Norteados pelo tempo, destacamos agora a civilização Grega, e o processo evolutivo que a matemática sofreu na maneira, como estes povos a lapidaram. O que podemos perceber das civilizações Egípcias e Babilônicos, perpetuavam seus conhecimentos a partir da indagação do “como”, em contrapartida, os problemas vivenciados a luz dos filósofos gregos passaram a ser interpretados para o “por quê”.
Neste contexto Struik (1978 apud Andrade 2000, p. 20) enfatiza que “o objetivo inicial da civilização Grega era compreender o lugar do Homem no universo, e a matemática ajudava no sentido de ordenar as ideias de uma forma racional”.
A matemática construída até este momento, sem apresentava como uma representação da vivencia prática dos povos, e com os gregos passaram a se desenvolver alicerçada em conceitos, teoremas e axiomas elaborados por eles, para dar uma melhor fundamentação da matemática.
Acerca disso Castelo (2013) destaca que,
Dois fatores estimularam e facilitaram o grande desenvolvimento da ciência e da matemática pelos filósofos gregos: a substituição da escrita grosseira do antigo oriente por um alfabeto fácil de aprender e a introdução da moeda cunhada, o que estimulou ainda mais o comércio. A matemática moderna teve origem no racionalismo jônico, e teve como principal estimulador Tales de Mileto. Este racionalismo objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais: compreensão do lugar do homem no universo conforme um esquema racional, encontrar a ordem no caos, ordenar as ideias em sequências lógicas e obtenção de princípios fundamentais. Castelo (2013, p. 27)
E diante de cenário o autor ainda enfatiza, um novo tempo para a matemática, com destaque para dois grupos de estudiosos, os Sofistas e os Pitagóricos, onde o autor os caracterizam, como.
Os Sofistas abordavam os problemas de natureza matemática como uma investigação filosófica do mundo natural e moral, desenvolvendo uma matemática mais voltada à compreensão do que à utilidade. É o começo da abstração matemática, em detrimento da matemática essencialmente prática. [...] Os Pitagóricos, sociedade secreta criada por Pitágoras de Samos, enfatizavam o estudo dos elementos imutáveis da natureza e da sociedade. [...] . Os Pitagóricos estudavam o quadrivium (geometria, aritmética, astronomia e música). Sua filosofia pode ser resumida na expressão “tudo é número”, com a qual diziam que tudo na natureza pode ser expresso por meio dos números. Pitágoras dizia que: “tudo na natureza está arranjado conforme as formas e os números”. Castelo (2013, p. 28)
Nesta perspectiva Fragoso (2000, p. 23), colabora acerca do matemático grego Diofanto de Alexandria, que em seu tempo e até hoje é apontado por alguns estudiosos com o pai da álgebra, mesmo que tal denominação não deva ser assumida. Do matemático Diofanto, é atribuído a obra Arithmetica, que segundo fontes históricas era formada por treze livros, porém apenas os seis primeiros foram os que conservaram.
Ainda que não existam e nem se conheçam informações verdadeiras que nos possibilite enxergar o aprimoramento e desenvolvimento da matemática no âmbito da civilização grega, o que se apresenta para fundamentar certos questionamentos, são obras escritas creditadas a alguns matemáticos gregos, apontados como muito importantes para a sua época, com destaque para Euclides, Pitágoras e Diofanto, dentre outros.
Euclides de Alexandria (360 a. C - 295 a.C.)
Dentre os matemáticos gregos, o mais conhecido, ou maior destaque por seus trabalhos é Euclides de Alexandria, cujo obra mais conhecida é “Os elementos”, coleção de livros compostas em 13 volumes, que apresentam algumas aplicações da álgebra na Geometria em especial, a Geometria no plano, também chamada de Geometria Euclidiana, em homenagem as Euclides por todas as suas contribuições.
Figura 5: Livro Os elementos de Euclides de Alexandria
Os estudos de Euclides acerca da Geometria, se concentravam mais especificamente em suposições puramente lógica na formulação de teoremas, postulados, definições e axiomas. Em termos de matemática, o livro Os elementos foi o livro de matemática mais impresso até os dias de hoje.
Sobre Euclides, apresentaremos abaixo uma discursão sobre seu método de resolver equações de 2º grau, retirado de seu celebre livro os Elementos, livro II.
Exemplo: A proposição 4 do livro Elementos, livro II, de Euclides.
Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contêm.
Isto é, (a + b)2= a2 + 2ab + b2.
O que hoje conhecemos por (a + b)2= a2 + 2ab + b2 era representado por Euclides através da figura abaixo(nº). E o termo conhecido por a2, para
Euclides era realmente um quadrado como mostra também a figura. Figura 6: Representação geométrica da expressão (a+b )2= a2 + 2ab + b2.
Fonte: (BAUMGART, 1992, p. 6-7)
No que se a refere-se a Diofanto de Alexandria, uma obra de grande contribuição escrito por este matemático foi o livro “Arithmética”, obra está influenciada pela cultura ocidental da época. Nesta obra, Diofanto apresenta, discuti e analisa as soluções de equações de 1º e 2º grau bem como de equações indeterminadas.
Figura7: Livro Arithmetica de Diofanto
Nos problemas Diofantinos verificou-se o uso de generalizações de métodos, embora nem sempre se buscava todas as soluções possíveis. Nas situações problema este matemático usava vários números desconhecidos e, quando possível, em termos de um apenas.
O procedimento de Diofanto é totalmente diferente, do ponto de vista conceitual, dos procedimentos de falsa posição, e da geometria de colagem. Com efeito, aqui, uma incógnita (designada por aritmo, que quer dizer número) é posta em evidência nos cálculos. Esta incógnita não é como nos processos aritméticos, o ponto de chegada dos cálculos, ela não é mais, como acontece no caso da geometria da colagem, um ponto de referência estático no desenvolvimento do problema, mas sim uma quantidade que é operada como se fosse um número conhecido. (Radford 1993, apud Andrade, 2000, p. 37).
Logo, para entendermos melhor o método construído por Diofanto, apresentaremos uma demonstração proposta por Fragoso (2000, p.24).
Vamos chamar dois números tais que sua soma seja 20 e a soma dos quadrados 208. De início os números são designados por x e y, mas como 10 + x e 10 – x (em termos de nossa notação). Assim temos: (10 + x)2 + (10 – x)2= 208, logo x = 2; portanto, os números procurados são 8 e 12. Diofanto buscou novos conhecimentos como, por exemplo: ele buscou retratar o problema análogo em que a soma dos dois números e a soma dos cubos são dadas como sendo 10 e 370.
Para compreendermos um pouco melhor a técnica utilizada por Diofanto, analisemos o problema I – 27, retirado do livro Arithmética, escrito por ele.
Problema 1-27. Extraído de Diofanto (1959, apud Andrade 2000, p.38).
Encontrar dois números tais que a sua soma e o seu produto sejam dois números dados. É preciso, no entanto, que o quadrado da semi-soma dos números procurados exceda por um quadrado o produto desses números; coisa que é figurativo. Propomos, portanto que a soma dos números seja 20 unidades, e que o produto seja 96 unidades. Diofanto (1959, apud Andrade 2000, p.38)
Pelo enunciado podemos construir o problema, utilizando a linguagem atual como a qual estamos habituados, da seguinte maneira, através do sistema
96 20 axb b a , que isolando
alguma das variáveis, recairemos no seguinte sistema, com uma equação do 2º grau
a
a29620 , que genericamente era representada por x2q px.
Dessa forma, a solução dada por Diofanto (1959 apresentada por Andrade (2000, p. 39), se dar da seguinte forma.
[Consideremos ] que a diferença entre os números seja 2 aritmos. Daí que, como a soma dos números é 20 unidades, se dividirmos em duas partes iguais, cada uma das partes será metade da soma, ou seja, 10 unidades. Daí que, se nós juntarmos a uma das partes, e se retirarmos à outra parte, a metade da diferença entre os números, ou seja 1 aritmo, estabelece-se de novo que a soma dos números é 20 unidades, e que a sua diferença é 2 aritmos. Em consequência disso, consideremos que o número maior é 1 aritmo aumentado de 10 unidades, que são a metade da soma dos números; daí que o número mais pequeno será 10 unidades menos 1 aritmo, e temos [novamente] que a soma dos números é 20 unidades e que a diferença entre eles é 2 aritmos.
Temos também que o produto dos números é 96 unidades. Ora, o seu produto é igual a 100 unidades menos 1 quadrado de aritmo; se igualarmos isso a 96 unidades, vem que o aritmo é igual a 2 unidades. Em consequência disso, o número maior será 12 unidades e o mais pequeno 8 unidades, e estes números satisfazem a proposição. Diofanto (1959, apud Andrade 2000, p.39). ( Realce nosso).
Assim, vale ressaltar que os gregos deram importantes contribuições, para a matemática enfatizando principalmente geométrico, e como este surgiam muitos problemas que envolviam as equações, sejam de grau 1, 2 ou superior. Eles também foram importantes, na elaboração de uma nova matemática, sustentada por definições mais bem elaboradas, teoremas, axiomas, postulados, e tudo isto está presente em problemas por eles escritos e resolvidos, em obras importantíssimas para a matemática como Os elementos, que é um dos livros mais conhecidos da matemática.
Além do mais, muitos foram os matemáticos gregos que contribuíram para fundamentar uma matemática, mais bem solidificada, e estruturada. Com isso, matemáticos, como Euclides, Pitágoras que lhe é atribuído um dos teoremas mais importantes da matemática, o famoso “Teorema de Pitágoras”, Diofanto, Apolônio, Ptolomeu, dentre outros, mas as obras aqui apresentadas, foram muito importantes no estudo das equações do 2º grau, bem como de técnicas para resolve-las.