Impacto da estimação dos parametros nos erros alfa e beta

Na seção anterior buscou-se demonstrar que as cartas de controle têm contribuído substancialmente para o controle e melhoria da qualidade e produtividade das empresas (HOERL; SNEE, 2010).Vários aspectos estão envolvidos no escopo da

aplicação e manutenção do programa CEP: há os gerenciais (pensamento estatístico, infrastrutura), técnicos (as estimativas estatísticas), metodológicos (organização das equipes, definição das características a serem analisadas). Esses aspectos encontram-se dispersos na literatura (BESSANT et. al., 1999; MONTGOMERY, 2004; HOERL e SNEE, 2010).

Dentre todos os conceitos já apresentados nas seções anteriores desta tese, destacam-se os relacionados à variabilidade, especificamente ao pensamento estatístico. O pensamento estatístico se apropria do conceito de variabilidade (entropia) e do princípio da administração pela exceção, usados para estabelecer regras conceituais para o processo de decisão. Entende-se que a variabilidade é intrínseca aos processos e, portanto, nem toda variabilidade é um problema.

Deste modo, um ponto central no estudo da variabilidade é a determinação, em termos estatísticos, dos erros relativos aos processos decisórios, tais como o falso positivo (erro tipo I –α) e falso negativo (erro tipo II – β). Esses erros, quando não estimados corretamente, diminuem a eficácia do próprio processo de decisão e podem trazer consequências negativas para a produtividade e qualidade dos processos produtivos. Portanto, a essência do pensamento estatístico é a consciência da variabilidade natural dos processos e dos erros de decisão.

É sobre esse fato que o debate mais recente sobre os gráficos de controle tem recaído. A implantação das cartas de controle passa por duas fases, conforme indica Montgomery (2004). É na chamada fase I que são estabelecidos os limites de controle, no caso das cartas clássicas de Shewhart _{𝑥̅/𝑠 e 𝑥̅/𝑅, por meio da estimativa dos} parâmetros estatísticos da média (µ) e desvio padrão _(𝜎).

O problema desses gráficos de controle é supor que os parâmetros estatísticos sejam conhecidos, o que na prática não é verdade. Isso afeta substancialmente a eficiência desses gráficos. Esse problema foi estudado por muitos autores da área (JENSEN et. al., 2006; CASTAGLIOLA et. al., 2009; CASTAGLIOLA; MARAVELAKIS, 2011; CASTAGLIOLA et. al, 2013). Em todos esses estudos o objetivo foi melhorar o desempenho dos gráficos de controle, redimensionando os procedimentos de cálculo dos limites de controle utilizados correntemente. Portanto, o erro teórico 0,27% de probabilidade de um falso alarme não é de fato crível.

Quando os parâmetros de uma determinada característica da qualidade são desconhecidos, os gráficos de controle são, normalmente, construídos em duas

fases. Na Fase I (fase pré-prospectiva) são estimados os limites de controle estatístico. Na carta tradicional de Shewhart, em geral, são extraídas 25 amostras com o tamanho cinco (5) para estimativa dos parâmetros do processo e dos limites de controle estatístico.

Na Fase II, com o gráfico já definido, novas amostras são retiradas e diz- se que o processo está estável quando o resultado da característica observada é plotada entre os limites de controle, ou quando não é observada tendências dentro dos limites estatísticos. Caso contrário, diz-se que o mesmo está fora de controle devido à presença de causas especiais (JENSEN et. al, 2006).

A questão central é estudar o desempenho dos gráficos de controle sabendo-se que os parâmetros estatísticos dos processos são estimados na fase I. Interessante notar que, apesar de haver artigos que tratam deste problema, publicados na segunda metade da década de noventa, é somente a partir de 2006 que um significativo número de trabalhos tem surgido tratando dos efeitos da estimativa de parâmetros estatísticos no desempenho do CEP (CASTAGLIOLA et. al. 2009; MARAVELAKIS; CASTAGLIOLA, 2009; CASTAGLIOLA; MARAVELAKIS, 2011; ZHANG; CASTAGLIOLA, 2011 CASTAGLIOLA; WU, 2012).

Os efeitos disso é que as estimativas dos parâmetros podem ocasionar piora no desempenho dos gráficos de controle, quando comparados com o desempenho de gráficos construídos com parâmetros realmente conhecidos. Jensen et. al. (2006) apresenta o problema de modo prático. Para os autores, o desempenho de gráficos de controle é extremamente afetado pela estimativa dos parâmetros estatísticos feitos na Fase I. Cabe frisar que essa questão já tinha sido estudada anteriormente por Graham e Human, Chakraborti, (2010) mas o trabalho de Jensen et al. (2006) é significativo para o desenvolvimento de pesquisas na área, pois os autores detalham no artigo as pesquisas já realizadas sobre o assunto e faz também indicações de futuras pesquisas.

O desempenho de um gráfico de controle é avaliado pela sua capacidade de detectar causas especiais, com o menor erro β, e com o menor erro tipo I quando esse estiver sob controle. Esse desempenho na fase II é obtido pelo ARL (Average Run Lenght), que é o número médio de amostras necessárias para a detecção de um ponto fora de controle quando o processo está realmente fora de controle. Para um processo estável, o ARL é dado por _{ARL0 =}1

α, e para um processo instável (fora de controle), o ARL é dado por = _1−β1 (MONTGOMERY, 2004).

Para Jensen et al. (2006), quando os limites de controle são conhecidos, o ARL é uma variável aleatória geométrica com parâmetro = p , representando a probabilidade de um único ponto fora dos limites de controle. Adicionalmente, se o processo está sob controle à probabilidade de um sinal é relacionado com a frequência de alarmes falsos. Entretanto, quando os parâmetros usados para determinação dos limites de controle são estimados, a distribuição de ARL não é geométrica e, portanto, a probabilidade de um sinal não tem o mesmo poder de interpretação pois depende do erro de estimativa, que por sua vez depende do número e tamanho da amostra (m,n). Deste modo, a estimação dos parâmetros nos gráficos de controle tem grande influência em seu desempenho.

Castagliola et. al. (2013) realizaram uma análise numérica e determinaram as constantes K̂x̅ quando os parâmetros são desconhecidos, que são diferentes das constantes _{Kx̅ quando os parâmetros estatísticos são conhecidos} (classicamente disseminadas nos livros didáticos), isso para _{ARL0 = 370,4, o que} equivale a _{α = 0,0027. Por exemplo, para m = 25 e n = 5, K̂x̅}=1,329 e _{Kx̅ = 1,342;} quando _{m~∞, K̂x̅= Kx̅}. Esse resultado permite utilizar valores exatos de _Kx̅ para combinações de _{m e n.}

Portanto, os conceitos tradicionais dos gráficos de Shewhart no que diz respeitos aos erros tipo I e tipo II e as constantes utilizadas para estabelecer os limites de controle estão em processo de mudanças.