Integra¸ c˜ ao estoc´ astica com respeito a semi-martingais

onde{A_j}, j= 1,2, . . . , n´e uma parti¸c˜ao de [0, t] comAj ∈Bpara cadaj. Dessa forma, como{A_j}

e uma sequˆencia disjunta temos que f²=

j=1

α²_j1Aj, g² =

j=1

β_j²1Aj e f g=

j=1

α_jβ_j1Aj.

Assim, pelo lema (4.10) e pela desigualdade de Cauchy-Schwarz

f g d|µ^J_ω^M,N^K|=

j=1

α_jβ_j|µ^J_ω^M,N^K|(A_j)

≤





j=1

α²_jµ^J_ω^M^K(A_j)





1 2 



j=1

β_j²µ^J_ω^N^K(A_j)





1 2





f²dµ^J_ω^M^K





1 2 



g²dµ^J_ω^N^K





1 2

como quer´ıamos.

Dos resultados anteriores, provamos o

Teorema 4.12. Sejam M, N martingais locais cont´ınuos, U e H processos mensur´aveis. Ent˜ao para t≥0 vale a desigualdade de Kunita-Watanabe

|U H(s, ω)|V

JM,NK(ds, ω)≤





U²(s, ω)JMK(ds, ω)





1 2 



H²(s, ω)JNK(ds, ω)





1 2

para quase todoω ∈Ω.

4.3 Integra¸c˜ao estoc´astica com respeito a semi-martingais

da convergˆencia mon´otona queR∞

0 1Γ(s,·) JMK(ds,·) ´e F-mensur´avel e E



 lim

n→∞

1Γ(s,·) JMK(ds,·)



=E





∞

1Γ(s,·) JMK(ds,·)



.

Motivados por essa discuss˜ao temos a seguinte

Defini¸cão 4.13. Definimos a medida de Dóleansgerada pela varia¸cão quadrática do martingal local cont´ınuo M como a medida α_M em σ BR+×F

dada por

αM(Γ) .





∞

1ΓdJMK



.

Defini¸cão 4.14. SejaMum martingal local cont´ınuo. Denotaremos porL²(M)o espa¸co das classes de equivalências de fun¸cões de quadrado integrável e progressivamente mensuráveis definidas no espa¸co de medida (R+×Ω,P_g, α_M) isto é, L²(M) = L²(R+×Ω,P_g, α_M). Denotaremos por k·k_M a norma no espa¸co de Hilbert L²(M)

kXk_M .

= v u u t

R⁺×Ω

X²dαM= v u u u tE





∞

X²dJMK



.

Proposi¸c˜ao 4.15. Sejaτ um tempo de parada. Ent˜aokHk²_Mτ =w

wH1[[0,τ]]

w w

M, ou sejaH∈ L²(M^τ) se e somente se H1[[0,τ]] ∈ L²(M) para cada processo progresivamente mensur´avel H.

Demonstra¸c˜ao. De fato, pela proposi¸c˜ao 4.4 - item iii) temos para todo t ≥ 0, H²•JM^τK

t= H²1[[0,τ]]

•JMK

t. Assim, fazendot→ ∞

∞

H²(s, ω) JM^τK(ds, ω) =

∞

H²1[[0,τ]](s, ω)JMK(ds, ω) =

τ(ω)

H²(s, ω) JMK(ds, ω).

Lema 4.16. Sejam M um martingal local cont´ınuo e H∈ L²(M). Ent˜ao para qualquer N∈ cH²,

temos que H∈ L¹(JM,NK), isto ´e,

∞

|H(s, ω)||µ^J_ω^M,N^K|(ds)<∞ (4.9)

e o processoH•JM,NKestá bem definido, é cont´ınuo e de varia¸cão limitada.

Demonstra¸cão. Pela proposi¸cão3.16podemos supor queJM,NKé um processo cont´ınuo e de varia¸cão limitada. Agora, pelo proposi¸cão 3.21 segue que E(JNK(∞)) < ∞, em particular, JNK(∞) < ∞, P−q.s.e como H∈ L²(M), segue que R∞

0 H²(s, ω)dJMK(ds, ω) <∞, P−q.s. Pela desigualdade de Kunita-Watanabe^∗ resulta que

∞

|H(s, ω)||µ^J_ω^M,N^K|(ds)≤





∞

H²(s, ω)µ^J_ω^M^K(ds)





1 2 



∞

1²µ^J_ω^N^K(ds)





1 2





∞

H²(s, ω)µ^J_ω^M^K(ds)





1 2

(JNK(∞))¹²

<∞,

para quase todo ω ∈ Ω e portanto (4.9) é válido. O fato do processo estar bem definido segue do teorema 4.1e a continuidade e varia¸cão limitada seguem da proposi¸cão 4.4.

O próximo resultado é fundamental. Ele garante a existência da integral estocástica de um processo em L²(M) com respeito à um martingal local cont´ınuoM.

Teorema 4.17. SejaMum martingal local cont´ınuo eH∈ L²(M). Ent˜ao existe um ´unico martingal local cont´ınuo I tal que

JI,NK=H•JM,NK (4.10)

para qualquer martingal local cont´ınuo N. Denotamos I .

=H•M. Além disso, I∈ cH²₀, é bilinear em H e M e a aplica¸cão H ∈ L²(M) 7→ H•M ∈ cH²₀ é uma isometria linear. É a chamada de Isometria de Itô.

∗ Veja o teorema4.12na p´agina74.

Demonstra¸c˜ao. Vamos come¸car provando a unicidade. Suponha que existam dois martingais locais cont´ınuos Ie L ambos satisfazendo (4.10). Temos que

JI−L,NK=JI,NK−JL,NK= 0 (4.11) para qualquer martingal local cont´ınuoN. Assim, tome em particularN=I−Lem (4.11) e ficamos com JI−LK= 0. Resulta pelo teorema de Fisk^∗ que I−L ´e constante e como I(0,·) = L(0,·) = 0 para todoω∈Ω, provamos a unicidade.

Agora a existˆencia. Vamos supor inicialmente que N ∈ cH₀². Pelas desigualdades de Kunita-Watanabe e H¨older, temos que



 E





∞

H(s, ω) JM,NK(ds, ω)







≤



 E





 v u u u t

∞

H²(s, ω)JMK(ds, ω) v u u u t

∞

1JNK(ds, ω)









≤ w w w w w w

∞

H²(s, ω) JMK(ds, ω) w w w w w w2

w w w w w w

∞

1 JNK(ds, ω) w w w w w w2

=kHk_Mp

E(JNK(∞)).

Como N ∈cH²₀, pela proposi¸c˜ao 3.21 temos que E(JNK(∞))< ∞ e pelo corol´ario 3.22 segue que pE(JNK(∞)) =kNk_H2 <∞. Desta forma, ficamos com



 E





∞

H(s, ω) JM,NK(ds, ω)







≤ kHk_MkNk_H2 <∞, (4.12)

ou seja,R∞

0 H(s, ω) JM,NK(ds, ω)<∞, P−q.s.Agora considere o funcional ΦH: cH²₀ →Rdefinido como

Φ_H(N) =E





∞

H(s, ω) JM,NK(ds, ω)



.

Por (4.12), temos que Φ_H é limitado e portanto cont´ınuo. Além disso, pela bilinearidade da co-varia¸cão quadrática e da integral^† X•JM,NK, resulta que ΦH é um funcional linear cont´ınuo no espa¸co de Hilbert^‡ cH²₀. Pelo teorema de representa¸cão de Riesz, existe um único elementoI∈cH²₀

∗ Veja o teorema3.6na página35. ^† Veja a proposi¸cão4.4. ^‡ Veja a proposi¸cão2.40na página23.

tal que para qualquer N∈cH₀²,





∞

H(s, ω) JM,NK(ds, ω)





= Φ. _H(N) =hI,Ni_cH2 =E(I(∞)N(∞)).

Vamos verificar agora que

JI,NK=H•JM,NK. (4.13)

ComoHé progressivamente mensurável, segue pelo teorema 4.1que H•JM,NKé adaptado e pela proposi¸cão4.4segue queH•JM,NKé cont´ınuo e de varia¸cão limitada. Além disso (H•JM,NK) (0, ω) = 0 para todo ω∈Ω. Afirmamos que para provar (4.13) é suficiente provar que

X .

=IN−H•JM,NK

e um martingal local. De fato, I e N são martingais locais cont´ınuos, segue pela proposi¸cão 3.16 que JI,NK é o único processo cont´ınuo de varia¸cão limitada tal que IN−JI,NK é um martingal local cont´ınuo. Dessa unicidade resulta (4.13). Então nossa tarefa agora é mostrar que X é um martingal local cont´ınuo. Vamos mostrar em particular que X é um martingal. De acordo com a proposi¸cão2.37na página21, basta mostrar que para qualquer tempo de parada limitadoτ, vale que X(τ)∈L¹ e E(X(τ)) =E(X(0)) = 0 ou, equivalentemente

E(I(τ)N(τ)) =E((H•JM,NK) (τ)). (4.14) De fato, temos que (H•JM,NK) (τ)∈L¹ poisHsatisfaz (4.9), al´em disso comoI eN pertencem a H², temos pela desigualdade de Doob^∗

sup

t≥0

|I(t)|²

≤4 sup

t≥0

E I²(t) .

= 4kIk²_H2 <∞ e an´alogamente

sup

t≥0

|N(t)|²

≤4 sup

t≥0

E N²(t) .

= 4kNk²_H2 <∞

e portanto I(τ)N(τ) ∈L¹. Com isso provamos queX(τ) ∈L¹. Agora vamos provar a rela¸c˜ao 4.14.

∗ Veja o teorema2.27na p´agina18.

Para isso observe os seguintes fatos: (1) Pelo corolário 2.38, o processo paradoN^τ pertence à cH₀² e assim, pelo teorema de convergência de Doob^∗ podemos considerar a variável aleatóriaN^τ(∞) em L² que obviamente satisfaz a rela¸cão N^τ(∞) =N(τ). (2) ComoI∈cH²₀ ,I é um martingal uniforme-mente integrável^† e assim pelo teorema2.36,I(τ) =E(I(∞)||Fτ). (3) ComoNé progressivamente mensurável (pois é cont´ınuo), temos pelo teorema 2.23 que N(τ) é Fτ-mensurável. Agora, desses fatos, temos que

E(I(τ)N(τ)) =E(E(I(∞)||Fτ)N(τ)) =E(E(I(∞)N(τ)||Fτ)). Pelo teorema C.11na p´agina 161, vem

E(E(I(∞)N(τ)||Fτ)) =E(I(∞)N(τ)), e assim, ficamos com

E(I(τ)N(τ)) =E(I(∞)N(τ))

=E(I(∞)N^τ(∞))

= Φ. _H(N^τ)

=E((H•JM,N^τK) (∞))

=E((H•JM,NK

τ) (∞))

=E((H•JM,NK)^τ(∞))

=E((H•JM,NK) (τ)),

onde usamos as proposi¸c˜oes 3.20e 4.4para justificar a quinta e sexta igualdade respectivamente.

O leitor deve estar lembrado que no in´ıcio da demonstra¸cão supomos N ∈ cH₀². Para provar o teorema precisamos relaxar esta hipotése. Assim, seja N um martingal local cont´ınuo tal que N(0) = 0 para todo ω ∈ Ω. Pela proposi¸cão 2.52, existe uma sequência localizadora {τ_n} tal que N^τⁿ é uniformemente limitado, em particular, N^τⁿ ∈ cH²₀ para todo n ∈ N. Novamente pelas proposi¸cões3.20 e4.4, temos para qualquern∈N

JI,NK

τn =JI,N^τⁿK=H•JM,N^τⁿK= (H•JM,NK)^τⁿ.

∗ Veja o teorema2.35na p´agina20. ^† Veja o teoremaB.8.

Fazendo n → ∞ obtemos (4.13). Finalmente, pela proposi¸cão 3.29 na página 58 - item v), temos que trocando N por N−N(0) o resultado cont´ınua válido e assim provamos o resultado para N martingal local qualquer.

Agora vamos provar a Isometria de Itô. Considere a aplica¸cão H∈ L²(M)7→I=H•M∈cH²₀. Vamos inicialmente mostrar a linearidade, isto é paraH₁,H₂ ∈ L²(M) eα, β ∈R

(αH1+βH2)•M=α(H1•M) +β(H2•M).

De fato, como αH₁+βH₂ ∈ L²(M), temos que (αH₁+βH₂)•M ´e o ´unico processo em cH²₀ tal que para qualquer martingal local cont´ınuo N,

J(αH1+βH2)•M,NK= (αH1+βH2)•JM,NK

=αH1•JM,NK+βH2•JM,NK, mas por outro lado,

Jα(H1•M) +β(H2•M),NK=Jα(H1•M),NK+Jβ(H2•M),NK

=αJH₁•M,NK+βJH₂•M,NK

=αH₁•JM,NK+βH₂•JM,NK.

Donde segue a linearidade (e a bilinearidade pelo mesmo argumento). Agora, para a propriedade isométrica, como I∈cH²₀, pelo corolário 3.22 na página56

kIk²_H2 =E I²(∞)

= Φ_H(I) =E((H•JM,IK) (∞)). (4.15) Como vale que H•JM,NK=JI,NKpara qualquer Nmartingal local cont´ınuo, tome em particular

N=I=H•M. Assim e usando o teorema4.7, temos que H•JM,IK

=. H•JM,H•MK

=JH•M,H•MK

=H•JM,H•MK

=H•JH•M,MK

=H•(H•JM,MK)

=H²•JMK. Dessa maneira (4.15) fica

kIk²_H2 =E((H•JM,IK) (∞))

=E H²•JMK (∞)





∞

H²(s, ω) JMK(ds, ω)





=. kHk²_M, e est´a provado o resultado.

Defini¸cão 4.18. Nas condi¸cões do teorema anterior, o martingal H•Mé chamado de Integral de Itô de H com respeito aM e também é denotada por

H(s)dM(s).

Observe que ainda não é claro o motivo da nota¸cão com o s´ımbolo de uma integral. Tratare-mos disso adiante neste cap´ıtulo. O próximo lema será ut´ıl na demonstra¸cão da propriedade da associatividade da integral estocástica.

Lema 4.19. Sejam Ne Mmartingais locais cont´ınuos e H∈ L²(M) eK∈ L²(N). Ent˜ao i) JH•M,K•NK(t, ω) =Rt

0(HK)(s, ω) JM,NK(ds, ω), ii) JH•MK(t, ω) =Rt

0 H²(s, ω)

JMK(ds, ω).

Demonstra¸c˜ao. Inicialmente note queii segue de i. Basta tomarK=He N=M. Vamos come¸car a provar imostrando que HK∈ L¹(JM,NK). De fato, pela desigualdade de Kunita-Watanabe,

∞

|HK(s, ω)|V

JM,NK(ds, ω)≤ v u u u t

∞

H²(s, ω) JMK(ds, ω) v u u u t

∞

K²(s, ω) JNK(ds, ω)<∞,

para quase todoω∈Ω.

Agora sejaµ^Jω^H•M,N^K a medida gerada por JH•M,NK. Temos que µ^J_ω^H•M,N^K([0, t]) =JH•M,NK(t)−JH•M,NK(0)

=H•JM,NK(t)

H(s, ω)JM,NK(ds, ω)

H(s, ω)µ^J_ω^M,N^K(ds).

Temos que H(s,·) = ^dµ^J^ω^H•M,N^K

dµ^JM,NKω

e portanto resulta

(HK)(s, ω)µ^J_ω^M,N^K(ds) =

K(s, ω)µ^J_ω^H•M,N^K

=K•JH•M,NK

=K•JN,H•MK

=JK•N,H•MK.

Teorema 4.20. Seja M um martingal local cont´ınuo, K ∈ L²(M) e H ∈ L²(K•M). Ent˜ao HK∈ L²(M) e vale a propriedade associativa: H•(K•M) = (HK)•M.

Demonstra¸c˜ao. Seja µ^Jω^K•M^K a medida gerada pelas trajet´orias do processo JK•MK. Temos pelo

lema anterior que

µ^J_ω^K•M^K([0, t]) =JK•MK(t)

K²(s, ω) JMK(ds, ω)

K²(s, ω)µ^J_ω^M^K(ds).

Assim,K²(s,·) = ^dµ^J^ω^K•M^K

dµ^JMKω

. Temos portanto que

kHKk²_M=E





∞

((HK)(s, ω))²



µ^J_ω^M^K(ds)





∞

(H(s, ω))²



 µ^J_ω^K•M^K(ds)

=kHk²_K•M <∞.

Segue queHK∈ L²(M) e pelo teorema4.17, existe um ´unico processoHK•M∈cH²₀, tal que para qualquer martingal local cont´ınuo N

JHK•M,NK=HK•JM,NK.

Agora, note que como K ∈ L²(M) e H∈ L²(K•M), segue pelo lema 4.16 que K∈ L¹_loc(JM,NK) e H∈ L¹_loc(JK•M,NK) ou sejaH∈ L¹_loc(K•JM,NK). Estamos sob as hip´oteses do teorema4.7 e, portanto

JHK,•NK=HK•JM,NK=H•(K•JM,NK) =H•JK•M,NK.

Mas, H•K•M ´e o ´unico processo tal que JH•(K•M),NK = H•JK•M,NK. Disso resulta HK•M=H•K•M, como quer´ıamos.

Nosso objetivo é estender a integral de Itô para integradores que sejam semi-martingais. O primeiro passo será estender a classe dos processos integrantes. Para isso, precisaremos da seguinte

propriedade:

Proposi¸cão 4.21. Sejam M um martingal local cont´ınuo, H ∈ L²(M) e τ um tempo de parada arbitrário, então^∗

H^τ •M^τ =H•(M^τ) = 1[0,τ]H

•M= (H•M)^τ. Demonstra¸c˜ao. SejaNum martingal local cont´ınuo arbitr´ario.

i) H•M^τ = (H•M)^τ.

Pela proposi¸c˜ao 3.20, temos que

J(H•M)^τ,NK=JH•M,N^τK=H•JM,N^τK=H•JM^τ,NK. Por outro lado, comoH•M^τ ´e o ´unico processo tal que

JH•M^τ,NK=H•JM^τ,NK, segue queH•M^τ = (H•M)^τ.

ii) H^τ•M^τ = (H•M)^τ.

Basta observar que, novamente, pela proposi¸c˜ao 3.20, vem

JH^τ •M^τ,NK=H^τ •JM^τ,NK=H^τ•JM,NK

τ,

e comoτ é arbitrário, da unicidade da integral estocástica de Itô resultaH^τ•M^τ = (H•M)^τ.

iii) 1[0,τ]H

•M= (H•M)^τ.

Observe que 1[0,τ]H ∈ L²(M) e que JM,NK é um processo de varia¸cão limitada. Podemos então usar a proposi¸cão 4.4-iiie concluir que

JH•M^τ,NK=H•JM^τ,NK

=H•JM,NK

=1[0,τ]H•JM,NK

1[0,τ]H•M,Ny .

∗ Lembre a defini¸cão de intervalo estocástico [0, τ]. Defini¸cão4.3na página65.

Agora, da bilineridade da co-varia¸c˜ao quadr´atica, resulta que para qualquer martingal local cont´ınuoN

qH•M^τ−1[0,τ]H•M,Ny

= 0, em particular

qH•M^τ−1[0,τ]H•My

= 0.

Assim, pelo teorema de Fisk^∗ e do fato dos processos se anularem emt= 0, resulta a igualdade desejada.

A integral de Itˆo para martingais locais cont´ınuos estendida

SejaM um martingal local cont´ınuo. Vamos definir um espa¸co maior para nossos integrandos.

Defini¸cão 4.22. Definimos o espa¸co L²_loc(M) como o conjunto de todos processos progressivamente mensuráveis H tais que existe uma sequência localizadora{τ_n}_n≥1 de tempos de parada tal que





τn

H²(s, ω) JMK(ds, ω)



<∞.

Note que pelo Teorema 4.21, temos





τn

H²(s, ω) JMK(ds, ω)



=E





∞

1[0,τn]H²(s, ω) JMK(ds, ω)





=E 1[0,τn]X²•M

=E X²•M^τⁿ





∞

X²(s, ω) JMK

τn









∞

X²(s, ω) JM^τⁿK



,

∗ Veja o teorema3.6na p´agina35.

onde na última igualdade usamos a proposi¸cão 3.13 na página 47. Essas igualdades explicitam algumas condi¸cões equivalentes para um processo pertencer à classe L²_loc(M). Observamos também a inclusãoL²(M)⊆ L²_loc(M). Vamos dar mais uma caracteriza¸cão de processos emL²_loc(M).

Proposi¸c˜ao 4.23. SejaHum processo progressivamente mensur´avel eMum martingal local cont´ınuo.

Se Rt

0 H²(s, ω)JMK(ds, ω)<∞, P-q.s.para cada t≥0 ent˜aoH∈ L²_loc(M).

Demonstra¸cão. Pela proposi¸cão4.4, temos que o processo H²•JMKé cont´ınuo e se anula emt= 0.

Defina os tempos de parada

τn .

= inf

t≥0







H²(s, ω) JMK(ds, ω) ou |M_t|> n





 .

Temos que τn ↑ ∞ e Rτn

0 H²(s, ω) JMK(ds, ω), P-q.s. Para n > |M₀|, M^τⁿ é um martingal local cont´ınuo com|M^τⁿ| ≤n. Pelo corolário2.56na página31temos queM^τⁿé um martingal, alem disso, da limita¸cão uniforme também resulta queM^τⁿ ∈cH². Assim,kHk²_M_τn =E Rτn

0 H²(s, ω) JMK(s, ω)

≤ ne consequentemente temos para todon≥1 queH∈ L²(M^τⁿ). Disso resulta queH∈ L²_loc(M).

O objetivo agora ser´a definir a integral estoc´astica para processosH∈ L²_loc(M). Antes precisamos de um lema.

Lema 4.24. Seja{X_n} uma sequência de martingais cont´ınuos e {τ_n} uma sequência de tempos de parada tais que τ_n↑ ∞ P-q.s.e X^τ_n+1ⁿ =X_n, n≥1. Então existe um único processo adaptadoX tal que para todon≥1, X^τⁿ =Xn. Além disso, X é um martingal local cont´ınuo.

Demonstra¸c˜ao. Vamos provar primeiro a existˆencia. Seja Λ um conjunto de medida nula tal que paraω ∈Λ^c, temos que τn(ω)↑ ∞ eX_n+1^τⁿ (t, ω) =Xn(t, ω), para todot≥0, n≥1. Considere

[0, τ_n]∩([0,∞)×Λ^c) .

={(t, ω)∈[0,∞)×Ω : 0≤t≤τ_n(ω)} ∩ {(t, ω)∈[0,∞)×Λ^c}.

Temos que [0, τn]∩([0,∞)×Λ^c)↑([0,∞)×Λ^c) quandoncresce. Assim, definaX: ([0,∞)×Ω)→R por

X .







Xn em [0, τn]∩([0,∞)×Λ^c), 0 em ([0,∞)×Ω)\([0,∞)×Λ^c).

Dessa forma, temos que X(t) =Xn(t) paraω ∈[t≥τn]∩([0,∞)×Λ^c), e assim X(t, ω) = lim

n→∞X_n(t, ω),

paraω∈Λ^c, ou seja, P-q.s.Como cadaXn(t) éFt-mensurável eFtcontém os conjuntos de medida nula, resulta queX(t) também éFt-mensurável. Ou seja, provamos queXassim definido é adaptado.

Pela sua própria constru¸cão, para ω∈Λ^cas trajétorias deX são as trajétorias deX_n nos intervalos [0, τn] e portanto cont´ınuas, além disso, como X é constante casoω /∈Λ^c, resulta que o processo X

e cont´ınuo. Agora note que a condi¸cãoX^τ_n+1ⁿ =X_n implica que X^τ_nⁿ =X_n, disso e da constru¸cão de X resulta que para cada t ≥ 0 e ω ∈ Λ^c, X^τⁿ(t) = X_n^τⁿ(t) = X_n(t). Resulta como quer´ıamos que X^τⁿ =Xn. Como por hipótese{X_n}é um martingal temos queXé de fato um martingal local.

Para provar a unicidade, suponha queXeYsejam dois processos satisfazendoX^τⁿ =X_n=Y^τⁿ, n ≥1. Pelo resultado de existência, isso implica que para qualquer t≥ 0, X^τⁿ(t) =X_n^τⁿ = Y^τⁿ(t) em Λ^c, isto é, P-q.s.Fazendo n↑ ∞, resulta queX(t) =Y(t), P-q.s.. Isso implica que os processos são indistingu´ıveis^∗.

Teorema 4.25. Sejam M um martingal local cont´ınuo e H ∈ L²_loc(M). Ent˜ao H ∈ L¹_loc(JM,NK) para cada martingal local cont´ınuoNe existe um ´unico martingal local cont´ınuo denotado porH•M tal que (H•M)(0) = 0 para todo ω ∈Ω e JH•M,NK=H•JM,NKpara qualquer martingal local cont´ınuo N.

Demonstra¸cão. Em primeiro lugar, temos pela desigualdade de Kunita-Watanabe e pelas observa¸cões feitas após a defini¸cão do espa¸coL²_loc(M), que para qualquer t≥0 e quase todo ω∈Ω,

|H(s, ω)|V

JM,NK(ds, ω)≤(JNK(t))¹²





H²(s, ω) JMK(ds, ω)





1 2

<∞

e portanto H ∈ L¹_loc(JM,NK). A unicidade do processo H•M ´e provada da mesma forma que no teorema 4.17.

Para a existência, note que como H ∈ L²_loc(M), existe uma sequência localizadora de tempos de parada {τ_n} tal que H ∈ L²(M^τⁿ), para todo n ≥ 1. Assim pelo teorema 4.17 a sequência de processos {I_n}, onde In .

= H•M^τⁿ ´e tal que In ∈ cH²₀, para cada n ≥ 1. Al´em disso, pela

∗ Veja a proposi¸c˜ao2.3.

proposi¸c˜ao 4.21temos para todon≥1,

I^τ_n+1ⁿ = (H•M^τⁿ⁺¹)^τⁿ

=H•(M^τⁿ⁺¹)^τⁿ

=H•M^τⁿ

=. In.

Assim, pelo lema anterior, existe um martingal local cont´ınuo Ital que I^τⁿ =I_n=H•M^τⁿ. Logo, para qualquer martingal local cont´ınuoN, temos pelas proposi¸c˜oes 3.20e 4.21 que

JI,NK

τn =JI^τⁿ,NK=JH•M^τⁿ,NK

=H•JM^τⁿ,NK=H•JM,NK

τn

= (H•JM,NK)^τⁿ.

Como esta igualdade vale para qualquern≥1, fazendo n↑ ∞, resulta que JI,NK=JH•M,NK=H•JM,NK.

Observe que se M∈cH² ent˜aoL²(M)⊆ L²_loc(M) e para cada H∈ L²(M) as integrais definidas nos teoremas4.17 e 4.25coincidem. Por este motivo, obtemos

Teorema 4.26. Sejam M,Nmartingais locais cont´ınuos,H∈ L²_loc eτ um tempo de parada. Ent˜ao H•M´e bilinear em He Me

H^τ •M^τ =H•(M^τ) = 1[0,τ]H

•M= (H•M)^τ.

Agora vamos provar que também vale a propriedade associativa. Procedemos como na subse¸cão anterior. A demonstra¸cão do próximo lema é igual a demonstracão do lema 4.19 e por isso será omitida.

Lema 4.27. Sejam Ne Mmartingais locais cont´ınuos e H∈ L²_loc(M) eK∈ L²_loc(N). Ent˜ao i) JH•M,K•NK(t, ω) =Rt

0(HK)(s, ω) JM,NK(ds, ω),

ii) JH•MK(t, ω) =Rt

0 H²(s, ω)

JMK(ds, ω).

Teorema 4.28. Seja M um martingal local cont´ınuo, K ∈ L²_loc(M) e H ∈ L²_loc(K•M). Ent˜ao HK∈ L²_loc(M) e vale a propriedade associativa: H•(K•M) = (HK)•M.

Demonstra¸c˜ao. Da mesma maneira como na demonstra¸c˜ao do teorema4.20, seja K²(s,·) = ^dµ^JK•MK^ω

dµ^Jω^M^K

. Assim,

(HK)²(s, ω)µ^J_ω^M^K(ds) =

H²(s, ω)µ^J_ω^K•M^K(ds),

como H ∈ L²_loc(K•M) segue que a última integral é finita q.s. para qualquer t ≥ 0, e portanto HK∈ L²_loc(M). Assim, pelo teorema4.25, o processo (HK)•Mestá bem definido e é um martingal local cont´ınuo. Ainda por este mesmo teorema, segue queK∈ L¹_loc(JM,NK) eH∈ L¹_loc(JK•M,NK).

Agora, o resultado segue como no teorema 4.20.

Vamos introduzir um outro espa¸co, importante para aplica¸c˜oes no cap´ıtulo 5.

Defini¸c˜ao 4.29. Seja Mum martingal local cont´ınuo. Definimos o espa¸co Λ²(M)como o espa¸co de todos os processos progressivamente mensur´aveis H tais que





H²(s, ω)

JMK(ds, ω)



<∞, ∀t≥0 ou, equivalentemente





H²(s, ω)

JMK(ds, ω)



=w

w1[0,n]Hw w

M <∞, ∀n≥1.

Note que Λ²(M) é o espa¸co de todos os processos progressivamente mensuráveis tais que1[0,n]H∈ L²(M). Se H∈ Λ²(M) então^∗ 1[0,n]H∈ L²(M) e portanto (H•M)ⁿ = 1[0,n]H

•M∈ H₀², para todo n≥1. Disso segue que H•M´e um martingal de quadrado integr´avel.

∗ Veja a proposi¸c˜ao4.21.

A integral de Itˆo para semi-martingais cont´ınuos

SejaXum semi-martingal cont´ınuo. Lembramos que isto significa queXadmite a decomposi¸c˜ao X=M+A

onde M é um martingal local cont´ınuo, A é um processo adaptado cont´ınuo à direita de varia¸cão finita que se anula em t= 0 e esta decomposi¸cão é única^∗.

Defini¸c˜ao 4.30. Definimos o espa¸co L(X) como o conjunto de todos os processos progressivamente mensur´aveis H tais que

H²(s, ω) JMK(ds, ω) +

|H(s, ω)|VA(ds, ω)<∞

para quase todoω ∈Ωe todot≥0. Em outras palavras,L(X) .

=L²_loc(M)∩L¹_loc(A). ParaH∈ L(X), definimos a integral estoc´astica de Itˆo H•X por

H•X=H•M+H•A.

Assim, para o caso de um integrador X semi-martingal, o tratamento da integral estocástica é reduzido aos casos previamente estudados. Note que comoH•Mé martingal local eH•Aé processo adaptado cont´ınuo à direita de varia¸cão limitada segue que H•X é um semi-martingal cont´ınuo.

Vamos reunir as principais propriedades da integral estoc´astica para semi-martingais cont´ınuos.

Teorema 4.31. SejamX, Y semi-martingais cont´ınuos,H∈ L(X)eτ um tempo de parada. Ent˜ao H•M´e um semi-martingal cont´ınuo, nulo em t= 0, bilinear emH eM, e valem

H^τ •M^τ =H•(M^τ) = 1[0,τ]H

•M= (H•M)^τ,

JH•X,K•YK(t, ω) =

(HK)(s, ω)JX,YK(ds, ω),

∗ Veja a proposi¸c˜ao3.24na p´agina56.

JH•XK(t, ω) =

H²(s, ω)

JXK(ds, ω) e também é válida a propriedadeJH•X,YK=H•JX,YK.

Demonstra¸cão. Essas propriedades seguem, basicamente, combinando o teorema4.26, proposi¸cão4.4 e o lema4.27. Vamos explicitar a demonstra¸cão da última propriedade citada. De fato, considere as decomposi¸cões X=M+Ae Y=N+B. Temos queH∈ L²_loc(M)∩ L¹_loc(A). Disso vem que

JH•X,YK=JH•M+H•A,N+BK.

Agora, pela proposi¸cão 3.29na página 58 - itemv), podemos tirar os termos de varia¸cão limitada e assim

JH•X,YK=JH•M,NK.

Mas, pelo teorema4.25temos queJH•M,NK=H•JM,NKe pela defini¸cão de covaria¸cão quadrática para semi-martingais^∗ JM,NK=JX,YK, assim, resulta que

JH•X,YK=H•JM,NK=H•JX,YK, como quer´ıamos.

Proposi¸cão 4.32. Sejam X um semi-martingal cont´ınuo e H,H⁰ ∈ L(X). Se He H⁰ forem indis-tingu´ıveis entãoH•X eH⁰•X também o são.

Demonstra¸c˜ao. Defina Y .

=H−H⁰. Temos que as trajetóriast7→ Y(t, ω) são identicamente nulas para todo ω no complementar de um conjunto de medida P-nula. Devemos mostrar que Y •X é indistingu´ıvel do processo nulo. Pelo teorema 4.31, temos que Y •X é cont´ınuo e portanto pela proposi¸cão 2.3 na página 6, basta mostrar que Y•X é uma modifica¸cão do processo nulo, isto é, basta mostrar que para cada t≥0, (Y•X)t= 0, P-q.s.

Se X for um processo de varia¸cão finita, o resultado segue pela defini¸cão ω-a-ω da integral estocástica para processos de varia¸cão finita. Agora, se X for um martingal local cont´ınuo, então,

∗ Veja a defini¸c˜ao3.27na p´agina57.

pelo lema4.27 temos

JY•XK_t=

Y²(s, ω)JXK(ds, ω)

= 0

poisY²(·, ω) = 0, P-q.s.Segue queJY•XK= 0 e portanto, pela proposi¸cão3.13na página47, item iii), segue queY•Xé constante e como (Y•X)₀ = 0, segue que (Y•X)_t= 0, P-q.s.O caso geral, isto é,X um semi-martingal cont´ınuo, resulta da decomposi¸cão semi-martingal de X.

A propriedade associativa para este caso geral ´e um simples corol´ario dos teoremas4.28 e4.7.

Teorema 4.33. Seja X um semi-martingal cont´ınuo. Se K∈ L(X) e H∈ L(K•X) ent˜ao HK∈ L(X) e vale a propriedade associativa H•(K•X) = (HK)•X.

No documento Integral estoc´astica e aplica¸c˜oes (páginas 86-104)