Controle Estatístico de Processos
3.2 Gráficos de Controle
3.2.3 Gráficos de Controle e Modelos de Regressão
∙ Para as amplitudes móveis:
𝐿𝑆𝐶 =𝐷4*𝑀 𝑅 (3.21)
e
𝐿𝐼𝐶 =𝐷3*𝑀 𝑅 (3.22)
Onde os valores das constantes𝐷3, 𝐷4 e 𝐸2 são dados em função do tamanho amostral e do rigor utilizado na construção do gráfico (o número de Sigmas). Para maiores detalhes referentes a essas constantes consultar, por exemplo, Montgomery (2001).
Quanto aos Gráficos de valores individuais com variação entre e dentro dos sub-grupos, a construção dos seus limites de controle é devirada dos gráficos para valores individuais e amplitudes móveis, exceto pela estimação do desvio padrão. Neste caso, é necessário estimar a dispersão em torno da média dentro dos subgrupos, entre os subgru-pos e total.
Para o cálculo do desvio padrão dentro de cada subgrupo faz-se a razão entre a amplitude dentro de cada item e a constante 𝑑2, já entre os subgrupos a estatística utilizada para dispersão é a raiz quadrada do máximo entre zero e a diferença entre os desvios padrões dentro dos subgrupos e o utilizado no gráfico de amplitudes móveis, como dado por:
^ 𝜎𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 =
⎯
⎸
⎸
⎷𝑀 𝐴𝑋
(︃
0; ^𝜎𝑋2 − 𝜎^𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜2 𝑛
)︃
=
⎯
⎸
⎸
⎷𝑀 𝐴𝑋
(︃
0; 𝑀 𝑅
𝑑2 − 𝑅/𝑑2 𝑛
)︃
(3.23) Por fim, a estatística utilizada para estimar a variabilidade neste tipo de gráfico é dada pela raiz quadrada da soma das dispersões entre subgrupós e dentro dos subgrupos (^𝜎𝑇 𝑜𝑡𝑎𝑙 =√︁𝜎^𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒2 + ^𝜎2𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜).
Este, basicamente combina dos gráficos de controle de Shewhart com análise de regressão.
Para isso, Mandel (1969) supôs que o processo para obtenção de Y a partir de uma única variável explicativa X, era data de maneira linear. Ou seja, por (2.1), f(x) é uma regressão linear simples.
Desta forma, para monitorar os valores observados de Y, Mandel (1969) propôs construir os limites de controle do Gráfico de Regressão a partir das respostas estimadas do processo ( ^𝑌), calculando a estimativa do padrão do gráfico através do desvio-padrão do modelo de regressão estimado (S), representado da seguinte forma:
𝑆𝜖=√︁𝑀 𝑄𝑅=
√︃∑︀𝑛 𝑖=1𝜖2𝑖
𝑛−2 (3.24)
Para n igual ao número de observações amostrais e 𝜖𝑖, equivalente ao i-ésimo erro relaci-onado ao i-ésimo valor predito ( ^𝑌), conforme descrito em (2.1).
Desta forma, os limites de controle e a linha central do gráfico de controle de regressão são dados por:
∙ Linha Superior de Controle: ^𝑌𝑖+ 3𝑆𝜖
∙ Linha Central de Controle: ^𝑌𝑖
∙ Linha Inferior de Controle: ^𝑌𝑖−3𝑆𝜖
Entretanto, na proposta de Mandel (1969) o eixo das abscissas deixa de ser o número da amostra, passando a depender do valor das variáveis de controle estimadas ( ^𝑌1,𝑌^2, ...,𝑌^𝑛). Com isso, perde-se a ordem temporal dos dados, o que dificulta a reali-zação e interpretação gráfica dos demais testes de estabilidade dos gráficos de controle apresentados em Montgomery (2004). Outra desvantagem é que o gráfico de controle de regressão de Mandel (1969) restringe-se a modelos de regressão linear simples, ou seja, processos que apresentam apenas uma variável de controle.
Afim de flexibilizar a proposta de Manel (1969), Haworth (1996) propôs o Gráfico de Controle de Regressão Múltipla. Este, por sua vez, possibilita a utilização de mais variáveis de controle no processo. Sua construção é baseada nos resíduos padronizados na forma de Student como sendo a variável monitorada durante o processo. Espera-se assim, que a linha central desse gráfico seja igual a zero; valor equivalente ao esperado para soma dos resíduos de um modelo de regressão linear múltipla.
Assim, para construção dos gráficos propostos por Haworth (1996) supõe-se m amostras unitárias provenientes de um processo o qual um vetor de variáveis explicativas (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ..., 𝑥𝑝), observadas, predizem valores de y, através de uma função linear f(x), assumindo-se um certo erro aleatório 𝜖.
𝑦=𝑓(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑝) +𝜖
Por conseguinte, a proposta de Haworth (1996) foi monitorar a estimativa das estimativas desses erros ^𝜖𝑗 = 𝑦𝑗 −𝑦^𝑗, denotados como resíduos, analisando se sua varia-bilidade, e posteriormente a sua média estão controladas. Para tal, o gráfico de controle de regressão múltipla tem suas linhas de controle definidas da seguinte forma para cada interesse de controle:
∙ Controle da Variabilidade:
Linha Superior de Controle: 𝑟^𝜖+ 3𝑑3𝑟𝜖^/𝑑2 Linha Central de Controle: 𝑟^𝜖
Linha Inferior de Controle: 𝑟^𝜖−3𝑑3𝑟𝜖^/𝑑2
∙ Controle da Média:
Linha Superior de Controle: ^𝜖+ 3𝑟^𝜖/(𝑑2√ 𝑛) Linha Central de Controle: ^𝜖
Linha Inferior de Controle: ^𝜖−3𝑟^𝜖/(𝑑2√ 𝑛)
Onde, ^𝜖é a média dos resíduos,𝑟^𝜖 é a amplitude móvel média dos resíduos, a cons-tante 3 é referente à política Seis Sigma adotada e os coeficientes𝑑2 e𝑑3, são fatores fixos, descritos anteriormente para os gráficos de Shewhart e definidos com maiores detalhes no livro de Montgomery (2009).
A proposta de Haworth (1996) ganhou notoriedade em diversos setores da indús-tria, apresentando-se até hoje como solução para monitoramento de processos complexos como Destilação de Etanol (ROSO et al., 2017), Produção de Derivados de Milho (NE-GREIROS, 2012), Controle de Infecção Hospitalar (MEDEIROS, 2012), Produção de Borracha (PEDRINI, 2009), entre outros. Diante disso, várias propostas derivadas de Haworth (1996) foram surgindo ao longo dos anos. Contudo, propostas como a de Lo-redo, Jearkpaporn e Borror (2002) e Shu, Tsung e Tsui (2004) apesar de apresentaram a mesma vantagem em manter a ordem temporal dos dados, caracterítica que não era possível na proposta inicial de Mandel (1969), apresentaram a mesma falha de procedi-mentos apresentada por Haworth (1996): a de se fundamentar na normalidade assintótica dos resíduos monitorados.
Para equacionar esse problema, Woodall e Montgomery (1999) e Vining (2009), propuzeram a construção dos gráficos de controle em duas fases:
∙ Fase I: chamada de análise retrospectiva, é utilizada a fim de se estabelecer as linhas de delimitação dos limites do gráfico. Esses limites são estimados com base em uma amostra proveniente do processo a ser monitorado.
∙ Fase II: chamada de monitoramento do processo, que é quando as características estimadas do processo são monitordas dentro dos limites estimados na Fase I.
Esse método permite o monitoramento direto das observações referentes a uma característica de qualidade dependente de uma ou mais variáveis de controle do processo, ao invés do monitoramento dos resíduos da regressão. Tornando assim, desnecessário qualquer pressuposto probabilístico a cerca dos resíduos.
Assim, em um processo controlado, na Fase II, espera-se verificar que nenhum dos valores estimados da característica de interesse (^𝑦1,𝑦^2, ..,𝑦^𝑛) extrapolem a região formada pelos limites de controle construídos, na Fase I, com base na amostra dita como controlada.
A proposta de Vining (2009), aplica o conceito de monitoramento em duas fases à variável resposta do modelo, possibilitando assim, um controle mais interpretativo do processo. Contudo, assim como seus predecessores, Vining (2009), supôs linearidade na relação entre as variáveis explicativas e a variável resposta, o que reflete, consequente-mente, no pressuposto estocástico de normalidade acerca do objetivo a ser monitorado, neste caso, a predições do modelo de regressão.
Assim, podemos explicar a proposta de Vining (2009) em dois momentos:
∙ Fase I: em que com base em que, com base em uma amostra representativa da relação real existente na natureza 𝑓(𝑥), selecionamos uma 𝑓(𝑥), tal que, a partir^ dos valores preditos ^𝑦, constrói-se os LC, LSC e o LIC.
𝐿𝐶 =
∑︀𝑛 𝑖=1𝑦^
𝑛 ,
𝐿𝑆𝐶 =
∑︀𝑛 𝑖=1𝑦^
𝑛 +𝐿
⎡
⎣
∑︀𝑛 𝑖=1(^𝑦−
∑︀𝑛 𝑖=1^𝑦
𝑛 )2 𝑛−2
⎤
⎦,
𝐿𝐼𝐶 =
∑︀𝑛 𝑖=1𝑦^
𝑛 −𝐿
⎡
⎣
∑︀𝑛 𝑖=1(^𝑦−
∑︀𝑛 𝑖=1𝑦^
𝑛 )2 𝑛−2
⎤
⎦.
∙ Fase II: em que monita-se novos ^𝑦, oriundos de uma nova amostra, a partir da mesma 𝑓(𝑥) utilizada para construção dos limites na Fase I.^
A proposta de Vining (2009) teve tanta significância prática, que ainda hoje, al-guns dos principais autores da área (JENSEN et al., 2006; CASTAGLIOLA et al., 2009;
CASTAGLIOLA; MARAVELAKIS, 2011; CASTAGLIOLA; CELANO; FICHERA, 2013) desenvolvem diversos estudos fundamentados nessa proposta, a fim de melhorar o desem-penho dos gráficos de controle, redimensionando apenas os procedimentos de cálculo dos seus limites.
O conceito de conectar modelos de regressão à gráficos de controle não ficou res-trito aos modelos com respostas contínuas. Propostas como as de Franceschini Romano
(1999), Gulbay, et al. (2004) e Kanagawa, et al. (1993), também fazem uso de mode-los de regressão e gráficos de controle, para monitaremnto de processos com respostas categóricas.
Quando se trata de monitoramento de respostas categóricas, a proposta de Amirza-deh, et al. (2008) tem ganhado bastante notoriedade. Essa proposta apresenta uma nova ferramenta de controle, capaz de monitorar respostas categóricas de processos com duas ou mais possibilidades de categorias. Denominada como Gráfico de Controle Multinomial, essa ferramenta de controle também pode ser utilizada sob a lógica Fuzzy, agregando os conceitos dos gráficos de controle baseados na distribuição binomial à proposta de imple-mentação e monitoramento em duas fases. Desta forma, a proposta de Amirzadeh, et al.
(2008) pode ser aplicada da seguinte forma:
∙ Fase I: A partir de m amostras, de tamanho n, representativas do processo, estima-se, para cada amostra, as ^𝑝𝑗 proporções de𝑘 possíveis respostas de Y, sendo então 𝑗 = 1,2, ..., 𝑘. Toma-se a média das ^𝑝𝑗 de forma que ¯𝑝^𝑗 = ∑︀𝑚𝑖=1𝑝^𝑖𝑗/𝑚. Seja I(𝑦𝑖𝑗) a função indicadora da 𝑗−ésima categoria na𝑖−ésima amostra, em que I(𝑦𝑖𝑗) = [0,1], mediante um conhecimento a priori do processo. Assim, para cada das k possíveis categorias de Y, podemos construir os LC𝑗, LSC𝑗 e LIC𝑗.
𝐿𝐶𝑗 = (∑︀𝑚𝑖=1𝐼(𝑦𝑖𝑗))¯𝑝^𝑗 𝑛 𝐿𝑆𝐶𝑗 = (∑︀𝑚𝑖=1𝐼(𝑦𝑖𝑗))¯𝑝^𝑗
𝑛 +𝐿√︁(
[︃ ∑︀𝑚
𝑖=1(∑︀𝑚𝑖=1𝐼(𝑦𝑖𝑗))¯𝑝^𝑗(1−𝑝¯^𝑗) 𝑛
]︃
) 𝐿𝐼𝐶𝑗 = (∑︀𝑚𝑖=1𝐼(𝑦𝑖𝑗))¯𝑝^𝑗
𝑛 −𝐿√︁(
[︃ ∑︀𝑚
𝑖=1(∑︀𝑚𝑖=1𝐼(𝑦𝑖𝑗))¯𝑝^𝑗(1−𝑝¯^𝑗) 𝑛
]︃
)
∙ Fase II: em que monita-se novos ^𝑝, oriundos de uma novas amostras, a partir da mesmo modelo utilizado para construção dos limites na Fase I.
Perceba que ao aplicar a proposta de Amirzadeh, et al. (2008) a uma única amostra na Fase I, obtemos uma versão multinomial do gráfico np de Shewart. Desta forma, a estatística de controle seria o próprio ^𝑝𝑗 e os limites de controle seriam calculados diretamente em sua função:
𝐿𝐼𝐶𝑗 = ^𝑝𝑗−𝐿
√︃𝑝^𝑗(1−𝑝^𝑗)
𝑛 ; 𝐿𝑆𝐶𝑗 = ^𝑝𝑗 +𝐿
√︃𝑝^𝑗(1−𝑝^𝑗)
𝑛 ;
Assim, em ambos os casos, a proposta de Amirzadeh, et al. (2008) possibilita um monitoramento individualizado de cada categoria de Y, uma vez que para cada categoria se têm um gráfico de controle. Muitos autores vêm desenvolvendo trabalhos derivados dessa proposta: Ghobadi, et al. (2015), Pandurangan Varadharajan (2011) e Nasiri Darestani (2016), são exemplos desses trabalhos.