Seja R um anel. Se e 2 R é idempotente, então f = 1 e também é idempotente e ef = fe = 0. Se e 2 R é idempotente, 1 e chama- -se idempotente complementar de e. Dois idempotentes e, e0 2 R dizem-se
ortogonais se ee0 = e0e = 0.
Se e 2 R é idempotente e f = 1 e, são válidas as seguintes igualdades:
R = Re Rf, (10.5)
R = eR f R, (10.6)
R = eRe eRf f Re f Rf. (10.7) A primeira é uma decomposição de R como soma direta de ideais esquerdos, a segunda é uma decomposição de R como soma direta de ideais direitos, a terceira é uma decomposição de R como soma direta de subgrupos aditivos. Além disso, eRe é um anel com identidade e e
eRe ={r 2 R : er = r = re}. (10.8) Os anéis da forma eRe chamam-se anéis de canto, nome sugerido pelo exem- plo seguinte.
Suponhamos que R = kn⇥n,onde k é um anel, n = p + q e p, q 2 N. As
matrizes e = Ip 0 0 0 , f = 0 0 0 Iq 2 R
são idempotentes complementares e eRe = ⇢ A 0 0 0 : A2 k p⇥p e fRf = ⇢ 0 0 0 B : B2 k q⇥q .
Proposição 10.15 Sejam e um elemento idempotente de um anel R e M um R-módulo esquerdo. A aplicação : HomR(Re, M ) ! eM, que a
cada f 2 HomR(Re, M ) faz corresponder
f (e) = f (e2) = ef (e)2 eM, é um isomorfismo de grupos aditivos.
Demonstração. Exercício.
Proposição 10.16 Seja e um elemento idempotente de um anel R. A aplicação : EndR(Re)! (eRe) , (3) que a cada f 2 EndR(Re) faz corres-
ponder f(e), é um isomorfismo de anéis.
A aplicação µ : EndR(eR)! eRe, que a cada f 2 EndR(eR) faz corres-
ponder f(e), é um isomorfismo de anéis.
Demonstração. De acordo com a proposição anterior, é um isomor- fismo de grupos aditivos. Além disso, quaisquer que sejam f, g 2 EndR(Re),
(f g) = f (g(e)) = f (g(e)e) = g(e)f (e) = (g) (f ) = (f ) (g)e (idRe) =
idRe(e) = e. Logo, é um isomorfismo de anéis.
Analogamente, mostra-se que µ é um isomorfismo de anéis.
Proposição 10.17 Um módulo M sobre um anel R é indecomponível se e só se o anel EndR(M ) não tem idempotentes diferentes de 0 e de idM.
Demonstração. Suponhamos que M = S T, onde S e T são submódulos não nulos de M. Seja ⇡ : M ! S a projeção associada a esta decomposição. Como elemento de EndR(M ), ⇡ é um idempotente diferente de 0 e de idM.
Reciprocamente, suponhamos que o anel EndR(M )tem um idempotente
E diferente de 0 e de idM. Então
M = E(M ) + (idM E)(M ), (10.9)
onde E(M) e (idM E)(M ) são submódulos não nulos de M. Seja z 2
E(M )\ (idM E)(M ). Sejam x, y 2 M tais que z = E(x) = y E(y).
Então z = E2(x) = E(y E(y)) = E(y) E2(y) = 0. Logo, a soma (10.9)
é direta e M é decomponível.
Proposição 10.18 Seja e um elemento idempotente não nulo de um anel R. São equivalentes as afirmações seguintes:
(a10.18) O módulo Re é indecomponível.
(a010.18) O módulo eR é indecomponível.
(b10.18) O anel eRe não tem idempotentes diferentes de 0 e de e.
(c10.18) Não existem idempotentes não nulos e ortogonais e0, e00 2 R tais que
e = e0+ e00.
Os idempotentes e 2 R \ 0 que satisfazem as condições (a10.18)–(c10.18)
chamam-se idempotentes primitivos de R.
Demonstração. (a10.18) , (b10.18) e (a010.18) , (b10.18). Resultam das
proposições 10.16 e 10.17.
(b10.18)) (c10.18). Suponhamos que e = e0+ e00,onde e0, e00 são idempo-
tentes não nulos e ortogonais de R. Então
ee0 = e0e0+ e00e0= e0 e e0e = e0e0+ e0e00 = e0. De acordo com (10.8), e02 eRe, o que contradiz (b
10.18).
(c10.18) ) (b10.18). Suponhamos que eRe tem um idempotente e0 dife-
rente de 0 e de e. Então e = e0+ (e e0),onde e0 e e e0 são idempotentes
Proposição 10.19 Seja e um elemento idempotente de um anel R. São equivalentes as afirmações seguintes:
(a10.19) O módulo Re é fortemente indecomponível.
(a010.19) O módulo eR é fortemente indecomponível. (b10.19) O anel eRe é local.
Os idempotentes e 2 R que satisfazem as condições (a10.19)–(c10.19)
chamam-se idempotentes locais de R. Os idempotentes locais são primiti- vos.
Demonstração. (a10.18) , (b10.18) e (a010.18) , (b10.18). Resultam da
definição 6.29 de módulo fortemente indecomponível e da proposição 10.16. Proposição 10.20 Seja e um elemento idempotente de um anel R. En- tão
J(eRe) = JR\ eRe = e(JR)e (10.10) e
eRe
J(eRe) ⇠= (e + JR) R
JR(e + JR) (10.11) Demonstração. Vejamos que J(eRe) ✓ JR. Seja r 2 J(eRe). Seja y 2 R. Pelo lema 6.1, existe b 2 eRe tal que b(e (eye)r) = e. Donde, be(1 y(er)) = e. Donde, b(1 yr) = e. Donde, yrb(1 yr) = yre = yr. Donde, yrb(1 yr) + (1 yr) = yr + (1 yr). Donde, (yrb + 1)(1 yr) = 1. Pelo lema 6.1, r 2 JR.
Vejamos que JR \ eRe ✓ e(JR)e. Seja r 2 JR \ eRe. Então r = ere 2 e(JR)e.
Vejamos que e(JR)e ✓ J(eRe). Seja r 2 JR. Seja y 2 eRe. Pelo lema 6.1, existe x 2 R tal que x(1 yr) = 1. Donde, ex(1 eyer)e = e. Donde, ex(e ey(ere)) = e. Donde, (exe)(e y(ere)) = e. Pelo lema 6.1, ere2 J(eRe).
Dos três parágrafos anteriores resulta (10.10). É fácil verificar que
: eRe! (e + JR) R
JR(e + JR) ere ! ere + JR
é um epimorfismo de anéis e e(JR)e ✓ nuc . Por outro lado, qualquer que seja r 2 R, ere 2 nuc ) ere 2 JR ) ere 2 JR \ eRe = e(JR)e. Logo, nuc = e(JR)e = J(eRe)e (10.11) é satisfeita.
(i10.21) Para todo o ideal esquerdo a do anel eRe,
a = Ra\ eRe. (10.12) A aplicação do conjunto dos ideais esquerdos de eRe para o conjunto dos ideais esquerdos de R, que a cada ideal esquerdo a de eRe faz corresponder Ra, é injetiva e preserva a inclusão.
(ii10.21) Para todo o ideal a do anel eRe,
a = e(RaR)e (10.13) A aplicação do conjunto dos ideais de eRe para o conjunto dos ideais de R, que a cada ideal a de eRe faz corresponder RaR, é injetiva e preserva a inclusão.
Além disso, se R = ReR, então é bijetiva, respeita o produto de ideais e (J(eRe)) = JR.
Demonstração. (i10.21). Seja a um ideal esquerdo de eRe. Seja b =
Ra\ eRe. Claramente, a ✓ b e b = eb ✓ eRa = (eRe)a = a.
A injetividade de resulta de (10.12). É trivial que preserva a inclusão. (ii10.21). Seja a um ideal de eRe. Então e(RaR)e = eR(eae)Re =
(eRe)a(eRe) = a.
A injetividade de resulta de (10.13). É trivial que preserva a inclu- são.
Suponhamos agora que R = ReR.
Seja B um ideal de R. Seja a = eBe. É fácil verificar que a é um ideal de eRe e (a) = R(eBe)R = ReRBReR = RBR = B, o que prova a sobrejetividade de .
Se a e a0são ideais de eRe, então (a) (a0) = (RaR)(Ra0R) = RaRa0R =
R(ae)R(ea0)R = Ra(eRe)a0R = R(aa0)R = (aa0).
Finalmente, utilizando (10.10), (J(eRe)) = RJ(eRe)R = Re(JR)eR = ReR(JR)ReR = R(JR)R = JR.
Proposição 10.22 Seja e um elemento idempotente não nulo de um anel R. Se o anel R é semiprimitivo (respetivamente, semissimples, simples, primo, semiprimo, artiniano à esquerda, noetheriano à esquerda), então o anel eRe também o é.
Demonstração. Exercício.
Definição 10.23 Dizemos que um idempotente não nulo e de um anel R é irredutível à esquerda se Re é um ideal esquerdo minimal de R.
Proposição 10.24 Seja e um elemento idempotente de um anel R. Se e é irredutível à esquerda, então eRe é um anel de divisão. A afirmação recíproca é verdadeira se o anel R é semiprimo.
Demonstração. Suponhamos que e é irredutível à esquerda. Pelo lema de Schur, EndR(Re) é um anel de divisão. Como EndR(Re) ⇠= (eRe) , eRe
é um anel de divisão.
Suponhamos agora que R é um anel semiprimo e eRe é um anel de divisão. Seja re 2 Re \ 0, onde r 2 R. Como o anel R é semiprimo, reRre6= 0. Donde, esre 6= 0, para algum s 2 R. Seja ete o inverso de esre no anel eRe. Então e = (ete)(esre) 2 Rre. Donde deduzimos que Re = Rre. Portanto, Re é um submódulo simples deRR e e é irredutível à esquerda.
Corolário 10.25 Seja e um elemento idempotente de um anel R. Se e é irredutível à esquerda, então e é local.
Se o anel R é semiprimo, então e é irredutível à esquerda , e é irredutível à direita.
Se o anel R é semissimples, então e é irredutível à esquerda , e é local , e é primitivo.
Demonstração. e é irredutível à esquerda ) eRe é anel de divisão ) eReé anel local ) e é local.
Se o anel R é semiprimo, e é irredutível à esquerda ) eRe é anel de divisão ) e é irredutível à direita. A hipótese de que o anel R é semiprimo utiliza-se na última implicação.
Se o anel R é semissimples, e é irredutível à esquerda ) e é local ) e é primitivo ) Re é indecomponível ) Re é minimal ) e é irredutível à esquerda. A hipótese de que o anel R é semissimples utiliza-se na penúltima implicação.
Proposição 10.26 Seja e um elemento idempotente de um anel R. Se- jam J = JR, R = R/J e e = e + J. São equivalentes:
(a10.26) e é um idempotente local.
(b10.26) e é um idempotente irredutível à esquerda.
(b010.26) e é um idempotente irredutível à direita. (c10.26) Re/Jeé um R-módulo simples.
(d10.26) Je6= Re e Je é máximo no conjunto des submódulos de Re diferentes
de Re.
(e10.26) Je é o único elemento maximal no conjunto des submódulos de Re
Demonstração. Recordemos que R é semiprimitivo e, portanto, é semi- primo. Assim, pelo corolário anterior, (b10.26), (b010.26).
(b10.26) ) (a10.26). Suponhamos que e é um idempotente irredutível à
esquerda. Pela proposição 10.24, eRe é um anel de divisão. Pela proposição 10.20,
eRe ⇠= eRe
J(eRe), (10.14) onde J(eRe) é o radical de Jacobson do anel eRe. Portanto, eRe é um anel local e e é um idempotente local.
(a10.26) ) (b10.26). Suponhamos que e é um idempotente local. Então
eRe é um anel local e (10.14) é um anel de divisão. Como o anel R é semiprimo, e é irredutível à esquerda.
(b10.26) , (c10.26). A justificação das 3 afirmações seguintes fica ao
cuidado dos estudantes.
(i10.26) Je é um R-submódulo de Re que é um R-submódulo de RR. O R-
módulo Re/Je também é um R-módulo com o produto escalar definido do seguinte modo:
R⇥ (Re/Je) ! Re/Je (s + J, re + Je)! sre + Je
(ii10.26) Os R-submódulos de Re/Je coincidem com os R-submódulos de Re/Je.
(iii10.26) A aplicação
: Re/Je ! Re
re + Je ! (r + J)e = re + J é um isomorfismo de R-módulos.
Para concluir a demonstração de (b10.26), (c10.26): (b10.26), Re é um
ideal esquerdo minimal de R , Re/Je é um R-módulo simples , (c10.26).
A primeira equivalência resulta da definição de idempotente irredutível à esquerda, a segunda resulta do isomorfismo e a terceira resulta de (ii10.26).
(c10.26) ) (d10.26). Suponhamos que Re/Je é um R-módulo simples.
Então Je 6= Re. Seja a um submódulo de Re que não está contido em Je. Então
a + Je Je
é um R-submódulo de Re/Je diferente de {Je}. Por (c10.26),
a + Je Je =
Re Je.
Donde, a + Je = Re. Donde, a + J · (Re) = Re. Pelo lema de Nakayama, a = Re. Logo, (d10.26)é satisfeita.
(d10.26)) (e10.26)) (c10.26) são triviais.
Proposição 10.27 Sejam e, f elementos idempotentes de um anel R. São equivalentes:
(a10.27) Re ⇠= Rf.
(a010.27) eR ⇠= f R.
(b10.27) Existem a 2 eRf e b 2 fRe tais que e = ab e f = ba.
(c10.27) Existem a, b 2 R tais que e = ab e f = ba.
Se dois idempotentes e, f de um anel R satisfazem as condições (a10.27)–
(c10.27),dizemos que e e f são isomorfos e escrevemos e ⇠= f.
Demonstração. (a10.27) ) (b10.27). Seja ✓ : Re ! Rf um isomorfismo
de R-módulos. Sejam a = ✓(e) = ✓(e2) = e✓(e)2 eRf e b = ✓ 1(f )2 fRe.
Então e = ✓ 1✓(e) = ✓ 1(a) = ✓ 1(af ) = a✓ 1(f ) = ab e, analogamente,
f = ba.
(b10.27)) (c10.27) é trivial.
(c10.27) ) (a10.27) Sejam a, b 2 R tais que e = ab e f = ba. Temos
ea = aba = af 2 Rf e fb = bab = be 2 Re. As aplicações ✓ : Re ! Rf,
re ! rea
✓0 : Rf ! Re. rf ! rfb
são homomorfismos de R-módulos e, qualquer que seja r 2 R, ✓0✓(re) =
reab = re2 = re e ✓✓0(rf ) = rf. Assim, ✓ e ✓0 são invertíveis e uma é a inversa da outra.
Exercício 10.28 Sejam M um módulo esquerdo sobre um anel k, R = Endk(M ) e e, f elementos idempotentes de R. Mostre que os idempotentes
e, f são isomorfos se e só se os k-módulos e(M) e f(M) são isomorfos. Exercício 10.29 Seja e um elemento idempotente de um anel R. Se M é um R-módulo esquerdo, então eM é um eRe-módulo esquerdo.
Mostre que, se
0! L! Mf ! N ! 0g é uma sequência exata de R-módulos, então
0! eLf! eM|eL g! eN ! 0|eM é uma sequência exata de eRe-módulos.
Mostre que, se M é um R-módulo esquerdo irredutível, então eM = 0 ou eM é um eRe-módulo esquerdo irredutível.
Exercício 10.30 Seja E o conjunto dos elementos idempotentes de um anel R. Em E, definimos uma ordem parcial do seguinte modo: quaisquer que sejam e, e0 2 E, e e0 , ee0 = e0e = e. Mostre que os idempotentes
primitivos de R coincidem com os elementos minimais de E.
Proposição 10.31 Se a um ideal de um anel R e P é um R-módulo esquerdo, então P/aP é um R/a-módulo esquerdo com o produto escalar definido do seguinte modo: quaisquer que sejam r 2 R, x 2 P, (r + a)(x + aP ) = rx + aP.
Demonstração. Exercício
Proposição 10.32 Sejam a um ideal de um anel R contido em JR e P, Q R-módulos esquerdos projetivos e finitamente gerados. São equivalentes as afirmações seguintes:
(a10.32) P ⇠= Q,como R-módulos.
(b10.32) P/aP ⇠= Q/aQ, como R-módulos, com os produtos escalares dos mó-
dulos quocientes.
(c10.32) P/aP ⇠= Q/aQ, como R/a-módulos, com os produtos escalares defini-
dos como na proposição anterior.
Demonstração. (a10.32) ) (c10.32). Se f : P ! Q é um isomorfismo de
R-módulos, então a aplicação f : P/aP ! Q/aQ, definida por f(x + aP ) = f (x) + aQ,é um isomorfismo de R/a-módulos.
(c10.32) ) (b10.32). Se f : P/aP ! Q/aQ é um isomorfismo de R/a-
módulos, então f também é um isomorfismo de R-módulos.
(b10.32) ) (a10.32). Seja f : P/aP ! Q/aQ um isomorfismo de R-
módulos. Sejam p : P ! P/aP e q : Q ! Q/aQ os epimorfismos canónicos. Como P é projetivo, existe um homomorfismo f : P ! Q tal que qf = fp.
P f // p ✏✏ Q q ✏✏ P/aP f //Q/aQ Isto é,
f (x) + aQ = f (x + aP ), qualquer que seja x 2 P. Como f é sobrejetivo,
f (P ) + aQ aQ =
Q aQ .
Donde, f(P ) + aQ = Q. Como Q é finitamente gerado, resulta do lema de Nakayama que f(P ) = Q e f é sobrejetivo.
A sequência
0! nuc f ! Pi ! Q ! 0f
é exata. Como Q é projetivo, P = nuc f N, para algum submódulo N de P . Sejam ⇡1 : P ! nuc f e ⇡2 : P ! N as duas projeções associadas à
decomposição anterior. Não é difícil verificar que : P aP ! nuc f a nuc f ⇥ N aN x + aP ! (⇡1(x) + a nuc f, ⇡2(x) + aN )
está bem definida e é um isomorfismo de R-módulos.
Seja x 2 nuc f. Então aQ = f(x) + aQ = f(x + aP ). Como f é injetivo, x + aP = aP. Tendo em conta o isomorfismo , a nuc f = ⇡1(x) + a nuc f =
x + a nuc f. Donde, x 2 a nuc f. Logo, nuc f = a nuc f. Como nuc f é parcela direta de P e P é finitamente gerado, nuc f também é finitamente gerado. (4) Pelo lema de Nakayama, nuc f = 0. Logo, f é injetivo.
Logo, f é um isomorfismo.
Proposição 10.33 Sejam a um ideal e e um elemento idempotente de um anel R. A aplicação : Re a(Re) = Re ae ! R a(e + a) re + ae ! re + a
é um isomorfismo de R/a-módulos e também de R-módulos. Demonstração. Exercício.
Proposição 10.34 Seja a um ideal de um anel R contido em JR e sejam e, f elementos idempotentes de R. Então
e ⇠= f (como idempotentes de R) , e + a ⇠= f + a (como idempotentes de R/a). Demonstração. e ⇠= f , Re ⇠= Rf , Re/ae ⇠= Rf /af , (R/a)(e + a) ⇠= (R/a)(f + a), e + a ⇠= f + a. A segunda equivalência utiliza a proposição 10.32; note-se que os módulos Re e Rf são projetivos porque são parcelas diretas do módulo livre RR : R = Re R(1 e). A terceira equivalência
utiliza a proposição 10.33.
4Se P é gerado por {x
Levantamento de idempotentes
Seja a um ideal de um anel R. Dizemos que um idempotente x 2 R/a pode ser levantado para R se existe um idempotente e 2 R tal que x = e+a. Exemplo 10.35 O idempotente 3 + 6Z de Z/6Z não pode ser levantado para Z, pois, qualquer que seja x 2 6Z, 3 + x não é idempotente de Z.
Proposição 10.36 Se R é um anel, 0 é o único elemento idempotente de JR.
Demonstração. Seja e 2 JR um elemento idempotente. Então 1 e 2 U (R)e, como 1 e também é idempotente, 1 e = 1. Donde, e = 0.
Lema 10.37 Seja a um ideal de um anel R contido em JR. Sejam x, y elementos idempotentes ortogonais de R/a que podem ser levantados para R. Seja e 2 R um idempotente tal que x = e + a. Então existe um elemento idempotente f 2 R tal que y = f + a e e, f são ortogonais.
Demonstração. Seja f02 R um idempotente tal que y = f0+ a. Como x
e y são ortogonais, a = xy = ef0+ a e, analogamente, a = f0e + a. Donde,
ef0, f0e2 a ✓ JR. Donde, 1 f0e2 U(R). Seja f00 = (1 f0e) 1f0(1 f0e).
Como f0 é idempotente, é fácil deduzir que f00 é idempotente. Temos
f00e = (1 f0e) 1(f0e f02e2) = 0.
Como f0e2 a,
f0(1 f0e) (1 f0e)f0 = f0ef0 f0e2 a.
Multiplicando à esquerda por (1 f0e) 1,vem f00 f0 2 a. Como ef0 2 a,
ef00 = e(f00 f0) + ef0 2 a. Seja f = (1 e)f00. Temos
f f00= (1 e)f00 f00= ef00 2 a. Assim, f + a = f00+ a = f0+ a = y, f e = (1 e)f00e = (1 e)0 = 0, ef = e(1 e)f00= 0f00 = 0, f2 = (f00 ef00)2 = f002 ef002 f00ef00+ ef00ef00= f00 ef00 = f.
Proposição 10.38 Seja a um ideal de um anel R contido em JR. Su- ponhamos que todos os idempotentes de R/a podem ser levantados para R.
Se (xi)i2I, onde I = {1, 2, . . .}, é uma família finita ou numerável de
elementos idempotentes ortogonais de R/a, então existe uma família (ei)i2I
de elementos idempotentes ortogonais de R tais que xi= ei+ a, i2 I.
Demonstração. Resulta do lema anterior, por indução. De facto, su- ponhamos que n + 1 2 I e suponhamos, como hipótese de indução, que xi = ei + a, i 2 {1, . . . , n}, e e1, . . . , en 2 R são idempotentes ortogonais.
Os elementos e = e1+· · · + en 2 R e x = x1+· · · + xn = e + a2 R/a são
idempotentes. Além disso, x, xn+1 são ortogonais. Pelo lema anterior, existe
en+12 R idempotente tal que os idempotentes e e en+1são ortogonais. Qual-
quer que seja i 2 {1, . . . , n}, eien+1 = eieen+1 = 0 e en+1ei = en+1eei = 0.
Portanto, e1, . . . , en+1 são ortogonais.
Proposição 10.39 Sejam a um ideal de anel R contido em JR e e 2 R idempotente.
Se e + a é um idempotente primitivo de R/a, então e é um idempotente primitivo de R. A afirmação recíproca é verdadeira, se todos os idempotentes de R/a puderem ser levantados para R.
Demonstração. Suponhamos que e não é primitivo. Então e tem uma decomposição e = ↵ + , onde ↵ e são idempotentes ortogonais e não nulos de R. Pela proposição 10.36, ↵ /2 a e 2 a. Assim, ↵ + a e/ + a são idempotentes ortogonais e não nulos de R/a e e + a = (↵ + a) + ( + a). Logo, e + a não é primitivo.
Suponhamos agora que todos os idempotentes de R/a podem ser levan- tados para R. Suponhamos que e + a não é primitivo. Então e + a = x + y, onde x e y são idempotentes ortogonais e não nulos de R/a. De acordo com a proposição 10.38, existem idempotentes ortogonais ↵, 2 R tais que x = ↵ + ae y = + a. Como x, y são não nulos, ↵, são não nulos. Então e0 = ↵ + é um idempotente que não é primitivo. Além disso,
e0+ a = (↵ + ) + a = x + y = e + a.
Pela proposição 10.34, e ⇠= e0. Como e0 não é primitivo e Re ⇠= Re0,deduzi- mos que e não é primitivo.
Proposição 10.40 Se a é um ideal nil de um anel R, então todos os elementos idempotentes de R/a podem ser levantados para R.
Demonstração. Seja x+a um elemento idempotente de R/a, onde x 2 R. Seja y = 1 x. Como xy = x x2 2 a, existe m 2 N tal que (xy)m = 0.
Como xy = yx,
para alguns r1, . . . , r2m 12 N. Sejam
e = x2m+ r1x2m 1y +· · · + rmxmym,
f = rm+1xm 1ym+1+· · · + r2m 1xy2m 1+ y2m.
Como xy = yx e (xy)m = 0, deduzimos que ef = 0 e e = e(e + f) = e2.
Como xy 2 a,
e x2m = r1x2m 1y +· · · + rmxmym2 a,
x2m x = (x2m 2+ x2m 3+· · · + 1)(x 1)x2 a. Donde e x 2 a e e + a = x + a.
Exercício 10.41 Seja R um anel. Uma aplicação : R ! R é um isomorfismo de R-módulos esquerdos se e só se existe u 2 U(R) tal que, qualquer que seja x 2 R, (x) = xu.
Exercício 10.42 Sejam R um anel e 1 = e1+· · ·+en= e01+· · ·+e0nduas
decomposições de 1 como soma de idempotentes ortogonais. Mostre que, se, 8i 2 {1, . . . , n}, ei ⇠= e0i,então, existe u 2 U(R) tal que, 8i 2 {1, . . . , n}, e0i =
u 1eiu.