A IDEIA DE LOGARITMOS

A propósito da ideia de logaritmo, alguns autores têm expressado suas posições explicativas acerca da origem e desenvolvimento desse tema. De acordo com Knott (1915, p. 11), “a palavra logaritmo antecede da criação de John Napier, que tem origem nessas palavras όγω ἀ ό , as quais significam números de

razões. Dessa forma, as razões propostas sobre a etimologia da palavra levaram

John Napier a propor os logaritmos, os quais eram usados em termos trigonométricos.

Seguindo o que foi comentado por Knott (1915), sobre a etimologia da palavra, Miguel e Miorim (2002, p. 58-59) esclarecem o significado da palavra logaritmo numa “combinação entre duas palavras em latim – lógos e arithmós - a primeira significando razão e a segunda, número”. A junção entre as duas remete ao significado epistemológico da palavra logaritmo como o número de razões, sendo que o termo razão refere-se à razão da PG e o número, ou seja, o logaritmo, a um termo qualquer da PG.

Magalhães (2003), por exemplo, proporciona uma ideia do que seja e como surgiram os logaritmos que são, por vezes, encontrados em alguns livros didáticos ou paradidáticos. A explicação dada pelo autor objetiva mostrar o que se entende por logaritmo e como foram inventados, fazendo uma análise sucinta sobre essa palavra, dando ênfase ao significado etimológico.

A palavra logaritmo apresentada por Magalhães (2003), segue um conjunto de regras, ou seja, construções que são explicadas num processo de investigação histórica. Assim, o percurso sugerido pelo autor apresenta algumas semelhanças ao que é apresentado em diversos livros didáticos. Ele, primordialmente, procura esclarecer o que significa a palavra sob a ótica de sua origem logaritmos logos – razão; arithmos – número da razão (quantas vezes tomam-se a base como fator para se obter um número).

Observa-se, então, que a ideia sugerida por Magalhães (2003) assemelha-se àquela proposta por Napier no século XVII. A diferença encontrada sobre essa etimologia reside na maneira como os logaritmos eram explorados. Ao invés de envolver aritmética e trigonometria, apropria-se de um modelo algébrico-funcional baseado no estudo de potenciação e funções exponenciais.

A comparação aritmética sobre as razões entre números foi o primeiro recurso que Napier utilizou para descrever os logaritmos, sendo estruturados por meio das relações de Michael Stifel (1544), que consistia em comparar duas progressões matemáticas (progressões aritméticas e progressões geométricas). Nessa comparação, observava que o produto de dois termos da progressão geométrica está associado com a soma dos termos das respectivas progressões aritméticas. Esse método, proposto por Stifel, era bem requisitado pelos principais astrônomos e matemáticos do século XVI.

A princípio, as relações de Stifel, usadas por Napier tinham uma semelhança com as suas Barras como eram conhecidas na Escócia, ou seja, ambas transformavam produtos em somas, conforme vimos anteriormente. O uso específico da etimologia da palavra e essas relações ajudaram Napier a formular os logaritmos em termos práticos e trigonométricos.

No século XVII, os logaritmos propostos por Napier não eram fáceis de entender, pois sua composição não constituía base, sendo desvendados somente em termos trigonométricos devido ao uso desconhecido dos métodos algébricos. Então, para facilitar os seus cálculos, ele fixou um valor que ficou reconhecido como fator de medida e que era usado para preencher as lacunas entre os espaços vazios das progressões geométricas e o que representa em termos numéricos conforme vimos anteriormente. Por isso, a noção da palavra logaritmo foi fundamental para a caracterização desse instrumento de cálculo.

Dessa maneira, essa nova ideia transcrita por Napier foi recebida por alguns contemporâneos da época, destacando o valor expressivo de sua obra. Em um estudo minucioso sobre o tema, Naux (1966) descreve como esses contemporâneos receberam o nome por ele atribuído:

A imagem do “número de razões” pareceu seduzir os autores da época; a facilidade e a simplicidade de seu poder de representação tornam-no imediatamente uma fonte do pensamento da qual todos poderiam saciar sua sede. A seu velho professor Maestlin, que lhe indagava acerca das previsões sobre a natureza dos logaritmos. Kepler responde (carta datada

de junho de 1620) iniciando pela seguinte recomendação: Observei bem o nome, uma vez que nomes são abidmoi tou logou. Cavalieri fez essa observação no prefácio (p.29) de seu „Directorium gererale‟. “o logaritmo de 7 é 8450980400, visto que esse número me indica que entre 7 e 1 estão intercalados 8450980400 „atomas proporcionais‟ partículas infinitamente pequenas‟. Essa visão do logaritmo como número de razões tornou-se finalmente a melhor forma de apoio para a sua divulgação. Seu poder de atração e de sedução foi tal que ela tornou-se o ponto de partida das explicações preliminares de todos os tratados e de todas as tábuas. (NAUX, 1966 Tome I, p. 67 e 68 apud MIGUEL; MIORIM, 2002, p. 59-60).

Assim, o autor expressa que o significado etimológico dessa palavra foi recebido com bastante clareza por parte de alguns estudiosos do século XVII. A caracterização lógica dessa etimologia sucedeu a etapa aritmética dos logaritmos. O termo criado por Napier resistiu ao tempo, mesmo após as transformações conceituais sofridas por essa noção. Segundo Naux (1966), a palavra logaritmo teria resistido ao tempo:

Em virtude da ideia associada à sua etimologia. Esta sólida união da palavra e da ideia não seria desfeita e apagada senão pela potente e ação renovadora do cálculo infinitesimal, por volta de 1700: mas, a transformação radical imposta pela a ideia de logaritmo que se tinha até então, não exerceu qualquer ação dissolutiva da palavra, a qual permaneceu a mesma após tal transformação conceitual. Ela tinha em seu favor o poder do hábito e, sobretudo, a quase impossibilidade de se encontrar uma melhor que a sucedesse e que aparecesse como uma substituta digna de tomar o seu lugar na teoria elementar através das progressões (NAUX, 1966, tome I, p. 68) (Tradução Nossa).

Então, de acordo com Miguel e Miorim (2002, p. 61), seguindo a explicação dada por Naux (1971), é importante notar que “a ruptura entre a palavra e a ideia que ela expressa encontra-se presente nos livros didáticos brasileiros a partir de meados do século XIX, ainda que eles desenvolvam um trabalho centrado na concepção aritmética de logaritmo”. Assim, essa ideia expressa o fato de a grande maioria dos professores e estudantes não estabelecerem qualquer conexão entre a ideia e a palavra que ela expressa.