A partir dos resultados estabelecidos na se¸c˜ao anterior, o diagrama abaixo esquematiza as id´eias a serem trabalhadas nessa se¸c˜ao com o objetivo de construir uma estrutura pseudo-K¨ahler em SL(2, C). A principal referˆencia para os resultados dessa se¸c˜ao ´e [9].
V1,1 (SL(2, C))C π1 V1,1 (SO+(1, 3))C ϕ∗ oo π2 V1,1 (T∗(SO(3)))C (f−1)∗ oo π3 SL(2, C) ϕ //SO+(1, 3) f −1 //T∗(SO(3))
Onde πα, α = 1, 2, 3, s˜ao as proje¸c˜oes canˆonicas associadas `as fibra¸c˜oes.
Primeiramente, Para (J X, g) ∈ T∗(SO(3)) denotemos p = eJ X. Definamos o operador Ap: so(1, 3)J → so(1, 3)J, tal que Ap = (I+Ad(p)2 )−1, observando que Ad(p) n˜ao possui
J t × SO(3) = {(J X, g) | nπ /∈ σ(ad(X)), n ∈ Z},
onde σ(ad(X)) ´e o conjunto dos autovalores (Espectro) de ad(X). Agora, considerando que exp : J t → G ´e n˜ao-singular quando ad(J X) n˜ao possui autovalores do tipo 2nπ, com n ∈ Z, e que o produto (exp(JX), g) → exp(JX)g ´e isomorfismo quando Ad(eJ X) n˜ao possui autovalor -1 segue o resultado, mais detalhes em [9], p´agina 599. Para o operador Ap temos o seguinte lema que utilizaremos posteriormente.
Lema 9.5 O operador Ap, onde p = eJ X, satisfaz a identidade
κ(Z, ApW ) = κ(Ad(p) ◦ ApZ, W )
Demonstra¸c˜ao. Denotando Z0 = ApZ e W0 = ApW obtemos
κ(Z, ApW ) = κ(( I+Ad(p) 2 )Z 0, W0) = 1 2κ(Z 0, W0) + 1 2κ(Ad(p)Z 0, W0),
κ(Ad(p) ◦ ApZ, W ) = κ(Ad(p)Z0, (I+Ad(p)2 )W0)
= 12κ(Ad(p)Z0, W0) + 12κ(Ad(p)Z0, Ad(p)W0).
Assim, da Ad-invariˆancia da forma de Cartan-Killing segue que o resultado.
Consideremos agora a proje¸c˜ao canˆonica π : T∗(SO(3)) → SO(3), podemos definir uma 1-forma λ em T∗(SO(3)), tal que para todo α ∈ T∗(SO(3)) e v ∈ Tα(T∗(SO(3))), temos
λα(v) = α(π∗v) (ver [2], p´agina 202).
Temos µ = dλ uma 2-forma fechada n˜ao-degenerada definida em T∗(SO(3)) = J t × SO(3), obtemos assim uma estrutura de variedade simpl´etica na variedade J t×SO(3). Da identifica¸c˜ao de T∗(SO(3)) com J (t)×SO(3), dada uma curva (J X(t), gt) em J (t)×SO(3)
temos λ(dtd t=o(J X(t), gt)) = κ(X(0), d dt t=0gtg −1
0 ). Considerando a a¸c˜ao de SO(3) × SO(3)
nos campos canˆonicos definida por (g1, g2) eZ = Ad(g^2)Z, pela Ad-invariˆancia de κ segue
que λ ´e invariante. Estamos interessados em calcular λ( eZ), sendo assim consideremos o seguinte teorema que reune express˜oes convenientes para curvas associadas ao campo eZ. Teorema 9.6 Seja (J X, g) ∈ T∗(SO(3)), com p = eJ X, e seja Z ∈ so(1, 3)J. Definimos
as seguintes curvas em T∗(SO(3))
γJ X,g,Z: t → (log(petAp◦Ad(g)JIm(Z)), et(Ad(g)Z−Ap◦Ad(g)JIm(Z))g),
δJ X,g,Z: t → (12(log2J X(pgetZe
−tZg−1p), p(t)−1pgetZ)),
onde logW = log ´e a inversa local da aplica¸c˜ao exponencial numa vizinhan¸ca de eW em uma vizinhan¸ca de W em so(1, 3)J, e
p(t) = exp(12log2J X(pgetZe−tZg−1p)).
Ent˜ao temos dtd
t=0γ = eZ(J X,g), e δ ´e a curva integral de eZ iniciada em (J X, g).
Demonstra¸c˜ao. Segue em [9], p´agina 600.
De acordo com [9] a curva γ tem eZ como vetor tangente em (J X, g) mas o mesmo n˜ao acontece em outros pontos da curva. Para (J X, g) ∈ T∗(SO(3)), com p = eJ X, e Z ∈ so(1, 3)J, pelo teorema 9.6 podemos escrever γ(t) = (J X(t), gtg), onde
(J X(t), gtg) = (log(petAp◦Ad(g)JIm(Z)), et(Ad(g)Z−Ap◦Ad(g)JIm(Z))g).
Considerando a identifica¸c˜ao de T∗(SO(3)) com J t × SO(3), temos λγ(0)(dtd t=0γ(t)) = αγ(0)((Rg)∗ d dt t=0gt) = κ(X(0), d dt t=0gt),
como γ(0) = (J X, g), e al´em disso
d dt t=0γ(t) = eZ(J X,g) e d dt t=0gt= Ad(g)Z − Ap◦ Ad(g)JIm(Z), temos λ( eZ)(J X,g)= κ(X, Ad(g)Z − Ap◦ Ad(g)JIm(Z)).
Obtemos o seguinte resultado.
Proposi¸c˜ao 9.7 Para todo (J X, g) ∈ T∗(SO(3)) e Z ∈ so(1, 3)J, λ( eZ)(J X,g)= κ(X, Ad(g)Re(Z)).
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente observemos que Ad(p)X = X, visto que Ad(eJ X) =
ead(J X), assim A−1p X = (I+Ad(p))2 X = X. Agora, pelo lema 9.5 temos κ(X, Ap◦ Ad(g)JIm(Z))) = κ(Ad(p) ◦ ApX, Ad(g)J Im(Z)),
como Ad(p) ◦ ApX = X, temos
κ(X, Ap◦ Ad(g)JIm(Z))) = κ(X, Ad(g)JIm(Z))).
Assim, segue que
κ(X, Ad(g)Z − Ap◦ Ad(g)JIm(Z)) = κ(X, Ad(g)Re(Z)),
como queriamos mostrar
Agora, novamente para (J X, g) ∈ T∗(SO(3)) denotemos p = eJ X. Definamos o opera- dor
FJ X: so(1, 3)J → so(1, 3)J, tal que FJ X(Z) = d ds s=0log(pe sZ).
Pela p´opria defini¸c˜ao temos FJ X = (logJ X◦Lp)∗, consideremos o seguinte teorema.
Teorema 9.8 (ver [7], p´agina 185) Seja G um grupo de Lie com ´algebra de Lie g. Para todo X ∈ g seja (exp)∗X a diferencial do mapa exponencial em X. Ent˜ao
(exp)∗X = (LeX)∗◦P∞n=0 (−1) n
(n+1)!ad(X) n.
Em particular, o mapa (exp)∗X ´e bijetor se, e somente se, o endomorfismo ad(X) n˜ao
possui autovalores da forma 2nπi para n ∈ N. Em uma vizinhan¸ca do elemento neutro, temos
I = (Lp−1◦L
p)∗ = (Lp) −1
∗ ◦ (exp)∗JX ◦ (logJ X◦Lp).
Como (Lp)−1∗ ◦ (exp)∗JX: g → g (considerando a identifica¸c˜ao TJ Xg ∼= g), temos
I = (Lp−1 ◦ Lp)∗ = (Lp)−1∗ ◦ (exp)∗JX◦ (logJ X◦Lp) = ∞ X n=0 (−1)n (n + 1)!ad(J X) n◦ F J X, (9.1)
O operador FJ X satisfaz a seguinte propriedade que utilizaremos posteriormente.
Lema 9.9 Seja (J X, g) ∈ T∗(SO(3)), denotemos p = eJ X. O operador FJ X satisfaz a
seguinte identidade
κ(X, FJ XW ) = κ(X, W ),
para todo W ∈ so(1, 3)J.
Demonstra¸c˜ao. Primeiro observamos que pela defini¸c˜ao de FJ X temos FJ X(W ) = W
sempre que [X, W ] = 0. Denotando TZ =
P∞
n=0 (−1)n (n+1)!ad(Z)
n, para todo Z ∈ so(1, 3)J,
pela associatividade de ad(J X) com rela¸c˜ao a forma de Cartan-Killing segue κ(T−JX(W ), Z) = κ(W, TJ X(Z)),
para todo W, Z ∈ so(1, 3). Assim obtemos a seguinte igualdade
κ(X, FJ XW ) = κ((T−JX ◦ F−JX)X, FJ XW ) = κ(X, (TJ X◦ FJ X)W ),
como (por (9.1)) (TJ X◦ FJ X)W = W segue o resultado.
Consideremos agora o mapa φ : J t × SO(3) → R, (JX, g) → κ(X, X), temos que φ ´e invariante com rela¸c˜ao a a¸c˜ao de SO(3) × SO(3) em J t × SO(3), ou seja
para (g1, g2) ∈ SO(3) × SO(3) e (J X, x) ∈ J t × SO(3). Agora observamos que como
J t × SO(3) ´e uma variedade complexa temos d = ∂ + ∂, onde ∂∂ = −∂∂, pois d2 = 0. Definindo dc = i(∂ − ∂), temos ddc = 2i∂∂ = −dcd. Temos dcφ( eZ) = ˜J eZ(φ) = dφ( ˜J eZ), temos o seguinte resultado.
Teorema 9.10 Seja φ : J t × SO(3) → R, o mapa SO(3) × SO(3)-invariante definido por φ(J X, g) = κ(X, X), ent˜ao 2λ = dcφ.
Demonstra¸c˜ao. Calculando dcφ obtemos
dcφ( eZ)(J X,g)= ( ˜J eZ(φ))(J X,g) = dtd t=0φ(γJ X,g,J Z)(t) = 2κ(−Jdtd t=0log(pe tAp◦Ad(g)JIm(JZ)), X),
onde essa ´ultima igualdade segue da defini¸c˜ao de φ e do teorema 9.6. Assim da defini¸c˜ao do operador FJ X e considerando que Im(J Z) = Re(Z), segue que
2κ(−Jdtd
t=0log(pe
tAp◦Ad(g)JIm(JZ)), X) = 2κ(F
J X(Ap◦ Ad(g)Re(Z)), X),
pelos lemas 9.5 e 9.9, temos
2κ(FJ X(Ap◦ Ad(g)Re(Z)), X) = 2κ(Ad(g)Re(Z), X),
pela proposi¸c˜ao 9.7 temos 2κ(Ad(g)Re(Z), X) = 2λ( eZ)(J X,g).
Temos o seguinte corol´ario.
Corol´ario 9.11 µ = dλ = 12ddcφ = −i∂∂φ. A 2-forma µ = dλ ´e ˜J -invariante, µ( ˜J eZ, ˜J fW ) = µ( eZ, fW ), para todo Z, W ∈ so(1, 3)J.
Demonstra¸c˜ao. Como J t × SO(3) ´e uma variedade complexa temos d = ∂ + ∂, onde ∂∂ = −∂∂, pois d2 = 0. Definindo dc = i(∂ − ∂), temos ddc = 2i∂∂ = −dcd. Assim, do
teorema 9.10 segue que dλ = 12ddcφ = −i∂∂φ.
Vamos mostrar que ddcφ ´e ˜J -invariante. Primeiro observamos que se α ´e uma 1-forma
sobre uma variedade, temos a seguinte f´ormula para diferencial exterior
dα(X, Y ) = X(α(Y )) − Y (α(X)) − α([X, Y ]). (9.2) Assim, da formula para diferencial exterior e considerando que dcφ( eZ) = ˜J eZ(φ), obtemos
ddcφ(X, Y ) = X(dcφ(Y )) − Y (dcφ(X)) − dcφ([X, Y ]) = X(dφ( ˜J Y )) − Y (dφ( ˜J X)) − dφ( ˜J [X, Y ]),
e por isso
ddcφ( ˜J X, ˜J Y ) = ˜J X(dφ(−Y )) − ˜J Y (dφ(−X)) − dφ( ˜J [ ˜J X, ˜J Y ]) = − ˜J X(dφ(Y )) + ˜J Y (dφ(X)) + dφ( ˜J [X, Y ]) = −dcdφ(X, Y ) = ddcφ(X, Y ), assim temos µ = 12ddcφ = −i∂∂φ ˜J -invariante.
O seguinte teorema nos fornece uma express˜ao para a 2-forma µ, que ser´a ´util na hora de mostrar a invariˆancia por SU(2) da estrutura obtida em SL(2, C). Segue o resultado. Teorema 9.12 Seja (J X, g) ∈ T∗(SO(3)) = J t × SO(3), com p = eJ X, temos
µ( eZ, fW ) = Im(κ(EJ X◦ Ad(g)Z, Ad(g)W )) = Im(κ(EJ Ad(g)−1XZ, W )),
onde EJ X = FJ X◦ Ad(p) ◦ Ap, e eZ, fW s˜ao campos canˆonicos em T∗(SO(3)).
Demonstra¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao deste fato segue de (9.6), (9.7), da f´ormula (9.2) para diferencial exterior de 1-formas e de c´alculos utilizando as seguintes propriedades adicionais satisfeitas pelos operadores FJ X, Ap e EJ X:
• Ad(p) ◦ Ap = 2I − Ap; • ad(JX) = FJ X ◦ (I − Ad(p)−1); • FJ X ◦ Ap = FJ X ◦ Ap, e temos κ((FJ X ◦ Ap)Z, W ) = κ(Z, (FJ X ◦ Ap)W ), para Z, W ∈ so(1, 3)J; • Ad(p)−1◦ F J X = F−JX;
• κ(Z, FJ XW ) = κ(F−JXZ, W ), para todo Z, W ∈ so(1, 3)J.
A demonstra¸c˜ao para estas propriedades podem ser encontradas em [9]. Faremos aqui apenas a seguinte observa¸c˜ao: Para campos canˆonicos eZ e fW em T∗(SO(3)), no ponto (J X, g) ∈ T∗(SO(3)), denotando p = eJ X, temos
µ( eZ, fW )(J X,g)= dλ( eZ, fW )(J X,g)= eZ(λ(fW ))(J X,g)− fW (λ( eZ))(J X,g)− λ([ eZ, fW ])(J X,g).
De acordo com [9], para cada fator do lado direito da ´ultima igualdade da equa¸c˜ao acima temos
e
Z(λ(fW ))(J X,g) = −4iκ(FJ X◦ Ap◦ Ad(p)−1◦ Ad(g)(Z − Z), Ad(g)(W + W ))
−i
4κ(FJ X◦ (I − Ad(p)
−1) ◦ Ad(g)(2Z), Ad(g)(W + W )),
−fW (λ( eZ)) = i
+4iκ(FJ X◦ Ad(p)−1◦ (I − Ad(p)) ◦ Ad(g)(Z + eZ), Ad(g)(2W )),
−λ([ eZ, fW ]) = 4iκ(FJ X◦ (I − Ad(p)−1) ◦ Ad(g)(Z), Ad(g)W )
+4iκ(FJ X◦ (I − Ad(p)−1) ◦ Ad(g)( eZ), Ad(g)fW ),
somando esses termos e utilizando as propriedades adicionais citadas acima satisfeitas pelos operadores FJ X, Ap e EJ X chegamos na express˜ao
µ( eZ, fW ) = Im(κ(EJ X◦ Ad(g)Z, Ad(g)W )) = Im(κ(EJ Ad(g)−1XZ, W )),
os detalhes dos c´alculos omitidos aqui podem ser encontrados com detalhes em [9], p´agina 605.
Para uma variedade complexa, uma 2-forma fechada n˜ao-degenerada, para qual a estrutura complexa ´e uma isometria, fornece uma forma pseudo-K¨ahler. Assim, temos o resultado
Teorema 9.13 µ = dλ = 12ddcφ = −i∂∂φ ´e uma 2-forma fechada n˜ao-degenerada
SO(3) × SO(3)-invariante, ˜J -invariante em T∗(SO(3)) = J t × SO(3). Al´em disso, para A, B ∈ Tα(T∗(SO(3))), α ∈ T∗(SO(3)), temos
H(A, B) = µ( ˜J A, B) + iµ(A, B), uma estrutura pseudo-K¨ahler em T∗(SO(3)).
Observamos que a parte real de H, eZ, fW → µ( ˜J eZ, fW ), ´e uma forma bilinear, n˜ao- degenerada, ˜J -invariante (n˜ao necess´ariamente positiva definida) que determina uma pseudo-m´etrica em T∗(SO(3)), e a parte imagin´aria de H ´e a pr´opria 2-forma µ.
Para os campos canˆonicos (9.1), do teorema 9.12 temos a seguinte a seguinte ex- press˜ao
Teorema 9.14 A estrutura pseudo-K¨ahler associada a µ se expressa da seguinte forma nos campos canˆonicos
H( eZ, fW )(J X,g)= κ(EJ X◦ Ad(g)Z, Ad(g)W ) = κ(EJ Ad(g)−1XZ, W ),
onde (J X, g) ∈ T∗(SO(3)).
Consideremos so(1, 3) como ´algebra dos campos invariantes a esquerda, isto ´e, para todo X ∈ so(1, 3) vale
Defini¸c˜ao 9.15 Definimos a 2-forma ω em SO+(1, 3), tal que
ω(Zg, Wg) = µ(f∗−1(Lg)∗Z, f∗−1(Lg)∗W ), (9.3)
onde f : J t × SO(3) → SO+(1, 3) ´e o difeomorfismo associado a decomposi¸c˜ao de Cartan no n´ıvel de grupo citado anteriormente.
Como cada elemento g ∈ SO+(1, 3) ´e da forma g = f (J X, k), com (J X, k) ∈ J t × SO(3) = T∗(SO(3)), segue que
ω(Zg, Wg) = µ( eZ, fW )(J X,k), (9.4)
para g = f (J X, k) ∈ SO+(1, 3).
Pela defini¸c˜ao 9.15 e corol´ario 9.11, temos a compatibilidade de ω com a estrutura complexa invariante J , induzida de SL(2, C), isto ´e, para g = f (JX, k) ∈ SO+(1, 3)
ω(J Zg, J Wg) = µ( ˜J eZ, ˜J fW )(J X,k) = µ( eZ, fW )(J X,k) = ω(Zg, Wg).
Obtemos assim uma 2-forma fechada em SO+(1, 3) que ´e J -invariante. Agora, dado k ∈ SO+(1, 3), tal que k = f (0, k), assim
ω(Zk, Wk) = µ( eZ, fW )(0,k),
pelo teorema 9.12
ω(Zk, Wk) = Im(κ(E0◦ Ad(k)Z, Ad(k)W )) = Im(κ(Ad(k)Z, Ad(k)W )),
pois J X = 0 ⇒ EJ X = I. Como κ(Ad(k)Z, Ad(k)W )) = κ(Z, W ), temos
ω(Zk, Wk) = Im(κ(E0◦ Ad(k)Z, Ad(k)W )) = ω(Ze, We)
⇒ ω(Zk, Wk) = ω(Ze, We) = ω(Z, W ), com e = f (0, e) ∈ SO+(1, 3).
Temos o seguinte resultado
Teorema 9.16 Existe uma 2-forma fechada ω, compat´ıvel com a estrutura complexa J , SO(3)-invariante, n˜ao-degenerada que define uma estrutura pseudo-K¨ahler em SO+(1, 3), isto ´e, para campos Z, W
h(Z, W ) = ω(J Z, W ) + iω(Z, W ), ´
e uma estrutura pseudo-K¨ahler, SO(3)-invariante em SO+(1, 3).
Atrav´es do homomorfismo ϕ : SL(2, C) → SO+(1, 3), constru´ıdo no cap´ıtulo 7, pode- mos transferir a forma pseudo-K¨ahler de SO+(1, 3) para SL(2, C) via pullback. Definimos a 2-forma fechada η em SL(2, C), tal que
η(Vg, Ug) = ω(ϕ∗Vg, ϕ∗Ug), para todo g ∈ SL(2, C).
Considerando sl(2, C) como a ´algebra dos campos invariantes a esquerda, para cada V ∈ sl(2, C), temos um campo ϕ∗(Lg)∗V = ϕ∗Vg em SO+(1, 3), temos ainda que ϕ∗(Lg)∗V =
(Lϕ(g))∗ϕ∗V . Como ϕ∗(su(2)) = t = so(3), se g = eX, com X ∈ su(2), segue que
η(Vg, Ug) = ω(ϕ∗Vg, ϕ∗Ug) = ω((Lϕ(g))∗ϕ∗V, (Lϕ(g))∗ϕ∗U ),
para todo V, U ∈ sl(2, C). Mas, ϕ(g) = ϕ(eX) = eϕ∗X ∈ SO(3) ⇒ η(V
g, Ug) = η(V, U ),
pois ω ´e SO(3)-invariante. Como SU(2) = hexp(su(2))i, segue que η ´e SU(2)-invariante. Para ver que η ´e compat´ıvel com a estrutura complexa canˆonica J0, observamos que
η(J0Vg, J0Ug) = ω((ϕ∗J0Vg), (ϕ∗J0Ug)).
Como a estrutura induzida em SO+(1, 3) ´e dada por J = ϕ∗ ◦ J0 ◦ ϕ−1∗ , segue que
η(J0Vg, J0Ug) = η(Vg, Ug).
Dessas observa¸c˜oes segue o corol´ario
Corol´ario 9.17 Existe uma 2-forma fechada η n˜ao-degenerada, compat´ıvel com J0, SU(2)-
invariante que define uma estrutura pseudo-K¨ahler em SL(2, C), isto ´e, para campos V, U B(V, U ) = η(J0V, U ) + iη(V, U ),
´
e uma estrutura pseudo-K¨ahler, SU(2)-invariante em SL(2, C).
A constru¸c˜ao desta estrutura pseudo-K¨ahler atrav´es do pullback de estruturas geom´etricas de T∗(SO(3)) ´e semelhante a constru¸c˜ao feita em [22], onde se investigam as estruturas hiperkahler no fibrado cotangente de grupos de Lie complexos.
BIBLIOGRAFIA
[1] Andrada, A.; Barberis, M. L.; Dotti, I. Classification of abelian complex structures on 6-dimensional Lie algebras. J. Lond. Math. Soc. (2) 83 (2011), no. 1, 232255. [2] Arnold, V. I. Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd edition, GTM 60,
Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg, 1989.
[3] Arvanitoyeorgos, A.; An introduction to Lie Groups and the Geometry of Homogene- ous Spaces, Student Mathematical Library Vol. 22, American Mathematical Society 1999.
[4] Arvanitoyeorgos, A.; Mori, K.; Sakane, Y. Einstein metrics on compact Lie groups which are not naturally reductive, Geom. Dedicata (2012) 160:261285, 1 December 2011, Springer Science+Business Media B.V. 2011.
[5] Azecontt, R.; Wilson, E. Homogeneous manifolds with negative curvature, Part I, Trans. Amer. Math, Soc. 215 (1976), 323-362.
[6] B. San Martin, Luiz ´Algebras de Lie, 2a edio, Editora da Unicamp, 2010.
[7] B. San Martin, Luiz Grupos de lie. Notas de aula. 2006. Dispon´ıvel em: http://www.ime.unicamp.br/ smartin/cursos/grupolie-2006/.
[8] Bishop, R. L.; Crittenden, R. J. Geometry of Manifolds, Academic Press, New York, 1964.
[9] Bremigan, Ralph J. Pseudo-K¨ahler forms on Complex Lie Groups, Documenta Math, July 26, 2000.
[10] Campoamor-Stursberg, Rutwig; Ovando, Gabriela P. Invariant complex structures on tangent and cotangent Lie groups of dimension six. Osaka J. Math. 49 (2012), no. 2, 489513.
[11] Cao, Xiaodong; Guckenheimer, John; Saloff-Coste, Laurent The backward behavior of the Ricci and cross-curvature flows on SL(2,R). Comm. Anal. Geom. 17 (2009), no. 4, 777796.
[12] DAtri, J. E.; Ziller, W. Naturally reductive metrics and Einstein metrics on compact Lie groups, Mem. Amer. Math. Soc. 18 (1979)
[13] Eliasson, H. On variations of metrics, Math. Scand. 29 (1971) 317-327.
[14] Gallier, Jean: Notes on Differential Geometry and Lie Groups, University of Pennsylvania, decenber 7, 2012. Dispon´ıvel em: http://www.cis.upenn.edu/∼jean/gbooks/manif.html.
[15] Gromoll, D.; Klingenberg, W.; Meyer, W. Riemannsche Geometrie im Grossen, Lec- ture Notes in Mathematics no. 55, Springer, New York, 1968.
[16] Heintze, E. On homogeneous manifold of negative curvature, Math. Ann. 211 (1974), 23-34.
[17] Humphreys, J.E. Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer - GTM 9.
[18] Iwasawa, K. On some type of topological groups, Ann. Math. 50 (1949), 507-558. [19] Knapp, A. W. Lie groups: Beyond an introduction. Birkh¨auser, Boston (1996). [20] Kobayashi, S.; Nomizu, K. Foundations of differential geometry, vol. 1. John Willey
& Sons (1963).
[21] Kobayashi, S.; Nomizu, K. Foundations of differential geometry, vol. 2. John Willey & Sons (1969).
[22] Kronheimer, P.B. Hyperk¨ahler structure on cotangent bundle of complex Lie group, june 1988.
[23] L. Besse, A. Einstein Manifolds, Springer-Varlag, 1997.
[24] Lauret, Jorge; Will, Cynthia Einstein solvmanifolds: existence and non-existence questions. Math. Ann. 350 (2011), no. 1, 199225.
[25] Leite, M. L.; D. Miatello, I. Metrics of negative Ricci curvature on SL(n, R), n ≥ 3, J. Differential Geometry 17 (1982), 635-641.
[26] M. Lee, J. Riemannian Manifolds, An Introduction to Curvature, Graduate text in mathematics; 176.
[27] Magnin, Louis Left invariant complex structures on U(2) and SU(2) × SU(2). Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 56 (2011), no. 1, 8384.
[28] Montgomery, D.; Zippin, L. Topological Transformation Groups. New York: Inters- cience, 1955.
[29] Nomizu, K., Lie groups and Differential Geometry, The Mathematical Society of Japan (1956).
[30] Ovando, Gabriela Invariant complex structures on solvable real Lie groups. Manus- cripta Math. 103 (2000), no. 1, 1930.
[31] Ovando, Gabriela Complex, symplectic and Khler structures on four dimensional Lie groups. Rev. Un. Mat. Argentina 45 (2004), no. 2, 5567 (2005).
[32] Pontrjagin, L. S. Topological Groups. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1939.
[33] Salamon, S. M. Complex structures on nilpotent Lie algebras. J. Pure Appl. Algebra 157 (2001), no. 2-3, 311333.
[34] Smith, B. H. An Introduction to complex, K¨ahler and locally conformal K¨ahler geo- metry.
[35] Thurston, W. P. Some simple examples of Sympletic Manifolds, Proc. Amer. Math. Soc. 55 (1976), 467-468.
[36] Urakawa, H. On the least positive eigenvalue of the Laplacian for compact group manifolds, J. Math. Soc. Japan, Vol 31 1, 1979.
[37] Varadarajan, V.S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, GTM 102, Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg-Tokyo,1984.
[38] W. Milnor, J. Curvatures of left invariant metrics on Lie groups, Advances in Math. 21 (1976).
[39] W. Warner, Frank: Foundation of Differentiable Manifold and Lie Group, University of Pennsylvania, Springer - GTM, 2010.
[40] Wallach, N. Compact Homogeneous Riemannian manifold with strictly positive cur- vature, Ann. Math. 96(1972), 277-295.
[41] Weinstein, A. Distance spheres in complex projective spaces, Proc. Amer. Mat. Soc. 39 (1973), 649-650.
[42] Willians, Bradford, M. Explicit Ricci Solitons on Nilpotent Lie Groups, J. Geom. Anal (2013) 23:4772, 13 May 2011, Mathematica Josephina, Inc. 2011.