáveis à medida que FixaVars é invocado antes do início de cada fase de intensificação. Eventualmente, num certo nível

q o algoritmo FixaVars pode não conseguir fixar mais nenhuma variável ou a fração máxima de va-

riáveis que podem ser fixadas no PL’, fracaoLimite, será atingida. Nesse ponto, ocorre um regresso na árvore, as variáveis que devem ficar fixadas são apenas aquelas presentes no conjunto fixadas1,1, o conjunto R1,1,2(k) é recuperado adotando-se Y = R1,1,2(k) e o algoritmo FixaVars é aplicado. Quando a árvore inteira tiver sido percorrida, o algoritmo é reaplicado até que em R0 se esgotem as

3.2 Estratégias de longo prazo 85

possibilidades de geração de conjuntos R (k). Como os conjuntos R (k) são sempre distintos, quando

R0,2(k) for recuperado após o tratamento completo da subárvore enraizada no nó R1,1, as variáveis classificadas como fortemente determinadas e consistentes, fixadas1,2, provavelmente serão ligeira- mente diferentes daquelas em fixadas1,1, levando a uma exploração efetiva do espaço de busca. Os detalhes da implementação do algoritmo Coordenador são apresentados na Subseção 3.2.5.

( ) 0,1 Y=R k _{( )} 0,2 Y=R k ( ) 0,3 Y=R k 0 R 1,1 R ( ) 1,1,1 Y=R k ( ) 1,1,2 Y=R k ( ) 1,1,3 Y=R k 1,2 R R1,3 ( ) 1,2,1 Y=R k ( ) 1,2,2 Y=R k _{( )} 1,2,3 Y=R k ( ) 1,3,1 Y=R k ( ) 1,3,2 Y=R k _{( )} 1,3,3 Y=R k 2,1,1 R 2,1,1 Y=R 3,1,1 R 3,1,1 Y=R ,1,1 q R fixadas0 fixadas0 fixadas0 fixadas1,1 fixadas1,1 _fixadas 1,1 fixadas1,2 fixadas1,2 fixadas1,2 fixadas1,3 fixadas1,3 fixadas1,3 fixadas2,1,1 fixadas3,1,1 fixadas(q-1),1,1 (q1),1,1 Y=R₋ Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível 3 Nível q 2,1,2 R R2,1,3 R2,2,1 R2,2,2 R2,2,3 R2,3,1 R2,3,2 R2,3,3

Fig. 3.10: Comportamento dinâmico do algoritmo Coordenador.