Frustra¸ c˜ ao Bipartida de Arestas

Uma das principais caracter´ısticas dos grafos bipartidos ´e a ausˆencia de ciclos de compri-mento ´ımpar, que podem ser vistos como obst´aculos `a “bipartividade” de um grafo. Logo, uma maneira ´obvia de quantificar essa bipartividade (ou seja, o qu˜ao pr´oximo de bipartido o grafo se encontra) seria contar o n´umero de ciclos de comprimento ´ımpar presentes no grafo (DOˇSLI´C, 2005; HOLME et al., 2003). Outra t´ecnica semelhante, exposta em (ES-TRADA e RODR´IGUEZ-VEL´AZQUEZ, 2005), ´e a contagem de passeios fechados. Por´em, uma medida muito mais intuitiva da bipartividade pode ser definida atrav´es da contagem do n´umero de arestas que violam a caracter´ıstica mais marcante de um grafo bipartido: o fato de os dois extremos em cada aresta n˜ao fazerem parte da mesma classe da biparti¸c˜ao. Essa invari-ante, discutida a seguir, foi introduzida primeiramente no estudo de redes complexas (HOLME

et al., 2003) e, embora n˜ao seja comput´avel de modo eficiente no caso geral, pode ser calcu-lada em tempo polinomial no caso espec´ıfico dos grafos de fulereno (DOˇSLI´C e VUKˇCEVI´C, 2007).

Para prosseguir com a explica¸c˜ao ´e preciso primeiro definir de maneira mais clara o que significa uma arestaviolardeterminada biparti¸c˜ao(V1, V2)do conjunto de v´ertices de um grafo G= (V, E). Sejae∈E uma aresta do grafoG, e sejamu, v ∈V seus dois extremos. A aresta e´e ditafrustrada com respeito `a (V₁, V₂)se, e somente se, u, v ∈ V₁ ou u, v ∈V₂ (isto ´e, se seus dois extremos se encontram na mesma classe da biparti¸c˜ao). Para cada biparti¸c˜ao(X, Y) de V, denota-se por F_XY o conjunto formado por todas as arestas que violam (frustram) a biparti¸c˜ao(X, Y). Finalmente, a frustra¸c˜ao bipartida de arestas de um grafoG, denotada por φ(G), ´e a cardinalidade do menor F_XY considerando todas as poss´ıveis biparti¸c˜oes (X, Y)de V. De modo mais formal:

φ(G) = m´ın{|F_XY| |(X, Y)´e biparti¸c˜ao de V}

Equivalentemente,φ(G) pode ser definido como o tamanho do menor conjunto de arestas que precisam ser removidas para se obter um subgrafo gerador bipartido. Decorrente dessa defini¸c˜ao, ´e imediato que φ(G) = 0 se G for um grafo bipartido, eφ(G)>0caso contr´ario.

Mais especificamente, para um grafo simples G (DOˇSLI´C e VUKˇCEVI´C, 2007):

0≤φ(G)≤ |E|/2

No caso particular dos grafos de fulereno, esse limite ´e ligeiramente diferente. Todo grafo de fulereno possui exatamente12 faces pentagonais, cada uma correspondendo a um ciclo de tamanho ´ımpar (embora, certamente, existam outros), o que torna f´acil perceber que grafos de fulereno n˜ao s˜ao bipartidos. Portanto, φ(G)>0 se Gfor um grafo de fulereno. Entretanto,

´e poss´ıvel ir mais al´em considerando os pent´agonos de G. Como no m´ınimo uma aresta deve ser removida em cada uma das12faces pentagonais, e como a remo¸c˜ao de uma ´unica aresta

´e capaz de destruir simultaneamente apenas 2 faces pentagonais (se elas eram adjacentes),

obtˆem-se:

12≤φ(G)≤ |E|/2, se G corresponder a um isˆomero IPR 6≤φ(G)≤ |E|/2, caso contr´ario

Por fim, resta explicar como a frustra¸c˜ao bipartida de arestas pode ser computada em um grafo de fulereno, G. Doˇsli´c e Vukˇcevi´c mostram, em (DOˇSLI´C e VUKˇCEVI´C, 2007), a rela¸c˜ao existente entre φ(G) e um conjunto particular de arestas no grafo dual do fulereno.

Esse conjunto, denotado por H e denominadoobst´aculo, ´e o conjunto formado pelas arestas que precisam ser removidas de G^′ (o dual de G) para obter um subgrafo gerador que n˜ao possua v´ertices de grau ´ımpar. Para explicar de modo mais preciso, considere a distˆancia entre cada par de v´ertices de grau 5em G^′ (ou seja, a distˆancia entre as faces pentagonais deG).

Seja K12(G) o grafo completo que possui um v´ertice para cada face pentagonal de G e no qual cada aresta est´a associada a um peso que corresponde `a distˆancia entre as faces representadas por seus extremos (esse grafo recebe a denomina¸c˜ao especial de grafo de dis-tˆancia pentagonal de G). Novamente de acordo com Doˇsli´c e Vukˇcevi´c, cada obst´aculo de cardinalidade m´ınima vai estar mapeado diretamente em um emparelhamento perfeito de peso m´ınimo emK₁₂(G). O peso deste emparelhamento (isto ´e, a soma dos pesos de suas arestas) corresponde ao valor da frustra¸c˜ao bipartida de arestas emG.

Visto que o n´umero de arestas em um grafo planarGest´a emO(v(G))e que o n´umero de pent´agonos em um grafo de fulereno ´e constante, ´e poss´ıvel calcular as distˆancias entre todos os pares de v´ertices de grau 5 em G^′ em tempo linear usando, por exemplo, um algoritmo de busca em largura (PAPADIMITRIOU e STEIGLITZ, 1982). O restante da computa¸c˜ao (i.e., encontrar um emparelhamento perfeito emK₁₂(G)) pode ser feito em tempo constante – novamente devido ao fato de o n´umero de faces pentagonais ser constante – e esse tempo

´e o mesmo independente do valor de v(G), visto que todos os fulerenos possuem sempre o mesmo n´umero de pent´agonos. Logo, para qualquer fulereno, φ(G) pode ser calculado em tempo linear no n´umero de v´ertices (DOˇSLI´C e VUKˇCEVI´C, 2007).

Note que a frustra¸c˜ao bipartida de arestas pode ser calculada de modo diferente daquele proposto em (DOˇSLI´C e VUKˇCEVI´C, 2007). Resumidamente: dado um grafo de fulereno, G, basta encontrar um subgrafo bipartido com o maior n´umero poss´ıvel de arestas para, em seguida, contar quantas das arestas deGn˜aofazem parte desse subgrafo (pela defini¸c˜ao dada anteriormente, esse n´umero deve ser justamente a frustra¸c˜ao bipartida de arestas). Entretanto, calcularφ(G)dessa forma pode n˜ao ser muito eficiente, visto que o problema de encontrar um subgrafo bipartido m´aximo´e equivalente ao problema de encontrar um corte m´aximo (NEW-MAN, 2008), sabidamente NP-Dif´ıcil no caso geral (LIERS e PARDELLA, 2008). Certamente, existem solu¸c˜oes espec´ıficas para alguns casos especiais, como o algoritmo proposto em (LIERS e PARDELLA, 2008) para a classe dos grafos planares (que inclui os grafos de fulereno) e que apresenta complexidadeO(v(G)^3/2log v(G)). Por´em, pelo menos nesse artigo em particular, a complexidade do algoritmo apresentado ´e pior do que o m´etodo “direto” proposto por Doˇsli´c e Vukˇcevi´c.