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2.8 Funções de Transferência de Sistemas Eletromecânicos

Na última seção abordamos os sistemas rotacionais com engrenagens, os quais completaram nossa discussão sobre os sistemas puramente mecânicos. Agora, passamos para os sistemas que são híbridos, com variáveis elétricas e mecânicas, os sistemas eletromecânicos. Vimos uma aplicação de um sistema eletromecânico no Capítulo 1, o sistema de controle da posição de azimute de antena. Outras aplicações de sistemas com componentes eletromecânicos são os controles dos robôs, os rastreadores do Sol e de estrelas, e os controles de posição dos acionamentos de fitas e discos de computadores. Um exemplo de um sistema de controle que utiliza componentes eletromecânicos é mostrado na Figura 2.34.

Um motor é um componente eletromecânico que produz uma saída de deslocamento para uma entrada de tensão, isto é, uma saída mecânica gerada por uma entrada elétrica. Iremos deduzir a função de transferência para um tipo particular de sistema eletromecânico, o servomotor cc controlado pela armadura (Mablekos, 1980). O esquema do motor é mostrado na Figura 2.35(a), e

a função de transferência que iremos deduzir aparece na Figura 2.35(b).

Na Figura 2.35(a) um campo magnético, chamado campo constante, é gerado por ímãs permanentes estacionários ou por um eletroímã estacionário. Um circuito rotativo, chamado de

armadura, através do qual circula a corrente ia(t), passa ortogonalmente através desse campo magnético e é submetido a uma força, F = Blia(t), em que B é a intensidade do campo magnético e

l é o comprimento do condutor. O torque resultante gira o rotor, o elemento rotativo do motor.

Existe outro fenômeno que ocorre no motor: um condutor movendo-se ortogonalmente a um campo magnético gera uma diferença de tensão entre os terminais do condutor igual a e = Blv, em que e é a diferença de tensão e v é a velocidade do condutor perpendicular ao campo magnético. Uma vez que a armadura que conduz a corrente está girando em um campo magnético, sua tensão é proporcional à velocidade. Assim,

Chamamos essa tensão vce(t) de força contraeletromotriz (fcem); Kce é uma constante de

proporcionalidade chamada constante de fcem; e dθm(t)/dt = ωm(t) é a velocidade angular do

motor. Aplicando a transformada de Laplace, obtemos

A relação entre a corrente da armadura, ia(t), a tensão aplicada à armadura, ea(t), e a fcem,

vce(t), é obtida escrevendo-se uma equação de malha ao longo do circuito da armadura

transformado por Laplace (ver a Figura 3.5(a)):

FIGURA 2.34 Braço robótico de simulador de voo da NASA com componentes eletromecânicos no sistema de controle.

FIGURA 2.35 Motor cc: a. esquema;12 b. diagrama de blocos.

em que Tm é o torque desenvolvido pelo motor e Kt é uma constante de proporcionalidade,

chamada de constante de torque do motor, a qual depende das características do motor e do campo magnético. Em um conjunto consistente de unidades, o valor de Kt é igual ao valor de Kce.

Reorganizando a Eq. (2.147), resulta

Para determinar a função de transferência do motor, primeiro substituímos as Eqs. (2.145) e

(2.148) na Eq. (2.146), resultando

saída e obter a função de transferência θm(s)/Ea(s).

FIGURA 2.36 Carregamento mecânico equivalente típico em um motor.

A Figura 2.36 mostra um carregamento mecânico equivalente típico em um motor. Jm é a

inércia equivalente na armadura e inclui tanto a inércia da armadura quanto, como veremos adiante, a inércia da carga refletida para a armadura. Dm é o amortecimento viscoso equivalente

na armadura e inclui tanto o amortecimento viscoso da armadura quanto, como veremos adiante, o amortecimento viscoso da carga refletido para a armadura. A partir da Figura 2.36,

Substituindo a Eq. (2.150) na Eq. (2.149) resulta

Se admitirmos que a indutância da armadura, La, seja pequena quando comparada à sua

resistência, Ra, o que é usual para um motor cc, a Eq. (2.151) fica

Após uma simplificação, a função de transferência desejada, θm(s)/Ea(s), é determinada como

Embora a forma da Eq. (2.153) seja relativamente simples, a saber

o leitor pode estar preocupado em como calcular as constantes.

Vamos primeiro discutir as constantes mecânicas Jm e Dm. Considere a Figura 2.37, que mostra

um motor com inércia Ja e amortecimento Da na armadura acionando uma carga que consiste em

uma inércia JC e um amortecimento DC. Admitindo-se que todos os valores de inércia e

amortecimento mostrados sejam conhecidos, JC e DC podem ser refletidos para a armadura como

inércia e amortecimento equivalentes a serem adicionados a Ja e Da, respectivamente. Assim, a

FIGURA 2.37 Motor cc acionando uma carga mecânica rotacional.

Agora que calculamos as constantes mecânicas Jm e Dm, o que se pode afirmar sobre as

constantes elétricas na função de transferência da Eq. (2.153)? Veremos que essas constantes podem ser obtidas por meio de um ensaio do motor com um dinamômetro, em que um dinamômetro mede o torque e a velocidade de um motor sob a condição de uma tensão aplicada constante. Vamos inicialmente desenvolver as relações que orientam a utilização de um dinamômetro.

Substituindo as Eqs. (2.145) e (2.148) na Eq. (2.146), com La = 0, resulta

Aplicando-se a transformada inversa de Laplace, obtemos

em que a transformada inversa de Laplace de sθm(s) é dθm(t)/dt ou, alternativamente, ωm(t).

Se uma tensão cc, ea, for aplicada, o motor irá girar a uma velocidade angular constante, ωm,

com um torque constante, Tm. Portanto, desconsiderando-se o relacionamento funcional baseado no

tempo da Eq. (2.157), a relação a seguir é válida quando o motor estiver operando em regime permanente com uma tensão cc de entrada:

Resolvendo para Tm resulta

A Equação (2.159) representa uma linha reta, Tm versus ωm, e é mostrada na Figura 2.38. Este

gráfico é chamado de curva torque-velocidade. O eixo do torque é interceptado quando a velocidade angular é zero. Este valor de torque é denominado torque com rotor bloqueado,

A velocidade angular que ocorre quando o torque é nulo é chamada de velocidade em vazio, ωvazio. Portanto,

As constantes elétricas da função de transferência do motor podem agora ser determinadas a partir das Eqs. (2.160) e (2.161) como

e

As constantes elétricas, Kt/Ra e Kce, podem ser determinadas a partir de um ensaio do motor com

um dinamômetro, o qual forneceria Tbloqueado e ωvazio para um determinado ea.

FIGURA 2.38 Curvas torque-velocidade com a tensão da armadura, ea, como parâmetro.

Exemplo 2.23