Nesta se¸c˜ao, apresentaremos a defini¸c˜ao de extens˜ao de Ore e algumas propriedades deste anel. Em particular, mostraremos que, em certos casos, esse an´eis s˜ao dom´ınios de Ore e que seu corpo de fra¸c˜oes pode ser imerso num corpo maior, cujos elementos s˜ao s´eries de Laurent. Todos os resultados apresentados nesta se¸c˜ao podem ser encontrados em [8] e [9].
Seja A um anel e α um endomorfismo de A. Uma fun¸c˜ao δ : A −→ A ´e chamada α-deriva¸c˜ao de
A se
δ(a + b) = δ(a) + δ(b), δ(ab) = δ(a)α(b) + aδ(b), para todos a, b ∈ A.
Proposi¸c˜ao 1.6.1. Sejam A um anel, α um endomorfismo e δ uma α-deriva¸c˜ao de A e seja x uma indeterminada. Seja R o anel gerado por x e A, contendo A como subanel e com rela¸c˜oes
ax = xα(a) + δ(a), para todo a ∈ A, ou seja, R ∼= A[x]/hax − xα(a) − δ(a)i. Ent˜ao
(i) cada elemento n˜ao-nulo f ∈ R pode ser escrito unicamente como f = Pni=0xiai, para algum
inteiro n˜ao-negativo n e elementos ai∈ A, com an6= 0, (ii) R ´e um dom´ınio se A for um dom´ınio e α for injetor,
(iii) se A for um corpo ent˜ao R ´e um dom´ınio de ideais principais `a direita. Al´em disso, se α for um automorfismo, R ´e tamb´em um dom´ınio de ideais principais `a esquerda.
Demonstra¸c˜ao: Ver Proposi¸c˜ao 2.1.1 de [8].
O anel R da proposi¸c˜ao anterior ´e chamado extens˜ao de Ore ou anel de polinˆomios skew em x
sobre A associado com α, δ, e ´e denotado por A[x; α, δ]. O inteiro n do item (i) acima ´e chamado o grau de f , abreviado deg(f ), e o elemento an ´e chamado coeficiente dominante de f . Se f tem coeficiente dominante igual a 1, f ´e chamado mˆonico. O elemento zero de R ´e definido para ter grau
−∞ e coeficiente dominante 0. Quando δ = 0 escrevemos A[x; α] no lugar de A[x; α, 0]. Se al´em disso α = 1, obtemos o anel de polinˆomios na indeterminada central x sobre A, denotado por A[x]. O anel A[x; 1, δ] ´e tamb´em chamado anel de polinˆomios diferenci´aveis ou anel de operadores diferenciais e
´e denotado por A[x; δ].
1.6. EXTENS ˜OES DE ORE E S ´ERIES DE LAURENT SKEW 25
Proposi¸c˜ao 1.6.2. Sejam A e S an´eis, α : A −→ A um endomorfismo e δ : A −→ A uma α-
deriva¸c˜ao. Se ψ : A −→ S ´e um homomorfismo de an´eis e u ∈ S tem a propriedade que
ψ(a)u = uψ(α(a)) + ψ(δ(a)),
para todo a ∈ A, ent˜ao existe um ´unico homomorfismo de an´eis χ : A[x; α, δ] −→ S tal que χ(x) = u e que faz o diagrama
A i // ψ A[x; α, δ] χ zzvvvv vvvv vv S
comutar, onde i : A −→ A[x; α, δ] ´e a inclus˜ao.
Demonstra¸c˜ao: Basta definir χ : A[x; α, δ] −→ S por χ(Pxiai) =Puiψ(ai).
´
E f´acil ver que se A for um dom´ınio com um endomorfismo injetor α e uma α-deriva¸c˜ao δ ent˜ao a fun¸c˜ao deg em A[x; α, δ] satisfaz
(i) deg(f − g) ≤ max{deg(f ), deg(g)}, (ii) deg(f g) = deg(f ) + deg(g).
Como todo dom´ınio de ideais principais `a direita ´e um dom´ınio de Ore `a direita (pelo Corol´ario
1.2.11) ent˜ao, para um corpo K, K[x; α, δ] tem um corpo cl´assico de fra¸c˜oes que ser´a denotado por K(x; α, δ) e chamado corpo das fun¸c˜oes racionais skew. A proposi¸c˜ao a seguir mostra exatamente sob quais condi¸c˜oes o anel de polinˆomios skew sobre um corpo ´e um dom´ınio de ideais principais `a esquerda.
Proposi¸c˜ao 1.6.3. Seja K um corpo com um endomorfismo α e uma α-deriva¸c˜ao δ, e seja R =
K[x; α, δ]. Ent˜ao as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(a) α ´e um automorfismo, (b) R ´e principal `a esquerda,
Demonstra¸c˜ao: Ver Proposi¸c˜ao 2.1.6 de [8].
Sejam K um corpo, α um automorfismo de K e δ uma α-deriva¸c˜ao de K. Ent˜ao as seguintes propriedades s˜ao satisfeitas pelo anel de polinˆomios skew K[x; α, δ].
Proposi¸c˜ao 1.6.4 (Regra de Leibniz). Para todo inteiro n ≥ 0 e para quaisquer elementos a, b, c ∈ K temos:
(i) δn(ab) =Pn
i=0δi(a)g(i, n − i)(b) (ii) cxn=Pn
i=0xig(i, n − i)(c),
onde g(i, j) : K −→ K ´e a soma de todas as palavras distintas formadas com i letras α e j letras δ.
Demonstra¸c˜ao: Ver [9, pg. 246].
Corol´ario 1.6.5. Se αδ = δα e 0 ≤ i ≤ n, (i) g(i, n − i) = niαiδn−i
(ii) δn(ab) =Pn i=0 n i δi(a)αiδn−i(b) (iii) cxn=Pn i=0 n i xiαiδn−i(c).
Demonstra¸c˜ao: Ver [9, pg. 248].
Como α ´e um automorfismo ´e poss´ıvel escrever os elementos de K[x; α, δ] como polinˆomios em x com coeficientes `a esquerda. Mais precisamente, ´e poss´ıvel mostrar por indu¸c˜ao que, para todo a ∈ K e todo inteiro n ≥ 0,
xna = n X
i=0
(−1)n−ig′(i, n − i)(a)xi, (1.4) onde g′(i, j) : K −→ K ´e a soma de todas as palavras distintas formadas com i letras α−1 e j letras δα−1.
Vamos considerar agora δ = 0. Neste caso podemos definir o anel formado pelas s´eries de potˆencias P∞i=0xiai com multiplica¸c˜ao induzida por ax = xα(a). Como α ´e um automorfismo,
1.6. EXTENS ˜OES DE ORE E S ´ERIES DE LAURENT SKEW 27
potˆencias negativas de α est˜ao definidas. Podemos ent˜ao considerar o anel K((x; α)) das s´eries de Laurent skew; elas s˜ao s´eries da formaP∞−rxia
i, onde r ´e um inteiro n˜ao-negativo, com multiplica¸c˜ao dada pela regra:
axn= xnαn(a), n ∈ Z.
Observe que toda s´erie n˜ao-nula pode ser escrita na forma x−rc(1 −P∞
i=1xiai) e esta tem inverso [P∞n=0(P∞i=1xiai)n]c−1xr. A soma P∞
n=0( P∞
i=1xiai)n est´a bem definida, ou seja, ´e um elemento de K((x; α)), uma vez que as potˆencias de x que aparecem em (P∞i=1xia
i)n s˜ao maiores ou iguais a n. Logo [P∞n=0(P∞i=1xiai)n]c−1xr ´e um elemento de K((x; α)) e, portanto, K((x; α)) ´e um corpo. Como K((x; α)) ⊃ K[x; α] ent˜ao K((x; α)) ⊃ K(x; α).
Quando δ 6= 0 n˜ao ´e poss´ıvel definir um anel formado pelas s´eries de potˆencias P∞i=0xiai com multiplica¸c˜ao induzida por ax = xα(a)+δ(a), uma vez que na multiplica¸c˜ao bP∞i=0xiai =P∞
i=0bxiai, b ∈ K, aparecem infinitos termos independentes, por exemplo. Para superar este problema ´e usual introduzir uma outra vari´avel, y = x−1. Segue de ax = xα(a) + δ(a) que
ya = α(a)y + yδ(a)y. Aplicando repetidamente esta f´ormula obtemos
ya = α(a)y + αδ(a)y2+ yδ2(a)y2 ..
. (1.5)
= α(a)y + αδ(a)y2+ αδ2(a)y3+ · · · + αδn−1(a)yn+ yδn(a)yn.
Se δ ´e localmente nilpotente, ou seja, cada elemento de K ´e anulado por alguma potˆencia de δ, ent˜ao segue de (1.5) que ya pode ser escrito como um polinˆomio em y com coeficientes `a esquerda. Mas, para qualquer δ, podemos tomar o limite quando n → ∞ em (1.5) e obter
ya = α(a)y + αδ(a)y2+ αδ2(a)y3+ αδ3(a)y4+ · · · = ∞ X i=0
αδi(a)yi+1. (1.6)
Denotemos por K[[y; α, δ]] o conjunto de todas as s´eries de potˆencia da formaP∞i=0aiyi e defina em K[[y; α, δ]] uma multiplica¸c˜ao induzida por (1.6). Observe que desta vez a multiplica¸c˜ao est´a bem definida uma vez que na expans˜ao de yna em potˆencias de y com coeficientes `a esquerda, a menor
potˆencia de y que aparece ´e yn. Logo K[[y; α, δ]] ´e um anel. Temos ent˜ao o seguinte teorema: Teorema 1.6.6. Seja K um anel com divis˜ao com automorfismo α e α-deriva¸c˜ao δ, e considere o anel
R = Khy : ya = α(a)y + yδ(a)y, para todo a ∈ Ki.
Ent˜ao R ⊂ K[[y; α, δ]], que ´e um dom´ınio. Al´em disso, o conjunto {1, y, y2, . . .} ´e um conjunto de
Ore `a esquerda em K[[y; α, δ]] cuja localiza¸c˜ao nos d´a um corpo K((y; α, δ)) consistindo de todas as s´eries de Laurent skew P∞i=raiyi, r ∈ Z.
Demonstra¸c˜ao: Ver Teorema 2.3.1 de [8].
Observa¸c˜ao 1.6.7. Como α ´e um automorfismo, os elementos de K((y; α, δ)) tamb´em podem ser
escritos na forma Pyiai, pois
ay = (α(α−1(a))y = yα−1(a) − yδα−1(a)y = yα−1(a) − yα(α−1δα−1(a))y = yα−1(a) − y(yα−1δα−1(a) − yδα−1δα−1(a)y)
= yα−1(a) − y2α−1δα−1(a) + yδα−1δα−1(a)y
= yα−1(a) − y2α−1δα−1(a) + y3α−1δα−1δα−1(a) − y4α−1δα−1δα−1δα−1(a) + · · · .
Considere o anel de polinˆomios skew K[z; α, δ] na indeterminada z. Como ay−1 = ax = xα(a) + δ(a), para todo a ∈ K, ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 1.6.2, existe ´unico homomorfismo de an´eis ψ : K[z; α, δ] −→ K((y; α, δ)) tal que ψ(z) = y−1 = x e ψ(a) = a, para todo a ∈ K. Se ψ Pzia
i
= 0 ent˜ao Pxiai = 0 e, portanto, ai = 0, para todo i. Logo Pziai = 0 e portanto ψ ´e injetora. Logo K[z; α, δ] ∼= Im(ψ), que ´e o subanel formado pelos polinˆomios Pni=0xiai. Como ψ(z) = x vamos identificar z com x e assim temos a inclus˜ao
K[x; α, δ] ⊂ K((y; α, δ)) de onde segue que
1.6. EXTENS ˜OES DE ORE E S ´ERIES DE LAURENT SKEW 29
Mais ainda, se f =P∞i=−raiyi∈ K((y; α, δ)), r ≥ 0, ent˜ao
f = −1 X i=−r aiyi+ ∞ X i=0 aiyi= −1 X i=−r aix−i+ ∞ X i=0 aiyi = r X j=1 a−jxj+ ∞ X i=0 aiyi ∈ K[x; α, δ] + K[[y; α, δ]] e portanto K((y; α, δ)) = K[[y; α, δ]] + K[x; α, δ].
Vejamos como escrever os elementos de K(x; α, δ) como s´eries de Laurent de K((y; α, δ)). Sejam f =Pmi=0xiai, g =Pn
i=0xibi∈ K[x; α, δ], am, bn6= 0, n ≥ 1. Temos ymf = x−mf = m X i=0 x−m+iai = m X i=0 x−(m−i)ai = m X i=0 ym−iai = m X j=0 yjam−j, yng = x−ng = n X i=0 x−n+ibi = n X i=0 x−(n−i)bi = n X i=0 yn−ibi= n X j=0 yjbn−j = bn+ ybn−1+ · · · + yn−1b1+ ynb0 = (1 + ybn−1bn−1+ · · · + yn−1b1b−1n + ynb0b−1n )bn = [1 + y(bn−1b−1n + · · · + yn−2b1b−1n + yn−1b0b−1n )]bn= (1 + yh)bn,
h = bn−1b−1n +· · ·+yn−2b1b−1n +yn−1b0b−1n ∈ R. Seja l = b−1n (1−yh+(yh)2−(yh)3+· · · ) ∈ K[[y; α, δ]], que ´e um elemento com termo independende n˜ao-nulo. Ent˜ao
yngl = (1 + yh)bnb−1n (1 − yh + (yh)2− (yh)3+ · · · )
= (1 − yh + (yh)2− (yh)3+ · · · ) + (yh − (yh)2+ (yh)3− · · · ) = 1,
lyng = b−n1(1 − yh + (yh)2− (yh)3+ · · · )(1 + yh)bn
e portanto (yng)−1 = l ∈ K[[y; α, δ]]. Logo f g−1 = (y−mym)f g−1(y−nyn) = y−m(ymf )(yng)−1yn = y−m m X j=0 yjam−j lyn∈ K((y; α, δ)), (1.7)
ondePmj=0yjam−jl ∈ K[[x; α, δ]] e tem termo independente n˜ao-nulo.
Um exemplo cl´assico de anel de polinˆomios skew ´e a (primeira) ´algebra de Weyl A1(K), sobre um anel com divis˜ao K,
A1(K) = Khx, y : xy − yx = 1i.
A1(K) pode ser definida como o anel de polinˆomios skew K[x][y; 1,dxd] = K[x][y;dxd], onde dxd ´e a derivada formal com rela¸c˜ao a x. Uma vez que K[x] ´e um dom´ınio de Ore `a direita ent˜ao A1(K) = K[x][y; d
dx] ´e um dom´ınio de Ore `a direita com corpo de quocientes cl´assico Q(A1(K)) = K(x)(y; d dx), chamado corpo de Weyl . De fato, isto segue do seguinte resultado mais geral.
Observa¸c˜ao 1.6.8. Seja R um dom´ınio de Ore `a direita com corpo de quocientes cl´assico Q(R). Seja α um endomorfismo injetor de R e seja δ ´e uma α-deriva¸c˜ao. Ent˜ao α se estende a um ´unico endomorfismo de Q(R) e δ se estende a uma ´unica α-deriva¸c˜ao de Q(R) (pelo Teorema 0.8.11 de [6] ou pela Proposi¸c˜ao 2.1.2 de [8]) e temos as inclus˜oes
R[z; α, δ] ⊂ Q(R)[z; α, δ] ⊂ Q(R)(z; α, δ)
(ver [6, pg. 54]). Com abuso de nota¸c˜ao usamos os mesmos s´ımbolos α e δ para denotar tais extens˜oes. Se u = f g−1∈ Q(R)(z; α, δ), f, g ∈ Q(R)[z; α, δ], podemos escrever os coeficientes de f e g num denominador comum c ∈ R∗ e portanto f = f
1c−1, g = g1c−1, para alguns f1, g1 ∈ R[z; α, δ].
Assim, u = f g−1 = (f
1c−1)(g1c−1)−1 = f1g1−1 e portanto Q(R)(z; α, δ) ´e um corpo de quocientes
cl´assico de R[z; α, δ]. Segue que R[z; α, δ] ´e um dom´ınio de Ore `a direita.
Vimos que se R for um dom´ınio de Ore `a direita e α for um endomorfismo injetor de R ent˜ao R[z; α, δ] ´e tamb´em um dom´ınio de Ore `a direita (para qualquer α-deriva¸c˜ao δ). Um resultado semelhante vale no caso em que R ´e um anel noetheriano `a direita.